矩阵分析homework01答案
考博必备 研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题共73页
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
矩阵分析复习(最终版)
3 1 1 2.求 A 0 4 0 的最小多项式，并写出 A 的 Jordan 形. 1 1 5 0 4 0 1 A J 二、 设 A 1 4 0 . （1） 求 e A （2） 求可逆矩阵 Q 和若当型 J A ， 使Q e Q e 0 0 2
《矩阵分析》复习题目及参考答案
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提示：参考答案为个人所做，仅供参考.
1 3 1 一、1. 设 A 4 1 5
1 3 2 4 3 5
1 3 1 . （1）求 || A ||1 和 || A || 4 1 5
（2）证明 A 的谱半径 ( A) || A ||
i
可求的 A 的特征值为 1 2 1 ，从而谱半径 考虑到端点处的收敛性，可以判定 f ( A) 是收敛的. 进一步有，
当 1 ，有 rank ( A E ) 1 ,且 可逆矩阵P，使得P AP J A ,
1
其中
- 1 1 JA= . -1
k k 1
从而，幂级数 f ( x) 的收敛半径 R 1 ，且收敛区间为 [1,1] .
再考虑矩阵幂级数 f ( A)
k
k 1
1
2
2 1 Ak ，其中 A 1 0
令 | E A |
2 1 ( 1)2 0 1
( A) max i 1 R
故最小多项式为 mA ( ) ( 4) 初等因子组为 4、 ( 4)2
2
4 4 1 从而 Jordan 标准形为 4
二、
4 0 1 0 2 （1） E A 1 4 2 0 0 2 ( 2)
矩阵论第一章答案
α = (a1 , a2 ,..., an ) ,
∑a
i =1
i
= 0，
对任意 α , β ∈ L ， α = (a1 , a2 ,..., an ) , β = (b1 , b2 ,..., bn ) 有
6
n
n i =1
n i =1
α + β = (a1 + b1 ,..., an + bn ),
7. 解：是线性空间.不难验证 sin t ， sin 2t ，…， sin nt 是线性无关 的，且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示，所 以它们是 V 中的一个组基 . 由高等数学中傅里叶（ Fourier ）系数知
ci =
1 π
∫
2π
0
t sin itdt .
8. 解：⑴ 不是，因为公理 2 ' ) 不成立：设 r=1, s=2, α=(3, 4), 则 (r+s) o (3, 4)= (9, 4), 而 r o (3, 4) ⊕ s o (3, 4)=(3,4) ⊕ (6, 4)= (9, 8), 所以 (r+s) o α≠r o α ⊕ s o α. ⑵ 不是，因为公理 1）不成立：设α= (1,2) , β= (3,4) , 则α ⊕ β=(1,2) ⊕ (3,4) = (1,2), 所以 α ⊕ β≠β ⊕ α. ⑶ 不是，因为公理 2 ' ) 不成立：设 r=1, 则 (r+s) o α=3 o (3, 4)= (27, 36) 而 s=2, α=(3,4) , β ⊕ α= (3,4) ⊕ (1,2) = (3,4) ,
3. 解：⑴ 不是，因为 当 k∈Q 或 R 时，数乘 k α 不封闭；⑵ 有 理域上是；实数域上不是，因为当 k∈R 时，数乘 k α 不封闭.⑶ 是 ； ⑷ 是；⑸ 是；⑹ 不是，因为加法与数乘均不封闭.
