第六章 冲激响应不变法
数字信号处理 答案 上
s0t n 1
1 按 a u(k ) , 1 1 az dX ( z ) Z 且 kx( k ) z dz
k Z
32
可得H ( z )
k 0
k z ) k ( h
T n 1 n 1 1 s 0 T k k (z e ) TA ( n 1)! k 1 1 d n 1 AT n ) ( z ) ( T s 1 dz ( n 1)! 1 e 0 z
2 2 1 2 z r cos r z N
21
01 11 z 2 1
1
01 2 ReH (1) 2 Re[ 2 2 3 j ] 4 11 (2) (0.9) ReH (1)W 3.6
1 6
4 3.6 z H1 ( z ) 1 2 1 0.9 z 0.81z k 2 时 ： 02 12 0 ， H 2 ( z) 0
22
1
频率抽样结构：
23
7．设某FIR数字滤波器的系统函数为：
1 H ( z ) (1 3z 1 5z 2 3z 3 z 4 ) 5
试画出此滤波器的线性相位结构。
分析：FIR线性相位滤波器满足 h(n) h( N 1 n) 即对 n ( N 1) / 2 呈现偶对称或奇对称， 因而可简化结构。
jk
)(1 e
j
3
k
e
j
2 k 3
)
20
则
H (0) 24 H 0 ( z) 1 1 1 rz 1 0.9 z H (3) 2 H 3 ( z) 1 1 rz 1 0.9 z 1
求： H k ( z) k 1 时 ：H 1 ( z )
数字信号处理 第六章
各种数字滤波器的理想幅度频率响应 数字滤波器的设计步骤 理想滤波器的逼近 数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言
数字滤波器的设计步骤：
按任务要求，确定滤波器性能要求。 用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼 近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响 应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR） 系统函数两种。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。 实际的技术实现。
零极点分布对系统相角的影响
相位“延时”（或相位“滞后”）系统
最小相位延时系统 最大相位延时系统 最大相位超前系统 最小相位超前系统
相位“超前”（或相位“领先”）系统
当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数， 当全部零点在单位圆外时，相位变化最小， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最大， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最小， 故称为最小相位超前系统。 故称为最大相位超前系统。 故称为最大相位延时系统。 故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一 半属Ha(-s)。如要求系统稳定， 则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制， 则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的， 则只能取所有左半平面的零极 点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界 稳定时虚轴上才会有极点。
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
第六章 冲激响应不变法
其中：H1(z)为最小相位延时系统，
* 1/ z0，1/z0 ， z0 1为单位圆外的一对共轭零点
* 1 1 1 z z 1 z z * 0 0 H ( z ) H1 ( z ) z 1 z0 z 1 z0 1 z* z 1 1 z z 1 0 0 1 1 * z z z z * 1 0 0 H1 ( z ) 1 z0 z 1 z0 z 1 * 1 1 z0 z 1 z0 z 1
n 0
N 1
2
hmin (n )
n 0
N 1
2
3）最小相位序列的 hmin (0) 最大：hmin (0) h(0)
4）在 H (e j ) 相同的系统中，hmin (n) 唯一
5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统 转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统
三、全通系统
对所有，满足： H ap (e ) 1 称该系统为全通系统
1/ a*
H(z)的极点：单位圆内的极点
