2020北京市中考数学专题复习 - 新定义问题

二、重难专题突破

专题九新定义问题(必考)

类型一新定义点与函数问题

(8年4考：2017.29、2015.29、2014.25、2013.25)

1.(2019房山区一模)在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称P为⊙C的关联整点.

(1)当⊙O的半径r＝2时，在点D(2，－2)，E(－1，0)，F(0，2)中，为⊙O的关联整点的是；

(2)若直线y＝－x＋4上存在⊙O的关联整点，且不超过7个，求r的取值范围；

(3)⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若直线y＝－x＋4上存在⊙C的关联整点.求圆心C的横坐标t的取值范围.

第1题图

2. (2019丰台区二模)对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，

B ，使得点P 在射线B

C 上，且∠APB ＝14

∠ACB (0°<∠ACB <180°)，则称P 为⊙C 的依附点. (1)当⊙O 的半径为1时，

①已知点D (－1，0)，E (0，－2)，F (2.5，0)，在点D ，E ，F 中，⊙O 的依附点是 ；

②点T 在直线y ＝－x 上，若T 为⊙O 的依附点，求点T 的横坐标t 的取值范围；

(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点M ，N .若线段MN 上的所有点都是⊙C 的依附点，直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围.

3. (2019西城区一模)在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点P ，Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点M ，N (M ，N 可以重合)使得PM ＝QN ，那么称点P 与点Q 是图形W 的一对平衡点.

第3题图①

(1)如图①，已知点A (0，3)，B (2，3).

①设点O 与线段AB 上一点的距离为d ，则d 的最小值是 ，最大值是 ；

②在P 1(32

，0)，P 2(1，4)，P 3(－3，0)这三个点中，与点O 是线段AB 的一对平衡点的是 ； (2)如图②，已知⊙O 的半径为1，点D 的坐标为(5，0).若点E (x ，2)在第一象限，且点D 与点E 是⊙O 的一对平衡点，求x 的取值范围；

(3)如图③，已知点H (－3，0)，以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点K .点C (a ，b )(其

中b ≥0)是坐标平面内一个动点，且OC ＝5，⊙C 是以点C 为圆心，半径为2的圆.若HK ︵上的任意两个点都

是⊙C 的一对平衡点，直接写出b 的取值范围.

第3题图② 第3题图③

4. (2019朝阳区二模)M (－1，－12)，N (1，－12

)是平面直角坐标系xOy 中的两点，若平面内直线MN 上方的点P 满足：45°≤∠MPN ≤90°，则称点P 为线段MN 的可视点.

(1)在点A 1(0，12)，A 2(12

，0)，A 3(0，2)，A 4(2，2)中，线段MN 的可视点为 ； (2)若点B 是直线y ＝x ＋12

上线段MN 的可视点，求点B 的横坐标t 的取值范围； (3)直线y ＝x ＋b (b ≠0)与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点，直接写出b 的取值范围.

第4题图

类型二 新定义距离与函数问题

(8年2考：2018.28、2012.25)

1. (2012北京)在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：

若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1－x 2|；

若|x 1－x 2|＜|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1－y 2|.

例如：点P 1(1，2)，点P 2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点).

第1题图①

(1)已知点A (－12

，0)，B 为y 轴上的一个动点， ①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；

②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；

(2)已知C 是直线y ＝34

x ＋3上的一个动点， ①如图②，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标； ②如图③，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标.

第1题图

2. (2019东城区一模)在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到x 、y 轴的距

离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”.下图中的P，Q两点即为“等距点”.

第2题图

(1)已知点A的坐标为(－3，1)，

①在点E(0，3)，F(3，－3)，G(2，－5)中，为点A的“等距点”的是；

②若点B在直线y＝x＋6上，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为；

(2)直线l：y＝kx－3(k＞0)与x轴交于点C，与y轴交于点D，

①若T1(－1，t1)，T2(4，t2)是直线l上的两点，且T1与T2为“等距点”，求k的值；

②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M，N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围.

备用图

3.(2018北京)对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，