二次根式第二课时教案
《二次根式(第2课时)》精品教案
第2课时二次根式的化简1．掌握积的算术平方根的性质，并会根据性质把二次根式化简；(重点) 2．理解最简二次根式的概念，并会把二次根式化为最简二次根式．(重点，难点)一、情境导入计算：(1)4×9，4×9；(2)16×25，16×25.观察计算结果，上述每组式子计算结果有什么关系？由此你能猜想什么结论成立？二、合作探究探究点一：积的算术平方根的性质【类型一】利用积的算术平方根的性质进行二次根式计算或化简化简：(1)196×0.25；(2)（－19）×（－6481）；(3)225a6b2(a≥0，b≥0)．解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号．解：(1)196×0.25＝196×0.25＝14×0.5＝7；(2)（－19）×（－6481）＝19×6481＝19×6481＝13×89＝827； (3)225a 6b 2＝225·a 6·b 2＝15a 3b .方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方开出来，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．【类型二】 利用积的算术平方根的性质确定字母的取值范围若a 2－a 3＝a 1－a 成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a ＞0C ．a ≥1D ．0≤a ≤1 解析：a 2－a 3＝a 2（1－a ）＝a 2·1－a ＝|a |·1－a ，又a 2－a 3＝a 1－a ，所以⎩⎨⎧a ≥0，1－a ≥0.解得0≤a ≤1，故选D. 方法总结：利用积的算术平方根的性质确定字母的取值范围时，根据积的算术平方根的性质得出的每一个因式(包括被开方数)都是非负数，再列不等式(组)求解．【类型三】 逆用积的算术平方根的性质比较大小比较大小：35与5 3.解析：把根号外的因式移到根号内，比较两个被开方数的大小．解：∵35＝32×5＝45，53＝52×3＝75，∵75＞45，∴35＜5 3.方法总结：比较两个二次根式的大小，可以逆用积的算术平方根的性质，把根号外的因式移到根号内，直接比较两个被开方数的大小，对于两个正数，被开方数大的数较大．探究点二：最简二次根式【类型一】最简二次根式的判定下列二次根式中，最简二次根式是( ) A.8a B.3aC.a3D.a2＋a2b解析：A选项中8a含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B选项是最简二次根式；C选项a3中含有分母，不是最简二次根式；D选项a2＋a2b中被开方数用提公因式法因式分解后得：a2＋a2b＝a2(1＋b)含能开得尽方的因数a2，不是最简二次根式；故选B.方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【类型二】二次根式的化简把下列各式化成最简二次根式．(1)500；(2)3a2b3；(3)2512；(4)23ab2.解析：(1)先将500分解质因数，再根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因数100移到根号外；(2)根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因式a2b2移到根号外；(3)把被开方数的分子、分母同时乘以3，把分母化为一个完全平方数，再把能开得尽方的部分移到根号外；(4)把被开方数的分子、分母同时乘以3a，把分母化为一个数的平方，再把分母移到根号外．解：(1)500＝100×5＝105；(2)3a2b3＝3b·a2b2＝|a|b3b；(3)2512＝25×312×3＝563；(4)23ab2＝2×3a3ab2·3a＝6a3ab.方法总结：把二次根式化成最简二次根式时，如果被开方数不含分母，则把被开方数尽量写成一个数的平方的形式，再利用积的算术平方根的性质化简；如果被开方数含有分母，可把分子、分母同乘以一个数，把分母化为一个数或式的平方的形式，再把分母开方后移到根号外，与此同时，分子中能开方的也要移到根号外．三、板书设计1．积的算术平方根的性质2．最简二次根式通过积的算术平方根与算术平方根的积的运算引入积的算术平方根的性质，让学生归纳总结出结论，并运用于化简．对于被开方数含有分母的二次根式化为最简二次根式是本节课的难点，引导学生根据分式的基本性质把分母化为一个数或式的平方，并让学生加强训练．。
二次根式第二课时教案
二次根式第二课时教案教学目标：1. 理解二次根式的性质和运算法则。
2. 能够进行二次根式的化简、加减、乘除运算。
3. 能够应用二次根式解决实际问题。
教学重点：1. 二次根式的性质和运算法则。
2. 二次根式的化简、加减、乘除运算。
教学难点：1. 二次根式的化简和运算。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习一次根式的性质和运算法则。
2. 引入二次根式的概念，引导学生思考二次根式的性质和运算法则。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解二次根式的性质，如：二次根式中的被开方数相同，则两个二次根式相等；二次根式的乘除法法则，如：$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$，$\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$。
2. 讲解二次根式的化简方法，如：$\sqrt{a^2} = |a|$，$\sqrt{a^3} = a\sqrt{a}$。
三、案例分析（10分钟）1. 分析案例：化简二次根式$\sqrt{16}$。
解答：$\sqrt{16} = 4$。
2. 分析案例：计算二次根式的加减法$\sqrt{3} + \sqrt{5}$。
解答：无法合并，保持原样。
3. 分析案例：计算二次根式的乘除法$\sqrt{2} \times \sqrt{6}$。
解答：$\sqrt{2} \times \sqrt{6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
四、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
五、总结与反思（5分钟）1. 总结二次根式的性质和运算法则。
2. 反思自己在解题过程中的优点和不足。
教学延伸：1. 二次根式的混合运算。
2. 应用二次根式解决实际问题。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、案例分析、课堂练习和总结与反思等环节，让学生掌握了二次根式的性质和运算法则。
在教学过程中，要注意引导学生主动思考，培养学生的动手能力。
《二次根式》第2课时示范课教学设计【人教八数下册】
《二次根式》教学设计
第2课时
一、教学目标
1. 探究二次根式的性质，并理解其意义；；
2. 会运用二次根式的性质进行化简计算；
3. 在探究、讨论的过程中学会由特殊到一般地归纳方法；
4. 在解决实际问题中培养分类讨论的思想.
二、教学重难点
重点：理解二次根式的性质.
难点：二次根式性质的灵活运用.
三、教学用具
多媒体课件等.
四、教学过程设计
【探究】填空：
观察等式的两边，你能得到什么启示？
()()
222
2
12=______0.1=______22=______0=______3⎛⎫ ⎪⎝⎭
； ； ； ；
性质2： .
答案：（1）2；0.1；（2）2
3；0.
启示：性质2：()2
0a a a =≥
做一做： 计算下列各式：
()(
)
()()
()2
2
10.142330.0004.--； ；
()
(
)
2
10.14
=0.14解：；
()()
()2
2
23=13=3-
-⨯；
()()
2
30.0004=0.02=0.02.-
-
-
归纳：代数式的概念
形如5、a 、a +b 、ab 、、-x 3、
、
（a ≥0）的
式子，它们都是用基本运算符号(包括____、____、____、____、____和____)把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式.
