组合与组合数公式教学设计
组合与组合数教案
组合与组合数教案一、教学目标1. 让学生理解组合的概念，掌握组合数的计算方法。
2. 培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生发现生活中的组合现象，培养学生的观察力和想象力。
二、教学内容1. 组合的概念：组合是从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有可能排列的集合。
2. 组合数的计算：组合数用C(n,m)表示，计算公式为C(n,m) = n! / [m! (n-m)!]，其中n!表示n的阶乘。
三、教学重点与难点1. 教学重点：组合的概念，组合数的计算方法。
2. 教学难点：组合数的计算公式的推导与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索组合数的计算方法。
2. 利用实例分析，让学生体验组合知识在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作与交流能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，如排列组合的抽奖活动，引导学生思考组合的概念。
2. 讲解组合的概念：详细解释组合的定义，让学生理解组合的本质。
3. 推导组合数的计算公式：引导学生利用阶乘的概念，推导组合数的计算公式。
4. 讲解组合数的计算方法：讲解组合数的计算公式，让学生掌握组合数的计算方法。
5. 应用实例：通过实际问题，让学生运用组合知识解决问题，巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调组合的概念和组合数的计算方法。
7. 课后作业：布置相关练习题，让学生巩固组合知识。
六、教学活动1. 设计意图：通过小组合作活动，让学生更深入理解组合概念，并锻炼动手动脑能力。
活动内容：让学生分组，每组使用卡片或骰子等物品，创造出不同的组合。
每组需要记录下他们创建的组合，并计算出组合数。
2. 分组活动：学生自由分组，每组4-6人。
每组选择一种物品，如卡片、骰子等，进行组合创造。
3. 分享与讨论：每组向全班展示他们的组合创造，并分享他们的组合数计算过程。
其他组的学生可以提问或提出不同看法。
4. 教师点评：教师对每组的展示进行点评，强调组合的概念和组合数的计算方法。
组合与组合数公式教学设计
《组合与组合数公式》教学设计(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《组合与组合数公式》教学设计教学目标1、知识目标：了解组合问题和排列问题的区别，会用组合数公式，会算简单的组合问题。
2、能力目标：通过类比排列问题，推理出组合的定义和组合数的公式。
锻炼学生的类比的思想方法，逐步培养探索问题的精神，善于思考的习惯。
重点难点重点：通过类比推理得到组合的定义和组合数的公式。
难点：如何引导学生的到组合的定义和组合数的公式。
教学方法与手段1、教学方法：启发式教学法、对话式教学法2、教学手段：多媒体教学过程复习排列定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
（排列强调的是顺序）排列数公式：(1)(2)(1) mnA n n n n m=---+!()!mnnAn m=-引入问题一：某娱乐公司要从鹿晗、权志龙、邓超，3名大腕任意选出2名参加某天的一项活动，试问该娱乐公司有多少种不同的安排方法？1、试用列举法求解问：请同学们想一想并说出答案学：鹿晗、权志龙；鹿晗、邓超；权志龙、邓超2、邓超、鹿晗与鹿晗、邓超是一种安排方式吗？你发现了什么规律？学：没有要求顺序。
总结：我们只要选出人，并成一组，形成组合即可，这个过程就是组合形成的过程。
仿照排列的定义可以得到组合的定义。
一组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．问题二某娱乐公司要从鹿晗、权志龙、邓超，3名大腕任意选出2名参加某天的一项活动，其中一名参加上午活动，另外一名参加下午的活动，试问该娱乐公司有多少种不同的安排方法学：鹿晗、权志龙；权志龙、鹿晗鹿晗、邓超；邓超、鹿晗邓超、权志龙；权志龙、邓超问：问题一与问题二的根本区别是什么？学：问题一没顺序，问题二有顺序问：判断一个问题是组合还是排列问题的关键是什么？学：顺序二组合数：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号表示问：问题一和问题二的答案个数有何不同，有什么关系学：排列问题答案多而组合少，并且成倍数关系。
组合与组合数教案()
组合与组合数教案（优秀）第一章：组合概念的引入1.1 组合的定义教学目标：了解组合的定义，理解组合是一种从多个不同元素中选取一部分元素的方法，不考虑元素的顺序。
教学内容：引导学生回顾排列的概念，引出组合的概念。
通过具体的例子，让学生理解组合的意义。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合的定义。
教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合定义的理解程度。
1.2 组合的表示方法教学目标：学习组合的表示方法，如排列号和组合号。
教学内容：介绍排列号和组合号的表示方法，以及它们之间的关系。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合的表示方法。
教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合表示方法的掌握程度。
第二章：组合数的计算2.1 组合数的计算公式教学目标：学习组合数的计算公式，理解组合数与排列数的关系。
教学内容：介绍组合数的计算公式，以及组合数与排列数的关系。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的计算公式。
教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合数计算公式的掌握程度。
2.2 组合数的计算方法教学目标：学习组合数的计算方法，如递推法、倍数法等。
教学内容：介绍组合数的计算方法，以及它们的适用场景。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的计算方法。
教学评价：通过课堂练习，检查学生对组合数计算方法的掌握程度。
第三章：组合数的性质3.1 组合数的性质教学目标：学习组合数的性质，如组合数的对称性、组合数的单调性等。
教学内容：介绍组合数的性质，以及它们的证明方法。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的性质。
教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合数性质的掌握程度。
3.2 组合数的应用教学目标：学习组合数的应用，如组合数的在概率论中的应用、组合数在图论中的应用等。
教学内容：介绍组合数在概率论中的应用，以及组合数在图论中的应用。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的应用。
2022年教学教材《 组合与组合数 》优秀教案
组合与组合数第1课时组合与组合数1．组合的概念一般地，从n个不同对象中取出mm≤n个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合．[拓展]组合概念的两个要点1取出的对象是不同的；2“只取不排〞，即取出的m个对象与顺序无关，无序性是组合的特征性质．2．组合数的概念、公式1．思考辨析正确的打“√〞，错误的打“×〞1两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同．2从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C错误!．3从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．4从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．[答案]1√2√3×4√2．假设C错误!＝28，那么n＝A．9B．8C．7 D．6B[C错误!＝＝28，即n＝8]3．一题两空C错误!＝________，C错误!＝________15318[C错误!＝错误!＝153，C错误!＝＝18]4．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________．6[从四个数中任取两个数的取法为C错误!＝6]110支球队以单循环进行比赛每两队比赛一次，这次比赛需要进行多少场次？210支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？3从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？4从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？[思路点拨]要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．[解]1是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．2是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．3是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．4是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．2．区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，假设有新变化，即说明有顺序，是排列问题；假设无新变化，即说明无顺序，是组合问题．错误!1．教材错误!＝计算．2．涉及字母的可以用阶乘式C错误!＝计算．错误!2．1计算：C错误!－C错误!·A错误!；2求证：C错误!＝错误!C错误![解]1C错误!－C错误!·A错误!＝错误!－7×6×5＝210－210＝02右边＝错误!C错误!＝错误!·＝＝C错误!＝左边．即等式成立．解答简单组合问题的关键是什么？[提示]关键是把实际问题模型化，在此根底上选择组合数公式求解．【例3】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．1现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？2选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？