2010年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习

1设(,)d x y 为空间X 上的距离，证明)
,(1)
,(),(___
y x d y x d y x d +=
是X 上的距离P214-1
2、求[]1,1C -线性泛函0
1
1
()()()f x x t dt x t dt -=-⎰⎰的范数。

P235-2
3、设12,,,n e e e 为内积空间X 规范正交系，证明：X 到{}12,,,n span e e e 的投影算子P 为()1,,n
v v v Px x e e x X ==∈∑。

P265-8
4、设U 是Hilbert 空间[]20,2L π中如下定义的算子：
()()()[]2,0,2it Uf t e f t f L π=∈
证明：U 是酉空间。

P266-17
5、设X 是赋范线性空间，Z 是X 的线性子空间，0x X ∈，又0(,)0d x Z >，证明存在
'f X ∈，满足条件：
1）当x Z ∈时，()0f x =； 2）00()(,)f x d x Z = ； 3） 1f = 。

P294-2
6、设是12{,,,}n y ηηη= 一列复数，若对任何120{,,,}n x C ξξξ=∈ ，级数1j j j ηξ∞
=∑都
收敛，证明：1y l ∈。

P295-9
7、设 X ，Y ，Z 为三个度量空间，f 是X 到Y 中的连续映射，g 是Y 到Z 中的连续映射，证明复合映射))((())(.(x f g x f g =是X 到Y 中的连续映射P215-12 8 设[0,1],()()(),X C Ax t tx t x X ==∈。

证明()[0,1]A σ=,且其中没有特征 值. P319-1
1、X 是度量空间，证明f 是连续映射的充要条件是对每个实数c ，集合
})(,|{c x F X x x ≤∈和集合})(,|{c x F X x x ≥∈都是闭集 P215-13
2、设0C 表示极限为0 的实数列全体，按通常的加法和乘法，以及sup i i
x ξ=，
()12n x ξξξ= ，，，构成Banach 空间，证明：()10C l '=。

P236-8
3、设X 和Y 为Hilbert 空间，A 是X 到Y 中的有界线性算子，()A 和()A ℜ分别表示算子A 的零空间和值域，证明()A = ()A ⊥
*ℜ，()A *= ()A ⊥
ℜ，()()A A ⊥
*ℜ= ，
()()A A *⊥ℜ= P265-11
4、设X 是内积空间，X *是它的共轭空间，z f 表示λ上线性范函z f x z =，，若X 到X *的映射z F z f →：是一一到上的映射，则X 是Hilbert 空间。

P265-10
5、设(),(1,2,)n T X Y n ∈B →= ，其中X 是Banach 空间，Y 是赋泛线性空间，若对每个x X ∈，{}n T x 都收敛，令lim n n Tx T x →∞
=，证明T 是X 到Y 中有界线性算子，并且
lim n
n T T →∞
≤。

P295-12
6、证明 ：在完备度量空间X 中成立闭球套定力，即若
{(,)},v v v S x d x x ε=≤ 1,2
,v = 且 12,n S S S ⊃⊃⊃⊃
0()v v ε→→∞， 则存在唯一的1
v v x S ∞
=∈ ；反之，
若在度量空间X 中成立闭球套定理，则X 是完备度量空间。

P295-8
7、证明点列{n f }按题2中距离收敛与],[b a C f ∞∈的充要条件为n f 的各阶导数在[,]a b 上一致收敛于f 的各阶导数。

P215-5
8、设[0,2],()()(),.it
X C Ax t e x t x X π==∈，证明：(){1}A σλλ==。

P319-2
1、设X 为完备度量空间，A 是X 到X 中的映射，记),()
,(sup 11x x d x A x A d a n n z
x n ≠=
若∞<∑∞
=n n a 1，则映射A 有唯一不动点。

