能量超临界的非线性色散波方程的问题

到 目前为止， 我 们对 ｓ ＞１的情况所 知甚少， 已知的结果是 ： 定理 １ 【 ０ 】 当Ｕ ０∈日 ｎ Ｌ ２ ＋ 时 ， （ １ ） 存在一个弱连续 的整体解． 对方程 （ ２ ） ， 有类似 的弱解 的存 在性． 弱解的存在性证 明本质上 只依赖于守恒律． 弱解 的唯一 性是到 目前为止 没有解决 的问题 ． 定理 ２ ［ Ｊ 当 Ｊ ｌ ｕ ｏ ｌ ｌ 矗 《１ 时，（ １ ） 的解在 日 是整体适 定的． 当Ｉ ｌ ｕ ｏ ｌ Ｉ 矗 ＋ｆ ｌ ｕ ｌ ｌ Ｉ 疗 一 《 １
（ ２ ）
是 非线性偏微分方程 的代表性方 程之一， 其 中 （ ｔ ， ） 为定 义在 （ ｔ ， ） ∈ × 上的复值函数 （ （ ２ ）
也 可 以 是 实 值 的 ） ， ｉ ＝ 二 Ｔ ， ｕ ｔ ＝ ， ， “ ｔ ｔ ＝ 甏， △ ＝ 器＋ ＋ …＋ ， ， “ 。 和ｕ 为 ∈
Ｅ ｗ （ 札 （ ） （ ｔ ） ） ： ＝ Ｉ Ｉ Ｖ ｕ （ ） 慨 ＋ ｔ ｒ ｙ Ｉ （ ＋ ｌ Ｉ ｕ （ ｔ ） ｌ 瞄 ） ＝Ｅ ｗ （ Ｕ Ｏ ￣ Ｕ １ ）
如果 是 （ １ ）的解， 则 ｕ ） 、 （ ｔ ， ）： ＝ 昙 札 （ ｔ ， 入 ）（ ＞０ ） 也是 （ １ ） 的对应初值为 ｕ （ ０ ， ）＝ Ａ 罟 ｕ ｏ （ ） 的解 ． 计算 ｕ （ ０ ， ） 的 膏 范数 （ １ ｌ ｆ ｌ ｌ ／ ￣ ＝Ｉ １ （ 一△） ｛ ， ｌ ｌ Ｌ ２ （ 豫 ） ） ， 乱 （ ｏ ， ・ ） （ 豫 ） 一 。 一 号 ＋ 札 ｏ （ Ｒ ） ． （ ３ ）
Ｉ １ （ 札 ｏ ， １ ） １ １ 膏 × ／ ／ 一 ＝。 。 ， ｌ ｌ （ ｕ ０ ， 札 １ ） Ｉ ｌ 矗 × ／ ／ 一 ＜。 。 ， ｓ＞ ８ 。 ． 并且 ｌ ｌ ｕ ０ １ １ 。 。 ｆ 】 Ｉ ＞ １ ） Ｍ 使得 （ ２ ） 有一个 光滑 Ｃ 一 解． 定理 ３仅给出一个例子说明 （ ２ ） 大初值整体解存在． 对方程 （ １ ） 的某些任意大初值， 可以由 ［ ４ ］ 的结果 推出： 定理 ４ 设 ｎ ３ ， ？ Ｚ ０∈ Ｍ２ ， １且 ｌ ０ ｌ ｌ １ Ｍ ２ 《 １ ． ．则 （ １ ）的解在 Ｍ２ ， １中整体适定 ， 其 中 ｌ Ｉ ｆ ｌ Ｍ 。 ， ＝∑ｋ ∈ ｚ Ｉ Ｉ ｆ ｌ ｌ Ｌ 。 （ Ｑ ） ， Ｑｋ ：｛ ∈ ： 一 １ 一‰ ＜ ， ｉ ＝１ ， ２ ， … ， 札 ） ．
参考文献
ｆ １ ］Ｃ ａ ｚ ｅ ｎ ａ ｖ ｅ Ｔ ． ａ ｎ ｄ Ｗｅ ｉ ｓ ｓ ｌ ｅ ｒ ， Ｆ ． Ｂ ． ， Ｔ ｈ ｅ Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｃ ｒ ｉ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ｓ ｃ ｈ ｒ ６ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ Ｈ。 ，
２ ０１ ４，ａ ｒ Ｘｉ ｖ：１ ４ ０ ３． ２ ９１ ３ ．
［ ４ 】 Ｗａ ｎ ｇ ， Ｂ． ｘ ． ａ ｎ ｄ Ｈｕ ｄ ｚ ｉ ｋ ， Ｈ． ， Ｔ ｈ ｅ ｇ ｌ ｏ ｂ ａ ｌ Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ Ｎ Ｌ Ｓ ａ ｎ ｄ ＮＬ ＫＧ ｗ ｉ ｔ ｈ ｓ ｍａ ｌ ｌ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｄ ａ ｔ ａ ， Ｊ ．
Baidu Nhomakorabea