答案：加、减、乘、除、乘方、开方 【例1】计算：。
八年级下册《二次根式》第2课时教案设计
八年级下册《二次根式》第2课时教案设计八年级下册《二次根式》第2课时教案设计一、内容和内容解析1．内容二次根式的性质。
2．内容解析本节教材是在学生学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质．对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”栏目中给出四个具体问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论．基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二次根式的性质．二、目标和目标解析1．教学目标（1）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；（2）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）了解代数式的概念．2．目标解析（1）学生能根据具体数字分析和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根式的性质，会用符号表述这一性质；（2）学生能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）学生能从已学过的各种式子中，体会其共同特点，得出代数式的概念．三、教学问题诊断分析二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础．学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题．由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一定的困难，突破这一难点需要教师精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力.本节课的教学难点为：二次根式性质的灵活运用.四、教学过程设计1．探究性质1问题1 你能解释下列式子的含义吗？，，， .师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．数的算术平方根的平方.问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.；；； .师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质1作铺垫．问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）. 【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质1，培养学生抽象概括的能力.例2 计算（1）；（2） .师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】巩固二次根式的性质1，学会灵活运用. 2．探究性质2问题4 你能解释下列式子的含义吗？，，， .师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．平方的算术平方根.问题5 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.= ， = ， = ， = .师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质2作铺垫．问题6 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质2，培养学生抽象概括的能力.例3 计算（1）；（2） .师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】巩固二次根式的性质2，学会灵活运用. 3．归纳代数式的概念问题7 回顾我们学过的式子，如，，，，，，，（≥0），这些式子有哪些共同特征？师生活动：学生概括式子的共同特征，得出代数式的概念.【设计意图】学生通过观察式子的共同特征，形成代数式的概念，培养学生的概括能力.4．综合运用（1）算一算：；；； .【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，第（2）、（3）、（4）小题要特别注意结果的符号.（2）想一想：中，的取值范围是什么？当≥0时，等于多少？当时，又等于多少？【设计意图】通过此问题的设计，加深学生对的理解，开阔学生的视野，训练学生的思维.（3）谈一谈你对与的认识.【设计意图】加深学生对二次根式性质的理解.5．总结反思（1）你知道了二次根式的哪些性质？（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．6．布置作业：教科书习题16.1第2，4题.五、目标检测设计1．；； .【设计意图】考查对二次根式性质的理解．2．下列运算正确的是（）A. B. C. D.【设计意图】考查学生运用二次根式的性质进行化简的能力．3．若，则的取值范围是．【设计意图】考查学生对一个数非负数的算术平方根的理解．4．计算: ．【设计意图】考查二次根式性质的灵活运用．。
《二次根式》第2课时示范课教学设计【数学八年级上册北师大】
《二次根式》教学设计
第2课时
一、教学目标
1.掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.
2.会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.
3.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围内正确计算，培养类比学习的能力.
4.增强学生的符号、应用意识，培养学生合作交流、合情推理、表达能力。
二、教学重难点
重点：掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.
难点：会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
a a
(a≥0，b>0)
=
b b
思考长方形的面积是20，它的长是5，宽是多少？
教师追问：该怎么计算呢？
教师提示：这一节我们根据之前学过的二次根式的性质来解决二次根式的四则运算问题吧.
a b=a b(a≥0
a
(a≥0，b>0)
=
b
加法、减法法则：
先化为最简二次根式.
35
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。
16.1二次根式第二课时教学设计
第课时1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.3.了解代数式的概念.在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.【难点】能运用二次根式的性质化简.【教师准备】教学所需的习题资料.【学生准备】自学教材第3~4页的内容.导入一:教师出示问题:先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.[设计意图]以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.导入二:1.什么叫二次根式?2.当a≥0时,叫什么?当a<0时,有意义吗?学生口答,老师点评.通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质.[设计意图]复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定了基础.思路一1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)()2,()2,,()2.学生口述,教师根据情况评价.()2表示4的算术平方根的平方;()2表示2的算术平方根的平方;表示的算术平方根的平方;()2表示0的算术平方根的平方.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.()2=;()2=;=;()2=.学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.教师引导学生说出每一个式子的含义.是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有()2=2. 是的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有()2=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?引导学生归纳得出二次根式的性质:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).(教材例2)计算:(1)()2;(2)(2)2.学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.〔解析〕(1)直接运用()2=a(a≥0)化简即可.(2)运用幂的性质(ab)2=a2b2.解:(1)()2=1.5.(2)(2)2=22×()2=4×5=20.[解题策略]把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计算即可.【变式训练】计算:(-2)2.〔解析〕把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a≥0)化简.解:(-2)2=(-2)2()2=4×3=12.[知识拓展]形如(x)2的关于二次根式的运算可结合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.[设计意图]让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力,并通过例题和变式训练及时巩固二次根式的性质1,学会灵活运用.2.二次根式的性质2:=a(a≥0),,,.教师引导学生说出每一个式子的含义.表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根;表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.=;=;=;=.学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴=,因此=;∵0=02,∴=0,因此=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?引导学生归纳得出:一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a≥0).(教材例3)化简:(1);(2).