(完整word版)微积分(数学分析)练习题及答案doc
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.
其中 为 所围立体的表面的外侧.
49.求 ,其中 是 的表面,取外侧为正侧 .
50.计算积分 ，其中S是椭球面 的
外侧.
1. 试求极限
解
.
2. 试求极限
解 由
.
3. 试求极限
解 由于
,
又 ,
所以
， ,
所以
.
4. 试讨论
解 当点 沿直线 趋于原点时，
.
当点 沿抛物线线 趋于原点时，
.
因为二者不等，所以极限不存在.
13.叙述隐函数可微性定理的内容.
14.利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
15.讨论笛卡儿叶形线
所确定的隐函数 的一阶与二阶导数.
16.讨论方程
在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数.
17.设函数 ,方程
.
(1)验证在点 附近由上面的方程能确定可微的隐函数 和 ;
(2)试求 和 ,以及它们在点 处的值.
23.叙述含参量 的正常积分定义.
24.叙述含参量 的正常积分的连续性定理的内容.
25.叙述含参量 的无穷限反常积分定义.
26.叙述含参量 的无穷限反常积分的一致收敛性定义.
27.叙述含参量 的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.
28.叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.
29.叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.
如果我们想求得 的偏导数，只需对方程组分别关于 求偏导数，得到
（1）
（2）
由（1）解出
由（2）解出
19.解:设
,
.
(1) 关于 的雅可比行列式是
,
当 时,在满足方程组的任何一点 的一个邻域内,由方程组可以唯一确定 是 的可微函数;
(2) 关于 的雅可比行列式是
,
当 时,在满足方程组的任何一点 的一个邻域内,由方程组可以唯一确定 是 的可微函数.
39.求 ,其中 .
40.求全微分 的原函数.
41.求 其中 由 围成.
42.求 ,其中 由 , 所围成的有界闭区域.
43.求 与 所围成区域 的面积.
44.求 ,其中 是 .
45.求 ,其中 由 所围成的有来自百度文库闭区域.
46.求 ,其中 .
47.求 ,S是 ,取球面的外侧为正侧.
48.设 具有连续导数,求
20.解:设 ， .它们在 处的偏导数和雅可比行列式之值为：
和
， ， .
所以曲线在 处的切线方程为：
，
即
法平面方程为
，
即
.
21.解:令 ,则
,
故 ,因此曲面在点 处的法向量为
,
所求切平面方程为
,
即
.
法线方程为
即
22.解:这个问题实质上就是要求函数
（空间点 到原点 的距离函数的平方）
在条件 及 下的最大、最小值问题.应用拉格朗日乘数法，令
30.叙述含参量反常积分的可积性定理内容.
31.求
32.计算积分 .
33.计算
并由此计算
34.利用公式 ,计算
.
35.利用可微性计算关于参数 的含参量反常积分
.
并由此计算
36.计算 ，其中L为单位圆周 .
37.计算 ，其中L为从(0,0,0)到(1,2,3)的直线段.
38.求积分 ,其中曲线 与 轴围成的面积为 .
答: 设 ， ，函数 对于方程 , 若存在集合 与 ，使得对于任何 ，恒有唯一确定的 ，使得 满足方程 ,则称由方程 确定了一个定义在 上，值域含于 的隐函数。一般可记为 且成立恒等式
12.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.
答:若 满足下列条件:
（i）函数F在以 为内点的某一区域 上连续;
（ii） （通常称为初始条件）;
（iii）在D内存在连续的偏导数 ;
（iv） 0,
又设在D内还存在连续的偏导数 ，则由方程 所确定的隐函数在 在其定义域 内有连续导函数，且
14.利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
答:设 在 的某邻域内有连续的导函数 ，且 ;考虑方程
由于
, ,
所以只要 ，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程 能确定出在 的某邻域 内的连续可微隐函数 ，并称它为函数 的反函数.反函数的导数是
15. 解:显然 及 在平面上任一点都连续，由隐函数定理知道，在使得 的点 附近，方程 都能确定隐函数 ；所以，它的一阶与二阶导数如下：
对方程求关于 的导数（其中 是 的函数）并以3除之，得
,
或
（1）
于是
（2）
再对（1）式求导，得： 即
（3）
把（2）式代入（3）式的右边，得
再利用方程就得到
16.解:由于 处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点 附近能惟一确定连续可微得隐函数 ，且可求得它得偏导数如下：
5. 试求极限
解 由
= .