0
a
a
*
Re[ z ]
a 1
相位响应
H (e ) H (e ) e
j
j
j ( e j )
j j Re H ( e ) j Im H ( e )
j Im[ H ( e )] j 相位响应： (e ) arctan j Re[ H (e )]
N H (e j ) M j j arg arg[ e c ] arg[ e d k ] ( N M ) m k 1 K m1
当 0 2 ,
2
j Im[ z ]
冲激响应不变法
冲激响应不变法
1 冲激响应不变法
冲激响应不变法是一种有效的生物学调控技术，它利用植物叶片
或细胞之间的低浓度挥发性信号物质进行反馈来调控植物抗逆性。
这
种技术运用了分子生态学和分子植物学的材料，将植物的反应联系起来，使植物的内部生态系统与外界的环境条件得到空间和时间上的连
贯和可控的调控，以改善和提高植物的抗旱性和抗逆性，从而达到节
水灌溉的目的。
2 冲激响应不变技术的发展
目前，冲激响应不变技术已成为生物学调控技术的重要组成部分。
研究表明，冲激响应不变技术可以有效提高植物耐旱性和耐逆性，从
而达到节水灌溉的目的。
近年来，各类影响因子的抗性调控研究、非破坏性生物敏感元件
技术的开发以及叶片采集法等技术的应用，让冲激响应不变技术获得
快速发展，形成了一个新的研究领域，极大地拓宽了农业水利研究的
新境界。
3 冲激响应不变技术的应用
冲激响应不变技术在园林景观和农业工程中有着广泛的应用前景。
已有报道表明，冲激响应不变技术可以用于植物低温耐受能力的改善，并可应用于低温环境下的水稻高抗性育种；可以用于植物耐旱性的改
善，可应用于半干旱环境的草莓早熟品种研究；还可以用于驯化植物，如绿化植物、观赏植物、森林植物等。
另外，冲激响应不变技术还可
用于土壤反应的测定，特别适用于污染土壤的土壤改良技术；也可以
用于调控植物生理和生化过程，以改变植物表型，如植物形态、穗袋
形成量、形态特征等。
总之，冲激响应不变法是一种有效的植物生物学调控技术，具有
广阔的应用前景，其发展将对农业技术有深远的影响。
冲激响应不变法 极点
冲激响应不变法极点英文回答：The impulse response invariance method, also known as the zero-pole matching method, is a technique for designing digital filters by transforming an analog filter designinto a digital filter design. This method is based on the principle that the impulse response of an analog filter is invariant under a transformation from the analog domain to the digital domain.The impulse response invariance method is a two-step process. In the first step, an analog filter is designed using traditional analog filter design techniques. In the second step, the analog filter design is transformed into a digital filter design using a bilinear transformation or a matched z-transform.The bilinear transformation is a simple transformation that maps the s-plane (the complex plane used to representanalog filters) to the z-plane (the complex plane used to represent digital filters). The matched z-transform is a more complex transformation that takes into account the sampling rate of the digital filter.Once the analog filter design has been transformed into a digital filter design, the impulse response of thedigital filter will be identical to the impulse response of the analog filter. This means that the digital filter will have the same frequency response and phase response as the analog filter.The impulse response invariance method is a simple and effective technique for designing digital filters. However, this method can only be used to design digital filters that have a finite impulse response (FIR).中文回答：冲激响应不变法，也称为零极点匹配法，是一种通过将模拟滤波器设计转换为数字滤波器设计来设计数字滤波器的方法。
冲激响应不变法的基本思路
冲激响应不变法的基本思路冲激响应不变法，这可是个挺有趣的玩意儿呢。
咱先简单说说这是啥吧。
就好比你有一个老物件，想把它的功能原原本本地复制到一个新东西上。
冲激响应不变法就有点这个意思，不过是在信号处理这个神秘的世界里。
在这个世界里，冲激信号就像是一个特殊的小使者，它有独特的能力。
当系统接收到这个冲激信号时，系统会做出一个反应，这个反应就是冲激响应。
那冲激响应不变法呢，就是想让新的数字系统的冲激响应和原来的模拟系统的冲激响应有某种特定的联系，就像是要把老物件的精髓完整地传承到新物件上。
那它是怎么做到的呢？这就像是一场奇妙的魔法。
我们知道模拟系统有它自己的数学表达式来描述冲激响应，就像每个人都有自己独特的性格一样。
冲激响应不变法会把这个模拟的冲激响应按照一定的规则转化成数字系统的冲激响应。
这个规则可不是乱定的哦。
它像是一种密码，一种能把模拟世界的信息准确无误地翻译成数字世界语言的密码。
我给你讲个例子吧。
比如说你有一个模拟的音频系统，它对声音的处理就像一个经验丰富的老师傅。
现在你想把这个音频系统数字化，就像把老师傅的手艺用新的方式传承下去。
冲激响应不变法就像一个聪明的学徒，它会仔细观察老师傅处理冲激声音时的各种反应，然后把这些反应转化成数字系统能够理解的方式。
这个过程可不容易，就像你要把一幅精美的手绘国画准确地复制成数字图像一样，每一个细节都得照顾到。
在这个过程中，我们要特别注意一些事情。
你不能随便乱改这个冲激响应，不然就像是你把老师傅的手艺给改得乱七八糟，那做出来的东西可就完全不是那么回事了。
冲激响应不变法要保证在不同的频率下，新的数字系统和原来的模拟系统有相似的表现。
这就好比是你做一个蛋糕，不管是用传统的烤箱还是新的微波炉来烤，蛋糕的口感和味道都得差不多才行。
如果在某个频率上，数字系统和模拟系统的表现差异很大，那就像是蛋糕烤糊了一块，整个东西就不完美了。
那冲激响应不变法有啥好处呢？它能够很好地保留模拟系统的一些特性。
数字信号处理习题解答
散移不变系统，已知它满足)()1()(310)1(n x n y n y n y =++--，并已知系统是稳定的。
试求其单位抽样响应。
解：对给定的差分方程两边作Z 变换，得：)31)(3( 3101)()()()()()(310)(11--=+-===+---z z zzz z X z Y z H z X z zY z Y z Y z 则： 31,3 21==z z 极点为，为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故取 1/3|| 3 z <<。
利用第十二题(3)的结果123,1/3a a == 即可求得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+---=)(31)1(383)(n u n u n h nn第三章1、如下图，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1114 12 10 8 6 4 2()x nn…………55266022222234566666X()()()1412108610j nknk n n j k j k j k j kj k k x n W x n e eeeeeππππππ-==-----===+++++∑∑%%%解：计算求得：(0)60;(1)933; (2)3 3 ;(3)0; (4)33;(5)93 3 X X j X j X X j X j ==-=+==-=+%%%%%%。
3.设1,04(),0n n x n n +≤≤⎧=⎨⎩，其它4()(2)h n R n =-。
令66()(()),()(()),x n x n h n h n ==%%试求()()xn h n %%与的圆周卷积并作图。
解：在一个周期内的计算值()()*()()y n x n h n h n m ==-%%%%如下图所示：-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111412 10 8 6 4 2()y n %n …………8、如下图表示一个5点序列()x n 。