引导学生根据=a(a≥0)进行分析:(1)因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.(2)因为(-5)2=52,所以=.学生独立完成,集体订正.解:(1)==4.(2)==5.[知识拓展](1)中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.(2)化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a(a≥0);若a是负数,则等于a的相反数-a,即=-a(a<0).小组讨论:()2和有什么关系?学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=[设计意图]让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.思路二请同学们阅读和自学课本第3~4页的内容,并思考下面的问题:1.(1)填空:()2=;()2=;=;()2=;=;()2=.(2)猜想当a≥0时,()2=.2.(1)观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律.==;==;==;==;….通过观察,你得到的结论是什么?试着说一说.(2)发现:当a≥0时,=,当a<0时,=.学生用充足的时间学习后,交流学习情况,教师分析并讲解.1.(1)根据算术平方根与乘方运算的关系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16;=,所以==.根据以上规律,可以得出()2=2;=;()2=0.(2)从第(1)问可以发现,一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).2.先计算==2;==2;==3;==3;….可以看出:一个正数的平方的算术平方根等于这个数,一个负数的平方的算术平方根等于这个数的相反数.于是当a≥0时,=a,当a<0时,=-a.归纳并板书:二次根式的性质:1.()2=a(a≥0);2.=a(a≥0).提问:()2和有什么关系?学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=[设计意图]在计算的基础上,引导学生观察、猜想、归纳得出二次根式的两个性质,并从式子的意义和结果进行比较,得出二者之间的关系.3.代数式提问:回顾我们学过的式子,如a+b,-ab,,-x3,,(a≥0),这些式子有哪些共同特征?学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导.[设计意图] 学生通过观察式子的共同特征,形成代数式的概念,培养学生的概括能力. 4.例题讲解 (补充)计算:(-5)2, ,- . 〔解析〕 利用()2=a (a ≥0)和=a (a ≥0)化简,注意被开方数的符号. 解:(-5)2=(-5)2×()2=25×2=50. = =. - =- =-.(补充)比较2与3的大小.〔解析〕 直接比较这两个二次根式的大小不太容易,由于这两个二次根式平方后得到两个有理数,因此可以通过比较这两个二次根式平方的大小来比较它们的大小.解:∵(2)2=22×()2=44,(3)2=32×()2=45, 又∵44<45,且2>0,3>0, ∴2<3.师生共同回顾本节课所学主要内容:知识要点 关键点 注意事项()2=a (a ≥0)任何非负数的算术平方根的平方,其结果仍然是它本身 被开方数a 是非负数 =|a |=任何实数的平方的算术平方根是它的绝对值底数a 可以是任何实数代数式用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式1.计算的结果是 ( )A.-3B.3C.-9D.9 解析:==3.故选B .2.下列各式:①m 2-3;② (a >0);③a -1=6;④3x -5>0;⑤;⑥66.其中代数式的个数是 ( )A.2个B.3个C.4个D.5个解析:③a -1=6是方程,不是代数式;④3x -5>0是一元一次不等式,也不是代数式;其余都是代数式.故选C .3. + 的值是 . 解析: + =2+2=4.故填4. 4.(1)当x 时,=2-x 成立; (2)计算= .解析:(1)当x -2≤0时,=2-x ,所以x ≤2;(2)因为3<π,所以3-π<0,因此=π-3. 答案:(1)≤2 (2)π-35.计算:(1);(2)(2)2;(3);(4)(-)2.解:(1)=0.9. (2)(2)2=22×()2=12. (3)=(-2)2×=2.(4)(-)2=(-1)2×()2=15.第2课时1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)例12.二次根式的性质2:=a(a≥0)例23.代数式4.例题讲解例3例4。
二次根式第2课时教学设计
2.7.2二次根式一、板书课题二、出示目标1.使学生能够利用积和商的算术平方根性质的反用进行二次根式的加减乘除运算.2.让学生理解实数的运算法则和运算律对于二次根式同样适用.3.学会运用把不是最简二次根式的要化成最简二次根式，如果被开方数相同，应当将这些项合并.三、自学指导自学指导认真看课本4543-P “随练”以上的内容，要求：1.二次根式的乘法法则和除法法则是什么？2.例3各题分别运用了什么原则？3.例4第一步各运用了什么运算律和公式4.例5中最后一步是否最简（5分钟后检测）四、学1.自学五、测与导1.问题一：二次根式的乘除法法则分别是什么？（用字母表示）)0,0(≥≥=⋅b a ab b a )0,0(>≥=b a ba b a2、依据上面的法则，下面的式子你会计算吗？例3计算：教师引导学生尝试着直接运用法则进行二次根式的乘除法运算，可以作适当点拨.师：在二次根式的运算中，能约分的可以先约分，运算结果必须都是最简二次根式即：根号中不含分母；分母中不含根号；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．同样的，二次根式也可以进行加减运算，它和以前学过的实数的运算法则、运算律仍然适用.下面的计算不妨试一试？有困难的可以和同学交流.3、学生板演例4计算：教师引导对于有些二次根式的运算可以运用完全平方公式和平方差公式使计算简便，这就要在解题之前观察式子的特点。
注：对于化简运算的结果中，如果被开方数相同，应当将这些项合并.根号前面是带分数的要化成假分数.4、学生板演例5计算：5、小结六、练P随堂练习必做题45P知识技能1选做题45教学反思。
《二次根式(第2课时)》教案 人教数学八年级下册
16.1 二次根式第2课时一、教学目标【知识与技能】1.理解(√a)2=a(a≥0)和√a2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.2.用具体数据结合算术平方根的意义推出(√a)2=a(a≥0)和探究√a2=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.3.了解代数式的概念.【过程与方法】在明确(√a)2=a(a≥0)和√a2=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.【情感态度与价值观】通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.二、课型新授课三、课时第2课时共2课时四、教学重难点【教学重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.【教学难点】能运用二次根式的性质化简.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔、练习本.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2-3）观察课件中所列数字的进出情况，想一想你发现了什么？（二）探索新知1.探究(√a)2的性质（出示课件5-7）教师问：什么叫做一个数的平方根？如何表示？学生答：一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.a的平方根是教师问：什么是一个数的算术平方根？如何表示？学生答：若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根. 用(a≥0)表示.教师问：请同学们完成下面的题目：（出示课件6）教师依次出示问题：填空：学生1答：（4）2=4.学生2答：（2）2=2. 学生3答：（31）2=. 学生4答：（0）2=0.教师问：通过（1）的计算，你能确定( √a )²（a ≥0）的化简结果吗？说说你的理由.师生一起解答：√4 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， √4是一个平方等于4的非负数，因此有( √4 )² =4.同理，√2 ，√13，√0分别是 2，13,0的算术平方根.因此 （√2）2=2 , （√13）2=13,（√0）2=0教师总结：（出示课件8）（√a ）2(a ≥0)的性质：一般地，（√a ）2＝a (a ≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.教师强调：不要忽略 a ≥0 这一限制条件.这是使二次根式√a 有意义的前提条件.考点1：利用（√a ）2(a ≥0) 的性质进行计算 计算：（出示课件9） （1）； （2）.师生共同讨论解答如下： 解：（1）（√1.5）2 =1.5 ; （2）（2√5）2=22×（√5）2=4×5=20出示课件10，学生自主练习，教师给出答案。
二次根式第二课时教案
二次根式第二课时教案一、教学目标：知识与技能：1. 理解二次根式的性质，掌握二次根式的化简方法。
2. 学会运用二次根式解决实际问题。
过程与方法：2. 运用分组讨论、合作交流的方式，提高学生解决问题的能力。
情感态度与价值观：1. 激发学生对数学的兴趣，培养积极的学习态度。
2. 培养学生团队协作精神，增强自信心。
二、教学重点与难点：重点：1. 二次根式的性质。
2. 二次根式的化简方法。
难点：1. 二次根式在实际问题中的应用。
三、教学准备：教师准备：1. 相关教学素材。
2. PPT课件。
学生准备：1. 预习教材。
2. 准备好笔记本、文具。
四、教学过程：环节一：复习导入（5分钟）1. 复习上节课的内容，提问学生二次根式的定义及特点。
2. 引导学生回顾二次根式的基本性质。
环节二：知识讲解（15分钟）1. 讲解二次根式的性质，如：二次根式具有非负性、可加性、可乘性等。
2. 教授二次根式的化简方法，如：提取公因数、应用平方差公式等。
环节三：实例分析（15分钟）1. 给出几个实际问题，让学生运用二次根式进行解决。
环节四：课堂练习（10分钟）1. 布置几道有关二次根式的练习题，让学生独立完成。
2. 挑选部分学生的作业进行点评，指出优点和不足。
2. 布置课后作业，要求学生巩固所学知识。
五、教学反思：本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对二次根式的理解和运用能力。
