材料力学课件 第10章 组合变形
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《材料力学组合变形》课件
这种变形通常发生在承受轴向力 和弯矩的杆件中，其变形特点是 杆件既有伸长或缩短，又有弯曲 。
拉伸与压缩组合变形的分析方法
01
02
03
弹性分析方法
基于弹性力学的基本原理 ，通过求解弹性方程来分 析杆件内部的应力和应变 分布。
塑性分析方法
在材料进入塑性阶段后， 采用塑性力学的基本理论 来分析杆件的承载能力和 变形行为。
材料力学在组合变形中的应用实例
01
02
03
04
桥梁工程
桥梁的受力分析、桥墩的稳定 性分析等。
建筑结构
高层建筑、大跨度结构的受力 分析、抗震设计等。
机械工程
机械零件的强度、刚度和稳定 性分析，如轴、轴承、齿轮等
。
航空航天
飞机和航天器的结构分析、材 料选择和制造工艺等。
材料力学在组合变形中的发展趋势
特点
剪切与扭转组合变形具有复杂性和多样性，其变形行为受到多种因素的影响，如 材料的性质、杆件的长度和截面尺寸、剪切和扭转的相对大小等。
剪切与扭转组合变形的分析方法
1 2 3
工程近似法
在分析剪切与扭转组合变形时，通常采用工程近 似法，通过简化模型和假设来计算杆件的应力和 变形。
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，可以模拟杆件在 剪切与扭转组合变形中的真实行为，提供更精确 的结果。
弯曲组合变形的分析方法
叠加法
刚度矩阵法
叠加法是分析弯曲组合变形的基本方 法之一。该方法基于线性弹性力学理 论，认为各种基本变形的应力、应变 分量可以分别计算，然后按照线性叠 加原理得到最终的应力、应变分布。
刚度矩阵法是通过建立物体内任意一 点的应力、应变与外力之间的关系， 来求解复杂变形问题的一种方法。对 于弯曲组合变形，可以通过构建系统 的刚度矩阵来求解。
拉伸与压缩组合变形的分析方法
01
02
03
弹性分析方法
基于弹性力学的基本原理 ，通过求解弹性方程来分 析杆件内部的应力和应变 分布。
塑性分析方法
在材料进入塑性阶段后， 采用塑性力学的基本理论 来分析杆件的承载能力和 变形行为。
材料力学在组合变形中的应用实例
01
02
03
04
桥梁工程
桥梁的受力分析、桥墩的稳定 性分析等。
建筑结构
高层建筑、大跨度结构的受力 分析、抗震设计等。
机械工程
机械零件的强度、刚度和稳定 性分析，如轴、轴承、齿轮等
。
航空航天
飞机和航天器的结构分析、材 料选择和制造工艺等。
材料力学在组合变形中的发展趋势
特点
剪切与扭转组合变形具有复杂性和多样性，其变形行为受到多种因素的影响，如 材料的性质、杆件的长度和截面尺寸、剪切和扭转的相对大小等。
剪切与扭转组合变形的分析方法
1 2 3
工程近似法
在分析剪切与扭转组合变形时，通常采用工程近 似法，通过简化模型和假设来计算杆件的应力和 变形。
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，可以模拟杆件在 剪切与扭转组合变形中的真实行为，提供更精确 的结果。
弯曲组合变形的分析方法
叠加法
刚度矩阵法
叠加法是分析弯曲组合变形的基本方 法之一。该方法基于线性弹性力学理 论，认为各种基本变形的应力、应变 分量可以分别计算，然后按照线性叠 加原理得到最终的应力、应变分布。
刚度矩阵法是通过建立物体内任意一 点的应力、应变与外力之间的关系， 来求解复杂变形问题的一种方法。对 于弯曲组合变形，可以通过构建系统 的刚度矩阵来求解。
材料力学(单辉祖)第十章组合变形
17
弯压组合
可见，危险截面为C截面 其轴力和弯矩分别为
FNC 3 kN M c M max 4 2 8kN m