6. , 有连续的偏导数，求
解令
则
7. 求
解 由
.
8. 求抛物面 在点 处的切平面方程与法线方程。
解由于
,
在 处 ，
所以, 切平面方程为
.
即
法线方程为
.
9. 求 在 处的泰勒公式.
解由
.
得
.
10. 求函数 的极值.
解 由于
解得驻点 ，
所以 是极小值点,极小值为
11.叙述隐函数的定义.
18.讨论方程组
在点 近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。
19.设方程组
问在什么条件下,
(1)由方程组可以唯一确定 是 的可微函数?
(2)由方程组可以唯一确定 是 的可微函数?
20.求球面 与锥面 所截出的曲线的点 处的切线与法平面方程。
21.求曲面 在点 处的切平面与法线方程.
22.抛物面 被平面 截成一个椭圆.求这个椭圆到原点的最长与最短距离.
17.解: (1)令 ,则有
.
由于 均连续,且
,
故在点 附近由上述方程能确定隐函数 和 .
(2)当 时,由定理知
;
同理,当 时,由定理知
.
于是求得
并且有
, .
18.解:首先， 即 满足初始条件.再求出F，G的所有一阶偏导数
容易验算，在点 处的所有六个雅可比行列式中只有
因此，只有 难以肯定能否作为以 为自变量的隐函数.除此之外，在 的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.
（iii）在D内存在连续的偏导数 ;
（iv） 0,
则在点 的某邻域 内，方程 =0唯一地确定了一个定义在某区间 内的函数（隐函数） ，使得
1º , 时 且 ；
2° 在 内连续.
13.叙述隐函数可微性定理的内容.
答:若 满足下列条件:
（i）函数F在以 为内点的某一区域 上连续;
（ii） （通常称为初始条件）;
统计专业和数学专业数学分练习题
计算题
1. 试求极限
2. 试求极限
3. 试求极限
4. 试讨论
5. 试求极限
6. , 有连续的偏导数，求
7. 求
8. 求抛物面 在点 处的切平面方程与法线方程.
9. 求 在 处的泰勒公式.
10. 求函数 的极值.
11.叙述隐函数的定义.
12.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.
其中 为 所围立体的表面的外侧.
49.求 ,其中 是 的表面,取外侧为正侧 .
50.计算积分 ，其中S是椭球面 的
外侧.
1. 试求极限
解
.
2. 试求极限
解 由
.
3. 试求极限
解 由于
,
又 ,
所以
， ,
所以
.
4. 试讨论
解 当点 沿直线 趋于原点时，
.
当点 沿抛物线线 趋于原点时，
.
因为二者不等，所以极限不存在.
13.叙述隐函数可微性定理的内容.
14.利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
15.讨论笛卡儿叶形线
所确定的隐函数 的一阶与二阶导数.
16.讨论方程
在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数.
17.设函数 ,方程
.
(1)验证在点 附近由上面的方程能确定可微的隐函数 和 ;
(2)试求 和 ,以及它们在点 处的值.
23.叙述含参量 的正常积分定义.
24.叙述含参量 的正常积分的连续性定理的内容.
25.叙述含参量 的无穷限反常积分定义.
26.叙述含参量 的无穷限反常积分的一致收敛性定义.
27.叙述含参量 的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.
28.叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.
29.叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.
如果我们想求得 的偏导数，只需对方程组分别关于 求偏导数，得到
（1）
（2）
由（1）解出
由（2）解出
19.解:设
,
.
(1) 关于 的雅可比行列式是
,
当 时,在满足方程组的任何一点 的一个邻域内,由方程组可以唯一确定 是 的可微函数;
(2) 关于 的雅可比行列式是
,
当 时,在满足方程组的任何一点 的一个邻域内,由方程组可以唯一确定 是 的可微函数.
39.求 ,其中 .
40.求全微分 的原函数.
41.求 其中 由 围成.
42.求 ,其中 由 , 所围成的有界闭区域.
43.求 与 所围成区域 的面积.
44.求 ,其中 是 .
45.求 ,其中 由 所围成的有来自百度文库闭区域.
46.求 ,其中 .
47.求 ,S是 ,取球面的外侧为正侧.
48.设 具有连续导数,求
20.解:设 ， .它们在 处的偏导数和雅可比行列式之值为：
和
， ， .