矩阵分析报告课后习题解答(整理版)
第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。
1.10.证明同1.9。
1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。
若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行） 根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（ 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。
北京理工大学出版社矩阵分析习题解答
2005级电路与系统矩阵分析作业3－1已知)(ij a A =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量[]n x x x ,,,21 =α ，[]n y y y ,,,21 =β定义内积*),(βαβαA =。
（1）证明在上述定义下，nC 是酉空间；（2）写出nC 中的Canchy －Schwarz 不等式。
(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H =),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。
証毕。
（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jnij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－3（1）已知.A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡502613803－－－，试求酉矩阵U,使得U*AU 是上三角矩阵 解：由|λE-A| = (λ+1)3得 λ= －1是A 的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝000000201于是ε1＝（0，1，0）T是A 的特征向量。
选择与ε1正交，并且互相也正交两个向量组成酉阵：U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010则U 1*A U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---520830631 取A 1= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283，|λE- A 1| = (λ+1)2λ= －1是A 1的特征值。
当λ＝－1时，可得|λE- A 1|＝0021，于是，α1 ＝（ --52，51）T是A 的特征向量，选择与α1正交的向量组成酉阵U 2 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡52515152 -，U 2*A 1U 2 = 51⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10101 3－9若S ，T 分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，且0)det(≠--iS T E ，试证：1))((---++iS T E iS T E 是酉矩阵，。
矩阵分析
矩阵分析课后习题答案第二章 内积空间14 . 设A , B 均为厄米特矩阵, 证明: AB 为厄米特矩阵的充要条件是AB = BA .证明： H A A =,H B B =()HH H AB AB B A AB =⇔=即 AB BA =17 . 证明:两个正规矩阵相似( 酉等价) 的充要条件是特征多项式相同.证明：设A , B 是两个n 阶的正规矩阵，如果A 与B 是酉等价的，则存在酉矩阵Q ，使得1H B Q AQ Q AQ -==()11E B E Q AQ Q E A Q E A λλλλ--⇒-=-=-=-即A , B 有相同的特征多项式反之，A , B 有相同的特征多项式，因而有相同的特征值集合{}12,,,n λλλA ,B 是正规矩阵，则存在酉矩阵1Q 及2Q ，使得1111122n Q AQ Q BQ λλλ2--⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 则有 ()()11111121121212B Q Q A Q Q Q QA Q QP A P------=== 易知，112p Q Q -=是酉矩阵，即A , B 是酉相似的。
第三章 矩阵的标准形6 . 在复数域上, 求下列矩阵的约当标准形:()11 -1 2 3 7 -3 3 0 8 4 5 -2⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 3 -3 6 ; (2) -2 -5 2; (3) 3 -1 6; (4) -⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥2 -2 4-4 -10 3-2 0 -5⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥2 -2 1 ⎢⎥⎢⎥-1 -1 1⎣⎦解 (1) 特征矩阵为λλλ-1 1 -2⎡⎤⎢⎥-3 +3 - 6⎢⎥⎢⎥-2 2 -4⎣⎦所以行列式因子为()()121D D λλλ==，，()()232D λλλ=-不变因子为()()()()()()()()()231123121,D D d D d d D D λλλλλλλλλλλ== ==, ==-2全部初级因子为()2,,λλλ-故约当标准型为 2J 0 0⎡⎤⎢⎥=0 0 0⎢⎥⎢⎥0 0 0⎣⎦(2) 特征矩阵为λλλ -3 - 7 3⎡⎤⎢⎥ 2 +5 -2⎢⎥⎢⎥ 4 10 - 3⎣⎦所以行列式因子为()()211D D λλ==，()()31()()D i i λλλλ=--+不变因子为()()()()()()()()()231123121,1()()D D d D d d i i D D λλλλλλλλλλλ== ==1, ==--+全部初级因子为1,,i i λλλ- - +故约当标准型为 J i i 1 0 0⎡⎤⎢⎥=0 0⎢⎥⎢⎥0 0 -⎣⎦(3) 特征矩阵为5λλλ -3 0 -8⎡⎤⎢⎥ -3 +1 -6⎢⎥⎢⎥ 2 0 +⎣⎦所以行列式因子为()()()()1231,1,1D D D λλλλλ3= =+ =+不变因子为()()()()()()()()()2231123121,1D D d D d d D D λλλλλλλλλλ== ==+1, ==+全部初级因子为21,1)λλ+ (+故约当标准型为 J -1 0 0⎡⎤⎢⎥= 0 -1 0⎢⎥⎢⎥ 0 1 -1⎣⎦(4) 特征矩阵为λλλ -4 - 5 2⎡⎤⎢⎥ 2 +2 -1⎢⎥⎢⎥ 1 1 - 1⎣⎦所以行列式因子为()()211D D λλ==，()()331D λλ=-不变因子为()()()()()()()()()3231123121,D D d D d d D D λλλλλλλλλ== ==1, ==-1全部初级因子为()31λ-故约当标准型为 J 1 0 0⎡⎤⎢⎥=1 1 0⎢⎥⎢⎥0 1 1⎣⎦8 . 证明: ( 1)方阵A 的特征值全是零的充要条件是存在自然数m ,使得A m = 0; ( 2) 若A m = 0 , 则1A E +=.证明：(1) 如λ为A 的任一特征值，A 为n 阶方阵，则m λ为m A 的特征值，若0m A =则m n E A E λλλ-==，即A 的特征值为0。
矩阵分析课后习题解答(整理版)
第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。
1.10.证明同1.9。
1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。
若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行） 根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（ 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。
研究生《矩阵分析》试题答案及评分标准
A (1 , 2 , 3 )1 (T1 ,T 2 ,T 3 ) 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1
0 1 10 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 2. 1 3 11 0 1 2 4 4
2 1, 1, 3, 7T ，求W1 W2 与W1 W2 的维数，并求W1 W 2 。（10 分）
解： W1 W2 L1, 2 L1 2 L1, 2 , 1, 2
1 1 2 1
1 -1 2 1
A1,2,1,2 12
设 W1 W2, x11 x22 x33 x44,化为齐次线性方程组
1 1 2 1
(1,2 ,1,2 )X 41
0
，即
2 1
1 1
1 0
1 3
X
0
。
0 1 1 7
x1 k, x2 4k, x3 3k, x4 k, k1 4k2 k5,2,3,4T ,即 解得 W1 W2 k5,2,3,4T .
