相似原理和量纲分析

Vp
第五章 相似原理和量纲分析
2.运动相似（时间相似）
运动相似是指：模型与原型的流场中所有对应点上 对应时刻的流速方向相同，且对应流速的大小的比 例相等，即它们速度场相似。
原型
模型
第五章 相似原理和量纲分析
速度比例系数： 时间比例系数：
vm kv C vp
tm kt tp
vm t m kv ka v p t p kt
第五章 相似原理和量纲分析 三、其它的相似准则数
①弹性力相似准则
对于可压缩流体的模型试验，由压缩引起的 弹性力场相似。（Ca——柯西数 Ma——马赫数， 惯性力与弹性力的比值）。
②非定常相似准则
对于非定常流动的模型试验，模型与原型的 流动随时间的变化必相似。（Sr—— 斯特劳哈尔 数，当地惯性力与迁移惯性力的比值）。
同时还有,如质量量纲[M]，力的量纲[F]等。 基本量纲-----相互独立，不相互依赖，如[M]， [L]，[T]等。 导出量纲-----由基本量纲导出,如
密度：dim =ML-3 压强：dim p =ML-1T-2 速度：dim v =LT-1 -2 加速度：dim a =LT 2 -1 运动粘度：dim =L T -2 力：dim F =MLT 表面张力：dim =MT-2 体积模量：dim K =ML-1T-2 动力粘度：dim =ML-1T-1 2 -2 -1 比定压热容：dim c L T 2 -2 -1 比定容热容：dim c L T 2 -2 -1 气体常数：dim R = L T
第五章 相似原理和量纲分析
3.应用举例
采用模型中流体与原型中相同，模型中流 速为50m/s，则原型中流速为多少？
查看答案
1）如果模型比例尺为1:20，考虑粘滞力相似，
第五章 相似原理和量纲分析 解：由粘滞力相似准则知模型与原型中的雷诺 数应相等： Re m Re p
雷诺数：
vm lm
m

v pl p
油池的最小油深为
hmin h'min 5 50 250 （mm） Cl
第四节 近似模拟试验
完全相似和不完全相似
动力相似可以用相似准则数表示，若原型和 模型流动动力相似，各同名相似准数应均相等， 如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上， 不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了 甲，不一定就能满足乙。所以通常考虑主要因 素忽略次要因素，只能做近似的模型实验。
在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。 Fm m dv m d ym Am kF k kv k l Fp p dv p d yp Ap