matlab冲激响应不变法设计iir低通滤波器
一、引言Matlab是一款功能强大的工程仿真软件，多用于信号处理，通信系统，控制系统等方面的研究和应用。
在Matlab中，设计IIR（Infinite Impulse Response）滤波器是很常见的任务，其中冲激响应不变法是一种常用的设计方法，特别是针对所需的低通滤波器。
本文将介绍在Matlab中如何利用冲激响应不变法设计IIR低通滤波器。
二、IIR滤波器简介IIR滤波器是指其冲激响应具有无限长度的滤波器。
与FIR（Finite Impulse Response）滤波器相比，IIR滤波器具有更窄的过渡带和更陡峭的截止带，同时能够用更少的参数来达到相似的性能。
在数字信号处理中，IIR滤波器常常用于对信号进行滤波和增强。
三、冲激响应不变法的基本原理冲激响应不变法是一种通用的IIR滤波器设计方法，其基本原理是将所需的模拟滤波器（一般为巴特沃斯或切比雪夫滤波器）的冲激响应与仿真采样进行一一映射，从而得到对应的数字IIR滤波器的参数。
这样设计得到的数字IIR滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应基本一致。
四、Matlab中的冲激响应不变法设计IIR滤波器在Matlab中，利用signal processing toolbox中的iirdesign函数可以很方便地实现冲激响应不变法设计IIR滤波器。
下面是一个使用iirdesign函数设计低通滤波器并绘制其频率响应的示例代码：```matlabFs = 1000; 采样频率Fpass = 100; 通带截止频率Fstop = 150; 阻带截止频率Apass = 1; 通带最大衰减Astop = 60; 阻带最小衰减designmethod = 'butter'; 巴特沃斯滤波器[b, a] = iirdesign(Fpass/(Fs/2), Fstop/(Fs/2), Apass, Astop, designmethod);freqz(b, a, 1024, Fs); 绘制滤波器频率响应```上述代码中，首先定义了采样频率Fs，通带和阻带的截止频率Fpass 和Fstop，以及通带最大衰减Apass和阻带最小衰减Astop。
数字信号处理教程课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
数字信号处理教程 程佩青 课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
清华大学数字信号处理课件--第六章7双线性变换法
c c ctg
c
2
特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地 控制截止频率位置
3、逼近情况
1）s c
1 z 1 z
1 1
c
1 e 1 e
j j
jc tg
2
j
s平面虚轴
2） z
cs cs
z平面单位圆
z (c )
2 2 2
0
0
缺点： 除了零频率附近， 与 之间严重非线性
1）线性相位模拟滤波器
非线性相位数字滤波器
2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不 然会产生畸变 分段常数型模拟滤波器 经变换后仍为分段常数 型数字滤波器，但临界 频率点产生畸变
1 1 / T
2 tg
1
1 1 c
预畸变
给定数字滤波器的截止频率 1 ，则
1 c tg
1
2
按 1设计模拟滤 波器，经双线性 变换后，即可得 到 1 为截止频率 的数字滤波器
6、模拟滤波器的数字化方法
H ( z) H a (s) 1 z 1 Ha c 1 1 z
c j c j
(c )
2
s平面
0
z 1 z 1 z 1
z平面 单位圆内 单位圆外 单位圆上
左半平面
0 0
右半平面
虚轴
4、优缺点
优点：避免了频率响应的混迭现象
c tg
2
s 平面与 z 平面为单值变换
0 0
1 1
i 1, 2,..., m
可分解成并联的低阶子系统
数字信号处理第六章 习题答案
( )
H ( e jω ) = Ha ( jΩ)
又由 Ω =
ω
T
，则有
5 2 π ΩT + 3, − 2 ΩT + 5 , = π 3 0 2π π − ≤Ω≤ − 3T 3T π 2π ≤ Ω≤ 3T 3T 其他Ω
Ha ( jΩ) = H ( e jω )
ω=ΩT
Ha ( jΩ) = H ( e jω )
各极点满足下式ຫໍສະໝຸດ 1 1+ ( s Ωc )
4
sk = Ωce
π 2k −1 j + π 2 4
k = 12，4 ，3 ，
则 k = 1,2时，所得的 sk 即为 Ha ( s) 的极点
s1 = Ωce s2 = Ωce
3 j π 4
3 2 3 2 =− +j 2 2 3 2 3 2 =− −j 2 2
2
=
1−1.1683z−1 + 0.4241z−2
0.064(1+ 2z−1 + z−2 )