注：计算W1 W2 维数 4 分，计算W1 W2 的维数 2 分，求集合W1 W 2 4 分。
3. 设 R3 中 ， 线 性 变 换 T 为 ： Ti i , i 1, 2, 3, 其 中 1 (1, 0, 1)T , 2 (2,1,1)T , 3 (1,1,1)T 与
2
1
1 0
1 1
12
注：矩阵 B, C, 各 3 分, A BC 计算 2 分。
1 0 0 -1
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案
第 1 章线性空间和线性变换（详解）1-1证：用 E ii表示n阶矩阵中除第i行，第i列的元素为 1外，其余元素全为 0 的矩阵 . 用E ij(i j , i1,2,, n1) 表示n阶矩阵中除第 i 行，第 j 列元素与第 j 行第 i 列元素为1 外，其余元素全为0的矩阵.显然， E ii，E ij都是对称矩阵， E ii有 n( n1)个.不难证明E ii，E ij是线性无关的，2且任何一个对称矩阵都可用这n+ n( n1)= n( n 1)个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成n(n 1)维线性空间 .222同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为n(n 1).2评注 : 欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个n(n 1)维线性空间，只需找出n(n 1)个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这2n(n 1)个向量线性表示即22可.1-2 解:令x1 1 x2 2x3 3x4 4解出 x1 , x2 , x3, x4即可.1-3解：方法一设A x1E1x2E2x3E3x4E4即12111111100 3x1 1 1x2 1 0x3 0 0x4 00故1 2x1x2x3x4x1x2x303x1x2x1于是x1x2x3x41, x1x2x3 2x1x20, x13解之得x1 3, x23, x32, x41A E,E,E,E(3, 3,2,1)T方法二应用同构的概念，R2 2是一个四维空间，并且可将矩阵 A 看做(1,2,0,3)T，E1,E2, E3, E4可看做(1,1,1,1)T,(1,1,1,0)T,(1,1,0,0)T,(1,0,0,0)T.于是有1111110003111020100311000001021000300011因此 A 在E1,E2,E3,E4下的坐标为(3,3,2,1)T.1-4 解：证：设k1 1k22k33k440即11111110k1 1 1k2 0 1k3 1 0k4 1 1k1k2 k3k4k1k2k3k1k3k4k1k2k4于是k1k2k3k40,k1k2k30k1k3k40, k1k2k40解之得k1k2k3k40故α,α,α,α 线性无关.1234设a b11x211x31110c d x110110x41 11x1x2x3x4x1x2x3x1x3x4x1x2x4于是x1x2x3x40, x1x2x30x1x3x40, x1x2x40解之得x1b c d2a, x2a cx3 a d , x4a bx1, x2 , x3 , x4即为所求坐标.1-5 解：方法一（用线性空间理论计算）1p( x) 1 2x31,x, x2, x302y123y 21,x 1,( x 1) ,( x1)y3y4又由于1,x1,( x1)2 ,( x1)311111,x, x2 , x30123 0013 0001于是 p( x) 在基1, x1,( x1)2 ,( x1)3下的坐标为y11111113y2012306y3001306y4000122方法二将 p(x) 12x3根据幂级数公式按x 1 展开可得p( x) 1 2x3p(1)p (1)(x1)p (1) (x1)2p (1)( x1)32!3!36(x1)6(x1)22(x1)3因此 p( x) 在基1, x1,( x1)2 ,( xT 1)3下的坐标为3,6,6, 2.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些.1-6 解：①设β,β,β,βα,α,α,αP将 α1,α2 ,α3, α4 与 β1, β2, β3,β4 代入上式得2 0 5 6 1 0 0 1 13 3 6 1 1 0 01 12 1 0 1 1 P0 1 01 30 1 1故过渡矩阵10 01 10 5 62 P1 1 0 0 1 3 3 61 10 1 1 2 10 0 1 1 10 1 3121 22231 5 42 211 9 52 232 11 82 2②设1y 1ξ0 β β β β y 21 ( 1, 2, 3 , 4 )y 3y 4将 β1, β2, β3, β4 坐标代入上式后整理得719 y 1 2 0 5 6 1 8 y 2 1 3 3 6 0 27 y 3 1 1 2 1 1 1 y 411 33 227评注 ：只需将iβ1,β2 ,β3, β41,2,3,4P计算出, β代入过渡矩阵的定义α α α α P .1-7 解：因为span{ α1, α2}span{ β1,β2}span{ α1, α2, β1,β2}由于秩 span{ α1,α2 , β1, β2}3 ，且α1, α2, β1是向量α1, α2, β1,β2的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为α1,α2,β1.