所以曲线在 处的切线方程为：
，
即
法平面方程为
，
即
.
21.解:令 ,则
,
故 ,因此曲面在点 处的法向量为
,
所求切平面方程为
,
即
.
法线方程为
即
22.解:这个问题实质上就是要求函数
（空间点 到原点 的距离函数的平方）
在条件 及 下的最大、最小值问题.应用拉格朗日乘数法，令
30.叙述含参量反常积分的可积性定理内容.
31.求
32.计算积分 .
33.计算
并由此计算
34.利用公式 ,计算
.
35.利用可微性计算关于参数 的含参量反常积分
.
并由此计算
36.计算 ，其中L为单位圆周 .
37.计算 ，其中L为从(0,0,0)到(1,2,3)的直线段.
38.求积分 ,其中曲线 与 轴围成的面积为 .
答: 设 ， ，函数 对于方程 , 若存在集合 与 ，使得对于任何 ，恒有唯一确定的 ，使得 满足方程 ,则称由方程 确定了一个定义在 上，值域含于 的隐函数。一般可记为 且成立恒等式
12.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.
答:若 满足下列条件:
（i）函数F在以 为内点的某一区域 上连续;
（ii） （通常称为初始条件）;
（iii）在D内存在连续的偏导数 ;
（iv） 0,
又设在D内还存在连续的偏导数 ，则由方程 所确定的隐函数在 在其定义域 内有连续导函数，且
14.利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
答:设 在 的某邻域内有连续的导函数 ，且 ;考虑方程
由于
, ,
所以只要 ，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程 能确定出在 的某邻域 内的连续可微隐函数 ，并称它为函数 的反函数.反函数的导数是
15. 解:显然 及 在平面上任一点都连续，由隐函数定理知道，在使得 的点 附近，方程 都能确定隐函数 ；所以，它的一阶与二阶导数如下：
对方程求关于 的导数（其中 是 的函数）并以3除之，得
,
或
（1）
于是
（2）
再对（1）式求导，得： 即
（3）
把（2）式代入（3）式的右边，得
再利用方程就得到
16.解:由于 处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点 附近能惟一确定连续可微得隐函数 ，且可求得它得偏导数如下：
5. 试求极限
解 由
= .
6. , 有连续的偏导数，求
解令
则
7. 求
解 由
.
8. 求抛物面 在点 处的切平面方程与法线方程。
解由于
,
在 处 ，
所以, 切平面方程为
.
即
法线方程为
.
9. 求 在 处的泰勒公式.
解由
.
得
.
10. 求函数 的极值.
解 由于
解得驻点 ，
所以 是极小值点,极小值为
11.叙述隐函数的定义.
18.讨论方程组
在点 近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。
19.设方程组
问在什么条件下,
(1)由方程组可以唯一确定 是 的可微函数?
(2)由方程组可以唯一确定 是 的可微函数?
20.求球面 与锥面 所截出的曲线的点 处的切线与法平面方程。
21.求曲面 在点 处的切平面与法线方程.
22.抛物面 被平面 截成一个椭圆.求这个椭圆到原点的最长与最短距离.
17.解: (1)令 ,则有
.
由于 均连续,且
,
故在点 附近由上述方程能确定隐函数 和 .
(2)当 时,由定理知
;
同理,当 时,由定理知
.
于是求得
并且有
, .
18.解:首先， 即 满足初始条件.再求出F，G的所有一阶偏导数
容易验算，在点 处的所有六个雅可比行列式中只有
因此，只有 难以肯定能否作为以 为自变量的隐函数.除此之外，在 的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.
（iii）在D内存在连续的偏导数 ;
（iv） 0,
则在点 的某邻域 内，方程 =0唯一地确定了一个定义在某区间 内的函数（隐函数） ，使得
1º , 时 且 ；
2° 在 内连续.
13.叙述隐函数可微性定理的内容.
答:若 满足下列条件:
（i）函数F在以 为内点的某一区域 上连续;
（ii） （通常称为初始条件）;
统计专业和数学专业数学分练习题
计算题
1. 试求极限
2. 试求极限
3. 试求极限
4. 试讨论
5. 试求极限
6. , 有连续的偏导数，求
7. 求
8. 求抛物面 在点 处的切平面方程与法线方程.
9. 求 在 处的泰勒公式.
10. 求函数 的极值.
11.叙述隐函数的定义.
12.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.