抛物线中的三角形面积

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双曲线抛物线焦点三角形面积公式

双曲线抛物线焦点三角形面积公式1. 概述双曲线和抛物线是数学中常见的曲线类型，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。

而三角形则是几何学中的基本图形之一，研究三角形的性质和面积公式对于理解空间形态和解决实际问题都具有重要意义。

本文将结合双曲线和抛物线的性质，推导出利用焦点和顶点坐标计算三角形面积的公式。

2. 双曲线和抛物线的定义双曲线是平面上满足特定性质的点的集合，它的数学定义是平面上两条直线L1和L2，满足这两条直线的距离的差是一个常数，且常数小于0，那么平面上的点P(x, y)满足L1到P点的距离减去L2到P点的距离等于一个常数。

而抛物线则是平面上满足特定性质的点的集合，它的数学定义是平面上的一个点P(x, y)和一条直线L，使得点P到直线L的距离等于点P到定点F的距离。

其中，定点F称为焦点。

3. 双曲线和抛物线的焦点性质双曲线和抛物线都具有焦点的性质，利用这一性质可以推导出三角形的面积公式。

对于双曲线而言，对于平面上的两点A和B，满足A点到焦点的距离减去B点到焦点的距离等于一个常数。

而对于抛物线而言，对于平面上的三点A、B和C，满足A点到焦点的距离等于B点到焦点的距离等于C点到焦点的距离，并且这个距离等于直线L到焦点的距离。

4. 根据焦点坐标计算三角形面积公式根据双曲线和抛物线的焦点性质，我们可以推导出利用焦点和顶点坐标计算三角形面积的公式。

以双曲线为例，假设A(x1, y1), B(x2, y2)为双曲线上的两个点，F(p, q)为焦点坐标，则三角形FAB的面积可以表示为S = |(x1 - p)(y2 - q) - (x2 - p)(y1 - q)|而以抛物线为例，假设A(x1, y1), B(x2, y2),C(x3, y3)为抛物线上的三个点，F(p, q)为焦点坐标，则三角形ABC的面积可以表示为S = |x1(y2 - y3)+x2(y3 - y1)+x3(y1 - y2)|/25. 应用举例通过以上公式，我们可以快速、准确地计算双曲线和抛物线上任意三角形的面积。

第五讲+抛物线中三角形的面积问题

第五讲抛物线中三角形的面积问题一、抛物线内接三角形的面积问题：例、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1:5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。

⑴求此抛物线的函数表达式和顶点M坐标；⑵求S△MBC；归纳：怎样求坐标系内任意三角形的面积问题：二、抛物线中三角形的等积变化：1、在抛物线上是否存在点D，使得△ABC和△ABD面积相等，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由。

2、在抛物线上是否存在点E，使得△ABC和△BCE面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由。

S△ABC。

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3、在抛物线上是否存在点M，使S△MBC= 134、（2011成都）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7√？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.5、点P（2，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C 运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH 的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；6、在抛物线的对称轴上有一点P的纵坐标为5，在直线上BC求一点M使得S△PBM∶S△ABC=1:5.7、在直线BC下方抛物线上是否存在一个点F，使得△BCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标，并求出最大面积，若不存在，说明理由。

练习：1、如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是线段AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，在M点运动时，△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出△CMN面积最大时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2010玉溪）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，△AOB（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD 把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．yAB。

