《三角函数与平面向量》单元测试题

《三角函数与平面向量》测试题
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一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)
1．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于( ) A.π6 B.2π3 C.4π3 D.11π6
2．函数 f (x )＝sin x －2cos 2x 2
的一个单调增区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 B ．(0，π) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4
，3π4 3．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝sin x }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝tan x }，则A ∩B ＝( )
A ．{(0,0)}
B ．{(π，0)，(0,0)}
C ．{(k π，0)}(k ∈Z)
D ．Ø
4．函数y ＝－12cos2x ＋sin x －12
的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－54，1] C ．[－54，－1] D ．[－1，54
] 5．已知θ是第三象限角，|cos θ|＝m ，且sin
θ2＋cos θ2>0，则cos θ2等于( ) A ．－1－m 2 B.1＋m 2
C ．－1＋m 2 D.1－m 2 6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A. 2 B. 3 C.32
D ．2 7．函数f (x )＝2sin(2x ＋π4
)，给出的命题： ①函数f (x )在区间[
π2，5π8]上是减函数； ②直线x ＝π8
是函数 f (x )的图象的一条对称轴； ③函数f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移
π4个单位得到．其中正确的是( )
A ．①③
B ．①②
C ．②③
D ．①②③
8．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )
A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D ．2∶1
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
9．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A ) 在第________象限．
10．已知直线x ＝π6
是函数y ＝a sin x －b cos x 图象的一条对称轴， 则函数y ＝b sin x －a cos x 图象的一条对称轴为________．
11．设函数 f (x )＝3sin θ3·x 3＋cos θ2x 2＋4x －1，其中θ∈[0，5π6
]， 则导数f ′(－1)的取值范围是________．
12．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且3a ＝2c sin A ， 则角C ＝________.
三、解答题(本大题共4小题，每题10分，共40分．)
13．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255
， (1)求cos(α－β)的值；
(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513
，求sin α的值． 14．已知函数f (x )＝3sin(ωx )－2sin 2ωx 2
(ω>0)的最小正周期为3π. (1)当x ∈[π2，3π4
]时，求函数f (x )的最小值； (2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )，求sin A 的值．
15．据气象台预报，距S 岛300km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时30km 的速度向北偏西30°角的方向移动，在距台风中心270km 以内的地区将受到台风的影响．
问：S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．
16．(20XX 年江南十校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，
AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4.
(1)求向量b ·c 的最大值及θ的取值范围；
(2)求函数f (θ)＝23sin 2(
π4
＋θ)＋2cos 2θ－3的最值． 参考答案：
一、CDCB ，ACBD 二、9，二； 10，x ＝π3 ； 11，[3,6]； 12， π3。

三、13.解析：(1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝45
. 又a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，
∴a 2＝b 2＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)．∴cos(α－β)＝2－452＝35
. (2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由(1)得cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45
. 又sin β＝－513，∴cos β＝1213
. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×1213＋35×(－513)＝3365
.
14.解析：f (x )＝3sin(ωx )－2·1－ωx
2
＝3sin(ωx )＋cos(ωx )－1＝2sin(ωx ＋π6
)－1 依题意函数f (x )的最小正周期为3π ，即2πω
＝3π， 解得ω＝23，所以f (x )＝2sin(23x ＋π6
)－1 (1)由π2≤x ≤3π4得π2≤23x ＋π6≤2π3，所以，当sin(23x ＋π6)＝32
时， f (x )最小值＝2×32
－1＝3－1 (2)由f (C )＝2sin(2C 3＋π6)－1及f (C )＝1，得sin(2C 3＋π6)＝1 而π6≤23C ＋π6≤5π6，所以23C ＋π6＝π2，解得C ＝π2
在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π2
，2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )
2cos 2A －sin A －sin A ＝0，∴sin 2A ＋sin A －1＝0，解得sin A ＝－1±52
∵0<sin A <1，∴sin A ＝5－12
. 15.解析：如下图，设台风中心经过t 小时到达B 点，由题意：
∠SAB ＝90°－30°＝60°，在△SAB 中，SA ＝300，AB ＝30t ，∠SAB ＝60°， 由余弦定理得：
SB 2＝SA 2＋AB 2－2SA ·AB ·cos∠SAB ＝3002＋(30t )2－2·300·30t cos60°， 若S 岛受到台风影响，则应满足条件：
|SB |≤270即SB 2≤2702化简整理得t 2
－10t ＋19≤0解之得5－6≤t ≤5＋6， 所以从现在起，经过5－ 6 小时S 岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束， 持续时间：(5＋6)－(5－6)＝26(小时) 答：S 岛从现在起经过(5－6)小时受到台风影响，且持续时间为26小时．
16.解析：(1)bc ·cos θ＝8，b 2＋c 2－2bc cos θ＝42 即b 2＋c 2＝32
又b 2＋c 2≥2bc 所以bc ≤16，即bc 的最大值为16
即8cos θ≤16，所以cos θ≥12，又0<θ<π，所以0<θ≤π3 (2)f (θ)＝3·[1－cos(π2
＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3 ＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6
)＋1 因0<θ≤π3，所以π6<2θ＋π6≤5π6，12≤sin(2θ＋π6
)≤1 当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12
＋1＝2 当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6
时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.。