3现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解]1从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C错误!＝错误!＝45种．2可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C错误!种方法；第2类，选出的2名是女教师有C错误!种方法．根据分类加法计数原理，共有C错误!＋C错误!＝15＋6＝21种不同选法．3从6名男教师中选2名的选法有C错误!种，从4名女教师中选2名的选法有C错误!种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C错误!×C错误!＝15×6＝90种．解简单的组合应用题的策略1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．2．要注意两个根本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．排列与组合的相同点与不同点1．以下四个问题属于组合问题的是A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C．从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员C[A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题．]2．假设A错误!＝12C错误!，那么n等于A．8B．5或6C．3或4 D．4A[A错误!＝nn－1n－2，C错误!＝错误!nn－1，所以nn－1n－2＝12×错误!nn－1．，且n≥3，解得n＝8]由n∈N＋3．从9名学生中选出3名参加“希望英语〞口语比赛，有______种不同的选法．84[由题意可知共有C错误!＝错误!＝84种．]4．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次．15[每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C错误!＝15次．] 5．C错误!－C错误!＝C错误!－C错误!，求C错误!的值．[解]由得2C错误!＝C错误!＋C错误!，所以2·＝＋，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求C错误!的值，故n≥12，所以n＝14，于是C错误!＝91。
高中数学组合教案4篇
高中数学组合教案高中数学组合教案4篇作为一名专为他人授业解惑的人民教师，常常要根据教学需要编写教案，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。
那么你有了解过教案吗？下面是小编为大家整理的高中数学组合教案，欢迎阅读与收藏。
高中数学组合教案1教学目标（1）使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；（2）使学生掌握组合数的计算公式；（3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；教学重点难点重点是组合的定义、组合数及组合数的公式；难点是解组合的应用题．教学过程设计（－）导入新课（教师活动）提出下列思考问题，打出字幕．［字幕］一条铁路线上有6个火车站，（1）需准备多少种不同的普通客车票？（2）有多少种不同票价的普通客车票？上面问题中，哪一问是排列问题？哪一问是组合问题？（学生活动）讨论并回答．答案提示：（1）排列；（2）组合．［评述］问题（1）是从6个火车站中任选两个，并按一定的顺序排列，要求出排法的种数，属于排列问题；（2）是从6个火车站中任选两个并成一组，两站无顺序关系，要求出不同的组数，属于组合问题．这节课着重研究组合问题．设计意图：组合与排列所研究的问题几乎是平行的．上面设计的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题．（二）新课讲授［提出问题创设情境］（教师活动）指导学生带着问题阅读课文．［字幕］1．排列的定义是什么？2．举例说明一个组合是什么？3．一个组合与一个排列有何区别？（学生活动）阅读回答．（教师活动）对照课文，逐一评析．设计意图：激活学生的思维，使其将所学的知识迁移过渡，并尽快适应新的环境．【归纳概括建立新知】（教师活动）承接上述问题的回答，展示下面知识．［字幕］模型：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．如前面思考题：6个火车站中甲站→乙站和乙站→甲站是票价相同的车票，是从6个元素中取出2个元素的一个组合．组合数：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，称之，用符号表示，如从6个元素中取出2个元素的组合数为 .［评述］区分一个排列与一个组合的关键是：该问题是否与顺序有关，当取出元素后，若改变一下顺序，就得到一种新的取法，则是排列问题；若改变顺序，仍得原来的取法，就是组合问题．（学生活动）倾听、思索、记录．（教师活动）提出思考问题．［投影］与的关系如何？（师生活动）共同探讨．求从个不同元素中取出个元素的排列数，可分为以下两步：第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数为；第2步，求每一个组合中个元素的全排列数为．根据分步计数原理，得到［字幕］公式1：公式2：（学生活动）验算，即一条铁路上6个火车站有15种不同的票价的普通客车票．设计意图：本着以认识概念为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨，逐步展示知识的形成过程，使学生思维层层被激活、逐渐深入到问题当中去．（三）小结（师生活动）共同小结．本节主要内容有1．组合概念．2．组合数计算的两个公式．（四）布置作业1．课本作业：习题10 3第1（1）、（4），3题．2．思考题：某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种学科竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中，男、女同学各有多少人？3．研究性题：在的边上除顶点外有 5个点，在边上有 4个点，由这些点（包括）能组成多少个四边形？能组成多少个三角形？（五）课后点评在学习了排列知识的基础上，本节课引进了组合概念，并推导出组合数公式，同时调控进行训练，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．作业参考答案2．解；设有男同学人，则有女同学人，依题意有，由此解得或或2．即男同学有5人或6人，女同学相应为3人或2人．3．能组成（注意不能用点为顶点）个四边形，个三角形．探究活动同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，那么四张不同的分配万式可有多少种？解设四人分别为甲、乙、丙、丁，可从多种角度来解．解法一可将拿贺卡的情况，按甲分别拿乙、丙、丁制作的贺卡的情形分为三类，即：甲拿乙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．甲拿丙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．甲拿丁制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．由加法原理得，贺卡分配方法有3+3+3=9种．解法二可从利用排列数和组合数公式角度来考虑．这时还存在正向与逆向两种思考途径．正向思考，即从满足题设条件出发，分步完成分配．先可由甲从乙、丙、丁制作的贺卡中选取1张，有种取法，剩下的乙、丙、丁中所制作贺卡被甲取走后可在剩下的3张贺卡中选取1张，也有种，最后剩下2人可选取的贺卡即是这2人所制作的贺卡，其取法只有互取对方制作贺卡1种取法．根据乘法原理，贺卡的分配方法有（种）．逆向思考，即从4人取4张不同贺卡的所有取法中排除不满足题设条件的取法．不满足题设条件的取法为，其中只有1人取自己制作的贺卡，其中有2人取自己制作的贺卡，其中有3人取自己制作的贺卡（此时即为4人均拿自己制作的贺卡）．其取法分别为 1．故符合题设要求的取法共有（种）．高中数学组合教案2教学目标1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力．3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．教学重点和难点重点：复数减法法则．难点：对复数减法几何意义理解和应用．教学过程设计（一）引入新课上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义）（二）复数减法复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（+ i）-（+ i）=（-）+（-）i，1．复数减法法则（1）规定：复数减法是加法逆运算；（2）法则：（+ i）-（+ i）=（-）+（-）i（，，，∈R）．把（+ i）-（+ i）看成（+ i）+（-1）（+ i）如何推导这个法则．（+ i）-（+ i）=（+ i）+（-1）（+ i）=（+ i）+（- - i）=（-）+（-）i．推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算．推导：设（+ i）-（+ i）= + i（，∈R）．即复数+ i为复数+ i减去复数+ i的差．由规定，得（+ i）+（+ i）= + i，依据加法法则，得（+）+（+）i= + i，依据复数相等定义，得故（+ i）-（+ i）=（-）+（-）i．这样推导每一步都有合理依据．我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数．是唯一确定的复数．复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（+ i）±（+ i）=（±）+（±）i．（三）复数减法几何意义我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？设z= + i（，∈R），z 1 = + i（，∈R），对应向量分别为，如图由于复数减法是加法的逆运算，设z=（-）+（-）i，所以z-z 1 =z 2，z 2 +z 1 =z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边2所表示的向量OZ 2就与复数z-z 1的差（-）+（-）i对应，如图．在这个平行四边形中与z-z 1差对应的向量是只有向量2吗？还有．因为OZ 2 Z 1 Z，所以向量，也与z-z 1差对应．向量是以Z 1为起点，Z为终点的向量．