关注学生在学习过程中的困惑和问题，及时给予解答和指导。
六、教学评价：教学评价是教学过程中的重要环节，通过对学生的学习情况进行评估，可以了解学生对二次根式知识的掌握程度。
评价方式包括课堂表现、作业完成情况、练习题的正确率等。
对于表现优秀的学生，要及时给予表扬和鼓励，增强其自信心；对于学习有困难的学生，要个别辅导，帮助他们解决问题，提高他们的学习兴趣和成绩。
七、教学拓展：为了提高学生的学习兴趣和拓展知识面，可以结合二次根式的教学，介绍一些相关的数学历史和背景知识，如二次根式的起源、发展以及它在科学技术领域的应用等。
《二次根式》教案(第二课时)
《二次根式》教案（第二课时）一、内容和内容解析1．内容二次根式的性质．2．内容解析本课在学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质以及解代数式的概念．二次根式的性质是二次根式化简和运算的基础，应让学生熟练掌握和灵活使用．本节课的教学重点是：理解二次根式的两个基本性质，并能用它们实行计算和化简．二、目标和目标解析1．目标（1）理解二次根式的性质；2=a（a≥0）a（a≥0）（2）会利用二次根式的性质实行简单的计算和化简．2．目标解析达成目标（1）的标志是：对于二次根式的性质，通过具体问题，让学生根据算术平方根的意义，就具体数字实行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般归纳出结论．达成目标（2）的标志是：学生能够根据具体的问题灵活的使用二次根式的性质实行计算和化简．三、教学问题诊断分析对于二次根式的性质，重在让学生理解，而不是把结论直接告诉学生，让学生去机械记忆．所以，在教学过程中，要充分利用教材的“探究”栏目，让学生经历二次根式性质的探究过程，引导学生由具体到抽象，得出一般性结论，并发现开方运算与平方运算的关系．培养学生由特殊到一般的思维方式，提升归纳、总结的水平．二次根式性质的灵活使用，关键在于精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活使用的水平．四、教学过程设计（一）自主探究1．二次根式的性质2=a（a≥0）的探究．问题1你能解释下列式子的含义吗？2222，，，．让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方．问题2根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据．2222____________________====，．师生活动：学生独立完成填空后，重在让学生展示其思维过程，看学生是怎样得出结论，，学生很容易得出2= 4，2=0．对于2、2，学生理解起来有一定困难，需要教师的引导：根据算术平方根的意义，可设2=2x(x＞0)，则xx代入2=2x，可得2=2，同理可得21=3．问题3从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？引导学生归纳得出二次根式的性质：2=a（a≥0）．设计意图：引导学生由具体到抽象，得出一般性的结论，并发现开平方运算和平方运算的关系和内在联系．2．二次根式的性质2=a（a≥0）的使用．【例1】计算：(()221； (2)．(()2222解：1=1.5；(2)=2=45=20．⨯⨯解析：（1）直接使用2=a（a≥0）；（2）中使用到整式的运算性质()ab a b =222这个结论，整式的运算性质在实数范围内都适用．设计意图：让学生学会使用二次根式的性质2=a （a ≥0）解题．3a （a ≥0）的探究． 问题1 你能解释下列式子的含义吗？问题2 填空：问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？a （a ≥0） 问题4（≥0）a a．当a ＜0时，．-a ．最后师生共同()()≥00a a a a a ⎧==⎨-<⎩． 问题5对于性质2=a （a ≥0），逆向思考可得：2=a （a ≥0）请根据这个结论完成填空：22（1）2=( )； （2）3=( )．师生活动：学生独立思考，并完成．22（1）2=；（2）3=．问题6谈一谈你对2师生活动：引导学生从式子的读法、意义、被开方数的取值范围、运算结果等方面加以辨别．区别：①表示的意义不同．2表示非负实数aa的平方的算术平方根．②运算的顺序不同．2是先求非负实数a的算术平方根，然后再实行平方运算；而a的平方，再求2a的算术平方根．③取值范围不同．在2中，a只能取非负实数，即a≥0中，a能够取一切实数．④写法不同．在2中，幂指数22在根号的里面．⑤结果不同．()2≥0a a=()()≥0a aaa a⎧==⎨-<⎩．联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即2≥00．③仅当a≥0时，有2设计意图：训练和培养学生由特殊到一般的理解过程，观察对比的水平，提升归纳总结的水平．明确性质的区别和联系．4a=（a≥0）的使用．【例2】化简：(1(解：1；．设计意图：a（a≥0）实行化简．（二）综合应用，深化提升计算下列各式：(2222（1； （2； （3）；（4）； （5 （6⎛ ⎝(2222解：（1=16； （2=0； （3）=10；（4）=27； （5； （6．⎛ ⎝设计意图：让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活使用的水平． （三）归纳总结回顾我们学过的式子，如35，，，，，sa ab ab x t+--a ≥0）这些式子有哪些共同特征？（1）含有表示数的字母；（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式． （四）课堂小结（1）你知道了二次根式的哪些性质？（2）使用二次根式性质实行化简需要注意什么？ （3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．（五）布置作业 1．计算：((22222（1； （2）； （3； （4）；（56）； （78⎛ ⎝设计意图：考查二次根式性质的运用．2．利用2）a =（a ≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式．（1）9（2）5（3）2.5（4）0.25（5）12（6）0． 设计意图：让学生进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力． 3．把多项式53-6+9n n n 在实数范围内分解因式． 设计意图：二次根式的性质和因式分解的综合运用． 作业答案： 1．2（1）5； （2）0.2； （3）；（4）125；722（5）10；（6）14； （7）；（8）-．352．()().2222221（1）3； （2）5； （3）25； （4）0.5；（5）； （6）0．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3．解：()()()()53422222-6+9=-6+9=-3=+3-3n n n n n n n n n n n ．按照因式分解的一般步骤，先对多项式53-6+9n n n 提取公因式，得()42-6+9n n n ，再利用完全平方公式分解，得()22-3n n ，要求在实数范围内分解，所以可以将3写成()23，再运用平方差公式进行因式分解．五、目标检测设计 1．判断下列等式是否成立 (1)2(19)19()= (2)2(19)19()-=- (3)2(19)19()-= (4)2()()a b a b -=-(5)2()()a b a b-=- (6)2(0)().a a a =-≤设计意图：考查二次根式性质的运用．2．（1）已知a <0，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）． A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a - （2）把mm 1-根号外的因式移到根号内，得（ ）． A ．m B ．m - C ．m -- D ．m - 设计意图：让学生进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力．3．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：化简：||)(||22b b c c a a ---++-的结果是：______． 设计意图：二次根式的性质和数轴的综合运用． 4．若41=+a a (0<a <1)，则aa 1-=______． 设计意图：二次根式的性质和完全平方式的综合运用． 目标检测答案：1．（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）√． 2．（1）A （2）C 3．0 4．2。
16.1 二次根式 第2课时教案
16.1 二次根式（第2课时）注意：●单独的一个数或者是单独的一个字母也叫做代数式.如：0，b，2006都是代数式.●只有用运算符号连接而成的式子才是代数式，用其它符号连接而成的式子不是代数式，如：x＋1＝3，是等式而不是代数式.再如：y－3≥0是不等式，但是，不等式的两边也是代数式.对于注意事项,教师要加以补充和强调其必要性.尝试应用1．下列各式中计算正确的是（）A.6)6(2-=--B.9)3(2=-C.16)16(2±=-D.2516)2516(2=--2 . 计算：（1）()20.5；（2）235⎛⎫⎪⎪⎝⎭；（3）2322⎛⎫-⎪⎝⎭.3．填空：4=（）2；3=（）2；5=（）2；3.教材第5页练习1、2.4．如图，在平面直角坐标系中A（3，2）、B(6，2)、C（3，5）是三角形的三个顶点，求：BC的长.教师出示题目:学生练习时,教师巡视、辅导，了解学生的掌握情况.对于2、3题教师组织学生讨论,并引导学生发现解决问题的关键: 式子a中，a≥0非常重要.成果展示引导学生对上面的问题进行展示交流引导学生自己出一组题，小组内做.学习小组内互相交流，讨论，展示.补偿提高1．计算：（18）2 （23）2（94）2（0）2（－478）222(35)(53)-2．若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简23x+x的结果是（）A、－4xB、4xC、－2xD、2x3．已知实数x，y满足x y-++=540，求代数式的值.教师出示题目.第1题、第2题由学生独立完成.教师巡视，个别辅导.请学生板练.师生共同评析.存在的共性问题共同讨论解决.第3题鼓励学生独立思考后解决.感觉有困难的学生可以寻求同学的帮助，然后完成.小组交流内.小结本节课你学到了什么知识？你有什么认识？学生自己说出本节课的收获作业设计作业：教材P5习题21.1复习巩固2题(3)、(4)3题(1)、(2).教师布置作业，并提出要求.学生课下独立完成，延续课堂.xo112233445566A(3,2)B(6,2)C（3，5）y。
二次根式第二课时教案
26.1 二次根式（第2课时）
一、教学目标
知识与技能
使学生初步掌握利用（a）2=a（a≥0）
a
=进行计算.