5．试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数。 设 Ωc = 3rad s 解：由幅度平方函数： H ( jΩ) =
2
1 1+ ( Ω Ωc )
4
令 Ω2 = −s2，则有
Ha ( s) Ha ( −s) =
∴H ( z ) = Ha ( s) s=1−z−1
1+ z−1
=
1 1− z 1− z 1+ z−1 + 1+ z−1 +1
−1 2 −1
(1+ z ) =
3 + z−2
−1 2
数字信号处理课后习题答案-第六章习题与答案
1．、2． 用冲激响应不变法将以下 )(s H a变换为变换为 )(z H ，抽样周期为T 。
为任意正整数 ,)()( )2()()()1(022n s s As H b a s as s H na a -=+++=分析：①冲激响应不变法满足)()()(nT h t h n h a nTt a===，T 为抽样间隔。
这种变换法必须)(s H a 先用部分分式展开。
②第（②第（22）小题要复习拉普拉斯变换公式1!][+=n n S n t L ,na n t s a S S As H t u n t Ae t h )()()()!1()(010-=⇔-=-，可求出可求出 )()()(kT Th t Th k h a kTt a===，|又 dz z dX z k kx )()(-⇔，则可递推求解。
解: (1)22111()()2a s a H s s a b s a jb s a jb ⎡⎤+==+⎢⎥+++++-⎣⎦[])( 21)()()(t u e e t h tjb a t jb a a --+-+= 由冲激响应不变法可得：由冲激响应不变法可得：由冲激响应不变法可得：[]()()()() ()2a jb nT a jb nT a T h n Th nT e e u n -+--==+ 11011() () 211naT jbT aT jbT n T H z h n z e e z e e z ∞------=⎡⎤==+⎢⎥--⎣⎦∑ 2211cos 21cos 1 ------+--⋅=z e bT z e bT z e T aT aT aT(2) 先引用拉氏变换的结论[]1!+=n n s n t L 可得：可得： n a s s As H )()(0-=))()!1()(10t u n t Ae t h n t s a -=-则 )()!1()()()(10k u n kT Ae T Tk Th k h n kT s a -⋅==- dzz dX zk kx az k u a ZZk )()( , 11)( 1-−→←-−→←-且按)11()()!1( )()!1( )()(111111000--∞=---∞=----=-==∑∑ze dz d z n AT e z k n T TA z k h z H T s n n kkT s n n k k可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=•••---,3,2)1(1,1)(111000n z e z e AT n z e ATz H n T s T S n T s ，可以递推求得：2. 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：2'4142136.111)(s s s H a ++=而而3dB 截止频率为50Hz 的模拟滤波器，需将归一化的)('s H a 中的s 变量用502⨯πs 来代替424'108696044.928830.444108696044.9)100()(⨯++⨯==s s s H s H a a π：设系统抽样频率为设系统抽样频率为Hz f s 500=，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。
第6章 习题解答
第六章 习题解答(部分)［1］数字滤波器经常以图P6-1描述的方式来处理限带模拟信号，在理想情况下，通过A/D 变换把模拟信号转变为序列)()(nT x n x a =，然后经数字滤波器滤波，再由D/A 变换将)(n y 变换成限带波形)(n y a ，即有∑∞-∞=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=n a nT t nT t n y t y )(Tπ)(T πsin )()( 这样整个系统可等效成一个线性时不变模拟系统。
如果系统)(n h 的截止角频率是rad 8/π，ms T 01.0=，等效模拟滤波器的截止频率是多少？ 设s T μ5=，截止频率又是多少？解：对采样数字系统，数字频率ω与模拟角频率Ω之间满足线性关系T Ω=ω。
因此，当ms T 01.0=时，T T cc 8πω==Ω，Hz T f c c 6251612==Ω=π当s T μ5=时， TT c c 8πω==Ω，Hz T f c c 125001612==Ω=π［2］已知模拟滤波器的系统函数为()22)(b a s bs H a ++=，试用冲激响应不变法将)(s H a 转换为)(z H 。