抛物线阿基米德三角形面积

抛物线阿基米德三角形面积在几何学中，抛物线阿基米德三角形是一个有趣的形状，它与抛物线的性质密切相关。

本文将探讨如何计算抛物线阿基米德三角形的面积，以及这个形状的一些特点。

首先，让我们来了解一下什么是抛物线阿基米德三角形。

它由一条抛物线和两条直线组成，具有以下特征：抛物线的焦点位于椭圆的中心，两条直线从焦点出发，分别与抛物线相交于两个不同的点，然后再相交于一个顶点。

这个顶点就是抛物线阿基米德三角形的顶点。

要计算抛物线阿基米德三角形的面积，我们可以使用以下公式：面积=底边长度×高÷2。

底边长度可以通过计算两条直线的交点之间的距离获得，而高则可以通过计算顶点到底边的垂直距离来确定。

为了更好地理解这个公式，让我们通过一个具体的例子来计算抛物线阿基米德三角形的面积。

假设我们有一个抛物线阿基米德三角形，其底边长度为10个单位，高为6个单位。

那么根据公式，面积=10×6÷2=30个单位。

除了计算面积，抛物线阿基米德三角形还具有其他一些有趣的性质。

例如，它的底边和顶点之间的距离是一个常数，这意味着无论抛物线的形状如何变化，这个距离始终保持不变。

此外，抛物线阿基米德三角形也满足相似三角形的性质，即其两个底角之和等于顶角。

总结一下，抛物线阿基米德三角形是一个由抛物线和两条直线组成的形状。

要计算其面积，我们可以使用底边长度乘以高再除以2的公式。

除了面积，抛物线阿基米德三角形还具有其他一些有趣的性质，如底边和顶点之间的距离恒定以及满足相似三角形的性质。

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抛物线焦点弦三角形的面积(抛物线的弦相关的问题)

抛物线焦点弦三角形的面积本内容主要研究抛物线焦点弦三角形的面积.以抛物线的顶点及其焦点弦的两个端点为顶点的三角形，称为抛物线的焦点弦三角形.给出三种抛物线焦点弦三角形的面积公式，根据已知条件合理选择.例：过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点.若|AF |=3,则△AOB 的面积为( ) A.22 B.2 C.322 D.22解：抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0),因为|AF |=3,所以x 1+1=3,x 1=2,代入抛物线方程得122y =,故A (2,22),所以直线AB 的方程为22(1)=-y x ,由22220,4x y y x⎧--=⎪⎨=⎪⎩得2240y --=. 所以122y y +y 1y 2=－4,则22121219||1()[()4]222AB y y y y ⎡⎤=++-=⎢⎥⎣⎦.又可求得圆点O 到直线AB 的距离为223,故△AOB 的面积为1922322222S =⨯⨯=.[一题多解]设∠AFx =θ(0<θ<π)及|BF |=m ,则点A 到准线l :x =－1的距离为3,得1323cos cos 3θθ=+⇔=,又 232cos()1cos 2,=+π-⇔===+m m BF m m θθ,△AOB 的面积为113||||sin 1(3)22233S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=. 答案：C注意：前法是解决此类问题的通法,一般通过求弦长和点到直线的距离进行求解,后法则有一定的技巧性.整理：B AOF过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,且11(,)A x y ，22(,)B x y ，O 为坐标原点.则△AOB 的面积为(1)121||||2S OF y y =⨯⨯-=; (2) 1||2=⨯⨯S AB d ,d 为点O 到直线AB 的距离; (3)11sin sin 22OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅()11sin sin 22OF AF BF OF AB θθ=⋅+=⋅⋅其中∠AFx =θ(0<θ<π).再看一个例题：例：设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )解：抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0), ∠AFx =60°所以直线AB 的方程为3(1)=-y x ,由23(1),4⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x得231020-+=x x . 所以12103x x +=,则1216||3AB x x p =++=. 又11sin sin 22OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅ ()11sin sin 22OF AF BF OF AB θθ=⋅+=⋅⋅ 故△AOB 的面积为116341=32323∆=⨯⨯⨯OAB S总结：1.根据已知条件合理选择我三种抛物线焦点弦三角形的面积公式.2.掌握抛物线的焦点弦长计算方法.练习：1.已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ,焦点为F (1,0),经过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点.(Ⅰ)求抛物线C 的标准方程;(Ⅱ)若△AOB 的面积为4,求|AB |.2. 设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )C.6332D.943. 已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,过点A 作准线l 的垂线,垂足为E ,当A 点坐标为(3,y 0)时,△AEF 为正三角形,则此时△OAB 的面积为( )A.4C.3D.3。