能概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差z-z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．（四）应用举例在直角坐标系中标Z 1（-2，5），连接OZ 1，向量1与多数z 1对应，标点Z 2（3，2），Z 2关于x轴对称点Z 2（3，-2），向量2与复数对应，连接，向量与的差对应（如图）．例2根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式．解：设复平面内的任意两点Z 1，Z 2分别表示复数z 1，z 2，那么Z 1 Z 2就是复数对应的向量，点之间的距离就是向量的模，即复数z 2 -z 1的模．如果用d表示点Z 1，Z 2之间的距离，那么d=|z 2 -z 1 |．例3在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么．（1）|z-1-i|=|z+2+i|；方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模．几何意义是是动点Z与定点（1，1）间的距离．方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的`是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线．（2）|z+i|+|z-i|=4；方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．满足方程的动点轨迹是椭圆．（3）|z+2|-|z-2|=1．这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线．是双曲线右支．由z 1 -z 2几何意义，将z 1 -z 2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征．例4设动点Z与复数z= + i对应，定点P与复数p= + i对应．求（1）复平面内圆的方程；解：设定点P为圆心，r为半径，如图由圆的定义，得复平面内圆的方程|z-p|=r．（2）复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R +）的点Z的集合是什么图形？解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R +）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．（五）小结我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．（六）布置作业P193习题二十七：2，3，8，9．探究活动复数等式的几何意义复数等式在复平面上表示以为圆心，以1为半径的圆。
组合与组合数教案()
组合与组合数教案（优秀）教学目标：1. 理解组合的概念和性质。
2. 掌握组合数的计算方法。
3. 能够应用组合数解决实际问题。
教学重点：1. 组合的概念和性质。
2. 组合数的计算方法。
教学难点：1. 理解组合的性质和计算方法。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入组合的概念，引导学生思考在日常生活中遇到的组合问题。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解组合的定义和性质，通过示例解释组合的概念。
2. 介绍组合数的计算方法，包括排列组合公式和递推公式。
3. 通过PPT展示组合数的计算过程和应用实例。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固组合的概念和计算方法。
2. 引导学生思考如何应用组合数解决实际问题。
四、总结与拓展（5分钟）1. 总结组合的概念和计算方法，强调组合在实际生活中的应用。
2. 提出拓展问题，引导学生进一步思考组合数的性质和应用。
五、作业布置（5分钟）1. 布置练习题，要求学生巩固组合的概念和计算方法。
2. 鼓励学生思考生活中的组合问题，培养学生的应用能力。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、课堂练习、总结与拓展等环节，使学生理解组合的概念和性质，掌握组合数的计算方法，并能够应用组合数解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生思考和讨论，激发学生的学习兴趣和主动性。
通过练习题和实际问题的解决，巩固学生的知识，提高学生的应用能力。
六、组合与组合数在几何中的应用（15分钟）教学目标：1. 理解组合数在几何中的应用。
2. 学会使用组合数解决几何问题。
教学重点：1. 组合数在几何中的应用。
教学难点：1. 如何将几何问题转化为组合问题。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 几何问题示例。
教学过程：1. 通过PPT展示组合数在几何中的应用实例，如平面几何中的区域划分、线段组合等。
2. 引导学生思考如何将几何问题转化为组合问题，并利用组合数解决。
3. 分析几何问题中的组合规律，引导学生总结解决几何问题的方法。
组合和组合数教学设计
组合和组合数公式1.2.2组合和组合数公式一、内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.二、教学目标1、知识与技能:（1）理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合.明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题.（2）了解组合数的意义，理解排列数m n A与组合数C m n之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.2、过程与方法:通过探索排列与组合的关系.这一教学活动，得到求组合数的方法，即AC=Amm nn mm，并使学生利用这一方法解决一些简单的组合问题.3、情感态度与价值观:让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.三、教学重点：组合的概念和组合数公式.四、教学难点：组合的概念和组合数公式.五、授课类型：新授课.六、教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率.七、教学流程:八、教学过程设计：九、板书设计十、教学反思教师有意识、有目的地开发、实验和使用课程资源，将在很大程度上提高学生从事数学活动的水平和教师从事教学活动的质量.本节课改进了教材上直接推导球的体积和表面积公式的做法，而是通过设计由简单到复杂、从特殊到一般的几个问题和动态小实验帮助学生探究出球的体积和表面积的公式，学生在经历的过程中加深了对公式的理解和巩固，取得了良好的教学效果。
组合与组合数教案()
组合与组合数教案（优秀）一、教学目标1. 让学生理解组合的概念，掌握组合的计算方法。
2. 培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生发现数学在生活中的应用，提高学习数学的兴趣。
二、教学内容1. 组合的定义及计算方法。
2. 组合数的计算公式。
3. 组合在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：组合的概念，组合的计算方法，组合数的计算公式。
2. 难点：组合在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究组合的概念和计算方法。
2. 用实例讲解组合在实际问题中的应用，提高学生的实践能力。
3. 利用多媒体辅助教学，直观展示组合的图形和计算过程。
五、教学准备1. 课件：组合的定义、计算方法、组合数的计算公式及相关实例。
2. 教学素材：相关实际问题，用于引导学生运用组合知识解决。
3. 学生作业：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学过程1. 导入：通过一个简单的实际问题引入组合的概念，激发学生的兴趣。
2. 新课导入：讲解组合的定义，引导学生理解组合的意义。
3. 组合的计算方法：讲解组合的计算方法，让学生通过实例体会组合的计算过程。
4. 组合数的计算公式：推导组合数的计算公式，让学生理解组合数与排列数的关系。
5. 练习与讨论：让学生分组讨论，互相解答疑惑，巩固所学知识。
七、课堂练习1. 布置适量的课堂练习题，让学生运用组合知识解决问题。
2. 引导学生互相批改，讨论解题思路，提高解题能力。
3. 对学生的练习情况进行点评，指出优点和不足，给予鼓励和建议。
八、组合在实际问题中的应用1. 通过实例讲解组合在实际问题中的应用，让学生体会数学的价值。
2. 引导学生运用组合知识解决实际问题，培养学生的实践能力。
3. 让学生分组讨论，分享各自的解题过程和心得，互相学习。
九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，让学生总结组合的概念、计算方法和组合数的计算公式。
2. 强调组合在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣。
高中数学第一章计数原理1.2.2组合与组合数公式教案新人教A版选修2
1.2.2组合与组合数公式教学目标：组合、组合数的概念；理解组合的意义，掌握组合数的计算公式．教学过程： 1、复习、引入：1．复习排列的有关内容： 2．提出问题：1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？2： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引出课题：组合．．问题． 2、新授：组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同 练习 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合）⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示．例如：问题 2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有323=C 种组合．又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6种组合，即：624=C（在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题， 关键是看是否与顺序有关．）那么又如何计算m n C 呢？组合数公式的推导：⑴提问：从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发： 由于排列可以看成先组合后排序，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcddca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以：333434A A C =．⑵ 推广： 一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数mm A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅ ⑶ 组合数公式：!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m mn mn+---==或 )!(!!m n m n C mn -= ),,(n m N m n ≤∈*且巩固练习：1．计算：⑴ 47C ⑵ 710C2．求证：11+⋅-+=m n mn C mn m C 3．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值．例题讲评例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？学生练习：（课本99练习）课堂小结：解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理．课后作业：课后反思：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