kF 1 代入 2 2 k k l kv
vm l m v p l p kv k l 1 Re m p ku k Re－雷诺数，惯性力与粘滞力的比值。
第五章 相似原理和量纲分析
相似原理的提出
流体力学理论的检验依赖于流体力学试验； 流体力学的模型实验：工程实际需要的流体力
学试验一般很难在实物上进行。
飞机风洞试验 水利大坝试验 汽车风洞试验 ห้องสมุดไป่ตู้船水洞试验
第五章 相似原理和量纲分析
怎么做模型试验？
1. 如何根据实物正确的设计和布置模型实验？ 2. 模型实验的结果如何推广到原型上去，并 进行推广应用？
几何相似是指模型与原型的全部对应线性长度成比 例，且对应的特征角度相等。
lm C 长度比例系数： kl lp
模型流动用下标 模型流动用下标 m 表示 m 表示 原型流动用下标 p 原型流动用下标 p 表示 表示
面积比例系数： k A
Am kl2 Ap
体积比例系数： kV Vm kl3
第五章 相似原理和量纲分析
第二节 动力相似准则
什么是相似准则？
bP aP am
bm
两个矩形要相似必满足：
aP bP am bm
aP am * L bP bm
相似准 则数
第五章 相似原理和量纲分析 动力相似准则的推导
流体的运动必须符合牛顿第二律 F ma ，对模 型和原型流场中的流体微团应用牛顿第二定律，并 根据动力相似，各种力大小的比例相等，可得：
kv kl kt1 ka kl kt2
加速度比例系数：
由上述比例系数可推出：
第五章 相似原理和量纲分析
3.动力相似
动力相似是指模型与原型的流场所有对应点上作用在 流体微团上的各种力彼此方向相同，且它们大小的比 例相等，即它们的动力场相似。 力比例系数： 也可写成：
Fm kF C Fp
以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流 动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件 是几何相似、运动相似和动力相似。 前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足 以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原 型设备中去。
在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准 则，即称之为局部相似。如上面的粘性不可压定常流动 的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘 性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因而模型尺寸 和介质的选择就自由了。 有压粘性管流中，当雷诺数大到一定数值时，继 续提高雷诺数，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎 不再变化，沿程能量损失系数也不再变化，雷诺准则 已失去判别相似的作用。称这种状态为自模化状态， 称自模化状态的雷诺数范围为自模化区。
p v
2、方程量纲一致性 一个合理的物理方程等号两端的量纲必须相 同。
1 2 s V0t at 2
L L LT 1T L LT 2 T 2 L
-----方程两端具有相同量纲
量纲式中各基本量纲指数均为零-----无量纲量。
二、瑞利法
1.定义： 根据量纲量一致性原则，确定相关 量的函数关系。 假定物理量y是x1、x2等的函数。则
Fr-弗劳得数，惯性力与重力的比值。
第五章 相似原理和量纲分析
压力相似准则
在压力作用下相似的流动，其压力场相似。 F pm Pm Am 2 kF k p kl F pp Pp Ap
代入
kF 1 2 2 k kl k v
kp k k
2 v
1
pp pm Eu 2 2 m vm p v p Eu-欧拉数，压力与惯性力的比值。
m p
p
vm l p 1 v p lm kl
因为：
kl 1
20
vm 50m / s
所以：
v p 2.5m / s
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第五章 相似原理和量纲分析 2）设模型比例尺为1:100，符合重力相似准则， 如果模型流量为100 cm3/s ，则原型流量为多 少 cm3/s ? A：0.01 C：10 答案: c B：1000 D：10000
模型实验主要解决的问题 ：


1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质； 2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量； 3．用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程 式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。
【例】 如图所示，为防止当通过油池底部的管道向外输油时， 因池内油深太小，形成油面的旋涡将空气吸入输油管。需要通 过模型实验确定油面开始出现旋涡的最小油深 hmin 。已知输油管 内径 d=250mm，油的流量 qv=0.14m3/s，运动粘度 7.5 10 5 m 2 s 。 倘若选取的长度比例尺 C 1 5 ，为了保证流动相似，模型输出管 的内径、模型内液体的流量和运动粘度应等于多少？在模型上 测得 h' min 50mm ，油池的最小油深 hmin 应等于多少？
1
油池模型
【解】按长度比例尺得模型输出管内径
d ' Cl d 250 50 （mm） 5
在重力场中 g ' g ， 由弗劳德数相等可得模型内液体的流 速和流量为
h' v' h
1 2
1 v 5
1 2
v
1 q 'V d ' v' 4 4 5 5
2

d
2
1 2
1 v 5
5 2
qV
0.14 0.0025 （m 3 s） 55.9
由雷诺数相等可得模型内液体的运动粘度为
v' d ' 1 v' v vd 5
3 2
7.5 10 5 6 v 6.708 10 （ m 2 s） 11.18
第五章 相似原理和量纲分析
第一节 流动的力学相似
一、流动相似的概念
一个流动某点的运动参数由另一个流动相应点
的同名参数乘以对应点均相同的因子得到，称两 流动相似。 A vA kv A’
A
B 原型
vB
模型
kvB B’
具体的说两流动相似应满足几何相似、运动相似和动 力相似三个条件。
第五章 相似原理和量纲分析 1.几何相似
k kv k l
第五章 相似原理和量纲分析
二、 重力相似准则
在重力作用下相似的流动，其重力场相似。
kF
Fgm Fgp
mVm gm 3 k kl k g pV p g p
kF 1 代入 2 2 k k l kv
kv 1 12 kl k g
vp vm 12 1 2 Fr g m l m g p l p
Ne
Ne称为牛顿数， 它是作用力与惯 性力的比值。
Ne称为牛顿数，它是某种作用力与惯性力的比值， 是无量纲数。由此可知，模型与原型的流场动力相似， 它们的牛顿数必相等。 作用在流体微团上的作用力有各种性质的力，如重 力、粘滞力、压力等，根据上式可导出单项力相似准 则。