过程与方法
二次根式的非负性和如何利用（a）2=a（a≥0）
a
=解题
情感态度与价值观
通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论（a）2=a（a≥0）,使学生感受到数学知识的内在联系
二、重点难点
重点
应用（a）2=a（a≥0）
a
=进行计算
难点
利用二次根式的非负性和利用（a）2=a（a≥0）
a
=解题。
三、学情分析
学生已经学习了二次根式的概念，明确了二次根式中被开方数为非负数的特点，本节课主要让学生掌握二次根式的性质及其应用。
五、设计思路
a ≥0)的非负性，复习巩固二次根式被开方数为非负数；重点把握（a ）2
=a
（a ≥0）a 的理解和应用。
让学生在学习过程中探究二次根式的性质，并能够进行灵活应用。
《二次根式(第2课时)》优质教案
二次根式（2）【教学目标】1. 0,0)a b =≥≥，并学会利用这一性质对二次根式进行化简.2.掌握最简二次根式的概念.【教学重点】0,0)a b =≥≥.【教学难点】0,0)a b =≥≥进行化简.【教学过程】一、新课引入计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么= ，= ；= ，= .二、自主探究1.二次根式的性质：积的算术平方根⑴参考上面的结果，用“>、<或=”填空.⑵根据上面的探究，下列式子也存在类似关系，猜想你的结论并用计算器验证.⑶0,0)a b =≥≥⑷例：化简下列二次根式：2.最简二次根式：观察上面的例题中各小题的最后结果，你发现这些式子中的二次根式有什么特点通过分析得到，二次根式有如下两个特点：⑴被开方数中不含分母；⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.*在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.三、应用迁移（一）典例精析例1 利用二次根式的性质化简：；（二）变式运用=a 的取值范围是=-x 的取值范围是 (三)综合运用化简1x -25x -，试求x 的取值范围.四、归纳小结 ⑴积的算术平方根的性质：⑵最简二次根式：① ②五、巩固提升★⒈下列二次根式是最简二次根式的是（ ）B C D ★★⒉化简：)0x > )0,0,x y x y >>>且★★★⒊比较.六、课后练习A层：教材P160 A组4、5、6B层：教材P160B组8、9、10 七、教学反思。
(完整版)16.1二次根式(第二课时)教学设计
《16.1 二次根式（第二课时）》教学设计教学目标1.理解二次根式的基本性质，能运用二次根式的性质计算和化简，正确区分()()02≥=a a a 和()02≥=a a a ，了解代数式的概念与特征.2.在观察、比较、总结归纳二次根式的基本性质的过程中，增强学生的参与意识，发展学生的归纳概括能力，通过对二次根式的性质的探究，提高学生的思维能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力.3.通过小组合作学习，经历观察、比较、总结归纳和应用等数学活动，感受数学学习的探索性和创造性，利用小组交流体验发现问题的乐趣，激发学生的学习兴趣，并提高对二次根式性质的应用意识. 教学重点与难点教学重点: 二次根式基本性质的探究教学难点: 二次根式基本性质的应用教材与学情分析教材分析: 在“实数”一章中，学生已经学习了平方根及算术平方根的概念，以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系，求解非负数的平方根和算术平方根的方法.而本节课是在学生了解了二次根式的概念的基础上学习二次根式的基本性质，并为之后学习二次根式的加、减、乘、除四则运算与最简二次根式打下基础，是本章最基础的知识点之一，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习打下基础.同时，本章以二次根式这一典型的“式”为载体，进一步学习对数字、符号进行运算的方法，体会通过符号运算所得结果的一般性，进而培养符号意识和运算能力.学情分析: 在这节课之前，学生刚刚学习了二次根式的概念，理解起来有一定的难度，所以通过利用算术平方根的意义等知识，进行探究、计算，得出二次根式的基本性质.利用二次根式的基本性质进行简单计算加深印象，并在此基础上将习题变形，提高学生的应用能力.二、教学过程(一)、新知引入：1.指出下列式子中的二次根式：)(),2(2132213-523b a b a a a x <-≥-+，，，，，2.什么样的式子我们称之为二次根式？（二次根式的概念） 二次根式：形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式. 其中0≥a ，0≥a .【设计意图：】通过辨别二次根式的练习，回顾二次根式的概念.(二)、探究新知：一、性质1的探究：1.问题1 根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？()______42= ()______22= ______312=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ()______02= 小组合作学习，进行探究，并得出猜想和结论：())0(2≥=a a a【设计意图：】在复习算术平方根意义的同时，让学生有目的地进行 思考，并通过小组探究得出二次根式的性质1.2.利用性质计算：1) ()25.1 ；()252 2) ()20 ；()253 ；2874⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 【设计意图：】通过练习，巩固二次根式的性质1并能应用其进行简单计算.二、性质2的探究：1.问题1 填空，你能说说这样做的依据并找出规律吗？______22= ______1.02= ______322=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ______02= 小组合作学习，进行探究，并得出猜想和结论：)0(2≥=a a a【设计意图：】与第一个探究形成对比，利用相同的方法得到二次根 式的基本性质2.2.利用性质化简：16 ；2)5(-3.已知性质)0(2≥=a a a ，你认为，当0<a 时，______________2==a所以，综上所述，()()⎩⎨⎧<-≥==0,0,2a a a a a a 【设计意图：】通过习题加以应用巩固，并在习题中设置新的问题，提高学生主动思考解决问题的能力.4.利用性质化简： 9 ；25 ；2)3(- ；2)4(-变形练习：化简 2)1(+x ；122+-x x 分析：利用性质2化简，注意被开方数的取值范围.【设计意图：】通过小组探究，利用旧知得到新知，使学生经历知识的发现与完善过程，增强学生主动参与、交流的意识，从探究中获取新知.(三)、巩固新知：1.