A
FAy
10kN m a x
g g f
C m
FBy
B
危险点 截面C上的最低点f 和最高点g
FN M c s A W
f
18
弯压组合
A I
4
10kN
解 首先计算折杆的支座反力 由平衡方程可得 FAx A
FAx 0, FAy 5kN, FBy 5kN
FAy
m
10kN
C 1.2m B 1.6m FBy
a x 1.6m
m
由于折杆左右对称，所以只需分析一半即可。 折杆AC部分任一截面上的内力
FN FAy sin 3 kN FS FAy cos 4 kN M xFAy cos
杆件变形分析步骤 首先, 在杆件原始尺寸上分别计算由横向力和 轴向力引起变形、应力 然后, 利用叠加原理，合成在横向力和轴向力 共同作用下杆件变形、应变和应力等物理量 若杆件抗弯刚度EI较大，轴力引起杆件的弯曲 变形较小，可以忽略
10
弯拉组合
细长杆件强度问题， 受力如图，抗弯刚度 EI，截面抗弯模量W , 横截面面积A。
n
e n
P
z b h y
30
偏心拉伸(压缩)
解: 1. 力系简化 力P对竖直杆作用等效于作 用在杆轴线上一对轴力P和 一对作用在竖直平面内力 偶mz=Pe
FN P 2000 N, M z mz Pe 120 N m
mz P
n
e n
P
mz P
可见，竖直杆发生弯拉组合变形
弯压组合
可见，危险截面为C截面 其轴力和弯矩分别为
FNC 3 kN M c M max 4 2 8kN m
A
FAy
10kN m a x
g g f
C m
FBy
B
危险点 截面C上的最低点f 和最高点g
FN M c s A W
f
18
弯压组合
A I
4
10kN
解 首先计算折杆的支座反力 由平衡方程可得 FAx A
FAx 0, FAy 5kN, FBy 5kN
FAy
m
10kN
C 1.2m B 1.6m FBy
a x 1.6m
m
由于折杆左右对称，所以只需分析一半即可。 折杆AC部分任一截面上的内力
FN FAy sin 3 kN FS FAy cos 4 kN M xFAy cos
杆件变形分析步骤 首先, 在杆件原始尺寸上分别计算由横向力和 轴向力引起变形、应力 然后, 利用叠加原理，合成在横向力和轴向力 共同作用下杆件变形、应变和应力等物理量 若杆件抗弯刚度EI较大，轴力引起杆件的弯曲 变形较小，可以忽略
10
弯拉组合
细长杆件强度问题， 受力如图，抗弯刚度 EI，截面抗弯模量W , 横截面面积A。
n
e n
P
z b h y
30
偏心拉伸(压缩)
解: 1. 力系简化 力P对竖直杆作用等效于作 用在杆轴线上一对轴力P和 一对作用在竖直平面内力 偶mz=Pe
FN P 2000 N, M z mz Pe 120 N m
mz P
n
e n
P
mz P
可见，竖直杆发生弯拉组合变形
材料力学10组合变形PPT课件
0McIozsy0sIiynz0
中性轴方程
cos
Iz y0
sIiynz0
0
（ y0，z0 ）
z
α φ
（1）中性轴是一条过截面形心 F 的直线；
y 中性轴
斜率 tany0 Iz tan
29
z0 Iy
10.1 斜弯曲
tan Iz tan
Iy
（2） 当Iz≠Iy，α ≠ φ，中性
轴与荷载线不垂直。
z
F
17
三、组合变形下的计算
分析方法：叠加法 前提条件：小变形
基本解法：
①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种 基本变形； ②分别计算各基本变形下的内力及应力；
④对危险点进行应力分析； ⑤用强度理论进行强度计算。
18
思考题
1. 分析组合变形时，先分后合的依据是什么？ 2.叠加原理的适用条件是什么？ 能否应用于 大变形情况？