组合与组合数公式教案
组合与组合数公式教案【教学目标】1、正确理解组合与组合数的的概念；2、弄清组合数与排列数之间的关系；3、理解组合数与排列数之间的关系；4、能运用组合数公式能解决简单的计算、化简问题。
【教学过程】一、复习引入：排列的概念及排列数公式。
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选2名参加某天的一项活动，有多少种不同的选法？分析：这一问题与排列中的问题1有什么不同？问题2：从1，2，3三个数字中选两个数字，能构成多少个不同的集合？二、新授：组合的概念：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。
注：①排列与组合的区别；②相同的组合的含义。
思考：1，2，3和1，3，2是相同的组合吗？练习：写出从4个不同元素a、b、c、d中取出2个的所有不同组合。
三、组合数公式1、组合数公式的概念及表示从n 个不同的元素中取出m （m≤n）个元素的所有组合的个数，叫作从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数。
记作mn C练习：求18C ，67C ，23C 。
2、组合数公式的推导⑴排列数与组合数的关系考察：从4个不同元素a 、b 、c 、d 中取出3个元素的排列数与组合数的关系。
① 3个元素的排列与组合的关系；每一个组合都对应着6个不同的排列；② 求34A 的步骤⒈ 选3个元素34C ；⒉ 排3个元素33A 。
∴333434A C A ⋅=，⇒333434A A C =推广：求从n 个不同的元素中取出m （m≤n）个元素的排列数mn A 的步骤：第一步：先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；第二步：求每一个组合中m 个元素的全排列数mm A ；根据分步计数原理，得到mm m n m n A C A ⋅=因此，我们得到组合数公式：!m )1m n ()2n )(1n (n A A C m m m n m n +---== （m 、n∈+N ，m≤n）-----⑴⑴还可写成：)!m n (!m !n C m n -=----------------------------------------⑵四、例题选讲1、 计算(1)29C (2)58C （3）735C2、 求证组合数的两个重要性质： ⑴m n mn n C C -=⑵11m m m n n n C C C -+=+3、求证：⑴1m 1n 1m n m n C 1n 1m C m n 1m C +++++=-+=⑵1k 1n k n nC kC --=3、 已知15:56C :C n)1n (21n n 2=--，求n.小结：1、组合的概念；2、组合数及组合数公式。
组合与组合数教案()
组合与组合数教案（优秀）第一章：组合的概念1.1 组合的定义介绍组合的概念，引导学生理解组合是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的排列方式，不考虑取出元素的顺序。
通过实例演示，让学生理解组合的表示方法，如C(n,m)。
1.2 组合的性质引导学生学习组合的性质，如组合数满足二项式定理，即C(n,m) = C(n,n-m)。
引导学生通过组合数的计算公式，即C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)，深入理解组合数的含义。
第二章：组合数的计算2.1 组合数的计算公式引导学生学习组合数的计算公式，即C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)，并解释公式的推导过程。
通过例题，让学生掌握如何使用组合数的计算公式计算具体的组合数。
2.2 组合数的性质引导学生学习组合数的性质，如组合数是随着n的增加而增加的，组合数的和与n的关系等。
通过例题，让学生理解组合数的性质，并能够运用性质解决实际问题。
第三章：组合数在实际问题中的应用3.1 组合数的应用实例通过实例，让学生了解组合数在实际问题中的应用，如组合数的计算公式可以用于计算彩票中奖的概率等。
引导学生通过组合数的性质，解决实际问题，如计算组合数的和、最大值等。
3.2 组合数的拓展应用引导学生学习组合数在其他领域的应用，如组合数在计算机科学中的应用，如排序算法等。
通过实例，让学生了解组合数在其他领域的重要性和作用。
第四章：组合数与排列数的比较4.1 组合数与排列数的定义引导学生学习组合数与排列数的定义，理解两者的区别和联系。
通过实例，让学生了解组合数和排列数在实际问题中的应用。
4.2 组合数与排列数的计算引导学生学习组合数与排列数的计算方法，并比较两者的计算公式。
通过例题，让学生掌握如何计算组合数和排列数，并能够解决实际问题。
第五章：组合数在数学竞赛中的应用5.1 组合数在数学竞赛中的题目类型引导学生了解组合数在数学竞赛中的应用，如组合数的计算、组合数与其他数学概念的综合题目等。
中职教育二年级下学期数学《组合数公式》教学设计
根据分类计数原理，得
C42+C52=6+10=16
所以共有16种取法。
PPT+配音
有中文配音
习题训练
画面八
我们看下面的例子
某小组有7人：
（1）选出3人植树，可以有多少种不同的选法？
（2）选出4人清扫校园，可以有多少种不同的选法？
第1问，是从7个元素中选出3个做组合，用C73计算，等于35
微课过程
场景
解说词
画面要求
技巧
备注
导入
同学们，大家好！欢迎学习中职数学《拓展模块》一系列课程，今天我们要讲的内容是《组合数公式》。
复习
请同学们先回忆一下什么是组合？
1、组合的概念
一般地，从n个不同元素中,任取m（m≤n）个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
其特点：1．不同元素2．“只取不排”——无序性3．相同组合：元素相同
可以发现，两道题都是从50人中选7人，那么这两道题的计算上有什么区别呢？
可以发现，第1题中，从50人中选出7人，选出这7人时并不需要考虑这7人的顺序，是组合问题，所以用C50-7计算
而在第2题中，选出担任的班委各不相同，因此选出7人后，要按照一定的顺序排列，是排列问题，要用A50-7计算。
所以排列问题和组合问题的根本区别在于，取出元素后是否要按一定顺序排列。元素需要按一定顺序排列，属排列问题，用Anm计算。不需要考虑元素顺序，属组合问题，用Cnm计算。
PPT+配音
有中文配音
例题，练习计算组合数
画面十一
本节课我们学习了组合数的计算
同学们掌握了吗？请大家课后完成书上对应的练习，本节课的内容就到这里，谢谢大家。
高中数学 第一章 计数原理 3 第一课时 组合与组合数公式教学案 北师大版选修23
第一课时组合与组合数公式[对应学生用书P10][例1](1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？[思路点拨] 要分清是组合还是排列问题，只要确定取出的这些元素是否与顺序有关．[精解详析] (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．[一点通] 区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题．要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．1．判断下列问题是组合问题，还是排列问题．(1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？(5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？(6)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”．(2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关．(3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关． (4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同“排队”，与顺序有关． (5)组合问题，由于4本数学书是相同的，不同的分配方法取决于从5个学生中选择哪4个人，这和顺序无关．(6)排列问题，因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关．[例2] 1073100200(3)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .[思路点拨] 用组合数公式和组合数的性质解决． [精解详析] (1)原式＝C 410－A 37 ＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝4 950＋200＝5 150.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5.∵n ∈N ＋，∴n ＝10.∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131 ＝30×292×1＋31＝466. [一点通] (1)对于组合数的有关运算，除了利用组合数公式外，还要注意利用组合数的两个性质，对式子进行适当的变形，选择最恰当的公式计算．