思考()2a 和2a 有什么区别和联系？ ()2a 表示：一个非负数的算术平方根的平方；2a 表示：一个数的平方的算术平方根.并且，当0≥a 时，二者的计算结果相同.【设计意图】：在简单应用新知的基础上，启发学生思考二次根式基本性质的联系与区别，强化对所学知识的理解.2.综合运用：1) 说出下列各式的值：()23 ；()223 ；23.0 ；2)71(- 2) 快速计算出下列各式的值（小组成员互相检查）： 2)(π-- ；2-10 ；24a3.能力提高：1) 已知 n 24 是整数，求正整数n 的最小值；2) 已知 n -18 是整数，求自然数n 所有可能的值 （思考题）.【设计意图：】通过分层次的习题进一步强化所学知识，增强学生解决数学问题的信心，同时利用思考题有针对性的对学习能力较强的同学进行分层教学，进一步提高其对知识灵活运用的能力.(四)、再学新知： 回顾我们学过的式子，如)0(3253≥--+a a x ts ab b a a ，，，，，，，…… 它们是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．1.举出几个代数式的例子；2.提出问题：5>a 是代数式吗？注意：代数式中不能含有关系符号！【设计意图：】给出代数式的定义，让学生能够正确认识代数式并举出代数式的例子.(五)、课堂小结：（学生发言互相交流）1.你知道了二次根式的哪些性质？2.运用二次根式性质进行化简需要注意什么？【设计意图：】通过归纳总结，使学生形成认知结构，提高对知识的理解与掌握.(六)、布置作业：1.必做题：习题16.1第2，4题.2.选做题：课堂上布置的思考题.【设计意图：】通过作业的布置，巩固二次根式的基本性质，并形成有效的反馈；通过分层次留作业，有针对性地提高学生的能力.设计思想：本节课的教学设计旨在体现以学生为本的教育理念，尽力引导学生积极主动地成为知识的发现者，并通过多媒体电化教学的辅助及问题情境的创设，启发并鼓励学生主动探索思考，获取新知，培养学生的思维能力、分析问题和解决问题的能力，提高学生的运算能力.教学过程分为新知引入、探究新知、巩固新知、课堂小结、布置作业等环节，引导学生利用旧知学习新知，并通过引导启发，让学生经历知识的发现与完善的过程，掌握二次根式的基本性质，并及时地巩固和应用新知，深化学生对所学知识的理解与掌握.同时，通过小组合作交流的学习形式，增强学生之间的情感交流，激发学生对数学学习的兴趣，使学生形成与他人良好沟通的积极态度.。
人教版八年级数学下册16.1二次根式(第二课时)教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握二次根式的性质，包括二次根式的乘除运算规则，以及二次根式的化简方法。
2.能够运用二次根式的性质和运算法则，解决实际问题，如计算几何图形的面积和体积等。
3.能够将复杂的二次根式化简为最简形式，并正确进行相关运算。
（五）总结归纳
在课堂尾声，带领学生进行以下总结归纳：
1.知识点回顾：梳理本节课学习的二次根式乘除法则、化简方法和实际应用。
2.解题策略：总结解决二次根式问题的方法和技巧，提醒学生注意事项。
3.情感态度：强调学习数学的重要性，激发学生学习兴趣，鼓励他们在今后的学习中继续努力。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，检验学生对二次根式的掌握程度，特布置以下作业：
3.交流与合作：培养学生团队合作精神，提高沟通能力，共同提高。
（四）课堂练习
为了检验学生对本节课知识的掌握程度，设计以下课堂练习：
1.基础题目：针对二次根式的乘除法则和化简方法，设计一些基础题目，让学生独立完成。
2.提高题目：设计一些涉及实际问题的二次根式题目，考查学生将理论知识应用于实际的能力。
3.互动解答：鼓励学生互相批改、讨论，共同解决问题，提高解题能力。
-结合生活实际，设计涉及面积、体积计算的题目，让学生在实际问题中应用二次根式。
-引导学生通过小组合作，共同探讨解决复杂二次根式运算的策略。
3.采用分层教学，针对不同学生的学习需求，提供个性化的教学支持。
-对于基础薄弱的学生，重点强化基本性质和运算规则的训练。
-对于学有余力的学生，设计更具挑战性的题目，拓展他们的思维和知识深度。
1.注重启发式教学，引导学生主动探究二次根式的性质和运算法则。
《二次根式+第2课时》教学方案
第十六章二次根式
16.1 二次根式
第2课时
一、教学目标
1.理解二次根式的性质1、性质2，了解其区别与联系；
2.经历二次根式性质的观察、归纳、对比等探索过程，并能运用性质解决一些问题；
3.在二次根式性质的探索和形成过程中，发展分类讨论意识，了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想；
4.在探索过程中鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，发展学数学用数学的意识.
二、教学重难点
重点：理解二次根式的性质1、性质2，了解其区别与联系.
难点：能运用二次根式的性质解决一些问题.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
2
(0)(0)a a a a a a ⎧=⎨-⎩
=≥＜
【做一做】
请同学们快速判断下列各题的对错：
22
2
2(1)77
()(2)(7)7()(3)(7)7()(4)(7)7
()-=-===-----
答案：(1)√；(2)×；(3)√；(4)√. 【延伸】
如何区别2
()a 与2a .。
最新16.1二次根式第2课时教案
二、 探究新 知
议一议： a （a≥0）
是一个什么 数呢?
我们可以得出
a （a≥0）是一个非 负数.
三、巩 固练习
做一做:根 据算术平方 根的意义填 空:
( 4 )2＝ ____＿__； ( 2 ）2=＿ ____＿_; （ 9 )2＝ ______; （ 3） 2=_____＿_;
老师点评： 4 是 4 的算术平方根,根据 算术平方根的意义，
教 用。
学
目
3.通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论( a )２= a （ a ≥
标 ０)，使学生感受到数学知识的内在联系．
教学重
点
应用（ a )2= a （ a ≥０）进行计算．
教学难 利用二次根式的非负性（上一节已谈及二次根式的取值范围）和
点 利用( a )2＝ a （ a ≥0)解题。
教学方 法
( x 1 )2=x＋1 （2)∵a２≥0，∴ ( a2 ）2=a2 (3）∵a2+２ａ +1=(a+1)２
又∵(a＋1）2≥ ０,∴a2+2a+1≥0 ,∴
a2 2a 1＝a2+2a+1 (4）∵4x２-12x+９
=(２x)2—2·2x·３ +32=(2x－3）2
又∵(2ｘ-3）２ ≥0
∴4x2-12x+9≥0,∴ （ 4x2 12x 9 ）２=4x２12ｘ+9
＿__＿＿； ( 0 )2=＿ ____＿＿.