方法一设ξ span{α1,α2}span{ β1, β2} ，于是由交空间定义可知112121k31k41k1k210130117解之得k1l2 , k24l2 ,l13l2 (l2为任意数)于是ξ k1α1k2α2l 2[5,2,3,4] T( 很显然ξl1 1l2 2 )所以交空间的维数为 1，基为[5,2,3,4] T.方法二不难知span{ α1,α2}span{ α1,α2}, span{ β1,β2} span{ β1, β2}其中α[ 2, 2,0,1] T, β[13,2,1,0] T.又span{ α1,α2 }也是线性方程组223x1x32x4x22x3x4的解空间 . span{β1,β2}是线性方程组x113x32x4 3x22x3x4的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组x 1 x 3 2x 4x 2 2x 3 x 4x 1 13x 3 2x 4x 2 32x 3x 4的解空间，容易求出其基础解系为[ 5,2,3,4] T ，所以交空间的维数为1，基为[ 5,2,3,4] T .评注：本题有几个知识点是很重要的.(1)span{ α1,α2 , , αn } 的 基 底 就 是α1, α2, , αn 的极大线性无关组. 维数等于秩{ α1,α2 ,,αn } . (2) span{α1, α2} span{ β1, β2} span{ α1,α2 , β1, β2} . (3) 方法一的思路，求交span{ α,α} span{ β, β} 就是求向量 ，既可由 α, α 线性表121 2ξ1 2示，又可由 β, β线性表示的那部分向量 . (4) 方法二是借用“两个齐次线性方程1 2组解空间的交空间就是联立方程组的解空间” ，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解 .1-8 解:(1):解出方程组 （Ⅰ）x 1 2x 2 x 3 x 45x 1 10x 2 6x 3的基础解系 ,即是 V 1 的基 ,4 x 4 0解出方程组 （Ⅱ） x 1x 2 x 3 2 x 4 0 的基础解系 ,即是 V 2 的基 ;x 12x 2 x 3x 4 0(2): 解出方程组5x 1 10 x 2 6x 3 4 x 4 0 的基础解系 ,即为 V 1V 2的基 ;x 1 x 2x 32x 4 0(3): 设 V 1 span 1,,k,V 2 span1 ,, l ,则1 ,, k ,1 ,, l 的极大无关组即是V 1 V 2 的基 . 1-9 解 : 仿上题解 .1-10 解 : 仿上题解 . 1-11 证：设l 0ξ l 1A (ξ) l 2A2(ξ)l k 1Ak 1(ξ) 0①用 A k 1 从左侧成 ① 式两端，由 A k (ξ) 0 可得l 0A k 1 (ξ) 0因为 A k 1 (ξ) 0 ，所以 l 00，代入 ①可得l 1A (ξ) l 2A 2 (ξ)l k 1A k 1 (ξ) 0②用k 2kA从左侧乘②式两端，由Aξ0可 得 l0 0，继续下去，可得( )l 2l k 1 0 ，于是 ξ,A (ξ), A 2 (ξ), ,A k 1(ξ) 线性无关 .1-12解：由 1-11可知， n 个向量 ξ 0,A ( ),A2(ξ),,An 1 (ξ)线性无关，它是 V 的ξ一个基 . 又由ξξ2ξ,An 1ξA [,A( ),A( ),( )][A (ξ),A 2(ξ), ,A n 1(ξ)][A (ξ),A2(ξ),,An 1(ξ),0]0 0 0 010 0 ξξ2ξ ,An 1ξ 0 1[,A (),A( ),( )]0 0 0 010 n n所以 A在, (ξ),A 2(ξ), ,An 1(ξ)下矩阵表示为 n 阶矩阵ξA0 0 0 01 0 0 00 10 00 0 0 0 n0 01V 中任何一组 n个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，评注 ： 维线性空间 因此 ξ,(ξ), A 2(ξ), ,A n1(ξ)是 V 的一个基 .A1-13 证: 设 1, , r , , s1 , , m A, A 1, , r , , s设 1 , , r 是 1,, r ,, s 的极大无关组，则可以证明1,, r 是 1, , r,,s 的极大无关组 .1-14 解： (1) 由题意知A [α1, α2,α3 ] [ α1,α2 ,α3] A1 1 1[β, β, β] [ α,α , α ] 0 1 11 231 230 0 1设 A在基 β1, β2, β3下的矩阵表示是 B ，则1 1 112 3 1 1 11BP 1AP 01 11 0 3 0 1 10 0 1 2 1 5 0 0 12 4 434 6238(2) 由于 A0 ，故 AX 0 只有零解，所以 A的核是零空间 . 