陕西省石泉县池河中学中考数学复习课件12：二次函数的综合应用(共25张PPT)

形式二 已知顶点和任意一点坐标 练习2 已知二次函数的图象以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)，求该 抛物线的表达式． 解：由顶点A(－1，4)，可设二次函数表达式为y＝a(x＋1)2＋4(a≠0)． ∵二次函数的图象过点B(2，－5)， ∴－5＝a(2＋1)2＋4， 解得a＝－1， ∴二次函数的表达式是y＝－(x＋1)2＋4.
2
(2)将该抛物线平移后得到抛物线C1，且其正好经过A、O两点，求出平移
后的抛物线的表达式；
【解题思路】根据函数平移的规律，可知a不变，设出平移后的抛物线表
达式，将点A、O坐标代入表达式即可求解．
解：根据平移的性质可得，抛物线平移后图象的开口方向和开口大小不
变，即a＝－
1 2
，
设平移后的抛物线表达式为y＝－ 1 x2＋b′x＋c′，
综上可得，点Q的坐标为Q1(1，1)，Q2(1，11 )，Q3(1，－ 11 )，
Q4(1，4＋ 19 )，Q5(1，4－ 19 )；
(5)连接AC，点M在线段AC上，连接OM，若△COM为等腰三角形，确定 点M的坐标； 【方法指导】要使△COM为等腰三角形，则只需满足三边有任意两边相 等即可．分OC＝OM、CO＝CM、MC＝MO三种情况讨论，注意结果要 符合题目条件“点M在线段AC上”． 解：存在M点，使△COM为等腰三角形． 如解图②，连接AC， 设线段AC的表达式为y＝kx＋d，
解：∵P(m，0)， 则OP＝|m|，BP＝|2＋m|. 在Rt△COP中，CP＝ OC2 OP2 42 m2 16 m2 . ∵CP＝BP，即m2＋16＝(2＋m)2， 解得m＝3；
(4)在原抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使得△QBC为等腰三角形？
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
例1题解图①
当BQ＝CQ时，32＋n2＝12＋(n－4)2， 解得n＝1，即Q1(1，1)；当BQ＝BC＝2 5 时，32＋n2＝20， 解得n＝± 11 ，∴Q2(1，11)，Q3(1，－ 11 )； 当CQ＝BC＝2 5 时， 12＋(n－4)2＝20， 解得n＝4± 19， ∴Q4(1，4＋ 19 )，Q5(1，4－ 19 )．
未给出
对称轴为直线x＝h
当已知抛物线与x轴的两个交点坐标或对称轴、抛物线与x
轴的一个交点时，通常设表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中抛物线与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)
二、二次函数综合题
类型一 二次函数与特殊三角形判定 例 1 如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(4，0)、B(－2，0) 两点，与y轴交于点C(0，4)． (1)求该抛物线的表达式和对称轴；
练习3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的
左侧)，与y轴交于点C(0，4)，顶点为(1，9 )，求抛物线的表达式．
2
解：设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋9 ，
把C(0，4)代入得a(0－1)2＋
9 2
＝4，
2
解得a＝－
1 2
，
∴y＝－
1 2
(x－1)2＋
9 2
.
练习3题图
2
将点A(4，0)，O(0，0)代入，得
8 4b ' c ' 0 c ' 0
，解得
b ' 2 c ' 0
，
则平移后的抛物线表达式为y＝－1 x2＋2x;
2
(3)点P(m，0)是线段AB上的一点，连接CP，若CP＝BP，求m的值； 【解题思路】用含有m的代数式表示出CP和BP，根据CP＝BP，列方程 求解即可．
∴抛物线的表达式为y＝2x2＋3x－4.
满分技法 待定系数法求表达式方法如下：
表达式已给出
找出抛物线上的两个点或三个点坐标代入即可
当已知抛物线上任意三点时，通常设抛物线的表达式为y＝ ax2＋bx＋c(a≠0) 当已知抛物线的顶点坐标或对称轴及最大(小)值时，通常
表达式 设表达式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标为(h，k)，
例1题图①
解：(1)∵抛物线经过点A、B、C，把点A(4，0)，B(－2，0)，C(0，4)代
入y＝ax2＋bx＋c中，
得 146aa24bbcc00，解得
a
1 2
b 1
，
c 4
c 4
∴该抛物线的表达式为y＝－ 1 x2＋x＋4. 2
由抛物线与x轴交于点A(4，0)，B(－2，0)，可得对称轴为直线x＝ 4 2 ＝1；
其顶点式为y＝(x－1)2－4，故其顶点坐标为(1，－4)．
练习4题图
练习5 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B(－1，0)和点C(2，3)，求此抛 物线的表达式．
解：将点B(－1，0)、C(2，3)代入y＝－x2＋bx＋c，
得14
bc 2b
0 c3
，解得
b 2 c 3
，
∴此抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
形式四 已知任意三点坐标 练习6 已知二次函数的图象经过点(－1，－5)、(0，－4)和(1，1)，求二 次函数表达式．
解：设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，将(－1，－5)、(0，－4)、(1，1)
5 a b c
a 2
代入，得 4 c
，解得 b 3
，
1 a b c
c 4
【方法指导】要使得△QBC为等腰三角形，则只需满足三边中有任意两
边相等即可．分BQ＝CQ、BC＝BQ和BC＝CQ三种情况进行讨论．
解：存在Q点，使△QBC为等腰三角形．
如解图①，连接BC，设Q(1，n)，
BC＝ OB2 OC2 22 42 2 5 ，
BQ＝ 32 n2 ，
CQ＝ 12 (n 4)2 ，
第三章 函 数
第六节 二次函数的综合应用
重难点突破
一、二次函数解析式的确定
形式一 已知顶点坐标和系数a、b、c中的一个 练习1 已知抛物线y＝x2－2bx＋c，若抛物线的顶点坐标为(2，－3)，求b， c的值．
解：∵抛物线表达式为y＝x2－2bx＋c，∴a＝1， ∵抛物线的顶点坐标为(2，－3)，∴y＝(x－2)2－3， ∴y＝x2－4x＋1，∴b＝2，c＝1.
形式三 已知两点坐标和系数a、b、c中的一个 练习4 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)两点，求 抛物线的表达式和顶点坐标．
解：把A(－1，0)、B(3，0)分别代入y＝x2＋bx＋c中，
得19b3b ccBiblioteka 0 ，解得0
b 2 c 3
，
∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3，