其中抽样周期为T ，式中a 、b 为常数，且)(s H a 因果稳定。
解：)(s H a 的极点为：jb a s +-=1，jb a s --=1将)(s H a 部分分式展开： )(21)(21)(jb a s j jb a s j s H a +---+---= 所以有1)(1)(121121)(-+------+-=z e j zej z H T jb a Tjb a通分并化简整理得：TT T ez bT e z bTe z z H ααα2211cos 21sin )(------+-= ［3］设计一个模拟带通滤波器，要求其幅度特性为单调下降（无波纹），通带带宽s rad B /2002⨯=π，中心频率s rad /10020⨯=Ωπ，通带最大衰减dB p 2=δ，s rad s /80021⨯=Ωπ，s rad s /124022⨯=Ωπ，阻带最小衰减dB s 15=δ。
冲激不变变换法原理与设计
利用冲激响应不变法或双线性变换法将 转换成 。
数字切比雪夫滤波器的设计步骤
设计实例1
设计实例1
设计实例1
设计实例2
设计实例2
设计实例2
设计实例2
Butter12.m
总结
核心内容：数字低通滤波器的设计方法：冲激不变原理展开： 1.Butterworth数字低通滤波器设计 2.Chebyshev-I数字低通滤波器设计
提问？
谢谢！
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（3） 滤波器阶数N的确定切比雪夫滤波器的阶数N是由阻带允许的衰减确定的。设在阻带截止频率 s处的允许衰减为 ，即由此得到计算滤波器阶数N的公式
1
根据数字滤波器的指标确定参数 、 和N。
2
计算常量 、 和 ，并求出极点 。
3
由s平面左半平面的极点构成传递函数 。
设计低通数字滤波器利用模拟滤波器的设计理论来设计IIR数字滤波器就是首先根据实际要求设计一个模拟滤波器，然后再将模拟滤波器转换成数字滤波器。
本节内容
冲激不变变换原理
设计过程中要注意的问题
设计实例
巴特沃兹/切比雪夫低通数字滤波器设计
原理： 冲激响应不变法遵循的准则是：使数字滤波器的单位取样响应与所参照的模拟滤波器的冲激响应的取样值完全一样，即
4.4.3 数字巴特沃斯滤波器
为角频率，在 处幅度响应的平方为0.5，N为滤波器的阶数。当时幅度响应为1。
巴特沃斯滤波器的幅度响应在通带内具有最平坦的特性，且在通带和阻带内幅度特性是单调变化的。
上图可以看出，随着N的增大，幅度响应曲线在截止频率附近变得越来越陡峭，即在通带内有更大部分的幅度接近于1 ，在阻带内以更快的速度下降至零。
设计数字巴特沃斯滤波器的步骤如下：
冲激响应不变法原理
冲激响应不变法：信号处理的利器冲激响应不变法（Impulse Response Invariance, IRI）是一种信号处理技术，用于将连续时间信号转换为离散时间信号。
该技术的核心思想是将连续时间系统的冲激响应直接用于离散时间系统，从而快速获得离散时间系统的频率响应。
以下是IRI原理的全面解析和指导。
IRI利用了连续时间系统和离散时间系统的频响本质相同这一重要特性，因此在理论分析和实际应用中取得了广泛应用。
通过将连续时间系统的冲激响应直接用于离散时间系统，IRI可以快速获得离散时间系统的频率响应，从而实现信号处理的高效准确。
IRI技术在数字滤波、频率变换和信号处理等领域广泛应用。
IRI 的特点是具有很高的准确性和实时性，同时可以大大简化数字信号处理的步骤，提高系统运行效率和可靠性。
这些优点使得IRI成为当今最为流行的信号处理技术之一。
综上所述，IRI技术具有广泛的应用前景和实用价值。
在现代信号处理和控制系统中，IRI技术已经成为不可或缺的工具和技术。
因此，进一步研究和应用IRI技术，将有助于提高数字信号处理的效率和精度，推动科技进步和社会发展。
冲击响应不变变换法
其中T是抽样周期。
2
由时域抽样序列的Z变换与模拟信号 的
拉氏变换的关系，有：
H ( z) zesT
1 T
k
Ha (s
j 2
T
k)
存在多对一的映射关系。
数字滤波器的频率响应 H a ( j同)样为模拟 滤波器频率响应 H (的e j周) 期延拓。
3
映射关系：
根据s域与z域的的映射关系
器冲激响应的抽样，由抽样定理可知其频谱 为模拟滤波器频谱的周期延拓。
H
(e
j
)
1 T
k
Ha(
j
2k
T
)
只有模拟滤波器的频谱限带于折叠频率
内时，即要满足
H
a
(
j)
0,
|
|
T
s 2
才能避免混叠失真。即
6
H
(e
j
)
1 T
Ha
(
j
T
),|
|
而实际的滤波器并非严格限带，所以用冲激
响应不变法设计的数字滤波器不可避免地会
只有模拟滤波器的频谱限带于折叠频率内时即要满足而实际的滤波器并非严格限带所以用冲激响应不变法设计的数字滤波器不可避免地会产生混叠失真
