第六章 冲激响应不变法

H min ( z) H ap ( z)
* z 1/ z , 1/ z z0 1 把H(z)单位圆外的零点： 0 0,
映射到单位圆内的镜像位置：z z0 , z
* 0
构成Hmin(z)的零点。
而幅度响应Fra Baidu bibliotek变：
H (e j ) H min (e j ) H ap (e j ) H min (e j )
H (e j ) arg 2 mi 2 pi 2 ( N M ) K 2 2 mi 2 ( N M ) 0
相位超前系统
1）全部零点在单位圆内： mi M , mo 0 为最大相位超前系统 arg[] 2 N 2）全部零点在单位圆外： mi 0, mo M
LSI系统的系统函数：
1 (1 c z m ) 1 (1 d z k ) k 1 m 1 N M
H ( z) K
Kz ( N M )
(z c
m 1 N k 1
M
m
)
(z d )
k
频率响应：
H (e ) Ke
j
j ( N M ) m 1 N k 1
3）作为相位均衡器，校正系统的非线性相位， 而不改变系统的幅度特性
H ( z ) H d ( z ) H ap ( z )
H (e j ) H d (e j ) H ap (e j )
H d (e ) H ap (e ) e
j
j
j d ( ) ap ( )
k b z k M
用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：
H ( z)
1 ak z k
k 1
k 0 N
即为求滤波器的各系数：ak , bk
s平面逼近：模拟滤波器 z平面逼近：数字滤波器
先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器 计算机辅助设计法
☆二、最小与最大相位延时系统、最 小 与最大相位超前系统
实系数二阶全通系统
z 1 a* z 1 a H ap ( z ) 1 1 az 1 a * z 1
极点： z a，a* 零点： z 1/ a*，1/a
a 1
两个零点（极点）共轭对称
零点与极点以单位圆为镜像对称
N 阶数字全通滤波器
z ak H ( z ) 1 1 a z k 1 k
4、表征滤波器频率响应的特征参量
幅度平方响应
H (e ) H (e ) H (e )
*
j
2
j
j
H (e ) H (e
j
j
) H ( z)H ( z )
1
z e j
H ( z ) H ( z 1 ) 的极点既是共轭的，又是以单位 圆成镜像对称的 j Im[ z ]
N H (e j ) M j j arg arg[ e c ] arg[ e d k ] ( N M ) m k 1 K m1
当 0 2 ,
2
j Im[ z ]
0
Re[ z ]
位于单位圆内的零/极矢量角度变化为 2 位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0
N * 1
d N d N 1 z 1 ... d1 z ( N 1) z N 1 d1 z 1 ... d N 1 z ( N 1) d N z N
z N D( z 1 ) D( z )
极点： D ( z ) 的根
z p re j r 1
j ( e cm )
M
j ( e dk )
H (e ) e
j
j arg[ H ( e j )]
模：
H (e j ) K
j e cm
M
e
k 1
m 1 N
j
dk
各零矢量模的连乘积 各极矢量模的连乘积
相角：
N H (e j ) M j j arg arg[ e c ] arg[ e d k ] ( N M ) m k 1 K m1
3、数字滤波器的技术要求
选频滤波器的频率响应：
H (e ) H (e ) e
j
j
j ( j )
H (e j ) 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后 各频率成分的衰减情况
( j ) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器
后在时间上的延时情况
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近
H (e j )
群延迟响应
相位对角频率的导数的负值
j d ( e ) j (e ) d
dH ( z ) 1 Re z j dz H ( z ) z e
j ( e ) = 常数， 若滤波器通带内
则为线性相位滤波器
5、IIR数字滤波器的设计方法
H * (e j ) H (e j ) e j ( e
j
)
H (e j ) 2 j ( e j ) e * j H (e )
j 1 H ( e ) 1 H ( z) j (e ) ln * j ln 1 2 j H (e ) 2 j H ( z ) z e j
本章作业练习
P319:
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第六章 IIR数字滤波器的设计方法
数字滤波器： 是指输入输出均为数字信号，通过一定运算 关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者 滤除某些频率成分的器件。
优点： 高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求 阻抗匹配，可实现特殊滤波功能
*一、数字滤波器的基本概念
* 0 1 1
其中：H1(z)为最小相位延时系统，
* 1/ z0，1/z0 ， z0 1为单位圆外的一对共轭零点
* 1 1 1 z z 1 z z * 0 0 H ( z ) H1 ( z ) z 1 z0 z 1 z0 1 z* z 1 1 z z 1 0 0 1 1 * z z z z * 1 0 0 H1 ( z ) 1 z0 z 1 z0 z 1 * 1 1 z0 z 1 z0 z 1
