“数形结合”在二次函数中的应用

“数形结合”在二次函数中的应用

数形结合是通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想，近几年来各地中考对考生数形结合能力的考查越来越大，本文通过实例浅谈“数形结合”在二次函数中的应用。 1、“以形解数”

例1：已知：点（-1 ，1y ） （-3 ，2y ） （2，3y ）在y=3x 2+6x+2

的图象上，

则：1y 、2y 、3y 的大小关系为（

A. 1y ＞2y ＞3y

B. 2y ＞1y ＞3y

C. 2y ＞3y ＞1y

D. 3y ＞2y ＞1y 分析：由y=3x 2+6x+2

=3（x+1）2- 1画出图象1抛物线的对称轴为直线x=-1 图1

即：x=-1 时,y 有最小值, 故排除A 、B ，由图象可以看出：x=2时 y 3的值,比x=-3时y 2的值大,故选c.

例2: 已知抛物线y=2x 2+x-2m+1与x 轴的两个交点，在原点的两 侧，则m 的取值范围是（ ）

A m ＞1

2

B m ＜12

C m ＞-12

D m ＞7

16

分析：按常规,此题要用判别式、根与系数的关系列出不等式组解之，若用数形结合的方法， 先画出抛物线y=2x 2+x-2m+1 的草图，易知当x=0时，y ＜0, 因此，只要解不等式-2m+1＜0即

可，即m ＞12

，故选A

例3：二次函数 y=ax 2+bx+c 象限,则此抛物线开口向 ，c 的取值范围 ，b 的取值范围 ，b 2-4ac 的取值范围 。

解：由题意画出图象，如图： 从而判断：a ＞0, c ≥0 ∴对称轴：x=-2b

a

＜0 ∴b ＞0 图象与x 轴有两个交点：∴ ∆＞0

即b 2

-4ac ＞0

注：以上各题是“以形助数”即 图3将数量关系借于图形及其性质，使其直观化，形象化，从而使问题得以解决。 2、“以数助形”

例4:已知：二次函数m x m x y ----=1)1(22的图像与x 轴交于

A （1x ，0）、

B （2x ，0），210x x <<，与y 轴交于点

C ，且满足

CO

BO AO 2

11=

- 求：这个二次函数的解析式；

解: ∵210x x <<

∴AO=-x 1 OB= x 2

∵a=1＞0 ∴CO= m+1＞0 ∴m ＞-1

∵CO

BO

AO

211=-

∴CO(OB-OA)=2AO ⋅OB

即(m+1)(x 1+x 2)=-2 x 1x 2

∵x 1+x 2=2（m-1），x 1x 2=-（1+ m ） 图4 ∴（m+1）2（m-1）=2（1+ m ） 解得m=-1（舍去），m=2 ∴二次函数的解析式y=x 2-2x-3

注：本题是“以数助形”即将线段长度关系CO

BO

AO

211=- 转

化为点的坐标，通过解方程求出m 的值，从而使问题轻易而举得

以解决。

3、“以数助形”“以形解数”

例5：如图5，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象过点 C （0，

5

3

），与x 轴交于两点A ()1,0x 、B ()()221,0x x x 〉，且12124,5x x x x +==-.

求（1）A 、B 两点的坐标；

（2）求二次函数的解析式和顶点P 的坐标；

（3）若一次函数y=kx+m 的图象的顶点P ，把 ∆PAB 分成两个部分，其中一部分的面积不大于∆PAB 面积的13

，求m 的取值范围。

解：（1）∵

{

12124

5x x x x +=⋅=-12x x 〈且

∴15x =，21x =-.

∴A 、B 两点的坐标是 A （5，0），B （-1，0） （2）由A （5，0），B （-1，0），

C （0，5

3

），

求得y=-13

∴顶点P 的坐标为（2，3）；

（3）由图象可知，当直线过点P （2，3）且过点M （1，0）或N （3，0）时，就把∆PAB 分成两部分，其中一个三角形的面积是∆PAB 的面积的1

3

.

①过N （3，0），P （2，3）的一次函数解析式为y=-3x+9；

过点A （5，0），P （2，3）的一次函数解析式为y=-x+5.又一次函数y=kx+m ，当x=0时，y=m ，此一次函数图象与y 轴的交点的纵坐标为m ，观察图形变化，可得m 的取值范围是5＜m ≤9.

②过B （-1，0），P （2，3）的一次函数解析式为y=x+1；过

点M （1，0），P （2，3）一次函数解析式为y=3x-3，观察图形变化，得m 的取值范围是-3≤m ＜1.

∴m 的取值范围是-3≤m ＜1或5＜m ≤9.

注：本题先由数到形，后由形到数，用运动变化的观点去进行观察分析和化归，巧妙地运用了图形特征来观察图形的变化规律，解答十分巧妙，充分体现了“数”、“形”结合的解题思想。

通过以上例子可以看出，正确地利用“数形结合”可以使二次函数问题简单化、具体化，使复杂问题轻易举得以解决。