备战2021届高考数学二轮复习热点难点突破专题18 高中常见数学方法(原卷版)

专题18 高中常见数学方法 专题点拨 当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有在对数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法．高中试题十分重视对于数学方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学方法．我们要有意识地应用数学方法去分析问题，解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光．

为帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的方法，本讲对数学中常见的方法加以总结与介绍．高中数学常见的数学方法有：配方法、换元法、待定系数法、代入法、反证法、综合法与分析法、构造法等．

例题剖析

1. 配方法

【例1】函数212

log (253)y x x =-++的单调递增区间是________．

2.换元法

【例2】已知x ∈[0，π]，求y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的值域．

3.待定系数法

【例3】是否存在常数a b c d 、、、 ，使得等式222232123n an bn cn d +++

+=+++对一切自

然数n 都成立？并证明你的结论.

4.反证法

【例4】已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图像上．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2

5.构造法

【例5】已知函数2()f x ax bx c =++的定义域是非空集合D ,函数()f x 的图像关于坐标平面内任意一条直线对称所得的图形,仍是某个函数的图像,试探究系数a b c 、、所满足的条件.

巩固训练

一、填空题

1．已知x ＋1x ＝2，则x 2＋1x

2＝________.

2.已知二次函数f (x )满足f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋2x ＋8，则f (x )的解析式为______________．

3.从集合{1，2，3，…，10}中选出4个数组成的子集，使得这4个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集个数是________．

4．关于x 的方程k ·4x －k ·2x ＋

1＋6(k －5)＝0在区间[0，1]上有解，则实数k 的取值范围是________．

5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为________．

二、选择题

6．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( )

A ．ab ＞ac

B ．c (b －a )＞0

C ．cb 2＜ca 2

D ．ac (a －c )＜0

7．某房间有4个人，那么至少有2人生日是一个月的概率是( )

A.P 412124 B ．1－P 412124 C.P 48124 D ．1－P 48124

8．若n 是正偶数，则C 0n ＋C 2n ＋…＋C n －

2n ＋C n n ＝( ) A ．2 B ．2n －1 C ．2n －2 D ．(n －1)2n －1

三、解答题

9.若函数满足：从集合中至少可以选取出三个不同的数能构成等比数列，则称函数是等比源函数.

(1)判断函数：①；②是否是等比源函数？（不需证明）

(2)证明：对任意的正奇数，函数不可能是等比源函数；

(3)证明：任意的，函数都是等比源函数.

()f x (){}*N n n f A ∈=()f x 2log y x =sin 2y x π

=b ()2x f x b =+*,d b ∈N ()g x dx b =+

a

a＋m＋

b

b＋m

>

c

c＋m

.

10.已知△ABC的三边长是a、b、c，且m>0，求证：