由维数定理可知A 的值域是线性空间 R 3 .1-15 解 :已知 A1,2,31,2,3A(1) 求得式 1 , 2 , 3 1 ,2 ,3 P 中的过渡矩阵 P ,则BP 1AP 即为所求 ; (2) 仿教材例 1.5.1.(见<矩阵分析 >史荣昌编著 .北京理工大学出版社 .)1-16 解 :设 A1 ,2 ,3 , 则 R( A)span1 ,2 ,3 ; N ( A) 就是齐次方程组 Ax的解空间 .1-17 证 :由矩阵的乘法定义知AB 与 BA 的主对角线上元素相等 , 故知 AB 与 BA 的迹相等 ; 再由 1-18题可证 .1-18 证 :对 k 用数学归纳法证。
矩阵分析所有习题及标准答案
注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推 出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
习题3*1试证：向量长度的齐次性
#3*1:试证 k k , k C, Cn
证:令=(a1,…,an)T ,则 k=(源自1,…,an)T.1
1 1
(1 , 1 , 1 , 1)T ; 2222
2
2 2
(1 , 1 , 1 , 1)T ; 22 2 2
3
3 3
( 1 , 1 , 1 , 1)T 22 22
1,2,3就是所要求的标正基.
习题3*5(i)用归纳法证明 1+3+5+…+(2n-1)2=n2
证:对k用归纳法证明.k=1时结论显然成立. 若n-1时结论成立
U=(A+E)(A-E)-1Unn.
习n.题试3证-2:6A设*AA的为特正征规值矩为阵|特1征|2值,…为,|1,n…|2,.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*,
其中1,…, n是A的特征值.于是, A*A=Udiag(|1|2,…,|n|2)U*.
因对角矩阵diag(|1|2,…,|n|2)酉相似于A*A, 故A*A的特征值为 |1|2,…,|n|2
习题3-27
#3-27(1):A*A,AA*都是半正定Hermite矩阵. (2):若ACmn,则A*A,AA*的非零特征值相同
(它们的谱可能不一样)
证:(1): (A*A)*=A*A,(AA*)*=AA*.
xCn,x*(A*A)x =(Ax)*Ax=(Ax,Ax)0.
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习题3-16
#3-16:设若A,BHnn,且A为正定Hermite矩阵, 试证:AB与BA的特征值都是实数.
证1:由定理3.9.4,A1/2是正定矩阵,于是 A-1/2(AB)A1/2=A1/2BA1/2=MHmn, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数. 又 A1/2(BA)A-1/2=A1/2BA1/2=MHmn, 即BA相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (BA)=(M)R,得证BA的特征值都是实数.
习题3-25
#3-25:A*=-A(ASHnn) U=(A+E)(A-E)-1Unn. (ASHnnAE的特征值全不为0,从而AE可逆)
解: U*=U-1 ((A-E)*)-1(A+E)*=(A-E)(A+E)-1 (-A-E)-1(-A+E)=(A-E)(A+E)-1 (A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1 (A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) A2-E=A2-E
n
j
nn使U*AU=R为 3 1 6 #3-3(1):已知A= ,试求UU 2 0 5 上三角矩阵. 解:det(E-A)=(+1)3给出=-1是A的3重特征值. 显然,1=(0,1,0)T是A的一个特征向量.作酉矩阵 V=(1,2,3),2=(1,0,0)T,3=(0,0,1)T,则
习题3-14
#3-14:若AHmn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*) 其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和 A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U* ∴ i2=1,即i=1,i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在 前面,则(*)式即给出所需答案.