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
2、数字滤波器的设计过程
按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术
指标
用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)
逼近此性能指标
利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结
构、字长的选择等
实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法
1/ a*
H(z)的极点：单位圆内的极点
0
a
a
*
Re[ z ]
a 1
相位响应
H (e ) H (e ) e
j
j
j ( e j )
j j Re H ( e ) j Im H ( e )
j Im[ H ( e )] j 相位响应： (e ) arctan j Re[ H (e )]
单位圆外的极点数为po
则：
H ( e j ) arg 2 ( N M ) 2 mi 2 pi K 2
因果稳定系统
z r, r 1
n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N
H (e j ) arg 2 mi 2 pi 2 ( N M ) K 2 2 mi 2 M 2 mo 0
通带： 阻带：
c
1 1 H (e ) 1 H (e j ) 2
j
st
过渡带： c st
c ：通带截止频率
st ：阻带截止频率
1 ：通带容限 2 ：阻带容限
通带最大衰减：1
1 20lg
H (e j 0 ) H (e jc )
n 0
N 1
2
hmin (n )
n 0
N 1
2
3）最小相位序列的 hmin (0) 最大：hmin (0) h(0)
4）在 H (e j ) 相同的系统中，hmin (n) 唯一
5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统 转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统
三、全通系统
对所有，满足： H ap (e ) 1 称该系统为全通系统
1、数字滤波器的分类
经典滤波器： 选频滤波器 现代滤波器： 维纳滤波器 卡尔曼滤波器
自适应滤波器等
按功能分：低通、高通、带通、带阻、全通滤波器
按实现的网络结构或单位抽样响应分： IIR滤波器（N阶）
H ( z)
k b z k
M
1 ak z k
k 1
k 0 N
FIR滤波器（N-1阶）
第六章学习目标
理解数字滤波器的基本概念
了解最小相位延时系统
理解全通系统的特点及应用 掌握冲激响应不变法
掌握双线性变换法
掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点 了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计
过程 了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的 方法
相位延时系统
1）全部零点在单位圆内： mi M , mo 0
arg[] 0
为最小相位延时系统
2）全部零点在单位圆外： mi 0, mo M
arg[] 2 M
为最大相位延时系统
逆因果稳定系统 z r , r 1
n > 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆外：po = N，pi = 0
零点：D( z ) 的根
1
1 j zo e r 1 r
全通系统的应用
1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联
H ( z ) H min ( z) H ap ( z) 令：H ( z) H1 ( z)( z z0 )( z z )
arg[] 2 ( N M )
为最小相位超前系统
最小相位延时系统的性质
1）在 H (e j )相同的系统中，具有最小的相位滞后 2）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近， 而总能量相同
h(n )
n 0
m
2
hmin (n )
n 0
m
2
m N 1
h(n )
j
一阶全通系统：
z 1 a H ap ( z ) 1 az 1
极点： z a
a为实数
0 a 1
零点： z 1/ a
z 1 a* H ap ( z ) 1 az 1
极点： z a
a为复数
0 a 1
零点：z 1/ a*
零极点以单位圆为镜像对称
N H (e j ) M j j arg arg[ e c ] arg[ e d k ] ( N M ) m k 1 K m1
令： 单位圆内零点数为mi 单位圆外的零点数为mo
mi mo M pi po N
单位圆内的极点数为pi
2）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成 一个稳定滤波器 单位圆外极点： z 1 e j， r 1 r
z 1 re j z 1 re j H ap ( z ) j 1 1 re z 1 re j z 1
把非稳定系统的单位圆外的极点映射到单位圆内
20lg H (e jc ) 20lg(1 1 )
阻带最小衰减： 2
2 20lg
H (e j 0 ) H (e jst )
j0
20lg H (e jst ) 20lg 2
其中： H (e ) 1
jc H ( e ) 2 / 2 0.707 时， 1 3dB 当 称 c 为3dB通带截止频率