冲激(抽样、取样)响应 不变法变换
组员:52081817毛金山 52081830杨帆 52081832张洁
1、原理：
从时域出发，要求数字滤波器的冲激响应h(n) 对应于模拟滤波器ha(t)的等间隔抽样，即满 足：
解答：
(1) 将 Ha (s)分解为部分分式形式：
2
11
Ha (s) s2 4s 3 s 1 s 3
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3）作为相位均衡器，校正系统的非线性相位， 而不改变系统的幅度特性
H ( z ) H d ( z ) H ap ( z )
H (e j ) H d (e j ) H ap (e j )
H d (e ) H ap (e ) e
j
j
j d ( ) ap ( )
通带： 阻带：
c
1 1 H (e ) 1 H (e j ) 2
j
st
过渡带： c st
c ：通带截止频率
st ：阻带截止频率
1 ：通带容限 2 ：阻带容限
通带最大衰减：1
1 20lg
H (e j 0 ) H (e jc )
H * (e j ) H (e j ) e j ( e
j
)
H (e j ) 2 j ( e j ) e * j H (e )
j 1 H ( e ) 1 H ( z) j (e ) ln * j ln 1 2 j H (e ) 2 j H ( z ) z e j
N H (e j ) M j j arg arg[ e c ] arg[ e d k ] ( N M ) m k 1 K m1
当 0 2 ,
2
j Im[ z ]
0
Re[ z ]
位于单位圆内的零/极矢量角度变化为 2 位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0
j ( e cm )
M
j ( e dk )
H (e ) e
j
j arg[ H ( e j )]
模：
H (e j ) K
j e cm
M
e
k 1
m 1 N
j
dk
各零矢量模的连乘积 各极矢量模的连乘积
相角：
N H (e j ) M j j arg arg[ e c ] arg[ e d k ] ( N M ) m k 1 K m1
零点：D( z ) 的根
1
1 j zo e r 1 r
全通系统的应用
1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联
H ( z ) H min ( z) H ap ( z) 令：H ( z) H1 ( z)( z z0 )( z z )
4、表征滤波器频率响应的特征参量
幅度平方响应
H (e ) H (e ) H (e )
*
j
2
j
j
H (e ) H (e
j
j
) H ( z)H ( z )
1
z e j
H ( z ) H ( z 1 ) 的极点既是共轭的，又是以单位 圆成镜像对称的 j Im[ z ]
2）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成 一个稳定滤波器 单位圆外极点： z 1 e j， r 1 r
z 1 re j z 1 re j H ap ( z ) j 1 1 re z 1 re j z 1
把非稳定系统的单位圆外的极点映射到单位圆内
第六章学习目标
理解数字滤波器的基本概念
了解最小相位延时系统
理解全通系统的特点及应用 掌握冲激响应不变法
掌握双线性变换法
掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点 了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计
过程 了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的 方法
单位圆外的极点数为po
则：
H ( e j ) arg 2 ( N M ) 2 mi 2 pi K 2
因果稳定系统
z r, r 1
n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N
H (e j ) arg 2 mi 2 pi 2 ( N M ) K 2 2 mi 2 M 2 mo 0
1/ a*
H(z)的极点：单位圆内的极点
0
a
a
*
Re[ z ]
a 1
相位响应
H (e ) H (e ) e
j
j
j ( e j )
j j Re H ( e ) j Im H ( e )
j Im[ H ( e )] j 相位响应： (e ) arctan j Re[ H (e )]
N * 1
d N d N 1 z 1 ... d1 z ( N 1) z N 1 d1 z 1 ... d N 1 z ( N 1) d N z N
z N D( z 1 ) D( z )
极点： D ( z ) 的根
z p re j r 1