矩阵 计算习题及答案之欧阳歌谷创编
1、选择题欧阳歌谷（2021.02.01）1）下列变量中A是合法的。
A. Char_1,i,jB.x*y,a.1C. X\y,a1234D. end, 1bcd2）下列C是合法的常量。
A. 3e10B. 1e500C. -1.85e-56D. 10-23）x=uint8(1.2e10)，则x所占的字节是D个。
A. 1B. 2C. 4D. 84）已知x=0：10，则x有B个元素。
A. 9B. 10C. 11D. 125）产生对角线元素全为1其余为0的2×3矩阵的命令是C。
A. Ones(2,3)B. Ones(3,2)C. Eye(2,3)D. Eye(3,2)6）a=123456789⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，则a(:,end)是指C。
A.所有元素B. 第一行元素C. 第三列元素D. 第三行元素7） a=123456789⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，则运行a(:,1)=[] 命令后C。
A.a变成行向量B. a数组成2行2列C. a数组成3行2列D. a 数组没有元素8）a=123456789⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，则运行命令 mean(a)是B。
A. 计算a的平均值B. 计算a每列的平均值C. 计算a每行的平均值D.a数组增加一列平均值9）已知x是一个向量，计算 ln(x)的命令是B。
A. ln(x)B. log(x)C. Ln(x)D. lg10(x)10）当a=2.4时，使用取整函数得到3，则该函数名是C。
A.fixB. roundC. ceilD. floor11）已知a=0：4，b=1：5，下面的运算表达式出错的是D。
A. a+bB. a./bC. a'*bD. a*b12）已知a=4，b=‘4’，下面说法错误的是C。
A. 变量a比变量b占用的空间大B. 变量a、b可以进行加减乘除运算C. 变量a、b数据类型相同D. 变量b可以用eval计算13）已知s=‘显示“hello”’，则s 元素的个数是A。
研究生课程-《矩阵分析》试题及答案
第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。
由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。
故1x ，2x ，3x 是线性无关的。
（2）用反证法。
假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。
所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。
二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。
四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一
解
（1）设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j ， 则 Fij 是对称矩阵， 易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线 性 无 关 ， 且 对 任 意 n 阶 对 称 矩 阵 A = (aij ) n×n ， 其 中 aij = a ji ， 有
1 −1 −1
= aa −1 = 1
⑥ k o (l o a ) = k o a = (a ) = a
l l k
lk
= (lk ) o a
⑦ (k +;l
= a k a l = a k ⊕ a l = (k o a) ⊕ (l o a )
k k k
⑧ k o ( a ⊕ b) = k o ( ab) = ( ab) = a b = ( k o a ) ⊕ (k o b) 所以 R+对这两种运算构成实数域 R 上的线性空间. （5）否.设 V2 = y ( x ) y ′′ + a1 y ′ + a 0 y = f ( x ), f ( x ) ≠ 0 ，则该集合对函数的 加法和数乘均不封闭.例如对任意的 y1 , y 2 ∈ V2 , y1 + y 2 ∉ V2 .故不构成线性空间. （6）是.集合 V 对函数的加法和数乘显然封闭.零函数是 V 的零元素；对任意
《矩阵分析》考试题1 2010解答 (1)
D 0 ，这里 0 0
D diag d1 , d2 ,
, dr ，且 d1 d2
dr 0 。 di i 1, 2,
, r 称为 A 的奇异值，而
D 0 H （P84） A P Q 称为矩阵 A 的奇异值分解式。 0 0
2
0 0 3、 ( 1) 2
1
4、下列命题不正确的是 。 （A）有相同特征多项式的两个矩阵一定相似； （B）有相同不变因子的两个矩阵一定相似； （C）有相同初级因子的两个矩阵一定相似； （D）有相同行列式因子的两个矩阵一定相似。 【分析】A。由 C 或 D 都能得到 B，而不变因子唯一确定矩阵的约当形。若矩阵的约当形相同， 则矩阵相似。A 的反例是显然的： M1
3
1
3
，
d1 1, d2 1 1 , d3 1 1
2
2
，
则
Smith
标 准
型 为
1
1 1
。 2 2 1 1
4、 lim A 0 的充要条件是： 其特征值的模的最大值（谱半径） A 1 。换言之， A 的所
3
0 1 1 2 0 0 1 2 阵 P 0 2 1 ， 约 当 标 准 形 J 0 1 1 （ 或 取 P3 0 ， 则 P2 4 ， 此 时 1 1 0 0 0 1 1 2 0 2 P 0 4 1 2 1 ） 。都有 P 1 AP J 。 0 1
2
1 1, 1 1 , 1 1
2
x,1 1 x 0 x 1dx 1 x 1 , 2 , 1 2 x 2 2 2 1 2 12 1,1 1 1 dx
南航双语矩阵论 matrix theory第一章部分题解
Solution Key (chapter 1)#2. TakeS , 2=. But 2S ∉. If 2S ∈, then there are rational numbers a and b , such that2=0a ≠ and 0b ≠.) This will lead to224232a b ab--=The right hand is a rational number and the left hand side is an irrational number. This is impossible. Thus, S is not closed under multiplication. Hence, S is not a field.#13. (a) Denote the set by S . Take 2()p x x x S =+∈, 2()q x x x S =-+∈.Then ()()2p x q x x S +=∉. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace. (Or: The set S does not contain the zero polynomial, hence, is not a subspace.) (b) Denote the set by S .Take 3()1p x x S =+∈, 3()1p x x S =-+∈. Then ()()2p x q x S +=∉. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace.(Or: The set S does not contain the zero polynomial, hence, is not a subspace.)(d) Denote the set by S . Take ()1p x x S =+∈, ()1p x x S =-+∈, ()()2p x q x S +=∉. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace.#15. (c) Denote the set by S . Take ()p x x S =∈. But ()p x x S -=-∉. Thus, the set S is not closed under scalar multiplication. Hence, S is not a subspace.(e) Denote the set by S . Take ()1p x x S =-∈ ()1q x x S =+∈. But ()()2p x q x x S +=∉. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace.#17. Since 12{,,,}u v v v i s span ∈ for each i , all combinations of 12,,,u u u r are also in 12{,,,}v v v s span . Thus, 12{,,,}u u u r span is a subspace of 12{,,,}v v v s span . Therefore, 12dim({,,,})u u u r span ≤ 12dim({,,,})v v v s span .#25. (a) Let 12(,,,)b b b n B = . Then 12(,,,)b b b n AB A A A = .If AB O =, then b 0i A = for 1,2,,i n = . ()b i N A ∈ for 1,2,,i n = . All lineawr combinations of 12,,,b b b n are also in ()N A . Thus, ()()R B N A ⊂. ()R B is a subspace of ()N A .If ()R B is a subspace of ()N A , then for each column b i of B , we must haveb 0i A =. Hence,12(,,,).b b b n AB A A A O ==(b) By part (a), we know that ()R B is a subspace of ()N A . Thus,()dim(())dim(())r B R B N A =≤. By the rank-nullity theorem, we obtain that()()d i m (())(r B r A N A r A n +≤+= #29. Let,A B S∈. Then ()T T T A B A B A B +=+=+, and ()T T kA kA kA ==. S is closedunder addition and scalar multiplication. Thus, S is a subspace ofn n R ⨯Let ,A B K ∈. Then ()()T T T A B A B A B A B +=+=--=-+, and ()()T T kA kA kA ==-. K is closed under addition and scalar multiplication. Thus, K is a subspace ofn n R ⨯The proof of n n R S K ⨯=⊕.Let .n n A R ⨯∈ Then 11()()22T T A A A A A =++-.1()2T A A + is symmetric and 1()2T A A - is anti-symmetric. This show that n n R S K ⨯=+. Next, we show that the sum S K + is a direct sum. If A S K ∈⋂, then we have both T A A = and T A A =-. This will imply that A A =-. Thus, A must be the zero matrix. This proves that the sum S K + is a direct sum.#32. Let ij E denote the matrix whose (,)i j entry is 1, zero elsewhere. For any()m n ij ij A a C ⨯=∈, where ,ij ij a b are real numbers, A can be written as1111n m n mij ij ij ij j i j i A a E b E =====∑∑.This shows that the matrices{|1,2,,,1,2,,} ij ij E i m j n == forms a spanningset form nC⨯. If1111n mn mijijij ij j i j i a Eb E O=====∑∑, then 0ij ij a = for1,2,,i m= ,1,2,,j n = . Thus, we must have 0ij ij a b ==for 1,2,,i m = , 1,2,,j n = . Therefore,{|1,2,,,1,2,,} ij ij E i m j n == forms a basis for m n C ⨯. The dimension is 2mn .。
最新矩阵分析课后习题解答(整理版)
第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)R对m C满足加(AR是m C的非空子集，即验证)(A法和数乘的封闭性。
1.10.证明同1.9。
1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。
若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行） 根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（ 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。
矩阵分析习题及答案0 (1)
矩阵分析习题与解答1．名词解释：（1）单纯矩阵 （2）正规矩阵(举3例) （3）向量范数（4）矩阵A 的最大奇异值2．设有Hermite 矩阵A . 试证：A 是正定的充要条件，是存在可逆矩阵Q 使.H A Q Q =证明：必要性：设H A Q Q =, 则对0,n x x C ≠∈, 有(),0HHHx Ax x Q Qx Qx Qx ==>, 这里Q 可逆, 故正定.充分性：因为A 是Hermite 矩阵, 所以A 是正规矩阵, 因此存在酉矩阵U 使1,H n U AU λλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O其中1n λλL ，，是A 的特征值; 又A 正定, 所以1L n λλ，，都大于0; 因此H A U U ⎫⎪= ⎪⎪ ⎝OO令H Q U ⎫⎪= ⎪ ⎝O则.HA Q Q =3．设矩阵x X y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 以及222()234Y f X x y z xy yz zx ==+++++,试求： (1)()()T dtr XX dX ; (2)T dY dX .解：222T x xy xz XX yxy yz zx zyz ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 222()T T tr XX x y z X X =++= ()()()()2(22)2T TTT tr XX d tr XX tr XX x x y y z z X dX tr XX ⎛⎫∂ ⎪∂ ⎪⎛⎫⎪∂ ⎪= ⎪ ⎪∂ ⎪⎪⎝⎭⎪∂ ⎪∂⎭=⎝= ()224223234224,223,234TT T Y x x y z dY Y y x z dX y z y x Y z x y z y x z z y x ⎛⎫∂ ⎪∂++ ⎪⎛⎫∂ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪++⎝⎭∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭=++++++4．设A 为m m ⨯Jordan 块, 即1,1A λλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭OO O求矩阵指数Ate .解法一: 1111λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OO O OOO,记1,1H λλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪Λ== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OOO, 则 At t Ht =Λ+, 即Ht At t =-Λ 将x e 在t λ处展成Talor 级数,有()0!t nxn e e x t n λλ∞==-∑,因此有矩阵指数()00!!00001001!(1)!1000001!10000t nAtn t n nn m t e e At t n e H t n t t m e t λλλ∞=∞==-Λ=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪⎛⎫ ⎪⎢⎥⎪-⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎪ ⎪=+++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑L L L L O M L L O MO M M O M L故可得22122212!(m 2)!(m 1)!12!(m 2)!112!1m m m At tt t t t t tt e e t t t λ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L O M O O .解法二:00t t t tAt t t t t λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OO O O OOOO00t t t tt t t t At e ee eλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==O O O O O OOO()()000!!!nn t t n t n t n n tt n e t en e t n λλλλλλλλ∞⎛⎫⎪ ⎪= ⎪∞⎪ ⎪⎝⎭=∞=⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑O OO O OO OO2212200212!(m 2)!(m 1)!12!(m 2)!112!1m m m tt t t t t t tt et t t ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O O OL L O M O O 故可得22122212!(m 2)!(m 1)!12!(m 2)!112!1m m m At tt t t t t tt e e t t t λ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L O M O O .5．求常系数线性微分方程组在初始条件下的解.解：常系数线性方程组可以写为,()()X t AX t =&, 其中0123A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦, 12()()()x t X t x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 对其两端取Laplace 变换, 得()(0)()sX s X AX s -=,所以1()()(0)X s sI A X -=-, 取Laplace 反变换, 得11()()(0)X t L sI A X --⎡⎤=-⎣⎦,由于()(0)At X t e X =, 所以11(())At e L sI A --=-.由于123s sI A s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦, ()131(s 1)(s 2)(s 1)(s 2)2(s 1)(s 2)(s 1)(s 2)s sI A s -+⎡⎤⎢⎥++++⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦2111s 1s 2s 1s 22221s 2s 1s 2s 1⎡⎤--⎢⎥++++=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥++++⎣⎦2212221112s 1s 2s 1s 22221222s 2s 1s 2s 1t tt t At t tt t e ee e e L e e e e ---------⎡⎤--⎢⎥⎡⎤--++++==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦--⎢⎥++++⎣⎦满足初始条件下的解为2222221232(0)122243t tt t t t At ttt t tt e e e e e e e x e ee e e e ------------⎡⎤⎡⎤---⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦6 任一方阵可以表示成两个对称矩阵乘积的形式。