Ｎ ｏｎｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ｄｉ ｓ ｐｅ ｒ ｓ ｉ ｖｅ Ｗ ａ ｖ ｅ Ｅｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｓ
Ｗ Ａ Ｎ Ｇ Ｂａ ｏ ｘｉ ａ ｎ ｇ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ， Ｐｅ ｋ ｉ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｂｅ ｉ ｊ ｉ ｎ ｇ １ ０ ０ ８ ７ １ ， Ｐ． Ｒ． Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
第４ ４ 卷第４ 期
２ ０ １ ５ 年７ 月
数 学 进 展
Ａ Ｄ Ｖ Ａ Ｎ Ｃ Ｅ Ｓ Ｉ Ｎ ＭＡ Ｔ Ｈ Ｅ ＭＡ Ｔ Ｉ Ｃ Ｓ （ Ｃ Ｈ Ｉ Ｎ Ａ ）
Ｖ ｏ１ Ｊ ４４．Ｎ Ｏ． ４ Ｊｕｌ ｙ，２ ０１ ５
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． １ １ ８ ４ ５ ／ ｓ ｘ ｊ ｚ ． ２ ０ １ ５ ０ ０ １ ｅ
给定 Ｕ ０∈Ｍ２ ， １ ＼ Ｈ （ ０＜￡《 １ ） 且 ｌ ｌ ０ ｌ ｌ Ｍ ２ ． 《 １ ， 容易知道 ｌ ｌ ｕ ０ １ Ｉ ／ ： ／ ＝ ∞．对初值做
ｓ ｃ ａ ｌ ｉ ｎ ｇ ， 令 ０ Ａ ＝ 詈 ０ （ ・ ） ． 当 》 １时， 可得 到
ｌ ０ ｉ Ａ ｌ ｌ Ｌ 。 。 》１ ， Ｉ Ｉ ｕ ０ Ａ ｌ ｌ 卣 ＝。 。 ， Ｖ ｓ ８ Ｑ ． 由（ １ ） 在ｓ ｃ ａ ｌ ｉ ｎ ｇ下保持不变 ， 对 初值 Ｕ Ｏ Ａ（ 》 １ ） ， 结合定理 ４得到 推论 １ 设 ｓ ＞１ ． 存在初值 ｕ ０∈Ｍ２ ， １ 满足 Ｉ Ｉ ￣ ｏ １ １ － 。 ＝。 。 ， Ｖ ｓ Ｓ ，Ｉ Ｉ ｕ ０ 。 。 》１ 使得 （ １ ） 在 整 体适定．
能量超临界的非线性色散波方程 的问题
王保祥
（ 北京大学数学科学学院， 北京， １ ０ ０ ８ ７ １ ）
关键词：非线性色散波方程； 能量超临界； 整体适定性
Ｍ Ｒ（ ２ Ｏ ｌ ０ ） 主题分类：３ ５ Ｑ ５ ５／中图分类号 ：Ｏ １ ７ ５ ． ２ ９ 文献标识码：Ａ 文章编号：ｉ ０ ０ ０ — ０ ９ １ ７ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ４ — ０ ６ ３ ８ — ０ ２
时， （ ２ ） 的解在 日 ｎ×日 ａ 是整体适定的．
收稿 日期： ２ ０ １ ５ ０ ６ — ２ ６ ．
Ｅ— ｍ ａｉ ｌ ：ｗ ｂ ｘ＠ｍ ａ ｔ ｈ． ｐ ｋｕ． ｅ ｄｕ ． ｃ ｎ
４ 期
王保祥 ：能量超临界的非线性色散波方程的问题
６ ３ ９
数值计算结果表明， 在能量超临界的情况下， 大初值的局部解无明显的破裂现象．到 目 前为 止， 研 究小初值适定性 ， 本质上 不依赖于方程 的守恒律或先验估计 ． 研 究任意大初值 的适 定性 ， 目 前 的方 法都依赖 于先证 明局部适定性 ， 然后利用方程 的守恒律 或先验估计得 到整体适定 ．比如当 ８ ＝ １时， 守恒律 恰好给 出解在 日 中的上界； 而当 ８ 。＞ １时， 守恒律 或 已知的先验估计 已经 不 能给我们提供解在 日 ａ的上界 ．现有的方法不 能完全适用于研 究能量超 临界 的情形 ， 这也是 为 什么能量超 临界情形 困难的主要原 因之一． 本文 我们提出下面 的问题 ： 问题 ｌ 当８ 。＞１时， （ １ ） 的任 意大 初值的解在 日 （ 或在其他合理 的空间） 是 否整 体适定？ 对 方程 （ ２ ） 和 其他的色散波方程 ， 也 有一样 的问题 ．对 上面的 问题 ， 我 们的认识是 非常有限 的， 对Ｎ Ｌ Ｗ（ ２ ） ， 最近 ［ ３ ］ 得到下面的结果： 定理 ３ 设 ｎ＝３ ， ＝６ ． 设 Ｍ》１ ． 则存在初 值 （ Ｕ ０ ， Ｕ １ ） ∈Ｃａ ｘ ｏ 。满足