P216-17
2、按范数max j j
x ξ=，()12,,n x ξξξ= 成赋范线性空间，问n R 的共轭空间是什么？
P236-8
3、设X 是Hilbert 空间，M X ⊂，并且 M ≠∅，证明()M ⊥
⊥是X 中包含M 的最小闭
子集 。

P265-6
4、设T 为Hilbert 空间X 上正常算子，T A iB =+为T 的笛卡儿分解，证明：
()
12
22T
A B =+
()
22
2T T =。

P265-15
5、设()f t 是[,]a b 上的L 可测函数，1p ≥，若对一切[,]p g L a b ∈，函数()()f t g t 都在[,]
a b 上L 可积，则[,]q f L a b ∈，其中
11
1p q
+=。

P295-10 6、用闭图像定理证明逆算子定理。

P296-19
7、X 为距离空间，A 为X 中子集，令,.),,(inf )(X x y x d x f A
y ∈=∈证明)(x f 是X 上连续函
数。

P215-10
8、设1T 是 1X 到2X 的全连续算子，2T 是2X 到3X 的有界线性算子，则21T T 是1X 到3
X 的全连续算子。

P319-10
2010年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习4
1、证明 ∞l 与C （0，1]的一个子空间等距同构。

P216-16
2、设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子，若T 的零空间是闭集，T 是否一定有界？P236-6
3、证明：A 是实内积空间X 上的自伴算子时，0A =的充要条件是对所有x X ∈，成立
(),0Ax x =。

P266-10
4、设X 是实内积空间，若222
x y x y +=+，则x y ⊥，当X 是复内积空间时，这个结论是否依然成立？P265-4
5、证明：(1)p l p >中点列()()
12{,,}n n n x ξξ= ，1,2,n = 。

弱收敛于12{,,}p x l ξξ=∈ 的
充要条件为sup n n
x <∞，且对每个k ，()lim n k k n ξξ→∞
=。

P296-16
6、设A 及B 是定义在Hilbert 空间X 上的两个线性算子，满足，
,,Ax y x By =
其中,x y 为X 中任意向量，证明A 是有界算子。

P296-20
7、设F 是n 维欧几里得空间n R 的有界闭集，A 是F 到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何F y x ∈,)(y x ≠，有),(),(y x d Ay Ax d <。

证明映射A 在F 中存在唯一的不动点。

P216-17
8、设A 是Hilbert 空间H 上的有界线性算子，*A 为A 的共轭算子，证明
(*){()}()A A A σλλσσ=∈=。

P319-9
2010年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习5
1、设C 为一切收敛数列所组成的空间，其中的线性运算与通常序列空间相同。

在C 中令,}{,sup C x x x x n i i
∈==证明：C 是可分的Banach 空间。

P217-25
2、证明：()p q l l '=，其中 11
1p q
+=，1,1p q >>。

P230-例2
3、设T 是Hilbert 空间X 中的有界线性算子，1T ≤，证明：
{}x Tx x = {}x T
x x *
==。

P265-12
4、设H 是Hilbert 空间。

M 是H 的闭子空间，则M 为H 上某个非零连续线性范函的零空间的 充要条件是M ⊥是一维子空间。

P265-14
5、设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中k 个线性无关向量，12,,,n ααα 是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件： （1） (),1,2,,
v v f x v k α== ,
(2 ) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,k t t t ，
1
1
k
k
v v
v v
v v t M
t x
α
==≤∑∑
都成立。

P294-1
6、设X 是线性空间，1x 和2x 是X 上两个范数，若X 按1x 及2x 都完备，并且由点列{}n x 按1x 收敛于0，必有按2x 也收敛于0，证明存在正数a 和b ，使
121a x x b x ≤≤。

P296-17
7证明第一节中空间S ，()B A 以及离散的度量空间都是完备的度量空间P215-15 8、设A 是为Banach 空间X 上的有界线性算子，则当A λ>时，1
1
0()n
n n A R A I λλλ
∞
-+==-=∑
，
1
R A
λλ≤
-。

P319-7。