(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化简，再用组合数的阶乘形式证明．2．若C 2n ＝28，则n 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析：∵C 2n ＝n ！2！n －！＝n n －2＝28，∴n (n －1)＝56，即n ＝8. 答案：B3．若C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，则C 12n 的值为________． 解析：由已知，得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， 所以2·n ！5！n －！＝n ！4！n －！＋n ！6！n －！， 整理，得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14. 要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14， 于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91.答案：914．证明：C mn ＝n mC m －1n －1. 证明：∵n m·C m －1n －1＝n m·n －！m －！n －－m －！＝n ！[mm －！n －m ！＝n ！m ！n －m ！＝C mn ，∴C mn ＝n mC m －1n －1成立.[例3] (12分) (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？[思路点拨] 先判断是不是组合问题，再用组合数公式写出结果，最后求值． [精解详析] (1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝分)(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 11C 27＝7×62×1＝21.分)(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝7×6×53×2×1＝35.分)[一点通] 解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有( )A ．C 310种 B ．A 310种 C ．A 27A 13种D ．C 27C 13种解析：每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成： 第一步，选女工，有C 13种选法； 第二步，选男工，有C 27种选法． 故有C 13C 27种不同选法． 答案：D6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10个人中选4人作为甲组，剩下的6人为乙组，共有C 410＝210种分组方法． 答案：2107．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C 210＝45种．(2)从6名男教师中选2名有C 26种选法，从4名女教师中选2名有C 24种选法．根据分步乘法计数原理，共有选法C 26C 24＝90种．1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m 个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量．2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式时，一是要注意组合数本身的有意义的未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算C mn 时，若m ＞n2，通常使用C m n ＝C n －mn 转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .[对应课时跟踪训练四1．给出下面几个问题：①10人相互通一次电话，共通多少次电话？②从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ ③从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ ④由1,2,3组成无重复数字的两位数． 其中是组合问题的有( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．①②④解析：①是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；②是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；③是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而④中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列．所以①②是组合问题．答案：C2．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4D ．4解析：∵A 3n ＝12C 2n ，∴n (n －1)(n －2)＝12×n n －2.解得n ＝8.答案：A3．下列四个式子中正确的个数是( ) (1)C m n＝A mn m ！；(2)A m n ＝n A m －1n －1；(3)C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m ；(4)C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：因为C m n＝n ！m ！n －m ！＝1m ！·n ！n －m ！＝A mnm ！，故(1)正确；因为n A m －1n －1＝n ·n －！n －m ！＝n ！n －m ！＝A mn ，故(2)正确；因为C mn ÷C m ＋1n ＝n ！m ！n －m ÷n ！m ＋！n －m －！＝n ！m ！n －m ！×m ＋！n －m －！n ！＝m ＋1n －m， 故(3)正确． 因为Cm ＋1n ＋1＝n ＋！m ＋！n －m ！，n ＋1m ＋1Cmn＝n ＋1m ＋1·n ！m ！n －m ！＝n ＋！m ＋！n －m ！，所以C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n ，故(4)正确．答案：D4．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1， 所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 答案：C5．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积，任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.解析：∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝12.答案：126．方程C x 28＝C 3x －828的解为________．解析：当x ＝3x －8，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8，解得x ＝9. 答案：4或97．计算：(1)C 58＋C 98100C 77； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55.解：(1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. 8．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 解：(1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：第一步从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法；第二步从另外的9人中选4人有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．。
高中数学第一章计数原理3第一课时组合与组合数公式教学案北师大版选修2-3
第一课时组合与组合数公式[对应学生用书P10]组合的有关概念[例1](1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？[思路点拨] 要分清是组合还是排列问题，只要确定取出的这些元素是否与顺序有关．[精解详析] (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．[一点通] 区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题．要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．1．判断下列问题是组合问题，还是排列问题．(1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？(5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？(6)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”．(2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关．(3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关． (4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同“排队”，与顺序有关． (5)组合问题，由于4本数学书是相同的，不同的分配方法取决于从5个学生中选择哪4个人，这和顺序无关．(6)排列问题，因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关．有关组合数的计算与证明[例2] (3)C38－n 3n ＋C3n 21＋n.[思路点拨] 用组合数公式和组合数的性质解决． [精解详析] (1)原式＝C410－A37 ＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100×992＋200＝4 950＋200＝5 150.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n≤3n，3n≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5.∵n ∈N ＋，∴n ＝10.