江苏省南通中学高二数学上学期期末考试试题苏教版

18．（本小题共 16 分）
（理） 已知数列 { an } 的前 n 项和 Sn 2n an (n N ) ．
（ 1）计算数列 { an} 的前 4 项； （ 2）猜想数列 { an} 的通项公式，并用数学归纳法证明． （文） 求证： 1， 2 ，3 不可能是一个等差数列中的三项．
19．（本小题共 16 分） 已知函数 f (x) 4x3 3tx2 6t 2x t 1 ，其中 x R ， t R ． （ 1）当 t 0 时，求 f (x) 的单调区间； （ 2）证明：对任意的 t (0, ) ，函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内均存在零点．
得 Sk 1 ak 1 2( k 1) 2ak 1 ，
所以 ak 1
1 [2(k 2
1)
Sk ]
k 1 1 2k 2
因此，当 n k 1 时，等式也成立．
由①②可知， an
2n 2n
1
1
对
n
N* 均成立．
2k 1 2k 1
2k 1 1 ． 2( k 1) 1
（文）证明： 假设 1， 2 ， 3 为同一等差数列中的三项，
4． 曲线 y sin x 在点 ( π, 3 ) 处的切线方程为 32
▲．
5． 如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前
个通项公式为 an
▲．
4 项，则这个数列的一
6． 已知函数 f (x) 的导函数为
f ( x) ，且满足 f ( x)
2
3x
2xf (2) ，则 f (3)
▲．
7．已知复数 z 2 sΒιβλιοθήκη Baidun
a3
a4
2 4 a4 ，得 a4
15 ． 8
（ 2）猜想 an
n
2
n
1
1
．
2
下面用数学归纳法证明：
① n 1 时，左边 a1 1 ，右边
n
1
21 2n 1
21 21 1
1 ，猜想成立．
②假设当 n k 时，猜想成立，即
ak
2k
k
1
1
，此时
Sk
2k ak 2k
2
则当 n k 1 时，由 Sk 1 2( k 1) ak 1 ，
所以，对任意 t (0,2) ， f (x) 在区间 (0,1) 内均存在零点． 综上所述，对任意 t (0, ) ， f ( x) 在区间 (0,1) 内均存在零点．
说明：（ 2）中 f t 2
7 t 3 t 1,t (0,2), 也可通过求导证明其恒小于 0． 4
20．解：（ 1）若 a 1 ，则 f (x) ln x x 1， f ( x) 1
江苏省南通中学 2014— 2015 学年度第一学期期末考试 高二数学答题纸
一、填空题： （本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程 , 请把答案写在 答题纸的指定位置上）
1．
2
．
3．
4
．
5．
6
．
7．
8
．
9．
10
．
11．
12
．
13．
14
．
二、解答题：（ 本大题共 6 小题，计 90 分. 解答应写出必要的文字说明 , 证明过程或演算步骤 ,
同两点，则类似地有
▲ 成立．
14． 若不等式 | ax3－ ln x| ≥１对任意 x (0 ， 1] 都成立，则实数 a 的取值范围是
▲．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请注意文理科类，并在答题．卡．指．定．区．域．． 内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题共 14 分） 已知复数 z a2 7a 6 (a2 5a 6) i （ a R ）． a1 （ 1）求实数 a 为何值时， z 为实数； （ 2）求实数 a 为何值时， z 为虚数； （ 3）求实数 a 为何值时， z 为纯虚数．
所以当 t ＝ 2 百万元时， f ( t ) 取得最大值 4 百万元． 即投入 2 百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2) 设用技术改造的资金为 x( 百万元 ) ，则用于广告促销的资金为 (3 － x)( 百万元 ) ，
则有
g( x) ＝
－
1 3
x3
＋
x2
＋
3x
＋[
－ (3
－ x)
f (0) t 1 0 ， f (1) 6t2 4t 3 ≤ 6 4 4 2 3 0 ，
所以对任意 t [2, ) ， f ( x) 在区间 (0,1) 内均存在零点．
②当 0 t 1 即 0 t 2 时， f ( x) 在 0, t 上单调递减，在 t ,1 上单调递增，
2
2
2
若 t (0,1] ， f t 2
10． 设 P 是函数 y＝ x( x＋1) 图象上异于原点的动点，且该图象 在点 P处的切线的倾斜角为 θ ，则 θ 的取值范围是 ▲ ．
（第 9 题）
11． 已知定义域为 { x | x 0} 的函数 f (x) 对于任意的 x 都满足 f (x) xf (x) 0 ．若 0<a < b，
则 bf ( a) ▲ af ( b) （请从“ >”，“ <”，“ =”中选择正确的一个填写） ． 12． 设直线 y＝ a 分别与曲线 y2＝ x 和 y＝ ex 交于点 M， N，则当线段 MN取得最小值时实数 a
f (1)
7t 3 t 1≤ 7 t3 0 ，
4
4
2
6t 4t 3 ≥ 6t 4t 3 2t 3 0 ．
所以 f (x) 在 t ,1 上存在零点． 2
若 t (1,2) ， f t 2
7t3 t 1 4
7 t 3 1 0 ， f (0) t 1 0 ． 4
所以 f (x) 在 0, t 上存在零点． 2
所以当 x＝ 2 时， g( x) 取最大值，
即将 2 百万元用于技术改造， 1 百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．
18．（理） 解：（ 1）由 a1 2 a1，得 a1 1 ．
由 a1 a2
2 2 a2 ，得 a2
3． 2
由 a1 a2
a3
2 3 a3 ，得 a3
7 4
．
由 a1 a2
x
,t
t, t
t,
2
2
f ( x) +
-
+
f ( x) ↗
↘
↗
所以， f (x) 的单调增区间是
, t , t, 2
，单调减区间是
t, t ． 2
（ 2） 证明： 由（ 1）可知，当 t 0 时， f (x) 在 0, t 上单调递减，在 t ,
2
2
增，以下分两种情况讨论：
上单调递
①当 t ≥ 1即 t ≥ 2 时， f ( x) 在 (0,1) 内单调递减， 2
请把答案写在答题纸的指定区域内） . 15. （ 本题满分 14 分 ）
16. （ 本题满分 14 分 ） 17. （ 本题满分 14 分 ）
18. （ 本题满分 16 分 ） 19. （ 本题满分 16 分 ）
20. （ 本题满分 16 分 ）
江苏省南通中学 2014— 2015 学年度第一学期期末考试 高二数学答案
e1
e1
x
当 x (0,e 1) 时， f ( x) 0 ， f (x) 单调递增；
1． e1
当 x (e 1, ) 时， f ( x) 0 ， f (x) 单调递减．
又因为 f (1) 0， f (e) 0 ，
当 x (0,1) 时， f (x) 0 ；当 x (1,e 1) 时， f ( x) 0 ； 当 x (e 1,e) 时， f ( x) 0 ；当 x (e, ) 时， f ( x) 0 ．
的值为 ▲ ．
13． 已知点
2
2
A(x1, x1 ) ， B( x2, x2 ) 是函数
y
2
x 的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线
段 AB 总是位于 A，B 两点之间函数图象的上方， 因此有结论 x12 x22 2
2
x1 x2 成立 . 2
运用类比思想方法可知若点 A( x1 ,lg x1) ， B(x2,lg x2 ) 是函数 y lg x( x 0) 的图象上的不
2k
k
11．
2
则存在两个不相等的整数 m ， n 以及实数 d ，使得 2 1 md ， 3 1 nd ．
所以 2 1 2m ． n
因为上式左边为无理数，右边为有理数，所以等式不成立， 所以假设不成立，即 1， 2 ， 3 不可能是同一等差数列中的三项．
19．（ 1） 解： f ( x)
2
12 x
（ 1）若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该
公司由此获得的收益最大？
（ 2）现该公司准备共投入 3 百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入
技术改造费 x( 百万元 ) ，可增加的销售额约为－
1 x
3＋
x
2＋
3x(
百万元
)
．请设计一
3
个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．
9． ( , 3) (0, 3)
10．
π 3
，
π 2
2 12．
2 二、解答题：
13． lg x1 lg x2 lg x1 x2
2
2
15．解：（ 1）当 z 为实数时，则
a 2 5a 6 0, 解得 a 6 .
a 1 0,
11． e2
14． a≥ 3
所以，当 a 6 时， z 为实数．
a 2 5a 6 0,
3sin i ，则 z 的取值范围是
▲．
y
8． 若函数 f ( x)
3
x
2
x
mx 2 是 R 上的单调函数，则实数
m的
取值范围为 ▲ ．
9．如图为函数 f (x) ax3 bx2 cx d 的图象， f ( x) 为函数 f (x)
的导函数，则不等式 x f ( x) 0 的解集为 ▲ ．
3O 3
x
（ 2）当 z 为虚数时，则
解得 a 6,a 1 ．
a 1 0,
所以，当 a 6 且 a 1时， z 为虚数．
（ 3）当 z 为纯虚数时，则
a2 5a 6 0,
2
a
7a
6
0, 解得 a
1．
a 1 0,
所以，当 a 1 时， z 为纯虚数．
16．解：（ 1）设曲线 C： y ex a 与直线 y ex 3相切的切点的横坐标为 由 y ex 得切线的斜率 ex1 = e，
6tx
2
6t ，令
f
(x)
0 ，解得 x
因为 t 0 ，以下分两种情况讨论：
t或x
t 2
．
①若 t 0 ，则 t 2
t ，列表如下：
x
,t
t, t
t,
2
2
f ( x) +
-
+
f (x) ↗
↘
↗
所以， f (x) 的单调增区间是
, t , t, 2
②若 t
0 ，则 t
t 2
，列表如下：
，单调减区间是 t , t ． 2
20. （本小题共 16 分） 已知 a R ，函数 f ( x) ln x a( x 1) ， e 为自然对数的底数．
（ 1）若 a e 1 1 ，求函数 y f ( x) 取得极值时所对应的 x 的值；
（ 2）若不等式 f ( x) ≤
ax2 e2
(1 2a ea) x 恒成立，求 a 的取值范围． e
所以 x2 0 ，
所以所求点 P 的坐标为 (1, 3) ，所求距离的最小值为
314 4 2．
2
17．解： (1) 设投入 t ( t 百万元 ) 的广告费后增加的收益为 f ( t )( 百万元 ) ， 则有 f ( t ) ＝ ( －t 2＋5t ) － t ＝－ t 2＋ 4t ＝－ ( t －2) 2 ＋4(0 ＜ t ≤3) ，
16．（本小题共 14 分） 已知曲线 C： y ex a 与直线 y ex 3 相切，其中 e 为自然对数的底数．
（ 1）求实数 a 的值；
（ 2）求曲线 C 上的点 P 到直线 y x 4 的距离的最小值，并求出取得最小值时点
P的
坐标．
17．（本小题共 14 分）
某集团为了获得更大的收益， 每年要投入一定的资金用于广告促销． 经调查投入广告费 t ( 百万元 ) ，可增加销售额约为－ t 2＋ 5t ( 百万元 )(0 ≤ t ≤５) ( 注：收益＝销售额－投放 ) ．
江苏省南通中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试数学试题
一、填空题：本大题共
上．． 1． 计算：
2
2 1i
14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．． ▲．
ln x 2． 函数 f ( x) ＝ x 的单调增区间是
▲．
3． 已知复数 z=(2 － i) i ，则 z 的模为 ▲ ．
2＋ 5(3
－ x)]
－
3
＝－
1 3x
3＋
4
x
＋
3(0
≤
x≤3)
所以 g′（x) ＝－ x2＋ 4. 令 g′（x) ＝ 0，解得 x＝ 2，或 x＝－ 2( 舍去 ) ．
又当 0≤ x＜ 2 时， g′ ( x) ＞ 0，当 2＜ x≤３时， g′（x) ＜ 0． 故 g( x) 在 [0,2] 上是增函数，在 [2,3] 上是减函数．
x1 ，
所以 x1 1 ，所以切点坐标为 (1,e a ) ， 代入直线 y ex 3 得 a 3 .
（ 2）由（ 1）得曲线 C的方程为： y ex 3 ，
当过点 P的切线与直线 y x 4 平行时，点 P 到直线 y x 4 的距离最小，
设点 P 的横坐标为 x2 ，由 y ' ex 得切线的斜率 ex2 =1，