F
Fy
Fx B P
压弯组合变形
10
压弯组合变形
11
12
偏心压缩
拉弯组合变形
13
q
弯扭组合变形
14
F
弯扭组合变形
15
双向弯曲与扭转组合变形
16
组合变形的形式有很多种，本章学习四种典型形式。 1. 斜弯曲； 2. 拉伸（压缩）与弯曲组合； 3. 弯曲与扭转组合； 4. 偏心拉伸与压缩。
应注意通过这四种典型组合变形的学习，学会一般 组合变形的计算原理和方法。
A
B
C
22
10.1 斜弯曲
二、斜弯曲的研究方法
1.分解 将外力沿横截面的两个形心主轴分解，得到两个正 交的平面弯曲。
材料力学第十章 组合变形
r 3 2 4 2
r3
2 M y M z2 T 2
W
M 2 T 2 W
r 4 3
2
2
2 M y M z2 0.75T 2
r4
W
M 2 0.75T 2 W
例3 图示空心圆杆，
内径d=24mm，外
径D=30mm， P1=600N， []=100MPa，试用 第三强度理论校核 A
Lmax D1
⑤变形计算
ymax D 2
f f
2 y 2 z
fz
f
tg
fy fz
f fy
当j = 时，即为平面弯曲。
例1结构如图，P过形心且与z轴成j角，求此梁的最大应力与挠度。 解：危险点分析如图 中性轴 h Pz
x
Py
P z j z
D2 P 变形计算 Py y
P
P
10203 [ 1020252 ] 12 7.27105 mm4
M 5P 3 500Nm 10
P N M
20 20
y yC z
应力分析如图
100
N M z max max A I yc
P
100 103 500 55 103 6 800 10 7.27107
P Mz y Myz x A Iz Iy
三、中性轴方程
P M z y0 M y z0 x 0 A Iz Iy
对于偏心拉压问题 P Py y Pz z P yP y0 z P z0 P 0 P 0 (1 2 2 )0 y 2 2 A Aiz Aiy A iz iy y
1
材料力学 第十章 组合变形(4,5,6)
[例10-7]：偏心拉伸杆，弹 性模量为E，尺寸、受力如图 所示。求： （1）最大拉应力和最大压 应力的位置和数值； （2）AB长度的改变量。 分析：这是偏心拉伸问题
最大拉应力发生在AB线 上各点，最大压应力发 生在CD线上各点。
CL11TU24
解：(1)应力分析
Ph Pb N P, M y , M z 2 2 t N M y Mz c A Wy Wz
3.算例 [例10-4]求高h,宽b的矩形截面的截面核。 b （1）作中性轴Ⅰ，z , a y a 解：
（2）求载荷点① ， 2 iy b2 2 b zF ② az 2 6 b 3 z iz ③ yF 0 ① ay ④ （3）作中性轴Ⅱ ， h a z , a y 2 b y b （4）求载荷点② ， 2 2 2 Ⅰ 2 2 iy iz h h h z F 0, yF ay 6 2 3 az
（1）过截面周边上的一点作切线，以此作为第一 根中性轴； （2）据第一根中性轴的截距求第一个载荷点坐标； （3）过截面周边上相邻的另一点作切线，以此作 为第二根中性轴； （4）按（2）求于第二个中性轴对应的第二个载荷 点坐标； （5）按以上步骤求于切于周边的各特征中性轴对应 的若干个载荷点，依次连接成封闭曲线即截面核心。
中性轴把横截面分为受拉区和受压区，两个 区范围的大小受载荷作用点坐标的控制。 定义：使横截面仅受一种性质的力时载荷作用 的最大范围成为截面核心。
二.截面核心的求法 1.截距与载荷坐标的关系
z F , az ; zF , az
2.作截面核心的方法
zF 0, az ; zF , az 0
解:(1)简化外力：
材料力学-第10章组合变形.