∴C38－n 3n ＋C3n 21＋n ＝C2830＋C3031＝C230＋C131 ＝30×292×1＋31＝466. [一点通] (1)对于组合数的有关运算，除了利用组合数公式外，还要注意利用组合数的两个性质，对式子进行适当的变形，选择最恰当的公式计算．(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化简，再用组合数的阶乘形式证明．2．若C2n ＝28，则n 的值为( ) A ．9B ．8C ．7D ．6解析：∵C2n ＝n ！2！n －2！＝n n －12＝28，∴n (n －1)＝56，即n ＝8. 答案：B3．若C4n ，C5n ，C6n 成等差数列，则C12n 的值为________． 解析：由已知，得2C5n ＝C4n ＋C6n ， 所以2·n ！5！n －5！＝n ！4！n －4！＋n ！6！n －6！，整理，得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14. 要求C12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14， 于是C1214＝C214＝14×132×1＝91.答案：914．证明：Cm n ＝nm Cm 1n －1. 证明：∵n m ·C m n －1＝nm ·n －1！m －1！[n －1－m －1]！＝n ！[m·m －1！]n －m ！＝n ！m ！n －m ！＝Cm n ，∴Cm n ＝n mCm n －1成立.简单的组合应用题[例3] (12分) (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？[思路点拨] 先判断是不是组合问题，再用组合数公式写出结果，最后求值． [精解详析] (1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝56.(4分)(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C11C27＝7×62×1＝21.(8分)(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35.(12分)[一点通] 解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有( )A ．C310种B ．A310种C ．A27A13种D ．C27C13种解析：每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成： 第一步，选女工，有C13种选法； 第二步，选男工，有C27种选法． 故有C13C27种不同选法． 答案：D6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10个人中选4人作为甲组，剩下的6人为乙组，共有C410＝210种分组方法．答案：2107．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C210＝45种．(2)从6名男教师中选2名有C26种选法，从4名女教师中选2名有C24种选法．根据分步乘法计数原理，共有选法C26C24＝90种．1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m 个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量．2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式时，一是要注意组合数本身的有意＝m n C ，通常使用n2＞m 时，若m n C 义的未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算＋m n C ＝m n ＋1C 转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用－m n C .m －1n C[对应课时跟踪训练四]1．给出下面几个问题：①10人相互通一次电话，共通多少次电话？②从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ ③从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ ④由1,2,3组成无重复数字的两位数． 其中是组合问题的有( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．①②④解析：①是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；②是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；③是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而④中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列．所以①②是组合问题．答案：C2．若A3n ＝12C2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4D ．4解析：∵A3n ＝12C2n ，∴n (n －1)(n －2)＝12×nn －12.解得n ＝8. 答案：A3．下列四个式子中正确的个数是( ) (1)Cm n ＝Am n m ！；(2)Am n ＝n Am n －1；(3)Cm n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m ；(4)Cm n ＋1＝n ＋1m ＋1Cm n . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：因为Cm n ＝n ！m ！n －m ！＝1m ！·n ！n －m ！＝Am nm ！，故(1)正确；因为n Am n －1＝n ·n －1！n －m ！＝n ！n －m ！＝Am n ，故(2)正确；因为Cm n ÷C m ＋1n ＝n ！m ！n －m÷n ！m ＋1！n －m －1！＝n ！m ！n －m ！×m ＋1！n －m －1！n ！＝m ＋1n －m ，故(3)正确． 因为C m n ＋1＝n ＋1！m ＋1！n －m ！，n ＋1m ＋1C m n ＝n ＋1m ＋1·n ！m ！n －m ！＝n ＋1！m ＋1！n －m ！，所以Cm n ＋1＝n ＋1m ＋1Cm n ，故(4)正确．答案：D4．若C7n ＋1－C7n ＝C8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：C7n ＋1－C7n ＝C8n ，即C7n ＋1＝C8n ＋C7n ＝C8n ＋1， 所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 答案：C5．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积，任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.解析：∵m ＝C24，n ＝A24，∴m ∶n ＝12.答案：126．方程Cx 28＝C3x －828的解为________．解析：当x ＝3x －8，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8，解得x ＝9. 答案：4或97．计算：(1)C58＋C98100C77； (2)C05＋C15＋C25＋C35＋C45＋C55.解：(1)原式＝C38＋C2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C05＋C15＋C25)＝2(C16＋C25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32.8．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 解：(1)C512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：第一步从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；第二步从另外的9人中选4人有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．。
组合与组合数教案
7.3.1组合与组合数公式教学目的：1理解组合的意义，掌握组合数的计算公式； 2.能正确认识组合与排列的联系与区别3．指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.举一反三、融会贯通.教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式情境设置一、问题1 （1）、从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？（2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？二、问题2有6本不同的书：（1）取出3本分给三个同学每人1本，有几种不同的分法？ （2）取出4本给甲，有几种不同的取法？ 三、温故而知新什么叫做排列？排列的特征是什么？一般地说，从n 个不同元素中，取出m (m ≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.新知探究一、组合定义1、一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，不论次序地构成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．2、排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它的根本区别．3、排列与组合，它们有什么共同点、不同点？ 共同点:都要“从n 个不同元素中任取m 个元素”不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”． 4、什么是两个相同的排列？ 5、什么是两个相同的组合？ 二、组合数1、从 n 个不同元素中取出 m （ m ≤n ））个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数．记为 三、即时体验判断下列问题是组合问题还是排列问题?mnC(1)设集合A ={a ,b ,c ,d ,e }，则集合A 的含有3个元素的子集有多少个?（2)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法? (3)40人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次? (4)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? (5)从4个风景点中选出2个去游览,有多少种不同的方法?四、计算组合数1、引入：从4个不同元素a 、b 、c 、d 中取出3个元素的组合数是多少？ 启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcddca cda adc dac cad acd acddba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =．2、求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,可看作以下2个步骤得到:第1步,从这n 个不同元素中取出m 个元素,共有 种不同的取法; 第2步,将取出的m 个元素做全排列,共有 种不同的排法.根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅． 3、组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且 即时体验1、计算2、（1）从9名同学中选两名同学担任正副班长，共有多少种不同的选法。
高中数学_组合与组合数的公式教学设计学情分析教材分析课后反思
组合学习目标：1.理解组合与组合数的概念．（重点）2.会推导组合数公式，并会应用公式求值．3.了解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．（难点）复习：①排列的定义②排列数③排列数公式情境创设问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，有多少种不同的选法？：这两个问题有什么联系与区别？概念讲解1.组合对比排列定义思考：①找出组合与排列共同点、不同点？②概念理解一、思考1:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考2: 两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?二、判断下列问题是组合问题还是排列问题1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？（3）从2，3，4，5四个数中任取2个数作为对数式logab 的底数与真数，得到的对数的个数有多少？若问把这两个数相乘得到的积有几种？探究：学生类比排列数的概念得出组合数的概念例1(1)写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的组合(2)写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的排列. 由此得到组合数公式例2计算；3414,C C 342414,,C C C 35253C C 与）（ 利用例2探究组合数的性质：组合的应用例3 48504950C C +，210242333...C C C C ++++课堂达标1.出下面几个问题，其中是组合问题的有( )①由1,2,3,4构成的含有两个元素的集合；②五个队进行单循环比赛的分组情况；③由1,2,3组成两位数的不同方法数；④由1,2,3组成无重复数字的两位数．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④2．如果 ＝28，则n 的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6课堂小结1.组合（1）.组合的定义；（2）.组合数；（3）.组合数的两个计算公式；（4）.组合数的两个性质2.数学方法归纳，类比，转化，化归作业：课本P27 9,10及学案学情分析本节课是在上两节学习了排列及排列数的基础上进行的新授课，授课班级是高二普通理科班，学生之间差距较大。
初中数学组合教案
初中数学组合教案
教学目标：
1. 理解组合的概念，掌握组合的计算公式。
2. 能够运用组合知识解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：
1. 组合的概念和计算公式。
2. 运用组合知识解决实际问题。
教学难点：
1. 理解组合的计算公式。
2. 灵活运用组合知识解决实际问题。
教学准备：
1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入组合的概念，让学生举例说明生活中常见的组合现象。
2. 引导学生思考组合的计算方法。
二、新课讲解（15分钟）
1. 讲解组合的定义和计算公式。
2. 通过例题讲解组合的计算方法。
3. 引导学生总结组合的计算规律。
三、课堂练习（15分钟）
1. 让学生独立完成练习题，巩固组合的知识。
2. 讲解练习题的答案，解析解题思路。
四、应用拓展（10分钟）
1. 让学生运用组合的知识解决实际问题。
2. 引导学生思考组合知识在其他学科中的应用。
五、总结（5分钟）
1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结组合的概念和计算方法。
2. 强调组合知识在实际生活中的重要性。
教学反思：
本节课通过讲解组合的概念和计算公式，让学生掌握了组合的计算方法，并能够运用组合知识解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生思考组合知识在其他学科中的应用，培养了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
同时，通过课堂练习和应用拓展环节，巩固了组合的知识，提高了学生的学习效果。
学高中数学计数原理排列与组合组合与组合数公式教师用书教案新人教A版选修
１．２．２组合第１课时组合与组合数公式学习目标核心素养１．理解组合与组合数的概念．（重点）２．会推导组合数公式，并会应用公式求值．（重点）３．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．（难点、易混点）１．通过学习组合与组合数的概念，体现了数学抽象的素养.２．借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算的素养.１．组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．思考１：怎样理解组合，它与排列有何区别？[提示] （１）组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．（２）取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．（３）辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．２．组合数的概念从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．思考２：如何理解组合与组合数这两个概念？[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m（m≤n）个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从３个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有３个，则组合数为３．３．组合数公式及其性质（１）公式：C错误!＝错误!＝错误!.（２）性质：C错误!＝C错误!，C错误!＋C错误!＝C错误!.（３）规定：C错误!＝１.１．下面几个问题中属于组合问题的是（）１由１,２,３,４构成的双元素集合；２５个队进行单循环足球比赛的分组情况；３由１,２,３构成两位数的方法；４由１,２,３组成无重复数字的两位数的方法．Ａ．１３Ｂ．２４Ｃ．１２Ｄ．１２４C[１２取出元素与顺序无关，３４取出元素与顺序有关．]２．若C错误!＝２8，则n＝（）Ａ．9 Ｂ．8Ｃ．7 Ｄ．6B[C错误!＝错误!＝２8，解得n＝8．]３．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．３[甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C错误!＝错误!＝３．]４．C错误!＝________，C错误!＝________.１５１8 [C错误!＝错误!＝１５，C错误!＝C错误!＝１8．]写出问题的组合[解] 法一：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.法二：画出树形图，如图所示．由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.１．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本例所示的“顺序后移法”（如法一）或“树形图法”（如法二），直观地写出组合做到不重复不遗漏．２．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．错误!１．已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出２个元素的所有组合．[解] 可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.组合数公式的应用（２）计算C错误!＋C错误!.[思路点拨] 解答此类问题要恰当选择组合数公式，并注意使用组合数公式的隐含条件．[解] （１）原式＝错误!—错误!·（３×２×１）＝２１0—２１0＝0．（２）由错误!得n＝４或５．当n＝４时，原式＝C错误!＋C错误!＝５，当n＝５时，原式＝C错误!＋C错误!＝１6．１．在具体选择公式时，要根据原题的特点，一般地，公式C错误!＝错误!常用于n为具体数的数目，偏向于组合数的计算，公式C错误!＝错误!常用于n为字母的题目，偏向于解不等式或证明恒等式．２．解题时，一定不要忘记组合数的意义．错误!２．求值：C错误!＋C错误!.[解] 由组合数的公式的性质，可得错误!解得n＝6．所以，原式＝C错误!＋C错误!＝C错误!＋C错误!＝１２＋１9＝３１．简单的组合问题（１）现要从中选２名去参加会议有多少种不同的选法？（２）选出２名男教师或２名女教师参加会议，有多少种不同的选法？（３）现要从中选出男、女教师各２名去参加会议，有多少种不同的选法？[思路点拨] 错误!错误!错误!―→错误![解] （１）从１0名教师中选２名去参加会议的选法种数，就是从１0个不同元素中取出２个元素的组合数，即C错误!＝错误!＝４５种．（２）可把问题分两类情况：第１类，选出的２名是男教师有C错误!种方法；第２类，选出的２名是女教师有C错误!种方法．根据分类加法计数原理，共有C错误!＋C错误!＝１５＋6＝２１种不同选法．（３）从6名男教师中选２名的选法有C错误!