相似原理和量纲分析

p v
2、方程量纲一致性 一个合理的物理方程等号两端的量纲必须相 同。
1 2 s V0t at 2
L L LT 1T L LT 2 T 2 L
-----方程两端具有相同量纲
量纲式中各基本量纲指数均为零-----无量纲量。
二、瑞利法
1.定义： 根据量纲量一致性原则，确定相关 量的函数关系。 假定物理量y是x1、x2等的函数。则
Fm mVm vm t m 3 1 2 2 kF k kl kv kt k kl kv Fp pV p v p t p
kF 1 2 2 k k l kv
或
Fp Fm 2 2 m lmvm p lpvp
第五章 相似原理和量纲分析
令：
F
l v
2 2
例如： 粘滞力相似：由 Re m Re p 得
vm l m
m

v pl p
m p
p
vm l p 1 v p lm kl
重力相似：由 Frm Frp 得
vm g m lm vp g pl p
gm g p
lp vm 1 vp lm kl
由此可以看出，有时要想做到完全相似是不 可能的，只能考虑主要因素做近似模型实验。
Fr-弗劳得数，惯性力与重力的比值。
第五章 相似原理和量纲分析
压力相似准则
在压力作用下相似的流动，其压力场相似。 F pm Pm Am 2 kF k p kl F pp Pp Ap
代入
kF 1 2 2 k kl k v
kp k k
2 v
1
pp pm Eu 2 2 m vm p v p Eu-欧拉数，压力与惯性力的比值。
Vp
第五章 相似原理和量纲分析
2.运动相似（时间相似）
运动相似是指：模型与原型的流场中所有对应点上 对应时刻的流速方向相同，且对应流速的大小的比 例相等，即它们速度场相似。
原型
模型
第五章 相似原理和量纲分析
速度比例系数： 时间比例系数：
vm kv C vp
tm kt tp
vm t m kv ka v p t p kt
Ne
Ne称为牛顿数， 它是作用力与惯 性力的比值。
Ne称为牛顿数，它是某种作用力与惯性力的比值， 是无量纲数。由此可知，模型与原型的流场动力相似， 它们的牛顿数必相等。 作用在流体微团上的作用力有各种性质的力，如重 力、粘滞力、压力等，根据上式可导出单项力相似准 则。
第五章 相似原理和量纲分析 一、粘滞力相似准则
an a2 a3 y kx1a1 x2 x3 ......xn
关键的问题是怎么根据量纲一致性原则确 定各个x的指数。
2. 举例：
【例】 已知三角堰流的流量 qv 主要与堰顶水头 H 、三角堰 堰角 、流体密度 和重力加速度 g 有关，试用瑞利法导出三 角堰流量的表达式。
三角堰
【解】 按照瑞利法可以写出体积流量
油池的最小油深为
hmin h'min 5 50 250 （mm） Cl
第四节 近似模拟试验
完全相似和不完全相似
动力相似可以用相似准则数表示，若原型和 模型流动动力相似，各同名相似准数应均相等， 如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上， 不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了 甲，不一定就能满足乙。所以通常考虑主要因 素忽略次要因素，只能做近似的模型实验。
m p
p
vm l p 1 v p lm kl
因为：
kl 1
20
vm 50m / s
所以：
v p 2.5m / s
返回
第五章 相似原理和量纲分析 2）设模型比例尺为1:100，符合重力相似准则， 如果模型流量为100 cm3/s ，则原型流量为多 少 cm3/s ? A：0.01 C：10 答案: c B：1000 D：10000
3 2 2 2
kF km ka (k kl )( kl kt ) k kl kv
第五章 相似原理和量纲分析
综上所述：
在做模型试验时，要想使两个流动相似必须在几何
相似、运动相似和动力相似三个方面都得到满足。
实际应用中，并不能用定义来检验流动是否相似，
因为通常原型的流动是未知的。
第五章 相似原理和量纲分析
小结
1.相似理论的提出：相似理论的作用是什么？ 2.流动相似的概念：两流动相似的条件是什么？
3.相似准则：为什么应用相似准则？怎么用？
第三节
流动相似条件
流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量 都成比例。 相似流动必然满足以下条件：



1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应 点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述； 2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即 流动满足单值条件； 3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动 相似也必须满足的条件。
2

d
2
1 2
1 v 5
5 2
qV
0.14 0.0025 （m 3 s） 55.9
由雷诺数相等可得模型内液体的运动粘度为
v' d ' 1 v' v vd 5
3 2
7.5 10 5 6 v 6.708 10 （ m 2 s） 11.18
几何相似是指模型与原型的全部对应线性长度成比 例，且对应的特征角度相等。
lm C 长度比例系数： kl lp
模型流动用下标 模型流动用下标 m 表示 m 表示 原型流动用下标 p 原型流动用下标 p 表示 表示
面积比例系数： k A
Am kl2 Ap
体积比例系数： kV Vm kl3
在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。 Fm m dv m d ym Am kF k kv k l Fp p dv p d yp Ap


