积化和差以及和差化积最简记忆口诀

关于和差化积以及积化和差的两句口诀
sin 和差前后积，cos 和差cos 负sin
一、阐述
1）观察 和差化积 以及 积化和差 公式，找到共同规律，编成最简口诀。

2）“正弦”有“正”字，和“正负号”的“正”字一样，故口诀中必须避免“正”字。

3）口诀的最主要原则是朗朗上口：应如“一价氢氯钾钠银；二价氧钙钡镁锌，三铝四硅五价磷；二三铁，二四碳，二四六硫都齐全……”一般直接明了。

4）口诀中要体现普遍性以及特殊性。

比如两组各自填入的角度模式都是一致的，而特殊点在于都有一条公式是带有负号的。

5）不要纠结于字母αβ，而是进行广义化，犹如小学各种小东西的形象化加减计算；应该更加注重公式的主体部分以及其相对位置。

亦不要给公式进行编号。

注：若是纠结于字母而记忆字母公式，弊端有如你背诵了圆锥曲线各种表达式后遇到考试题目故意颠倒了字母顺序一般难受，亦有如几何分析故意颠倒了坐标系一样尴尬。

二、规律
观察如下积化和差 以及 和差化积公式：
()()1
sin cos =
sin sin 2∆Θ∆+Θ+∆-Θ⎡⎤⎣⎦ ()()1
cos sin =sin sin 2∆Θ∆+Θ-∆-Θ⎡⎤⎣⎦
()()1
cos cos =cos cos 2
∆Θ∆+Θ+∆-Θ⎡⎤⎣⎦ ()()1
sin sin =cos cos 2∆Θ-∆+Θ-∆-Θ⎡⎤⎣
⎦
()()
sin +sin =2sin
cos 2
2
∆+Θ∆-Θ∆Θ
()()
sin sin =2cos
sin 2
2
∆+Θ∆-Θ∆-Θ
()()
cos cos =2cos
cos 2
2
∆+Θ∆-Θ∆+Θ
()()cos cos =2sin sin
2
2
∆+Θ∆-Θ∆-Θ-
最主要的规律：“和必同名，和积互逆”
1）“和必同名”（注：减去一个数相当于加上一个负数，作差本质还是作和，差即是和）
我们看到无论是和差化积还是积化和差公式中，关于“和”那一边只有
sin sin ∆±Θ、cos cos ∆±Θ均没有出现sin cos ∆±Θ、cos sin ∆±Θ
可见关于“和差”其实只有同名函数之间的和差，若是不同名便是辅助角公式的事了。

2）“和积互逆”，和差化积四条公式与积化和差四条公式是一一对应且互逆的，这就为我们记忆公式提供了方便，我们把重点放在和差化积，相对复杂的积化和差也就很容易写出来了。

我们口诀只需记住函数名即可。

至于填入的∆Θ还是他们的加减除2等都是简单的印象记忆罢了。

三、总结公式 “sin 和差前后积，cos 和差cos 负sin ” 1）首先关注sin sin ∆±Θ即“sin 和差”，口诀一“sin 和差前后积”的形象记忆其实是
sin 和 差
| |
前 后 积
我们认为“sin ”是比较“主要的”，所谓的“前后”就是，sin 和cos 相乘时，sin 在前还是在后，如下
()()
sin
cos 2
2
∆+Θ∆-Θ 为 前积 对应 sin 和
()()
cos
sin 2
2
∆+Θ∆-Θ 为 后积 对应 sin 差
由口诀“sin 和差前后积”迅速写出：
()()sin +sin =sin cos ∆Θ sin 和 — 前积 (
)()sin sin =cos sin ∆-Θ sin 差 — 后积
再填入内容可得：
()()
sin +sin =2sin
cos 2
2
∆+Θ∆-Θ∆Θ
()()
sin sin =2cos
sin 2
2
∆+Θ∆-Θ∆-Θ
从而写出积化和差公式中的 前积、后积公式：
()()sin cos =sin +sin ∆Θ (
)()cos sin =sin -sin ∆Θ
再填入内容可得：
()()1
sin cos =
sin sin 2∆Θ∆+Θ+∆-Θ⎡⎤⎣⎦ ()()1
cos sin =sin sin 2
∆Θ∆+Θ-∆-Θ⎡⎤⎣⎦
2）关注cos cos ∆±Θ即“cos 和差”，口诀二“cos 和差cos 负sin ”其形象记忆其实是 cos 和 差 | |
cos -sin 其中关于cos+cos 其公式中，函数名全是cos ()()cos cos =2cos
cos 2
2
∆+Θ∆-Θ∆+Θ cos 和 — cos
而关于cos-cos 其公式中，变换后函数名全是sin 加多一个负号 ()()cos cos =2sin sin 2
2
∆+Θ∆-Θ∆-Θ- cos 差 — 负sin
由口诀“cos 和差cos 负sin ”迅速写出： (
)()cos cos =cos cos ∆+Θ cos 和 — cos ()()cos cos =sin sin ∆-Θ- cos 差 — 负sin
再填入内容可得：
()()
cos cos =2cos
cos 2
2
∆+Θ∆-Θ∆+Θ
()()cos cos =2sin sin
2
2
∆+Θ∆-Θ∆-Θ-
从而写出 cos cos 和 sin sin 化成和差的公式：
()()cos cos =cos +cos ∆Θ (
)()()sin sin =cos cos ∆Θ--
再填入内容即可：
()()1
cos cos =
cos cos 2∆Θ∆+Θ+∆-Θ⎡⎤⎣⎦ ()()1
sin sin =cos cos 2∆Θ-∆+Θ-∆-Θ⎡⎤⎣⎦
四、关于应用
积化和差和差化积公式应用的前提是对规律“和必同名，和积互逆”的把握，看到规律且应用公式后有利于下一步操作的就可以用。

题目千变万化，首先要多默写公式，熟稔于心。

揭阳邱金元纪念中学2014届高三一班
黄国盛
写于2019年12月26日。