Ｋｅ ｙｗ ｏｒ ｄｓ ： ｎ ｏ ｎｌ ｉ ｎｅ ａ ｒ ｄ ｉ ｓ ｐｅ ｒ ｓ ｉ ｖ ｅ ｗａ ｖ ｅ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ；ｅ ｎ ｅ ｒ ｇ ｙ ｓ ｕ ｐｅ ｒ — ｃ ｒ ｉ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｃ ａ ｓ ｅ ；ｇ ｌ ｏ ｂａ ｌ ｗｅ ｌ ｌ － ｐｏ ｓ ｅ ｄｎｅ ｓ ｓ
记ｓ 。 ： ＝罟 一寻 ． 容易 看出， Ｕ Ａ （ ０ ， ． ） 在膏 ａ中 保持范 数不 变． 我们 通常称 日 ａ 为（ １ ） 的临 界空
间．ｓ ＝ １时守恒律恰好给 出解在 膏 中的上界， 此 时我们称之为能量 临界 的情形 ； ｓ ＞ １（ 即
＞
且 凡 ３ ）时我们称之为 能量超 临界的情形． 类 似可定义 （ ２ ） 的能量临界和超临界情况 ．
Ｄ ｉ ｆｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ Ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ， ２ ０ ０ ７ ， ２ ３ ２ （ １ ） ： ３ ６ — ７ ３ ．
Ａｎ Ｏ ｐｅ ｎ Ｐｒ ｏ ｂｌ ｅ ｍ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈｅ Ｅｎｅ ｒ ｇ ｙ Ｓｕｐｅ ｒ — ｃ ｒ ｉ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ
Ｎｏ ｎｌ ｉ ｎｅ ａ ｒ Ａｎａ １ ． ，１ ９ ９ ０，１ ４：８ ０ ７ － ８ ３ ６．
［ ２ 】 Ｌ ｉ ｏ ｎ ｓ ， Ｊ ． Ｌ ． 著， 郭柏灵， 汪礼祁译， 非线性边值问题的一些解法， 广州： 中山大学出版社， １ ９ ９ ２ ． 【 ３ 】 Ｋｒ ｉ ｅ ｇ ｅ ｒ ， Ｊ ． ａ ｎ ｄ Ｓ ｃ ｈ ｌ ａ ｇ ， Ｗ． ， Ｌ ａ ｒ ｇ ｅ ｇ ｌ ｏ ｂ ａ ｌ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ ｒ ｅ ｎ ｅ ｒ ｇ ｙ ｓ ｕ ｐ ｅ ｒ ｃ ｒ ｉ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｗ ａ ｖ ｅ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｎ Ｒ ０ ＋ １ ，
的 已知函数． 为 了简化 主要 问题 ， 我们总假定 为偶数．（ １ ） 和 （ ２ ） 分别 满足下面的守恒律 ：
ｌ ｌ 札 ） ｌ Ｌ 。 （ Ｒ ） ＝ Ｉ Ｉ ￣ ｏ ｌ ｌ Ｌ 。 （ Ｒ ） ， Ｅ ｓ （ ｕ （ ） ） ： ＝ 去 ｌ ｌ （ ｔ ） Ｉ ｌ 。 （ Ｒ ） ＋ １ Ｉ “ ｒ （ ｔ ） ｌ （ Ｉ 豫 ） ： Ｅ ｓ （ ｕ 。 ） ；
非线性色散波方程， 典型如 非线性 Ｓ ｃ ｈ ｒ ６ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ方程 （ Ｎ Ｌ Ｓ ） 和非线性波 动方程 （ Ｎ Ｌ Ｗ） ｉ ｕ ｔ —Ａｕ＋Ｉ ｕ ｌ “＝０ ， ， ． “ （ ０ ， ） ＝札 ０ （ ） ， ＂ ｂ ｔ ｔ ｔ —Ａｕ＋ｆ Ｉ ＝０ ， （ ０ ， ） ＝ｆ “ ｏ （ ） ， ｕ ｔ （ ｏ ， ） ＝ｕ ｌ （ ｘ ） （ １ ）