例１ 计算
１.（ 3 )2
2
2.（3 5 )2
分析:我们可以直接 利用（ a )２=ａ(a≥0) 的结论解题.
解:（ 3 )2 = 3 ，
22
《二次根式(第2课时)》教学设计
精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .第二章 实数7．二次根式 (第2课时 )一、学生起点分析在前面 ,学生已经掌握了实数的概念 ,实数的运算法那么；学会了利用公式：b a b a ⋅=⋅ (a ≥0 ,b ≥0 ) ,ba b a= (a ≥0 ,b ＞0 )进行简单的实数四那么运算．本课时更多的是反用上面的公式 ,因此 ,上一课时知识成为本课时很好的知识根底 .二、教材任务分析二次根式 (第2课时 )是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级||上册第二章<实数>第7节内容．本节内容分为3个课时 ,本课时是第2课时 ,基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法那么以及加减运算的法那么 ,进而利用它们进行二次根式的运算 ,经历本节课的学习 ,学生将对实数的运算 ,有较全面的了解 ,同时进一步熟练实数的运算 ,为今后的学习打下坚实的根底．本节课的教学目标是：1.通过对公式的反向运用 ,到达化简的目的．学会一种特殊的思考方法；3.在探究、合作活动中 ,开展学生探究能力和合作意识；4.通过对公式的逆运用 ,感受数学的严谨性以及数学结论确实定性．三．教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第|一环节：复习引入；第二环节：知识探究； 第三环节：知识稳固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结.第|一环节：复习引入内容：复习算术平方根的概念 ,并提出问题：下面正方形的边长分别是多少 ?这两个数之间有什么关系 ,你能借助什么运算法那么或运算率解释它吗 ?点明本节课研究课题意图：借助复习 ,在稳固旧知的同时 ,导入新课 .第二环节：知识探究1．在上一课时探究的公式的根底上明晰二次根式乘除的运算法那么：b a b a ⋅=⋅ (a ≥0 ,b ≥0 ) ,ba b a= (a ≥0 ,b ＞0 )． 2．提出问题：能否根据该公式将8化成22 ?例3 计算：(1 )326⨯； (2 )236⨯； (3 )52 . 解：2==； (2 )236⨯＝236⨯＝236⨯＝9＝3； (3 )52＝＝52＝5552⨯⨯ =510. 说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数 ,使得分母成为一个平方数；一定要使结果化为最||简二次根式或整式 ,如 (1 ) (2 )的开方运算. 第三环节：稳固练习例4 计算：(1 )3322⨯ (2 )5312-⨯； (3 )2)15(+； (4 ))313)(313(-+； (5 )3)3112(⨯-； (6 )2188+ . 面积8 面积2解： (1 )3322⨯ =32⨯⨯32⨯ =66；(2 )5312-⨯＝5312-⨯＝536-＝6－5＝1；(3 )2)15(+＝152)5(2++＝5＋52＋1＝6＋52；(4 ))313)(313(-+＝223)13(-＝4；(5 )3)3112(⨯-516136331312=-=-=⨯-⨯=； (6 )2188+5329421828=+=+=+= . 说明： (1 )对实数运算 ,有理数的所有运算均成立 ,如乘方、乘除、加减及括号的优先顺序问题；再者 ,平方差、完全平方运算也依然成立；(2 )对于5、6两道小题 ,教师也可引入分母有理化概念 ,并采用分母有理化进行化简 ,并让学生比照运算的优劣问题；(3 )两个二次根式相除 ,把二次根式的系数、被开方数分别相除 ,再把所得的商相乘 ,同时注意确定商的符号.意图：从本例开始 ,正式进行二次根式的加减乘除运算 ,但设计时注意了题目的梯度 .本例还侧重于乘除法运算 ,只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用了 (如交换律、结合律、分配率、乘法公式等 )；教学中 ,注意体会这些题目之间的层次性 ,教学中务必循序渐地开展相关技能训练 ,让更多的学生感受到成功的喜悦 ,循序渐进地开展学生的学力 .例5 计算：； (2 )515-； (3 ).解： ； (2 )515-＝2555-＝2555-＝555-＝554；(3 )===. 课堂练习1：1.化简： (1 )18； (2 )25； (3 )7533-； (4 )2112-． (5 )6)334(⨯+ 第四环节：知识拓展﹡课堂练习2：化简： (1 )128； (2 )9000； (3 )48122+；(4 )325092-+； (5 )5145203--； (6 )3223+． 解： (1 )2828264264128=⨯=⨯=⨯=；(2 )1030103010900109009000=⨯=⨯=⨯=；(3 )2=＝224=⨯==(4 )325092-+ ＝2342425322162253221622592=-+=⨯-⨯+=⨯-⨯+； (5 )5145203-- ＝55145553562555954325559543=--=-⨯-⨯⨯=-⨯-⨯； (6 )6653626964696463223=+=+=+=+． 第五环节：课堂小结在进行根式乘除运算时 ,你有哪些体会与收获 ?五、教学反思本节课提出了最||简二次根式 ,给出了二次根式化简成最||简二次根式的常用方法．同学们需通过练习认真体会各类方法 ,做到能灵活运用．为今后的学习打下根底．本节课的教学设计中|考虑了学生的层次不同 ,对知识的要求也不同 ,因此增加了知识拓展的内容 ,供层次高一些的学生及班级||选用．以下为赠送内容别想一下造出大海,必须先由小河川开始 .成功不是只有将来才有,而是从决定做的那一刻起,持续积累而成!人假设软弱就是自己最||大的敌人,人假设勇敢就是自己最||好的朋友 .成功就是每天进步一点点!如果要挖井,就要挖到水出为止 .即使爬到最||高的山上,一次也只能脚踏实地地迈一步 .今天拼搏努力,他日谁与争锋 .在你不害怕的时候去斗牛,这不算什么；在你害怕的时候不去斗牛,这没什么了不起；只有在你害怕的时候还去斗牛才是真正的了不起 .行动不一定带来快乐,但无行动决无快乐 .只有一条路不能选择- -那就是放弃之路；只有一条路不能拒绝|| - -那就是成长之路 .坚韧是成功的一大要素,只要在门上敲得够久够大声,终会把人唤醒的 .只要我努力过,尽力过,哪怕我失败了,我也能拍着胸膛说："我问心无愧 ."用今天的泪播种,收获明天的微笑 .人生重要的不是所站的位置,而是所朝的方向 .弱者只有千难万难,而勇者那么能披荆斩棘；愚者只有声声哀叹,智者却有千路万路 .坚持不懈,直到成功!最||淡的墨水也胜过最||强的记忆 .凑合凑合,自己负责 .有志者自有千计万计,无志者只感千难万难 .我中|考,我自信!我尽力我无悔!听从命运安排的是凡人；主宰自己命运的才是强者；没有主见的是盲从,三思而行的是智者 .相信自己能突破重围 .努力造就实力,态度决定高度 .把自己当傻瓜,不懂就问,你会学的更多 .人的活动如果没有理想的鼓舞,就会变得空虚而渺小 .安乐给人予舒适,却又给人予早逝；劳作给人予磨砺,却能给人予长久 .眉毛上的汗水和眉毛下的泪水,你必须选择一样!假设不给自己设限,那么人生中就没有限制你发挥的藩篱 .相信自己我能行!任何业绩的质变都来自于量变的积累 .明天的希望,让我们忘了今天的痛苦 .世|界上最||重要的事情,不在于我们身在何处,而在于我们朝着什么方向走 .爱拼才会赢努力拼搏,青春无悔!。
二次根式第二课时教案
（ a） 2= a （ a ≥0) 例 2： 例 3：
课后反思：
八年级下数学教案
课题：16.1 二次根式(第二课时）
序号：2
课型：新授课 执笔:亓桂琴
二次根式第二课时教案
备课时间： 月 日
授课时间：
授课班级：
知识 教
与 使学生初步掌握利用（ a ）2= a ( a ≥0）进行计算。
学 技能
过 程 1、乘方与开方互为逆运算在推导结论（ a ）2= a ( a ≥0）中的应 目
与用
标 方 法 2、二次根式的非负性和如何利用（ a ）2= a ( a ≥0)解题. 情 感 通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论( a ）2= a ( a ≥0)，使学 态 度 生感受到数学知识的内在联系.
