广义积分的收敛性
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§2 广义积分的收敛性
主要知识点：广义积分及其敛散性概念；
非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法； 一般函数广义积分收敛性的Abel 、Dilichlet 判别法； 广义积分与级数的关系。
1、 讨论积分1
121
(1)[ln(1)]x
e dx x α
β
+∞
--+⎰ 的敛散性。 解：211
,x x x
α
β→+∞
时
“分子”“分母” 。 2、 证明积分
420
1sin dx
x x +∞
+⎰ 收敛 。 1
0,02k
k
k k k k k k
k I v v v πδπδπδ
δδ+--
'↓=+
+≤=
≤∑∑⎰
⎰解：取则，其中 ，
11
(1)(1)42111()sin k k k
k
k k k
k k k v k πδπδπδ
πδ
πδ+++-+-++
+
'=≤
+⎰⎰ 。4
3
1
,k k
v
k
δ=∑取则收敛；
114
433
()
0,k k k
k
M M v v k
k
πδδ+--''
≤≤≤∑又可见
也收敛。
3、 证明积分
1
2
2
3
(1)(sin )
dx
x
x +∞
+⎰ 收敛 。
解：注意到(1)2
2
3
3
(sin )
[sin()]
,n n n
x x n I u π
π
π+=-==∑
∑⎰故 ，由于
2
222
3
2
1
0,1sin
n n
u dx u
n x
π
π≤≤
+∑⎰故
收敛。
4、 讨论积分
10
sin 1cos x
dx k x π
αα
-+⎰的敛散性 。
解：⑴ －1< k <1时f(x)只可能以0,π为瑕点，且当x →∞时分别与1111
,
()x x α
α
π---同阶，故当0α>时积分收敛。
⑵ k = ±1时，f(x)的可能瑕点仍是0,π 。1
120
1
I I I π
=
+=+⎰⎰
k = 1时，将cos x 在点π处展成Taylor 公式，可知1cos x +与2
()x π-同阶。于是1I 仅
当0α>时收敛，2I 仅当0α<时收敛，从而原积分不收敛。
k = －1 时，将cos x 在点0处展成Taylor 公式，可知1－cos x 与2
x 同阶。于是1I 仅当0α<时收敛，2I 仅当0α>时收敛，故原积分不收敛。
⑶ 11
1,arccos(),cos ,sin 0k k k
θθθ>=-=-
≠记则 。f(x)的可能瑕点为0,π，θ 。12340
0,a
b
a
b
a b a b I I I I I θ
π
θθπ<<<<=+++=+++⎰⎰⎰⎰取、使 。在
点θ处将cos x 展开成Taylor 公式：1
cos ()sin ()x x x k
θθθ=-
+-+- ，于是 (1cos )[()sin ()]k x x x ααθθθ+=-+- 与 ()x αθ-同阶。
因此，当且仅当1α<时23,I I 收敛；又仅当0α<时1I ，4I 收敛，所以当且仅当01α<<时原积分收敛。
5、 设2()0()()sin a
f x f x dx f x x dx ∞
+∞
>⎰⎰
+a
且单调减少，试证：与
同敛散。 证：⑴ 设21
1lim ()0.()sin ()()cos 22
2
x a
a
a
f x f x xdx f x dx f x xdx +∞
+∞
+∞
→+∞==
-
⎰
⎰
⎰
注意到
，
由Dilichlet 判别法知右边第二个积分收敛，因此
2()()sin a
f x dx f x x dx ∞
+∞
⎰
⎰
+a
与
同敛散。
⑵、lim ()0(),()0x a
f x A f x dx M +∞
→+∞=>+∞>⎰
包括此时
发散，且存在，
当x M ≥时()02
A
f x r >
=>。 取000,k k M k k π>≥使则当时 1)(1)2
2
()sin sin 02
k k k
k
r
f x x dx r
x dx π
π
π
π
π++>=
>⎰⎰（ ，由Cauchy 准则，
2()sin a
f x x dx +∞
⎰
也发
散。
6、 设22
sin 0,(sin )
p p
x
p dx x x x +∞
>+⎰
讨论的敛散性。 解：当1
2
p >
时，由比较判别法即知积分收敛。 当1
2
p ≤时，
2
(1)
p p
dx
x x +∞
+⎰
发散，由上题知22
sin (1)
p p
x
dx x x +∞
+⎰
发散，再由比较法知原