6.抛物线求三角形面积(割补法铅垂法)

抛物线与三角形面积问题
———割补法、铅垂法
例1：在平面直角坐标系中，已知A（1，1）、B（7，3）、C（4，7），求△ABC 的面积．解：过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D。

1.如图，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴
于点B .
（1）求抛物线和直线AB 的解析式.
（2）求CAB S .2.如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,D 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点,连接DC,DB,
（1）求抛物线的表达式.
（2）求△BCD 面积的最大值,并写出D 点的坐标.
x
C O y A B 1
1C (4,7)
B (7,3）
A (1,1)
o x y D
121-=⨯k k (3)x y A B C P E O x y A B
C Q
O
(2)3.如图,二次函数的图象经过点A(0,1),它的顶点B(1,3).
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)过点A 作AC⊥AB 交抛物线于点C,P 是直线AC 上方抛物线上的
一点,当△APC 面积最大时,求点P 的坐标和△APC 面积的最大
值.(提示：若两条直线互相垂直，则)
4.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(-3，0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.。

抛物线上动点p的三角形面积-定义说明解析

抛物线上动点p的三角形面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，抛物线是一种具有特定形状的曲线，其形状类似于开口向上的U形。

它是由一个定点和一条直线（称为准线或直线段）确定的曲线，其中定点被称为焦点，准线表示为直线段AB。

抛物线是一种非常重要的曲线，广泛应用于物理学、工程学等领域。

本文将围绕着抛物线上的动点P展开讨论。

在抛物线上，动点P具有自由运动的能力，并且可以在曲线上任意选择不同的位置。

我们将重点研究动点P所形成的三角形的面积，并探究如何计算这个面积。

通过研究动点P在抛物线上的运动以及三角形的面积计算方法，我们可以深入理解抛物线曲线的几何特征，并且可以应用这些知识解决实际问题。

同时，对抛物线上动点P的三角形面积的意义和应用也将在文章中进行探讨。

最后，在总结部分我们将对本文的内容进行总结，并展望未来对抛物线相关问题的研究方向。

本文旨在提供一个清晰的抛物线上动点P三角形面积的计算方法，并希望读者通过阅读本文能够对抛物线的几何特性有更深入的了解。

【1.2 文章结构】本文将分为以下几个部分来探讨抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。

每个部分的内容如下：（1）引言：在引言部分，我们将概述本文的主题和研究对象，并介绍文章的结构和目的。

同时，我们也将对抛物线的定义和性质进行简要介绍。

（2）正文：在正文部分，我们将分为三个小节来详细阐述抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。

首先，我们会介绍抛物线的定义和性质，包括其数学表达和几何特征。

然后，我们会讨论动点P在抛物线上的运动规律，这一部分将包括动点P在不同位置的情况下的三角形面积的变化规律。

最后，我们将介绍具体的计算方法，包括利用向量、坐标和参数方程等不同的方法来计算动点P的三角形面积。

（3）结论：在结论部分，我们将对前面的研究结果进行总结，并探讨抛物线上动点P的三角形面积的一些意义和应用。

同时，我们也会展望未来可能的研究方向和可进一步发展的领域。

通过以上的安排，我们旨在全面而系统地介绍抛物线上动点P的三角形面积的计算方法，并探讨其应用的可能性，为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。

抛物线内接三角形的面积

(3)co sZ P fA
FP •FA \~^P \•\~^A \
(乾 -
( m - l ，n )
1 F P I (2^ + f } ( y2i - p 2 ) ( m - ^ - ) + 2 p ny1
I FP \ (yf + p2 ) (y l - P2)(y- ^ - f ) + 2P - ^ yi
内接三角形的面积满足统一的表达式，现分享给大家，有不正确的地方，请指正.
已知A、B 、C 是抛物线y2 =
> 0) 上三点，
其纵坐标分别为；^ 、;>"2、73，则 r 2) (r 2 - y3 ) ( y3 - J i ) I •
4p I (Yi
2
2
2
证明：易知 4 ( $ ，：X1) ,B ( . , ：X2) ，C( . , ；T3) ，
i y2 - y3 1 2p
/yf + ，，又厶尸舛中，作边上的高为 / ^
, y2 y3
y2 + r 3 y\
——2— - JY1t • ----- 2------- + —2-
/p2 + y\
1 (ri - r2) (ri - r3) 1 2 V p2 + /1
SAPQR
(j l _ j2 )(y2
I r 2 - Ji 1 'f n r
P
-，原点 0 到的距离 d
I pm I
p 2 + Tl2
I pm I
a//?2 + n2
s AAOB
I j 2 - Ji I
I m I I y2 - y! 2

抛物线内接三角形面积公式

抛物线内接三角形面积公式
抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

如果把抛物线的顶点设为坐标原点 (0,0)，那么抛物线的顶点
坐标为 (h, k)，其中 h = -b/(2a)，k = c - b^2/(4a)。

接下来，我们设抛物线上任意一点的坐标为 (x, ax^2 + bx + c)。

我们知道，任意抛物线上的一点到抛物线顶点的距离可以用欧几里得距离公式计算：
d = √((x-h)^2 + (ax^2 + bx + c - k)^2)
现在我们要求抛物线上的三个点坐标 (x1, y1)，(x2, y2)，(x3,
y3)，使得这个三角形与抛物线相内切。

由于内切三角形的性质，三个点到抛物线顶点的距离都是相同的。

因此我们可以将这个距离简化为：
d = √((x1-h)^2 + (ax1^2 + bx1 + c - k)^2)
根据欧几里得距离公式，这个内切三角形的面积可以通过海伦公式计算：
s = √(p(p-d1)(p-d2)(p-d3))
其中 p = (d1 + d2 + d3)/2 是三个边长的半周长。

我们可以进一步简化这个面积公式，将三个边长用 d 表示：s = √(3d^2(d-p))
其中d = √((x1-h)^2 + (ax1^2 + bx1 + c - k)^2) 是三个边长的距离，p = (3d)/2 是三个边长的半周长。

这就是抛物线内接三角形的面积公式。

抛物线中三角形面积公式

抛物线中三角形面积公式
抛物线中三角形面积公式：
1. 定义：当平行于抛物线准线交于抛物线上两点P1，P2时，形成的三角形称为抛物线上的三角形。

2. 公式：三角形面积可以求出：S=|P1P2·P3|/2，其中P3是平行于抛物线准线交于抛物线上三角形三边上的点。

3. 运用：若平行于抛物线准线即为x轴，则可以根据公式计算：
S=|P1P2·P3|/2=|x1x2·c|/2，其中c为抛物线在某点P的切线的斜率的倒数。

4. 应用：因为求不定积分的计算比求定积分快得多，所以应用抛物线中三角形面积公式常用于求定积分。

因为抛物线的斜率的倒数在抛物线的任一点P都存在，所以由于任一点P，可以将抛物线分解为若干个三角形，从而将求定积分问题转化为求不定积分问题，大大降低了计算难度。

抛物线中三角形面积最值问题的七种求解策略

图10的正切函数值，则问题便可逐步解决.解析在上找点£，使= 由外角定理，知•①易知直线S C 解析式为y-6.设 £(m ，m -6)，由 fi (6,0)，D (2, -8)，则 B £2 = (m -6)' + (m -6)2, ED 2 = (m - 2)2 + (m + 2)2.由 B £ = £7)，知（;n -6)2 +(m -6)2 = (m -2)2 +(m + 2)2，解得 m =|，即 £(夺，-爭)•又易知 C £>2 + fiC 2 = fi /)2,则乙BCD = 90。

.qi n由 C (0, -6),£(|■，-$)，Z )(2, -8),知 CD =2^",C £=^,P J lain^CED = j .②由①②和 A C(?B = 2 A CflD ,则 tan Z _ C(?B =当点<?在点B 左侧时,(),（ -8,0).当点<?在点B 右侧时,(?2(8,0).综上，(?（ -8,0)或(8,0).从上面题目的解答可以发现:抛物线中角的存在性问题，一般运用角的特殊性及坐标条件构造基本图形，并运用图形的性质，进行推理得出有关相等线段，并表示出有关点的坐标,代入二次函数或一次函数的解析式，或运用勾股定理计算作答.在解答过程中，既要构造几何图形，根据几何直观和几何性质、定理理性分析、推理，还要运用函数与方程知识进行计算和数据分析.综合运用几何推理、函数与方程思想等多方面技能，有较强的综合性及创新探究意识，可以很好地考查学生的综合素养[2].“问题是数学的心脏”，数学的真正组成部分是问题和解，在学习过程中，在一定学习范围或主题内，围绕一定目标或某一中心问题，按照一定的逻辑结构精心设计一组问题，即为“一题多问”，采用“一题多问” 的方式，用同一道题目将多个知识点表现出来，可以帮助学生梳理旧知，形成网络，将数学技能及方法得以综合运用.“一题多问”引导学生从不同角度、不同方位进行不同层次的思考，提高学生分析问题、解决问题和提出问题的能力，可以让学生跳出“题海”，提高解题效益，提升数学素养.参考文献：[1 ]罗峻，段利芳.一次函数与反比例函数图象相交的性质之证明与运用[J ]•数理化学习（初中版），2018(12) :23 -28.[2]罗峻，段利芳.当完美正方形偶遇美丽的45度角[J ]. 理科考试研究（初中），2019,26(22) :29 -32.(收稿日期：2020 -09 -21 )抛物线中三角形面积最值问题的七种求鮮策略段昆山(易县教育局教研室河北保定074200)摘要：以二次函数为栽体，结合几何图形求面积最值问题具有难度大、综合性强，区分度高的特表.本文以某地初三上学期期末考试试卷最后一题为例，谈一谈此类问题的七种求解策略.关键词：最值问题；转化；面积；求解策略纵观近年各地中考试卷，以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型是各地中考的高频考点之一.这类试题综合运用多种数学思想方法, 不仅考查了二次函数与三角形面积的相关知识，又为后续学习高中知识奠定了基础.1试题呈现题目如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y = <M c 2 +心+2(a #0)与.t 轴交于两点（点4在点B作者简介:段昆山（1976 -),男，河北保定人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教育.的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点£»(- 2，- 3) 和点£(3，2)，点P 是第一象限抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的表达式；(2) 当A B P C 的面积取最大值时，求A fiP C 面积及点P 的坐标.2试题解析 2. 1第（1)问解析将点A £的坐标代人函数表达式，得丄_ 了，3_r故抛物线的表达式为y +2.2.2第（2)问解析 2. 2. 1分割法三角形面积通常用面积公式（底乘髙的一半）来求,在平面直角坐标系中求斜三角形的面积用这个公式难度大，那如何求呢？那就需要运用转化的方法把斜三角形分割成底与高分别与坐标轴平行的三角形，充分利用定点的横纵坐标来求三角形面积•如图2,过点P 作丄;c 轴于点F ，A fiP C 被分割成两个三角形，即A //P C 和所以SA B P C =S 娜c + SAW ，过点C 作C Z )丄/^于点Z ),过点B 作BE _L PF 于点 E ，S A H P C =夸PH x CD.解法1如图3,连接S C ，过点P 作W ///y 轴交S C 于点//，将点C ，S 代入一次函数表达式，可得直线的表达式为y = -+ 2.设点 P U ，+如 +2),则点+2).所以 S A P C B =-％2 +4%.f 4a -2b +2 =-3, 19a +36+2=2,解得,根据二次函数性质，利用配方法，当* = 2时， S apm 的最大值为4.故当A B P C 的面积取最大值时，点P (2,3),S A P C B 二 4.2.2.2补形法在平面直角坐标系中求斜三角形的面积不仅可以运用分割法，也可以转换思路，用补形的方法把不规则图形转化成规则图形，将斜三角形面积转化成矩形面积减去三角形的面积，再充分利用定点的横纵坐标，就可以求斜三角形面积了 • 图4如图4,过点P 作轴，垂足为点£,过点5作 fiZ )丄/)£，垂足为点£»，贝丨J 四边形为矩形•所以S APCB = S 酿形OBOE - S A P E (：一 S APDB _ S a (X b .解法2如图5,过点P 作轴，垂足为点£，过点B 作丄/)£；,垂足为点/)，所以四边形 OBD £为矩形.所以 s A PC b 二 S 四边形〇B D e : — S A P E (： - S _ s A 0C B 二(-+ ^-x + 2) x 4 - (- -^-x2 + -^-x ) x x x ~y - (4-x) x (- ~^x2 ++ 2) x -^--4=-x ~+ 4x.根据二次函数性质，利用配方法，当x =2时，^ A P C B的最大值为4.故当A B P C的面积取最大值时，点P(2,3),■5而=4_2.2.3铅垂法如图6，过A P S C的顶点分别作出水平线的垂线, 外侧两条垂线间的距离叫做水平宽.中间的垂线与 S C相交于点£，线段就叫做铅垂高.如图7,因为S apcb=S A peb+S&PCE二y PE x EU +j PE x EF =所以铅垂法本质上也是分割法.，铅垂高I图7解法3如图8,过点P作P//丄;c轴交B C于点//，设点，-+ 2)，则点 //(x，+ 2)•所以11,312^apcb =^2^~^2X+Y"x+2+y*-2)x4=-x+4x.在直线B C上.根据平行线间的距离相等，所以ABPC 和A B fiC的高相等，底是BC.所以厶B P C和A B//C的面积相等.求A B P C的面积就转化成求A//£C的面积.解法4如图10,过点Z3作户////沉交7轴于点所以 S&P C B= S A C H B-将点c，B代人一次函数表达式，可得直线C B的表达式为y= - 士;'：+ 2.因为W///S C,所以设直线P//的表达式为y根据二次函数性质，利用配方法，当x= 2时，S apos的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB=^*2.2.4平行线法如图9，W///B C，点//，P在直线W/上，点5，CH E P设点户(％，- y i2 + y x+ 2)，所以-2 =-—x +b,b22+ ~z~x + 2 + ~z~x2,//C=-y^2+2x+2-2TT22x.x2 +2x+PJflll S A P C B = ^H C xOB =-x2-t-4x.利用配方法，当x= 2时,S A P(：iB的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3)，^ APCB=^*2.2.5相似法如图11，求三角形的面积可以用面积公式足为点D.所以BC= VOC2 + OB2 = 7^5.求三角形的面积只要求出高就可以了.高如何求呢？我们仔细观察图形发现丄SO,所以™//y轴.所以 APHC= AOCB•因为P E±B C，所以 APEH=厶COB.所以ABOC w•所以g = I I所以= PH^~° .这样就可以求出高了.解法5如图12,过点P作丄BC,垂足为点 £，PD丄50交 SC 于点由题意，5C= VOC1+ OB2 = 2/5 ,APEH^ABOC.m i0BPH = BC'因为+ 2x,PE PH x BOBC¥(-士解法6如图13,过点P作P£//fiC,因为将点C,B代入一次函数表达式，同理可得直线C Z?的表达式为;^=-士尤+2.所以设直线的表达式为y=-+ 6.1,j=- y x + b-H i2+3+2y= - ~z~x+ ~zrx+1.1/22整理，得-士尤2 +~|~尤+2=-士a:+ 6 一士丨2 +2% +2-6=0.所以 A =4-4 x(-士）x(2 -6) =8 -26 =0.解得6=4_所以点P(2,3)，A P C fi最大值为4 .2.2.7中点法如图14,设直线S C与抛物线交于B,C两点，直线B C的解析式可设为y= ^+ n，抛物线解析式可设为y= m2 +心+ C，求其交点坐标就是联立两解析式’所以 ax2 + + c = n w c + n_ 整理，得[y= mx+ n.ax2+ (b- m)x+ c- n= 0. fffVJs x, + x2 = ——因为直a%2 +2a〇，所以 S A P C fl =^^(-士尤2 +2幻x2V^x士 =-x2 + 4x.