种，从４名女教师中选２名的选法有C错误!种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C错误!×C错误!＝错误!×错误!＝90种．本例其他条件不变，问题变为从中选２名教师参加会议，至少有１名男教师的选法是多少？最多有１名男教师的选法又是多少？[解] 至少有１名男教师可分两类：１男１女有C错误!C错误!种，２男0女有C错误!种．由分类加法计数原理知有C错误!C错误!＋C错误!＝３9种．最多有１名男教师包括两类：１男１女有C错误!C错误!种，0男２女有C错误!种．由分类加法计数原理知有C错误!C错误!＋C错误!＝３0种．解简单的组合应用题的策略１．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．２．要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．错误!３．（１）集合{0,１,２,３}含有３个元素的子集的个数是（）Ａ．４Ｂ．５Ｃ．7 Ｄ．8（２）五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条．（１）A（２）１0２0[（１）由于集合中的元素是没有顺序的，一个含有３个元素的子集就是一个从{0,１,２,３}中取出３个元素的组合，这是一个组合问题，组合数是C错误!＝４．（２）从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C错误!＝１0（条）．再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A错误!＝２0．所以有向线段共有２0条．]排列与组合的相同点与不同点名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m（m≤n）个元素，元素无重复不同点１．排列与顺序有关；２．两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同１．组合与顺序无关；２．两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同１．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．（）（２）从a１，a２，a３三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C错误!.（３）从甲、乙、丙３名同学中选出２名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．（）（４）从甲、乙、丙３名同学中选出２名，有３种不同的选法．（）（５）现有４枚抗战胜利70周年纪念币送给１0人中的４人留念，有多少种送法是排列问题．[答案] （１）√（２）√（３）×（４）√（５）×２．下列计算结果为２１的是（）Ａ．A错误!＋C错误!Ｂ．C错误!Ｃ．A错误!Ｄ．C错误!D[C错误!＝错误!＝２１．]３．6个朋友聚会，每两人握手１次，一共握手________次．１５[每两人握手１次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C错误!＝１５次．]４．（１）求C错误!＋C错误!的值；（２）证明：C错误!＝错误!C错误!.[解] （１）由组合数的定义知，错误!即错误!∴错误!≤n≤错误!，∵n∈N*，∴n＝１0．∴C错误!＋C错误!＝C错误!＋C错误!＝C错误!＋C错误!＝错误!＋３１＝４66．（２）证明：错误!C错误!＝错误!·错误!＝错误!＝C错误!.。
教学设计：组合与组合数公式
组合与组合数公式教学目标：1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2.能正确认识组合与排列的联系与区别.教学重点：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式.教学过程：一、复习引入：1．排列的概念：从个不同元素中，任取（m n≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从个不同元素中，任取（m n≤）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不取（m n表示具体的排列.二、问题讨论问题1.某城市有3个大型体育场A、B、C,需要选择2个体育场承办一次运动会,有多少种选择方案?问题2.从a，b，c，d4个元素中选出2个元素，共有多少种可能？问题3：某次团代会，要从5名候选人a ，b ，c ，d ，e 中选出3人担任代表，共有多少种方案？二、讲解：1.组合的概念：一般地，从个不同元素中取出()m n ≤个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.说明：（1）不同元素；（2）“只取不排”——无序性；(3)相同组合：元素相同2．组合数的概念：从个不同元素中取出()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．．．．用符号表示． 3．组合数公式的推导：（1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数；② 求每一个组合中m 个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．（2）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且 4．例题例1、 计算 ① C ② C例2、平面有12个点，任何3点不在同一条直线上，以没3点为顶点画一个三角形，一共可以画多少个三角形？练习：1、计算：（1）C 410 （2）C 37（1）C 410=（10×9×8×7）/（4×3×2×1）＝210 （2）C 37=（7×6×5）/（3×2×1）＝352、求证：11+⋅-+=m n mn C mn m C ．证明：∵)!(!!m n m n C mn -= 111!(1)!(1)!m n m m n C n m n m m n m +++⋅=⋅--+-- ＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+--- ＝!!()!n m n m - ∴11+⋅-+=m n mn C mn m C 3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查．(1)全是合格品的抽法有多少种？(2)次品全被抽出的抽法有多少种？(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？(4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有，1624C C ⋅，2614C C ⋅， 所以，一共有+1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法． 解法二：（间接法）10036310=-C C。
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鹿晗、邓超；邓超、鹿晗 邓超、权志龙；权志龙、邓超
问：问题一与问题二的根本区别是什么 学：问题一没顺序，问题二有顺序 问：判断一个问题是组合还是排列问题的关键是什么 学：顺序 二组合数：从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的组合数，用符号表示 问：问题一和问题二的答案个数有何不同，有什么关系 学：排列问题答案多而组合少，并且成倍数关系。 问：思考倍数是如何形成的。 学：两个人进行排列形成的
教学设计反思： 1、 问题设计的环环相扣，比较容易引导学生面。 4、 课程内容有些少，再加公式的应用或证明会好一些。 5、 应有组织学生讨论的环节会显得课堂更加的生动有趣。
排列数公式： Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
Anm
(n
n! m)!
引入 问题一：某娱乐公司要从鹿晗、权志龙、邓超，3 名大腕任意选出 2 名参加某天的一项活动， 试问该娱乐公司有多少种不同的安排方法 1、 试用列举法求解 问：请同学们想一想并说出答案
学：鹿晗、权志龙；鹿晗、邓超；权志龙、邓超 2、邓超、鹿晗与鹿晗、邓超是一种安排方式吗 你发现了什么规律学：没有要求顺序。 总结：我们只要选出人，并成一组，形成组合即可，这个过程就是组合形成的过程。仿照排 列的定义可以得到组合的定义。 一组合定义：一般地，从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素并成一组，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个组合． 问题二
解：（1）C1300 161700
(2)C21C928 9506
(3)C21C928 C22C918 9604
另法：C1300 -C938 =9604
作业： 求证下列式子成立吗？
（1）Cnm
C nm n
（2）Cnm+1=Cnm +Cnm-1
小结：1.组合定义，组合数公式 2、组合与排列的区别
A32 C32 A22
Cnm
发现：排列问题先选后排，二组合只是进行第一步。
Cn
组合数公式： m
C(nnmnm!)!AAmnmmm!
C0
规定： n
1
例 1 （1）C74＋C73 =70
（2）C150
C100
C10 10
=251
例2
（1）平面内有 10 个点，其中任意三点不共线，以其中每 2 个点为端点的线段有多少条
教学目标 1、 知识目标：了解组合问题和排列问题的区别，会用组合数公式，会算简单的组合问题。 2、 能力目标：通过类比排列问题，推理出组合的定义和组合数的公式。锻炼学生的类比的
思想方法，逐步培养探索问题的精神，善于思考的习惯。 重点难点 重点：通过类比推理得到组合的定义和组合数的公式。 难点：如何引导学生的到组合的定义和组合数的公式。 教学方法与手段 1、 教学方法：启发式教学法、对话式教学法 2、 教学手段：多媒体 教学过程 复习 排列定义：一般地，从 n 个不同元素中取出 m（m ）个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。（排列强调的是顺序）
（2）平面内有 10 个点，其中任意三点不共线，以其中每 2 个点为端点的有向线段有多少条
能力拓展
在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品中任意抽取 3 件，（1）
有多少种不同的抽法（2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种（3）抽出的 3
件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种