《三角函数与平面向量》单元测试题

《三角函数与平面向量》测试题

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一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)

1．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝

sin ⎝

⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于( ) A.π6 B.2π3 C.4π3 D.11π6

2．函数 f (x )＝sin x －2cos 2x 2

的一个单调增区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 B ．(0，π) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4

，3π4 3．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝sin x }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝tan x }，则A ∩B ＝( )

A ．{(0,0)}

B ．{(π，0)，(0,0)}

C ．{(k π，0)}(k ∈Z)

D ．Ø

4．函数y ＝－12cos2x ＋sin x －12

的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－54，1] C ．[－54，－1] D ．[－1，54

] 5．已知θ是第三象限角，|cos θ|＝m ，且sin

θ2＋cos θ2>0，则cos θ2等于( ) A ．－1－m 2 B.1＋m 2

C ．－1＋m 2 D.1－m 2 6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A. 2 B. 3 C.32

D ．2 7．函数f (x )＝2sin(2x ＋π4

)，给出的命题： ①函数f (x )在区间[

π2，5π8]上是减函数； ②直线x ＝π8

是函数 f (x )的图象的一条对称轴； ③函数f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移

π4个单位得到．其中正确的是( )

A ．①③

B ．①②

C ．②③

D ．①②③

8．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )

A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D ．2∶1

二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)

9．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A ) 在第________象限．

10．已知直线x ＝π6

是函数y ＝a sin x －b cos x 图象的一条对称轴， 则函数y ＝b sin x －a cos x 图象的一条对称轴为________．

11．设函数 f (x )＝3sin θ3·x 3＋cos θ2x 2＋4x －1，其中θ∈[0，5π6

]， 则导数f ′(－1)的取值范围是________．

12．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且3a ＝2c sin A ， 则角C ＝________.

三、解答题(本大题共4小题，每题10分，共40分．)

13．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255

， (1)求cos(α－β)的值；

(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513

，求sin α的值． 14．已知函数f (x )＝3sin(ωx )－2sin 2ωx 2

(ω>0)的最小正周期为3π. (1)当x ∈[π2，3π4

]时，求函数f (x )的最小值； (2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )，求sin A 的值．

15．据气象台预报，距S 岛300km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时30km 的速度向北偏西30°角的方向移动，在距台风中心270km 以内的地区将受到台风的影响．

问：S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．

16．(20XX 年江南十校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，

AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4.

(1)求向量b ·c 的最大值及θ的取值范围；

(2)求函数f (θ)＝23sin 2(

π4

＋θ)＋2cos 2θ－3的最值． 参考答案：

一、CDCB ，ACBD 二、9，二； 10，x ＝π3 ； 11，[3,6]； 12， π3

。 三、13.解析：(1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝45

. 又a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，

∴a 2＝b 2＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)．∴cos(α－β)＝2－452＝35

. (2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由(1)得cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45

. 又sin β＝－513，∴cos β＝1213

. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β

＝45×1213＋35×(－513)＝3365

.

14.解析：f (x )＝3sin(ωx )－2·1－ωx

2

＝3sin(ωx )＋cos(ωx )－1＝2sin(ωx ＋π6

)－1 依题意函数f (x )的最小正周期为3π ，即2πω

＝3π， 解得ω＝23，所以f (x )＝2sin(23x ＋π6

)－1 (1)由π2≤x ≤3π4得π2≤23x ＋π6≤2π3，所以，当sin(23x ＋π6)＝32

时， f (x )最小值＝2×32

－1＝3－1 (2)由f (C )＝2sin(2C 3＋π6)－1及f (C )＝1，得sin(2C 3＋π6)＝1 而π6≤23C ＋π6≤5π6，所以23C ＋π6＝π2，解得C ＝π2

在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π2

，2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )