广义积分的收敛性
§1广义积分的概念与计算
§1广义积分的概念与计算广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对一些函数在一个区间上的积分的推广。
在数学中，广义积分是利用极限的概念来计算一些函数在无界区间上的积分。
广义积分的计算方法有多种，下面将详细介绍广义积分的概念以及常用的计算方法。
1.广义积分的定义广义积分的定义是通过极限来定义的。
设函数f(x)在区间[a, +∞)上有界，则称函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分为广义积分，记作∫(a, +∞) f(x)dx，定义如下：∫(a, +∞) f(x)dx = lim R->+∞ ∫(a, R) f(x)dx其中，R是一个无穷大的数。
广义积分存在的条件是收敛，即极限存在时，广义积分收敛，否则称为发散。
2.广义积分的计算方法计算广义积分的方法有多种，下面将介绍几种常用的方法。
2.1.利用分部积分法分部积分法是一种常用的求解广义积分的方法，它是通过对被积函数进行适当的分解和对积分符号的操作来求解广义积分。
基本的分部积分公式为：∫ u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫ v(x)u'(x)dx利用分部积分法，可以将复杂的广义积分转化为简单的广义积分，从而便于求解。
2.2.利用换元法换元法是另一种常用的求解广义积分的方法，它是通过引入一个新的变量并进行适当的代换，将原广义积分转化为一个简单的形式。
换元法的基本思想是利用变量代换来改变被积函数的形式，从而使得积分变得容易求解。
2.3.利用级数展开法级数展开法是一种将被积函数展开成无穷级数的方法，然后分别求解每一项级数的广义积分，最后将所有项的广义积分进行求和得到原广义积分的值。
级数展开法主要适用于一些特殊函数的广义积分求解。
2.4.利用对称性有些函数具有对称性，可以利用对称性来简化广义积分的计算。
例如，假设函数f(x)在区间[-∞, +∞]上是奇函数，则有∫(-∞, +∞) f(x)dx = 0。
利用对称性可以将广义积分化简为求解一个有界区间上的广义积分。
广义积分收敛的必要条件
x x→+∞
x→+∞
（接 91 页）
论，双方各有千秋. 另外在课堂上与老师交流是否顺利 这一问题中 ，A 有 19“选择”十分顺利，不仅听懂了，而 且还向老师提出了自己的看法和问题； 而 B 只有 5％. 从其他选项中也反映出：A 倾向于老师在课堂上交流， 而 生 生 间 的 课 外 交 流 障 碍 较 大 ；B 则 倾 向 于 课 外 ， 师 生、生生间的交流，相互交流的障碍较小. 这充分说明 在引导数学交流问题上，老师起着主导作用，教师的教 学理念、教学方式决定了学生是否喜欢交流、喜欢怎样 的交流、会不会交流.
ZHUAN TI YAN J IU
专题研究
1≠ 0，由定理 1 知该广义积分发散． 解法二 lim f（x）存在，则被积函数在 定 义 域 上 一
x→+∞
致 连 续 ，但 lim f（x） =1≠ 0，由 定 理 2 也 可 以 得 出 该 广 x→+∞
义积分发散．
【参考文献】 ［1］ 华 东 师 范 大 学 数 学 系． 数 学 分 析 （下 ）［M］． 北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，2001. ［2］ 关冬月． 关于无穷级数和无穷积分收敛的必要条件［J］． 内 蒙 古 师 范 大 学 学 报 ，2004（5）：73－75. ［3］ 木壮志，赵星君． 广义积分收敛的一个充要条件 ［J］． 哈 尔 滨 理 工 大 学 学 报 ，1999（4）：46－49. ［4］ Proof of the Function Series Convergence Uniform Theorem and Necessary and Sufficient Condition in General Integral Convergent［J］． Journal of Jiaying University，2003（2）：23－26. ［5］ On the Necessary Conditions for Convergence of General-
广义积分的收敛判别法
ln x x
2019/4/26
b
1 4
1 4
x 0
x ln x x
3 4
1 4
1 x
3 4
据比较判别法2, 所给积分绝对收敛 .
宁波大学教师教育学院 18
三、 函数
1. 定义
函数 : ( s ) x ( s 0 ) x ed
5
a t
lim x ) d x x ) d x f( f(
a
t
f( x ) d x 收敛 . 极限存在 , 即广义积分 a
若
a
f (x )d x发散 , 因为 t a时有
0 x ) d x ( x ) d x f( g
a a t t
3 2
2 的收敛性
.
x
1 1 1 1 2
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别广义积分
解:
x d x 的收敛性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x lim lim x2 1 2 2 x1 x x 1 x
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
0 , A a , 使 对 A , A A 都 有 0 0
|
A A
f (x)d x|.
证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。
2019/4/26
宁波大学教师教育学院
3
柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）， 十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生 于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，因数学上的成
论广义积分的收敛性
论广义积分的收敛性摘要广义积分是定积分概念的推广至无限区间和有限区间上的无界函数的情形，而定积分的的主要特点是积分区间有界，并且在此区间上被积函数为有界函数，而这两个限制条件不能很好地解决实际中的有些问题，于是突破这两条限制的束缚便得到其推广形式即广义积分。
大部分的广义积分不可被直接计算，有的虽然能计算出它的值，但计算过程十分麻烦，因此判断广义积分的收敛性就成为广义积分求值的一个决定性条件。
本文就针对敛散性论述广义积分，针对几种不同类别的广义积分形式，讨论几种比较常用的判别方技巧。
1.首先我们可以利用收敛积分的余部可以判定所求积分是否收敛.对于⎰+∞adxx f )(和⎰+∞bdxx f )(,如果b>a,则⎰+∞bdxx f )(称为⎰+∞adxx f )(的余部。
因为改变下限积分的值(a 不是奇点)，或对被积函数乘以非零常数，都不改变积分的敛散性，即∀b>a,k ≠0,都有⎰+∞adxx f )(收敛⇔⎰+∞bdxx f )(收敛，⎰+∞adxx f )(收敛⇔⎰+∞bdxx kf )(收敛.另外，如果f (x ),g(x)的广义积分都收敛，那么线性组合αf(x)+βg(x)的广义积分也收敛，对于其余类型的广义积分，也有类似的结论.2.对于两个端点都是奇点的广义积分，我们可以任取区间内的任意一点x 0，把积分分成两半，再分别判断这两半积分的收敛性.例如定义广义积分 f x dx +∞−∞，设函数f(x)在区间(−∞,+∞)上内闭有界可积，除端点外再没有奇点.取一点x 0，定义⎰+∞∞-)(dx x f = f x dx x 0−∞+ f x dx +∞x 0，如果右端这两个广义积分都收敛，就称左端的广义积分收敛(否则称其发散).对于内闭有界可积，且在积分区间I 内有有限个奇点的广义积分，为了方便地得到广义积分是否收敛，我们可以把积分区间上的几点去掉，这样以奇点为分点，广义积分的区间就被分成许多个小区间I =I 1∪I 2∪···∪I n .于是就可以定义⎰I dx x f )(=⎰I dx x f 1)(+⎰I dx x f 2)(+···+⎰I dx x f n)(如果右端每个广义积分都收敛，就称左端这个广义积分收敛(否则就称发散).3.对于广义积分 f x dx +∞a，如果函数f(x)在区间 a ,+∞ 上以+∞为唯一奇点，且内闭有界可积，并且有原函数F (x ),那么f x dx =lim x→+∞f x dx =xa +∞alim x→+∞F x −F (a ).不论这个极限如何，都把这个公式写为f x dx =F x +∞a|a +∞.如果极限lim x→+∞F (x )存在，那么广义积分收敛，否则就发散.4.我们知道Cauchy 收敛准则可以用来判定函数的敛散性，这对于积分也同样适用.因为广义积分的四种基本类型可以相互转化，故只讨论 f x dx +∞a 这一种形式即可. f x dx+∞a收敛⇔∀ε>0，∃X >当x 1,x 2>X 时，| f x dx x2x 1|<ε⇔lim t→+∞ρ t =0，ρ t ≝qp t sup≤≤⎰qp)(dxx f5.夹逼收敛原理也可以判断积分是否收敛.设f x ≤g (x )≤ (x )(x ≥a )，如果积分 f x dx ， x dx +∞a+∞a都收敛，那么积分 g x dx +∞a也收敛.另外绝对收敛的广义积分也一定收敛，由夹逼收敛定理可证明这条结论. 6.对于非负函数的广义积分还有三个特殊的判别方法. (1)收敛准则在区间 a ,+∞ 上，设函数f (x )≥0,那么广义积分 f x dx +∞a收敛⇔变上限积分 f x dx ta (t ≥a )有界(2)控制收敛判定法在区间 a ,+∞ 上，对非负函数f x ,g x ，设g(x)是f(x)的上控制函数，即存在 x 0≥a ，使得0≤f x ≤g(x)，∀x ≥x 0.如果上控制函数g(x)的广义积分收敛，那么被控制函数f(x)的广义积分也收敛. (3)比较判定法在区间 a ,+∞ 上，设f(x),g(x)都是非负函数并且有极限limx→+∞f (x )g (x )=l (存在或为+∞).(i) 当l ∈(0,+ ∞)时，两个函数的广义积分有相同的收敛性. (ii)当l =0时，由 g x dx +∞a收敛，推出 f x dx +∞a收敛. (iii) 当l =+∞时，由 g x dx +∞a发散，推出 f x dx +∞a发散. 7. 在Abel 条件或Dirichlet 条件下，广义积分 f x g (x )dx +∞a都收敛.Abel条件 (1) f(x)单调有界. (2) g(x)广义积分收敛.f(x)=0. (2) g(x)的变上限积分有界.Dirichlet条件 (1)f(x)单调，limx→+∞总结以上列举的众多判定广以积分收敛性的方法，有助于我们更好地掌握广义积分的性质，提高运算效率。
广义积分的审敛法
二、无界函数的广义积分的审敛法
定理6 (比较审敛法2) 设函数 f ( x) 在区间(a,b]
上连续，且 f ( x) 0, lim f ( x) .如果存在 xa0
常数
M
0及
q
1，使得
f
(x)
M ( x a)q
(a
x
b), 则广义积分 b f ( x)dx 收敛；如果存在常数 a
N
0及
广义积分的审敛法
一、无穷限的广义积分的审敛法
不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法.
定理１ 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，
且 f ( x) 0．若函数 F ( x)
x
f (t)dt
a
在 [a,) 上有界，则广义积分
f
(
x
)dx
收敛
．
a
由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理．
三、 函数
定义 (s) ex xs1dx (s 0) 0
特点: 1.积分区间为无穷;
2.当 s 1 0 时被积函数在点 x 0 的 右领域内无界.
设 I1
1 e x x s1dx,
0
I2
e x x s1dx,
1
(1) 当 s 1 时, I1 是常义积分; 当 0 s 1 时,
x
x
f
(
x
)dx
发
散．
a
例２ 判别广义积分 dx 的收敛性. 1 x 1 x2
解 lim x2 1 1, 所给广义积分收敛．
x
x 1 x2
例３
判别广义积分
1
x3 1
/2
广义积分的收敛性
§2 广义积分的收敛性主要知识点：广义积分及其敛散性概念；非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法； 一般函数广义积分收敛性的Abel 、Dilichlet 判别法； 广义积分与级数的关系。
1、 讨论积分1121(1)[ln(1)]xe dx x αβ+∞--+⎰ 的敛散性。
解：211,x x x αβ→+∞时“分子”“分母”。
2、 证明积分4201sin dxx x +∞+⎰ 收敛 。
10,02kkk k k k k kk I v v v πδπδπδδδ+--'↓=++≤=≤∑∑⎰⎰解：取则，其中 ，11(1)(1)42111()sin k k kkk k kk k k v k πδπδπδπδπδ+++-+-+++'=≤+⎰⎰ 。
431,k kvk δ=∑取则收敛；114433()0,k k kkM M v v kkπδδ+--''≤≤≤∑又可见也收敛。
3、 证明积分1223(1)(sin )dxxx +∞+⎰ 收敛 。
解：注意到(1)2233(sin )[sin()],n n nx x n I u πππ+=-==∑∑⎰故 ，由于22223210,1sinn nu dx un xππ≤≤+∑⎰故收敛。
4、 讨论积分10sin 1cos xdx k x παα-+⎰的敛散性 。
解：⑴ －1< k <1时f(x)只可能以0,π为瑕点，且当x →∞时分别与1111,()x x ααπ---同阶，故当0α>时积分收敛。
⑵ k = ±1时，f(x)的可能瑕点仍是0,π 。
11201I I I π=+=+⎰⎰k = 1时，将cos x 在点π处展成Taylor 公式，可知1cos x +与2()x π-同阶。
于是1I 仅当0α>时收敛，2I 仅当0α<时收敛，从而原积分不收敛。
k = －1 时，将cos x 在点0处展成Taylor 公式，可知1－cos x 与2x 同阶。
广义积分的收敛性与发散性
广义积分的收敛性与发散性广义积分是高等数学中一种重要的积分形式，其定义方式与普通积分有很大的不同。
与普通积分只能在有限区间上进行不同，广义积分可以在整个实数轴上进行积分计算。
然而，广义积分的收敛性与发散性问题也是需要引起我们的高度关注的。
一. 广义积分的概念与定义广义积分的概念是在普通积分的基础上扩充而来的，它的定义如下：设函数 $f(x)$ 是区间 $(a,+\infty)$ 上的连续函数，那么称限定积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 为广义积分。
同样地，若$f(x)$ 是区间 $(-\infty,b)$ 上的连续函数，那么称限定积分$ \int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 为广义积分。
需要注意的是，广义积分在定义时通常会采用极限的方法，即对于极限 $\lim_{t\rightarrow +\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 与$\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 分别进行计算。
二. 广义积分的收敛性与发散性与普通积分不同，广义积分的定义中并不包含区间的限制，因此在进行广义积分计算时，需要关注其收敛性与发散性问题。
1. 收敛性若广义积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 或 $\int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 存在一个有限的极限，即 $\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 或 $\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 存在，则称该广义积分收敛。
例如，对于函数 $f(x)=\frac{1}{x^p}\,(p>0)$，当 $p>1$ 时，$\int_1^{+\infty}{\frac{1}{x^p}dx}$ 收敛，而当 $p \le 1$ 时，则发散。
反常积分收敛的比较判别法
反常积分收敛的比较判别法在数学中，反常积分的收敛问题是一个重要的话题。
比较判别法是一种常用的方法，用于判断反常积分的收敛性。
本文将介绍比较判别法在无穷区间积分、无穷级数求和、瑕点处理、非负函数积分、广义积分收敛性、变限函数积分、绝对收敛与条件收敛以及与微分方程的联系等方面的应用。
1.无穷区间积分无穷区间积分是指积分区间为无穷大的积分。
在这种情况下，比较判别法通常用于判断积分的收敛性。
例如，对于函数f(x)在[0,∞)上积分收敛的充要条件是存在常数M，使得当x→∞时，f(x)→M。
2.无穷级数求和无穷级数求和是指对无穷多个数进行求和。
比较判别法也适用于判断无穷级数的收敛性。
例如，对于级数∑an，如果存在常数M，使得对于任意n，有|an|≤M，则级数收敛。
3.瑕点处理瑕点是指反常积分中使被积函数无定义的点。
在处理瑕点时，比较判别法可以用来判断瑕积分的收敛性。
例如，对于瑕积分∫(上限为∞,下限为a)f(x)dx，如果存在常数M，使得当x→a+时，f(x)→M，则瑕积分收敛。
4.非负函数积分对于非负函数f(x)的积分，比较判别法也适用。
例如，如果f(x)在[0,∞)上可积，且存在常数M，使得当x→∞时，f(x)≤M，则f(x)的积分收敛。
5.广义积分收敛性广义积分是指积分区间为无穷大的反常积分。
在这种情况下，比较判别法可以用来判断广义积分的收敛性。
例如，对于广义积分∫(上限为∞,下限为a)f(x)dx，如果存在常数M，使得当x→∞时，f(x)→M，则广义积分收敛。
6.变限函数积分变限函数积分是指积分上限或下限为变量的积分。
在这种情况下，比较判别法可以用来判断变限函数积分的收敛性。
例如，对于变限函数积分∫(上限为φ(t),下限为a)f(x,t)dxdt，如果存在常数M，使得当t→∞时，∫(上限为φ(t),下限为a)|f(x,t)|dxdt≤M，则变限函数积分收敛。
7.绝对收敛与条件收敛反常积分可以分成绝对收敛和条件收敛两种情况。
广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算， 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值。
对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f （x )在[a ， +∞ )上的广义积分⎰+∞adxx f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε, 存在A>0, 使得b , b '〉A 时，恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证明：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分⎰b adx x f )(（b 为瑕点）, 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理)设函数f (x )在［a ,b )上有定义，在其任何闭子区间［a ， b –ε]上常义可积，则瑕积分⎰ba dx x f )(收敛的充要条件是: 0>∀ε , 0>∃δ, 只要0<δηη<</，就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f定义9。
5如果广义积分⎰+∞a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛（也称f （x ）在[a ,+)∞上绝对可积］; 如⎰+∞adx x f )(收敛而非绝对收敛,则称⎰+∞adx x f )(条件收敛，也称f （x )在[a ，+)∞上条件可积．由于a A A ≥∀/,，均有 |)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A Adx x f因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛，则广义积分⎰+∞adx x f )(必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子.对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．下面我们先介绍当被积函数非负时,广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：定理9。
(5)广义积分敛散性的判别法,
故由推论1知，题设广义积分发散 .
例5 判别广义积分
arctan x
dx
1
x
的敛散性.
解 因为 lim x arctan x lim arctan x ,
x
x
x
2
故根据推论2知，题设广义积分发散 .
例6 判别广义积分
eax sin bxdx
0
的收敛性，其中 a,b 都是常数，且 a 0.
广义积分敛散性的判别法
判定一个广义积分的收敛性,是一个重要的问 题. 当被积函数的原函数求不出来,或者求原函 数的计算过于复杂时,利用广义积分的定义来 判断它的收敛性就不适用了. 因此,我们需要其 它方法来判断广义积分的收敛性.
（一）。无穷限广义积分的审敛法
无穷限广义积分的审敛法与正项无穷级数审 敛法很类似，先复习一下正项级数审敛法以 便与无穷限广义积分的审敛法作比较
这里 p 2 1,
故由推论2知，题设广义积分收敛.
例3 判别广义积分
x 3/ 2 1 1 x2 dx
的敛散性. 解 因为
lim
x
x
x3/2 1 x2
lim
x
x2 1
x x2
,
故根据推论2知，题设广义积分发散.