课标 掌握二次根式的性质 ( a ) 2=a（a≥0)和 a= ( a ) 2 （a≥0)，并能灵活应用； 要求
练习:已知 1 a + b 7 =0， 求 a -b 的值。 答案: a —b=8. 活动三探求规律 根据算术平方根的意义填空： 1。（ 9 )2=_________；2.( 3 ）
a ≥0 时 a 的算术平 方根.
学生思考并解释， 不完善的地方教师 补充。
找学生来讲解做 法.
引出初中阶 段的第三个非 负式.
教材 本节是在研究了二次根式的概念的基础上学习的。二次根式的性质是学习本
分析 章的关键,它也是学习二次根式的化简和运算的依据
学情 分析
本节课是在数的开方的有关知识的基础上展开的,有了一定知识基础，他们 并不陌生,所以只要我们连接好新旧知识，学生很容易接受,加强新旧知识的 联系,化为知为已知。
应用（ a ）2= a （ a ≥0）进行计算。 重点
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学生思考并解释，不 完善的地方教师补 充. 找学生来讲解做法.
使学生理解 非负式的应用.
学生独自思考解 题，然后全班同学集 体进行交流.
请学生口答结果后
3.( 1 )2=_________；4.( 0 )2=_________； 总结有何规律.
5
5.( a )2=______；（ a ≥0）
1.9;
2. 练习.计算：
1.（ .5 ）2；2.（7 10 ）2；
（2）与学生一起写出 过程 这里用到公式（ a b） n= a bn n （3）问学生为什么不
进一步巩固 二次根式的非 负性.
由学生自己发 现规律，他们更 容易记住 逐层深入使学 生对 ( a )2= a（ a ≥ 0） 有更深刻的理 解.
板书设计
16.1 二次根式（2）
（ a ）2= a （ a ≥0） 例 2：
课后反思：
例 3：
师生行为 学生口答
1. 5 有 意 义 ， 因 为 5>0；
a 当 a ≥0 时有意
设计意图
利用这两个 式子复习被开 方式的取值范 围.
义， 当 a <0 时无意义；
复习算术平
活动二引入新知识 请同学们想一想 a 有没有可能小于零？为什 么？
a ≥0 ( a ≥0）
例 1.已知 x 3 + y 5 =0，求 xy 的值是
八年级下数学教案
序号：2
课题：16.1 二次根式（第二课时） 课型：新授课 执笔：亓桂琴
教
学
目
标
课标 要求 教材 分析 学情 分析
备课时间： 月 日
授课时间：
授课班级：
知识 与
技能 过程
与 方法
使学生初步掌握利用（ a ）2= a （ a ≥0）进行计算. 1、乘方与开方互为逆运算在推导结论（ a ）2= a （ a ≥0）中的应用 2、二次根式的非负性和如何利用（ a ）2= a （ a ≥0）解题.
3.（ 2 3 ）2；4.（ a2 b2 ）2. 7
教材 P5—练习 1、2 活动四总结收获 1. 注意二次根式的非负性在解题中的应用；
2. ( a )2= a （ a ≥0）
的应用范围，一定要注意； 3．请谈一谈本节所学的内容与哪些学过的知 识有联系. 布置作业：
用给出字母的范围. 学生自己计算在小组 对答案.
1.请学生谈一谈自己 的收获以及自己对本 节课的体会; 2.请你给大家一些建 议,在做这种题目是 应注意哪学问题.
进一步巩固所 学内容.
使学生大 胆的说出自己 的想法和错误， 以便及时改正.
A 类：计算：1. ( 4)2 ; 2. ( 7 )2 ;
3. (3 3)2 ；4. (2 1.5)2
B 类：1．已知 x y 1 + x 3 =0，求 xy 的值．
情感 态度
通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论（ a ）2= a （ a ≥0）,使学生 感受到数学知识的内在联系.
掌握二次根式的性质 ( a ) 2=a(a≥0)和 a= ( a ) 2 (a≥0)，并能灵活应用；
本节是在研究了二次根式的概念的基础上学习的。二次根式的性质是学习本章的 关键，它也是学习二次根式的化简和运算的依据 本节课是在数的开方的有关知识的基础上展开的，有了一定知识基础，他们并不 陌生，所以只要我们连接好新旧知识，学生很容易接受，加强新旧知识的联系， 化为知为已知。
重点 难点
应用（ a ）2= a （ a ≥0）进行计算. 利用二次根式的非负性（上一节已谈及二次根式的取值范围）和利用 （ a ）2= a （ a ≥0）解题.
教法 自主探索合作交流 问题与情境
活动一回忆旧知识 问题： 1. 5 ， a 有意义吗？为什么？
2. 5 表示的意义是什么?
3. a 表示的意义是什么?
由于 a（ a ≥0）表示非负数 a 的算术平方根， 2.3;
根据平方根的意义， a 的平方等于 a ，因此 我们就得到一个结论：
3. 1
5
4.0; 5. a ;
( a )2= a （ a ≥0）
例 2.计算:
（1）小题学生口算结
果. （1）（ 1.7 ）2（2）（2 5 ）2（3）（ a2 1 ）
方根的基本形 2. 5 表示的是 5 的 式. 算术平方根.
3. a 表示的是当 a
≥0 时 a 的算术平方 根.
引出初中阶 段的第三个非 负式.
多少？
练习:已知 1 a + b 7 =0，
求 a -b 的值. 答案： a -b=8. 活动三探求规律 根据算术平方根的意义填空：
1.( 9 )2=_________；2.( 3 )2=_________；
2．在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-2
课堂检测
（2）x4-9
3x2-5
一、填空题
1．（- 3 ）2=________．2．已知 x 1 有意义，那么是一个_______数．
二、计算
（1）（ 9 ）2
（2）-（ 3 ）2
（3）（ 1 6 ）2 2
（4）（-3 2 ）2 3
(5) (2 3 3 2)(2 3 3 2)