kF 1 代入 2 2 k k l kv
vm l m v p l p kv k l 1 Re m p ku k Re－雷诺数，惯性力与粘滞力的比值。
同时还有,如质量量纲[M]，力的量纲[F]等。 基本量纲-----相互独立，不相互依赖，如[M]， [L]，[T]等。 导出量纲-----由基本量纲导出,如
密度：dim =ML-3 压强：dim p =ML-1T-2 速度：dim v =LT-1 -2 加速度：dim a =LT 2 -1 运动粘度：dim =L T -2 力：dim F =MLT 表面张力：dim =MT-2 体积模量：dim K =ML-1T-2 动力粘度：dim =ML-1T-1 2 -2 -1 比定压热容：dim c L T 2 -2 -1 比定容热容：dim c L T 2 -2 -1 气体常数：dim R = L T
第五章 相似原理和量纲分析
3.应用举例
采用模型中流体与原型中相同，模型中流 速为50m/s，则原型中流速为多少？
查看答案
1）如果模型比例尺为1:20，考虑粘滞力相似，
第五章 相似原理和量纲分析 解：由粘滞力相似准则知模型与原型中的雷诺 数应相等： Re m Re p
雷诺数：
vm lm
m

v pl p
1
油池模型
【解】按长度比例尺得模型输出管内径
d ' Cl d 250 50 （mm） 5
在重力场中 g ' g ， 由弗劳德数相等可得模型内液体的流 速和流量为
h' v' h
1 2
1 v 5
1 2
v
1 q 'V d ' v' 4 4 5 5
kv kl kt1 ka kl kt2
加速度比例系数：
由上述比例系数可推出：
第五章 相似原理和量纲分析
3.动力相似
动力相似是指模型与原型的流场所有对应点上作用在 流体微团上的各种力彼此方向相同，且它们大小的比 例相等，即它们的动力场相似。 力比例系数： 也可写成：
Fm kF C Fp
模型实验主要解决的问题 ：


1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质； 2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量； 3．用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程 式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。
【例】 如图所示，为防止当通过油池底部的管道向外输油时， 因池内油深太小，形成油面的旋涡将空气吸入输油管。需要通 过模型实验确定油面开始出现旋涡的最小油深 hmin 。已知输油管 内径 d=250mm，油的流量 qv=0.14m3/s，运动粘度 7.5 10 5 m 2 s 。 倘若选取的长度比例尺 C 1 5 ，为了保证流动相似，模型输出管 的内径、模型内液体的流量和运动粘度应等于多少？在模型上 测得 h' min 50mm ，油池的最小油深 hmin 应等于多少？
第五节 量纲分析法
一、物理方程量纲一致性原则
1、 量纲 量纲是物理量的一种本质属性，是同一物理 量各种不同单位的集中抽象。
如： s单位：km，m，cm，mm 等 t单位：hour，min，second 等 s-----具有长度的量纲[L] V-----具有速度的量纲 t-----具有时间的量纲[T] [L] [V] [T]
k kv k l
第五章 相似原理和量纲分析
二、 重力相似准则
在重力作用下相似的流动，其重力场相似。
kF
Fgm Fgp
mVm gm 3 k kl k g pV p g p
kF 1 代入 2 2 k k l kv
kv 1 12 kl k g
vp vm 12 1 2 Fr g m l m g p l p
第五章 相似原理和量纲分析
第一节 流动的力学相似
一、流动相似的概念
一个流动某点的运动参数由另一个流动相应点
的同名参数乘以对应点均相同的因子得到，称两 流动相似。 A vA kv A’
A
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B 原型
vB
模型
kvB B’
具体的说两流动相似应满足几何相似、运动相似和动 力相似三个条件。
第五章 相似原理和量纲分析 1.几何相似
以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流 动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件 是几何相似、运动相似和动力相似。 前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足 以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原 型设备中去。
在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准 则，即称之为局部相似。如上面的粘性不可压定常流动 的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘 性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因而模型尺寸 和介质的选择就自由了。 有压粘性管流中，当雷诺数大到一定数值时，继 续提高雷诺数，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎 不再变化，沿程能量损失系数也不再变化，雷诺准则 已失去判别相似的作用。称这种状态为自模化状态， 称自模化状态的雷诺数范围为自模化区。
第五章 相似原理和量纲分析
第二节 动力相似准则
什么是相似准则？
bP aP am
bm
两个矩形要相似必满足：
aP bP am bm
aP am * L bP bm
相似准 则数
第五章 相似原理和量纲分析 动力相似准则的推导
流体的运动必须符合牛顿第二律 F ma ，对模 型和原型流场中的流体微团应用牛顿第二定律，并 根据动力相似，各种力大小的比例相等，可得：
第五章 相似原理和量纲分析 三、其它的相似准则数
①弹性力相似准则
对于可压缩流体的模型试验，由压缩引起的 弹性力场相似。（Ca——柯西数 Ma——马赫数， 惯性力与弹性力的比值）。
②非定常相似准则
对于非定常流动的模型试验，模型与原型的 流动随时间的变化必相似。（Sr—— 斯特劳哈尔 数，当地惯性力与迁移惯性力的比值）。
第五章 相似原理和量纲分析
相似原理的提出
流体力学理论的检验依赖于流体力学试验； 流体力学的模型实验：工程实际需要的流体力
学试验一般很难在实物上进行。
飞机风洞试验 水利大坝试验 汽车风洞试验 轮船水洞试验
第五章 相似原理和量纲分析
怎么做模型试验？
1. 如何根据实物正确的设计和布置模型实验？ 2. 模型实验的结果如何推广到原型上去，并 进行推广应用？