利用配方法，当* =2时，S A P efl的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB-4-2.2.6切线法如图13,若使点P在抛物线上，S A P eB最大，则需使P£//BC，且与抛物线有且只有一个交点才能使心^8最大.因为底B C确定，只要高最大.因为点P 在抛物线上与抛物线有且只有一个交点时，SC 边上的高才最大.线B C平移到与抛物线只有一个交点时，七即& = 也就是％所以过点P作*轴的垂线，垂足M是O S的中点.所以当抛物线被直线 B C所截,P为抛物线上一动点（此时点P为线段SC 与抛物线所组成的封闭图形上抛物线上一点）丄%轴于点m,交s c于点yv,当点yv为b c中点时，s APC8 的面积有最大值.解法7如图15,过点尸作P////S C,所以& = X B+X C^所以点P 坐标为（2,3).所以=S 四边形"W /Y ;+ S APMB ""SA O R Cx (2+ 3) x 2+冬 x 2x 3_4-x 2x 4=4.' 2 2此法适用于填空、选择或验证.3感悟解法这一类以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型涉及的知识面多、难度大、综合性强, 要想顺利解答此类问题，必须抓住以下几点.（1)立足转化，抓住动点（设动为定）.合理构造辅助线，以转化思想为基本出发点，抓住动点，根据不同思路过动点作平行，或作垂直等辅助线，把复杂问题转化为简单问题，把未知问题转换为已知问题.（2)数形结合，设出动点坐标.充分挖掘已知条件与隐含条件，要明确角边在数量关系变化中哪些是保持不变的量，哪些是变化的量.哪些是变化的量.这需要在充分理解的基础上，进行多方位思考、多角度着手、多层次探索m ，利用相似、面积公式、根与系数的关系等知识，表示出相关的数量关系.（3)根据相关的数量关系，把面积表示成一个含有某未知量的二次函数关系式，然后利用公式法或配方法求出最值.参考文献：[1] 段昆山.构造图形求准确数形结合找临界一•一类“儿何”型新定义压轴题解法浅析[J ].中学数学教学，2020(01) ：79 -80.[2]周威.圆锥曲线中几个特殊三角形面积最值问题探究[J ].理科考试研究,2020(09) :25 - 27.(收稿日期：2020 _08-15)指向“深度学习”的教学课壹教学策略李娜沈南山(合肥师范学院数学与统计学院安徽合肥230601)摘要：从认知结构观点来看，“深度学习”是一种理解性的学习，注重学习思维的批利性、学习内容的整合性、知识体系的建构性和知识学习的迁移性.指向深度学习的数学课堂教学需要深入追问学什么、怎么学、学得怎么样三个教学本源问题，其教学策略应当注重数学知识对象的多重表征、数学学习脚手架的适时搭建、数学学习问题的逻辑引领、数学学习方法的积极反思等.关键词：初中数学；深度学习；教学策略1 “深度学习”的基本特征“深度学习”（Deep Learning )最早由美国学者 Marlon 等人于1976年提出的一个比较性学习概念，是相对于孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习 (Surface Learning )而言的.随后国内外学者对“深度学习”开展理论与实践研究，其基本内涵是在教师引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程，并在这个过程中学生掌握学科的核心知识，理解学习的过程,把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、高级的社会性感情、积极的态度、正确的价值观等m .“深度学习”的基本特征蕴含理论和实践两个层面.理论上，从知识结构观点来看，深度学习是基于学基金项目：合肥师范学院研究生创新基金项目“深度学习理念下初中数学课堂问题提出的教学实践研究”（项目编号:2020yjs 033).作者简介：李娜（ 1995 -)，女，安徽阜阳人，硕士研究生，研究方向：数学教育；沈南山（1964 -),男，安徽六安人，博士，教授，研究方向：数学课程与教学论研究.。

抛物线三角形OAB面积

抛物线三角形OAB面积
抛物线三角形，又称平抛三角形，是物理学和数学中两个重要的概念，也是和古典力学有关的抛体运动中经常出现的问题。

一个抛物线三角形是指，一直线段从O点开始，沿抛物线从A点到B点终止构成的一个三角形，因为一条直线所构成的三角形有一定的抛物线，所以叫做抛物线三角形。

要求求抛物线三角形OAB面积，要做到既能求出结果，又能准确地描述抛物线三角形时，可以使用力学中的抛体运动知识。

在抛体运动中，射程和时间的有效结合，可以得到对应抛物线的一般公式，把它代入就能得到相应的抛物线三角形的位置和面积。

由上述可知，若要求抛物线三角形OAB的面积，先由力学抛体运动中的变量计算出抛物线方程，然后再求出抛物线三角形ABO的面积。

可将此类计算分为三种情况：要么抛物线具有十字形，AB两点对应抛物线上的两个拐点；要么AB两点在同一条抛物线上，都在抛物线的根号一侧；要么AB两点在同一条抛物线上，但都在抛物线的根号后侧。

此外，计算抛物线三角形OAB面积时，可以通过求得抛物线的顶点位置O的极坐标来计算：求解抛物线的三个不等式，得到对应的极坐标，由极坐标可以方便地求出抛物线三角形极面积。

总之，求抛物线三角形OAB面积有多种方法，由于这种三角形相当一般，有使用力学知识计算抛物线方程的方法，也有求极面积的方法。

根据具体情况的需求可以选择不同的方式，计算出抛物线三角形对应的位置和面积。

铅垂线法求解抛物线中三角形面积

新教师教学课例研究引题•如图，平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，-3）.（1）求直线BC 的解析式；（2）平移直线BC ，使它经过点A ，与y 轴相交于点D ，求平移后的直线AD 的解析式；（3）若抛物线经过A 、B 、C 三点，与直线AD 相交于点E.求抛物线的解析式及△BCE 的面积；解法：（1）将B （3，0）C （0，-3）代入到中，得到一个二元一次方程组解得，（2）根据BC ∥AD ，即k 相等，∴，将A （-1，0）代入可得m=1，将A （-1，0），B （3，0），C （0，-3）代入到中，得到即，通过计算（3）中△EBC 的面积巩固学生对平行线间距离处处相等这一性质应用即同底等高：.通过引题目的复习巩固平行线的2个基本性质：直线平行即k 相等；平行线间距离处处相等（同底等高求面积）。

问题2：若P 为抛物线第四象限上一动点，当△BCP 面积最大时，求点P 的坐标。

解法一：在△BCP 中，BC 要使△BCP 的面积最大即BC ，作与BC 平行的直线PF ，当直线PF 与抛物线有且PF BC三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。

（歪：如图1，过△ABC 的三，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）法：。

坐标系中，三角形出现在抛物线中，们只要确定a ，h 的值代入公式求解即可2.归纳结论：一般地，直线BC ：与抛物线交于点C （x C ，y C ），B （x B ，y B ），如果我们把抛物线与直线围成的区域称之为“弓形”，点”的抛物线上的一个动点，则当点P 的横坐标，当△BCP 的面积最大，即点P 的横坐标是点C ，点，“弓形”中的内接三角形的面积最大。

结论证明：要使△CBP 的面积最大，作与y=kx+m 平行且与抛物线y=ax 2+bx+c 相切的直线，切点为P ，此时△CBP 的面积最大，设此直线为y=kx+n ，∴关于x 的方程ax 2+bx+c=kx+n 有且只有一个解，即ax 2+（b-k ）x +（c-n ）有一解，∴，∴由求根公式.又∵C ，B 的横坐标是方程的两个解，∴问题。