例4 判别广义积分
1 ex dx
1x
的敛散性. 解 因为当 x 1 时，1 ex 1 ,
f (x) 0 1.如果存在常数M>0,及p>1,使得：
f
(x)
M xp
,
(a
x
)
则 f (x)dx a
收敛；
2）如果存在常数N>0,使得
则
f (x)dx
发散；
广义积分的收敛性与绝对收敛性
广义积分的收敛性与绝对收敛性广义积分是微积分中重要的概念之一，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨广义积分的收敛性和绝对收敛性，并讨论它们之间的关系。
一、广义积分的收敛性广义积分是对一类函数的积分进行的推广，它可以是无穷区间上的函数，或者是包含奇点的函数。
对于函数f(x)，如果它满足在[a, b)区间上的任意子区间[a, c)（c>b）上都有定义并可积，那么我们称f(x)在[a, b)上是可积的。
若存在一个实数I，使得对于任意的ε > 0，存在δ > 0，当[a, c)的长度小于δ时，有∣∣∣∫_[a, c] f(x)dx - I∣∣∣ < ε，则我们称该广义积分收敛于I。
广义积分的收敛性取决于函数f(x)在积分区间上的性质。
有一些常见的判别方法，如比较判别法、绝对值判别法、定积分判别法等。
这些判别法使用不同的条件来判断广义积分是否收敛。
二、广义积分的绝对收敛性在广义积分的收敛性基础上，我们再来讨论广义积分的绝对收敛性。
对于函数f(x)，如果在[a, b)上是可积的，并且绝对可积，即∫_[a, b)∣f(x)∣dx是有限的，那么我们称广义积分绝对收敛。
绝对收敛性是一种更强的条件，它能够保证广义积分的性质更加稳定。
对于绝对收敛的广义积分，我们可以通过改变积分的顺序、分组求和等方式进行计算而不影响结果。
这在实际问题中非常有用，特别是在物理学和工程学中的应用。
三、广义积分的收敛性与绝对收敛性的关系广义积分的绝对收敛性是收敛性的一个特殊情况。
也就是说，如果一个广义积分绝对收敛，那么它一定是收敛的。
反之则不一定成立，只要一个广义积分收敛，它不一定是绝对收敛的。
这可以通过一个简单的例子来说明。
考虑函数f(x) = sin(x)/x，在区间[1, +∞)上进行积分。
根据定积分的性质，我们知道∫_[1, +∞) sin(x)/x dx是收敛的。
但是，如果我们计算∫_[1, +∞) ∣sin(x)/x∣ dx，这个积分是发散的，也就是不绝对收敛的。
广义积分的敛散性判断
广义积分的敛散性判断反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。
广义积分收敛辨别法则包括无穷积分收敛性的辨别、乘积函数积分收敛的辨别法、无界函数积分的收敛性。
通俗的讲，积分是指函数图形与坐标轴围成的面积。
例如f(x)从a到b 的积分就等于曲线f(x)，直线x=a，x=b和x轴围成的图形的面积。
当然,这块面积在x轴上方的部分取为正,下方取为负，然而有时候这个面积会少一条边，比如,积分上下限a或者b二者有一个是无穷大或者两个都为无穷大。
例如f(x)从a到正无穷大的积分，它表示f(x)，直线x=a，x轴围成的面积。
当然,因为缺少一条边，这块面积不是封闭的，它是向x轴正方向无穷延生的，虽然积分上下限为确定值，但是函数图形本身无法和直线x=a、x=b、x轴围成封闭的面积。
例如f(x)=1/x从0到1的积分,表示y=1/x、x=0、x=1、x轴围成的面积。
因为f(x)=1/x在0出的值为无穷大，所以这块面积也不是封闭的,它是向y轴延生的，像这种积分表示的面积无限延生的情况，称之为广义积分。
因为面积无限延生，因此有可能面积的值为无穷大，例如y=x从0到正无穷的积分表示y=x、x=0和x轴围成的面积，任何一个人都应该知道这个面积应该为无穷大，像这种积分表示的面积为无穷大的情况，称之为广义积分发散。
反之如果这个面积为一个有限数值，则称之为广义积分收敛。
广义积分的敛散性判断内容广义积分敛散性的分析包括判定绝对收敛性、条件收敛性、发散性，具有广泛的应用性，很多数学建模都得到广义积分，就此首先需要判定广义积分是否收敛，不然就需要考虑模型的合理性。
广义积分的敛散性判断方法分析广义积分的敛散性，首先基于简化的思想，具体做法有主部分离。
然后，可以依次判定：绝对收敛性、自身收敛性、绝对发散性与发散性，就此可以确定对应于相关收敛性的参数范围。
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
广义积分的定义是对于一类无界函数或者在某些点上发散的函数，通过一种特殊的处理方法来进行求解。
下面将对广义积分的定义和性质进行详细介绍。
我们来看广义积分的定义。
对于一个定义在区间[a, b)上的函数f(x)，如果在[a, b)上存在一个数c，使得对于任意的c < t < b，函数f(x)在区间[a, t]上是可积的，那么我们称函数f(x)在区间[a, b)上是广义可积的。
此时，我们将广义可积函数在区间[a, b)上的积分定义为极限值：∫(a to b) f(x) dx = lim(t→b-) ∫(a to t) f(x) dx其中，积分号∫表示对x的积分，a和b分别是积分的上下限，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
广义积分的定义中有两个关键点，一个是上限t趋近于b时的极限，另一个是被积函数在[a, t]上可积。
这两个条件保证了广义积分的存在性。
接下来，我们来讨论广义积分的性质。
首先是线性性质，即对于任意的实数a和b，以及广义可积函数f(x)和g(x)，有以下等式成立：∫(a to b) [af(x) + bg(x)] dx = a∫(a to b) f(x) dx + b∫(ato b) g(x) dx其次是区间可加性，即对于任意的c，a，b满足a < c < b，以及广义可积函数f(x)，有以下等式成立：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx再次是保号性，即如果在[a, b)上的广义可积函数f(x)非负，那么广义积分的值也是非负的。
最后是比较定理，包括比较判别法、比较审敛法和比较收敛法。
比较判别法用于判断广义积分的敛散性，如果存在一个广义可积函数g(x)，使得在[a, b)上的广义可积函数f(x)满足|f(x)| ≤ g(x)，那么广义积分∫(a to b) f(x) dx一定收敛。
§2广义积分的收敛判别法
的收敛性 .
解:
由比较判别法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论广义积分 提示: 当 x≥1 时, 利用
的收敛性 .
可知原积分发散 .
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定理5. (极限判别法1)
满足
lim x p f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
证: 1) 当p 1时, 根据极限定义, 对取定的
(1
1
x)2
1 (1 x2 )(1 k 2x2 )
x
则有: 1) 当
2) 当
例5.
判别广义积分
3
1
dx ln x
的敛散性
.
解: 此处 x 1为瑕点, 利用洛必达法则得
根据极限判别法2 , 所给积分发散 .
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1
例6. 判定椭圆积分
dx
(k 2 1) 的收
0 (1 x2 )(1 k 2 x2 )
敛性 .
解: 此处 x 1为瑕点, 由于
解:
lim x2 x x
1 1 x2
lim
x
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
1 1
1 x2
1
3
例3. 判别广义积分
x2 1 1 x2
dx
的收敛性 .
解:
3
lim
x
x
1 2
1
x
2
x
2
lim x 1
x2 x
2
1
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
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广义积分与收敛性
广义积分与收敛性广义积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍广义积分的定义、性质以及收敛性的相关内容。
一、广义积分的定义广义积分是对某些函数在无界区间上的积分进行定义。
设函数f(x)在[a, +∞)上连续或仅在[a, b)上连续，在(a, b]上有无界的间断点。
如果对于任意的a≤x<b，都存在一个确定的数I，使得lim ∫f(x) dx = Ib→+∞ a则称该广义积分收敛，记作∫f(x) dx = I。
如果该极限不存在，则称该广义积分发散。
二、广义积分的性质1. 改变有限个点的值对广义积分的收敛性没有影响。
即使在有限区间上有有限个间断点或可去间断点，广义积分依然可以收敛。
2. 如果∫f(x) dx和∫g(x) dx都收敛，则对于任意的常数a、b，有∫(af(x) + bg(x)) dx也收敛，并且∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx。
3. 如果∫f(x) dx收敛，且|f(x)|≤|g(x)|，则∫g(x) dx也收敛。
4. 如果∫f(x) dx和∫g(x) dx均收敛，并且存在常数c，使得f(x) ≤ g(x)对于足够大的x成立，则∫f(x) dx ≤ ∫g(x) dx。
三、广义积分的收敛性判定广义积分的收敛性判定方法有很多种。
下面介绍两种常用的判定方法。
1. 比较判别法当函数f(x)和g(x)满足以下条件时：1）在某个无穷区间上都连续或者只有有穷个间断点；2）当x趋于正无穷时，有0≤f(x)≤g(x)成立；3）∫g(x) dx收敛，则∫f(x) dx也收敛；4）∫f(x) dx发散，则∫g(x) dx也发散。
2. 极限判别法当函数f(x)满足以下条件时：1）在某个无穷区间上连续或者只有有穷个间断点；2）存在正函数g(x)，在趋于正无穷时，g(x)趋于0；3）若极限lim f(x)/g(x)存在且为正常数，则∫f(x) dx和∫g(x) dx同时收敛或者同时发散。
§2广义积分的收敛判别法
s
xs1 exd x
0
0
s (s)
注意到: (1) n N , 有
0
e
x
d
x
1
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1)
n!(1)
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(2) 当s 0时, (s) .
Dirichlet是Gauss的学生和继承人。他毕生敬仰Gauss.他说Gauss的讲课是“一 生所听过的最好，最难忘的课。”1855年，Gauss逝世后，他作为Gauss的继承者被哥 丁根大学聘为教授，接替Gauss原任的职务，直到逝世。
a
0
1
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数
的广义积分中来 .
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利用
b
a (
x
1 a)
q
dx
收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
类似定理 4 与定理 5，有如下的收敛判别法.
当0 s 1时,
x s 1
ex
1 x1s
e1x
1 x1s
而1 s 1, 根据比较判别法2知I1 收敛.
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I2
xs1 exd x
1
2) 讨论 I2 .
( x s 1
ex )
lim
反常积分的审敛法实用知识
也发散．
a
a
证
设 a b ，由 0 f ( x) g( x)及
g( x)dx
a
收敛，得
b
b
f ( x)dx g( x)dx g( x)dx.
a
a
a
即 F (b) b f ( x)dx 在 [a,) 上有上界． a
技术教学
2
由定理１知
f
(
x
)dx
收
敛．
a
如果 0 g( x) f ( x), 且
sin s
４．在 (s) ex xs1dx 中，作代换 x u2， 0
有 (s) 2 eu2 u2s1du. 0
技术教学
18
四、小结
广义积分审敛法
无穷限的广义积分审敛法
无界函数的广义积分审敛法
比较审敛法１ 极限审敛法１ 比较审敛法２ 极限审敛法２
绝对收敛
技术教学
19
练习题
一、判别下列广义积分的收敛性：
证 令 ( x) 1 ( f ( x) f ( x) ).
2
( x) 0，且 ( x) f ( x) , f ( x)dx 收敛, a
(
x
)dx
也收敛.
但 f ( x) 2 ( x) f ( x) ,
a
b
b
b
f ( x)dx 2 ( x)dx f ( x)dx,
a
例４ 判别广义积分 arctan xdx 的收敛性.
1
x
解 lim x arctan x lim arctan x ,
x
x
x
2
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
技术教学
7
定理5 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，
广义积分绝对收敛性研究与运用
1．在广义积分收敛性的研究上，部分函数虽然收敛，但不一 定绝对收敛。另外，我们也可以根据绝对收敛的广义积分也收敛， 反过来研究广义积分的敛散性，这将使部分广义积分的敛散性判 别大大简化。
³ 2．定义：如果广义积分 f f (x) dx 收敛，则称广义积分 a
³ f f (x)dx 绝对收敛。 a 3．无穷区间上广义积分的收敛准则 定理 1 设函数 f (x) 在区间 [a, f) 上连续，如果广义积分
教育研究
课程教育研究
广义积分绝对收敛性研究与运用
余小飞 郭洪林
（河南工业职业技术学院 河南 南阳 473000）
【摘要】本文根据关于积分绝对收敛的条件，研究广义积分是否收敛？是否绝对收敛？
【关键词】广义积分 收敛 绝对收敛
【中图分类号】O17
【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2017）34-0095-02
xdx
是否收敛？是否绝对收敛？
³ 对于任意的 A ! 1 ，由于
Asin xdx
1
d2
，且当 x o f
时， 1 x
³ 单调递减趋近于零，故积分
f 1
sin x
xdx
收敛。
又
sin x
x
在
x
0 处为可去间断点，补充定义其值为 1 后，可
³ 视为 [0,1] 上的连续函数，因此积分
1 0
sin x
(
x
x 100
x cos 2x x 100
)
，
³ 且
1
lim (x2
xof
x
x
) 100
1 ，故积分
f 0
x
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§2 广义积分的收敛性主要知识点：广义积分及其敛散性概念；非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法； 一般函数广义积分收敛性的Abel 、Dilichlet 判别法； 广义积分与级数的关系。
1、 讨论积分1121(1)[ln(1)]xe dx x αβ+∞--+⎰ 的敛散性。
解：211,x x xαβ→+∞时“分子”“分母” 。
2、 证明积分4201sin dxx x +∞+⎰ 收敛 。
10,02kkk k k k k kk I v v v πδπδπδδδ+--'↓=++≤=≤∑∑⎰⎰解：取则，其中 ，11(1)(1)42111()sin k k kkk k kk k k v k πδπδπδπδπδ+++-+-+++'=≤+⎰⎰ 。
431,k kvkδ=∑取则收敛；114433()0,k k kkM M v v kkπδδ+--''≤≤≤∑又可见也收敛。
3、 证明积分1223(1)(sin )dxxx +∞+⎰ 收敛 。
解：注意到(1)2233(sin )[sin()],n n nx x n I u πππ+=-==∑∑⎰故 ，由于22223210,1sinn nu dx un xππ≤≤+∑⎰故收敛。
4、 讨论积分10sin 1cos xdx k x παα-+⎰的敛散性 。
解：⑴ －1< k <1时f(x)只可能以0,π为瑕点，且当x →∞时分别与1111,()x x ααπ---同阶，故当0α>时积分收敛。
⑵ k = ±1时，f(x)的可能瑕点仍是0,π 。
11201I I I π=+=+⎰⎰k = 1时，将cos x 在点π处展成Taylor 公式，可知1cos x +与2()x π-同阶。
于是1I 仅当0α>时收敛，2I 仅当0α<时收敛，从而原积分不收敛。
k = －1 时，将cos x 在点0处展成Taylor 公式，可知1－cos x 与2x 同阶。
于是1I 仅当0α<时收敛，2I 仅当0α>时收敛，故原积分不收敛。
⑶ 111,arccos(),cos ,sin 0k k kθθθ>=-=-≠记则 。
f(x)的可能瑕点为0,π，θ 。
123400,ababa b a b I I I I I θπθθπ<<<<=+++=+++⎰⎰⎰⎰取、使 。
在点θ处将cos x 展开成Taylor 公式：1cos ()sin ()x x x kθθθ=-+-+- ，于是 (1cos )[()sin ()]k x x x ααθθθ+=-+- 与 ()x αθ-同阶。
因此，当且仅当1α<时23,I I 收敛；又仅当0α<时1I ，4I 收敛，所以当且仅当01α<<时原积分收敛。
5、 设2()0()()sin af x f x dx f x x dx ∞+∞>⎰⎰+a且单调减少，试证：与同敛散。
证：⑴ 设211lim ()0.()sin ()()cos 222x aaaf x f x xdx f x dx f x xdx +∞+∞+∞→+∞==-⎰⎰⎰注意到，由Dilichlet 判别法知右边第二个积分收敛，因此2()()sin af x dx f x x dx ∞+∞⎰⎰+a与同敛散。
⑵、lim ()0(),()0x af x A f x dx M +∞→+∞=>+∞>⎰包括此时发散，且存在，当x M ≥时()02Af x r >=>。
取000,k k M k k π>≥使则当时 1)(1)22()sin sin 02k k kkrf x x dx rx dx πππππ++>=>⎰⎰（ ，由Cauchy 准则，2()sin af x x dx +∞⎰也发散。
6、 设22sin 0,(sin )p pxp dx x x x +∞>+⎰讨论的敛散性。
解：当12p >时，由比较判别法即知积分收敛。
当12p ≤时，2(1)p pdxx x +∞+⎰发散，由上题知22sin (1)p pxdx x x +∞+⎰发散，再由比较法知原积分发散。
7、讨论1)dx +∞⎰的敛散性。
解：利用Taylor 公式 ：12221(),ln(1)(1)1()22t t t t t t t =-++=+++,112222111111[ln(1)][()]()]22x x x x x x +=-+=-+3322111111(())()]()224x x x x x +-++=-+ ，故当x →+∞时3211()4f x x ⋅，因此原积分收敛。
8、 讨论积分sin (0)1p qx xdx q x +∞≥+⎰的敛散性。
解：记 11201I I I +∞=+=+⎰⎰。
1111(1)sin 10(),221p x p qp x x f x x p I p I x x x +→+-+≤=⋅=>-≤-+ 故时收敛，时发散。
考察2I ：注意到1111px q pqx xq p q p x →+∞-⋅→->-≤+，所以分和两种情形来讨论。
① 1:()1pqx q p f x x ->≤⇒+2I 绝对收敛 。
② 01:q p <-≤由Dilichlet 判别法知2I 收敛，并且是条件收敛。
③ sin 0:(),0,01p q q x xq p f x p q q x ---≤=-≥≥+，可知2I 发散。
综上得到：原积分当21201p q p p q p >-->>-<-≤且时绝对收敛；且时条件收敛；20p q p ≤--≤或时发散。
9、 研究0()(0,1)sin x te F t dx t x+∞-=∈⎰关于的连续性。
解：只须证明上述积分在(,1)t ∈-∞上内闭一致收敛。
(1)2210012(1)21sin sin sin k ttttt t kdx dxdx dx t x txxxπππππππ+-==≤=<-⎰⎰⎰⎰，(1)000()1sin sin sin k xx k k tttk k k ke e dxF t dx dx e etxxxππππππ++∞--+∞+∞+∞--=====≤≤-∑∑∑⎰⎰⎰，由此即知积分在(,1)t ∈-∞上内闭一致收敛，从而0()(0,1)sin x te F t dx t x+∞-=⎰关于在连续。
10、设0()[0,),()f x C f x dx +∞∈+∞⎰绝对收敛，则：40()0lim()(sin )0p f x dx f x px dx +∞+∞→+∞=⇔=⎰⎰。
证明：因000()0,f x dx A A A +∞>≥⎰收敛，所以存在当时4()(sin )()AAf x px dx f x dx ε+∞+∞≤<⎰⎰。
对任意0p >，以pπ为步长等分0[0,]A 得01144411()(sin )()(sin )()(sin )kkk k A x x nnk k k x x f x px dx f x px dx f px dx ξ--====∑∑⎰⎰⎰()k k x pπ==410()(sin )pnk k f px dx πξ=∑⎰ =411101()sin ()()nn n k k k k k k k a a f x dx f f x p p ππξξξππ=====∑∑∑⎰410(sin ,)k k k a x dx x x x pππ-==-=⎰ 其中 。
令()p n →+∞→+∞必有得到400()(sin )()A A af x px dx f x dx π→⎰⎰ ，于是有44()(sin )()()(sin )()A A aaf x px dx f x dx f x px dx f x dx ππ+∞+∞-≤-+⎰⎰⎰⎰+4()(sin )()3(A A af x px dx f x dx p επ+∞+∞-<⎰⎰只要充分大）即 4lim()(sin )()p af x px dx f x dx π+∞+∞→+∞=⎰⎰，因此命题成立。