N H (e j ) M j j arg arg[ e c ] arg[ e d k ] ( N M ) m k 1 K m1
令： 单位圆内零点数为mi 单位圆外的零点数为mo
mi mo M pi po N
单位圆内的极点数为pi
本章作业பைடு நூலகம்习
P319:
1 3
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
数字滤波器： 是指输入输出均为数字信号，通过一定运算 关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者 滤除某些频率成分的器件。
优点： 高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求 阻抗匹配，可实现特殊滤波功能
*一、数字滤波器的基本概念
j
一阶全通系统：
z 1 a H ap ( z ) 1 az 1
极点： z a
a为实数
0 a 1
零点： z 1/ a
z 1 a* H ap ( z ) 1 az 1
极点： z a
a为复数
0 a 1
零点：z 1/ a*
零极点以单位圆为镜像对称
n 0
N 1
2
hmin (n )
n 0
N 1
2
3）最小相位序列的 hmin (0) 最大：hmin (0) h(0)
4）在 H (e j ) 相同的系统中，hmin (n) 唯一
5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统 转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统
三、全通系统
对所有，满足： H ap (e ) 1 称该系统为全通系统
20lg H (e jc ) 20lg(1 1 )
阻带最小衰减： 2
2 20lg
H (e j 0 ) H (e jst )
j0
20lg H (e jst ) 20lg 2
其中： H (e ) 1
jc H ( e ) 2 / 2 0.707 时， 1 3dB 当 称 c 为3dB通带截止频率
H (e j )
群延迟响应
相位对角频率的导数的负值
j d ( e ) j (e ) d
dH ( z ) 1 Re z j dz H ( z ) z e
j ( e ) = 常数， 若滤波器通带内
则为线性相位滤波器
5、IIR数字滤波器的设计方法
相位延时系统
1）全部零点在单位圆内： mi M , mo 0
arg[] 0
为最小相位延时系统
2）全部零点在单位圆外： mi 0, mo M
arg[] 2 M
为最大相位延时系统
逆因果稳定系统 z r , r 1
n > 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆外：po = N，pi = 0
H min ( z) H ap ( z)
* z 1/ z , 1/ z z0 1 把H(z)单位圆外的零点： 0 0,
映射到单位圆内的镜像位置：z z0 , z
* 0
构成Hmin(z)的零点。
而幅度响应不变：
H (e j ) H min (e j ) H ap (e j ) H min (e j )
* 0 1 1
其中：H1(z)为最小相位延时系统，
* 1/ z0，1/z0 ， z0 1为单位圆外的一对共轭零点
* 1 1 1 z z 1 z z * 0 0 H ( z ) H1 ( z ) z 1 z0 z 1 z0 1 z* z 1 1 z z 1 0 0 1 1 * z z z z * 1 0 0 H1 ( z ) 1 z0 z 1 z0 z 1 * 1 1 z0 z 1 z0 z 1
3、数字滤波器的技术要求
选频滤波器的频率响应：
H (e ) H (e ) e
j
j
j ( j )
H (e j ) 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后 各频率成分的衰减情况
( j ) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器
后在时间上的延时情况
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
2、数字滤波器的设计过程
按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术
指标
用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)
逼近此性能指标
利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结
构、字长的选择等
实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法
H (e j ) arg 2 mi 2 pi 2 ( N M ) K 2 2 mi 2 ( N M ) 0