2017/9/29 22
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
例题1
z
Fy
800
Fz 800
图示矩形截面铸铁悬臂梁，承 受载荷 Fy 与 Fz 作用，且 Fy ＝ Fz ＝ F ＝ 1kN，截面高度80mm，宽度40mm，许 用应力[σ ]=160MPa，校核该梁强度。
y
2017/9/29
材料力学－第10章 组合变形
组合变形的一般步骤
计算简图
剪力图、弯矩图 － 确定危险截面，危险点
危险点处应力状态分析
2017/9/29
13
材料力学－第10章 组合变形
§ 8－ 2
两相互垂直平面内的弯曲 （斜弯曲）
2017/9/29
14
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
对于圆形截面，杆的变形与弯矩作用平面在同一平面内
z
2. 分别考虑各弯矩分量产生的应力
M
y
Myz Iy
M
z
M
Mz y Iz
Myz Iy Mz y Iz
3. 叠加，得到矩形截面内任一点的弯曲正应力 y
M M M
y z
2017/9/29
18
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
矩形截面应力分析：
矩形截面内任一点的弯曲正应力
材料力学
第十章 组合变形
2017/9/29
1
材料力学－第10章 组合变形
概述
组合变形的概念 ：
杆件的基本变形 – 杆件的轴向拉伸（压缩）变形 – 杆件的自由扭转变形 – 杆件的平面弯曲变形
工程实际中，构件在外载荷的作用下，经常发生 两种或两种以上的基本变形
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
例题1
z
Fy
800
Fz 800
图示矩形截面铸铁悬臂梁，承 受载荷 Fy 与 Fz 作用，且 Fy ＝ Fz ＝ F ＝ 1kN，截面高度80mm，宽度40mm，许 用应力[σ ]=160MPa，校核该梁强度。
y
2017/9/29
材料力学－第10章 组合变形
组合变形的一般步骤
计算简图
剪力图、弯矩图 － 确定危险截面，危险点
危险点处应力状态分析
2017/9/29
13
材料力学－第10章 组合变形
§ 8－ 2
两相互垂直平面内的弯曲 （斜弯曲）
2017/9/29
14
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
对于圆形截面，杆的变形与弯矩作用平面在同一平面内
z
2. 分别考虑各弯矩分量产生的应力
M
y
Myz Iy
M
z
M
Mz y Iz
Myz Iy Mz y Iz
3. 叠加，得到矩形截面内任一点的弯曲正应力 y
M M M
y z
2017/9/29
18
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
矩形截面应力分析：
矩形截面内任一点的弯曲正应力
材料力学
第十章 组合变形
2017/9/29
1
材料力学－第10章 组合变形
概述
组合变形的概念 ：
杆件的基本变形 – 杆件的轴向拉伸（压缩）变形 – 杆件的自由扭转变形 – 杆件的平面弯曲变形
工程实际中，构件在外载荷的作用下，经常发生 两种或两种以上的基本变形
材料力学课件(组合变形)
截面核心是以O为中心，半径d/8的圆围成的 区域
（2）矩形截面 解：截面形心为点O 主惯性轴y、z 当中性轴切于边AB时
z A中性轴
b
12 o
y
C
B
h
截距
a y1
h 2
，a
z1
核心边界点1
yF1
iz2 a y1
h 6
，z
F1
i
2 y
az1
0
(iy
b 12
，iz
h) 12
类似地，可定点2
y F2
八、组合变形 （Combined deformation）
杆件有两种或两种以上基本变形的应力分量相当 两种基本变形组合的类型：
拉（压）+扭；拉（压）+弯；扭+弯；平面弯+平面弯
分析方法（线弹性、小变形假设下）： 按基本变形分解外力与内力 计算各基本变形的应力与 变形分量 根据叠加原理综合各基本变形的结果 确定组合变形的危险截面与危险点的应力状态
(1
zF z
i
2 y
yF iz2
y
)
在截面上线性分布
中性轴
1
zF z
i
2 y
z0
yF y iz2
y0
0
——不过形心C的直线
截矩
ay
iz2 yF
，az
iy2 zF
距离中性轴最远点：D1——tmax， D2——cmax
横截面外周边具有棱角时，最大正应力在角点上
最大正应力点处于单向应力状态，强度条件 max [ ] 截面形心的位移 w wy2 wz2 x2
练习： P288习题8-16
M I
（2）矩形截面 解：截面形心为点O 主惯性轴y、z 当中性轴切于边AB时
z A中性轴
b
12 o
y
C
B
h
截距
a y1
h 2
，a
z1
核心边界点1
yF1
iz2 a y1
h 6
，z
F1
i
2 y
az1
0
(iy
b 12
，iz
h) 12
类似地，可定点2
y F2
八、组合变形 （Combined deformation）
杆件有两种或两种以上基本变形的应力分量相当 两种基本变形组合的类型：
拉（压）+扭；拉（压）+弯；扭+弯；平面弯+平面弯
分析方法（线弹性、小变形假设下）： 按基本变形分解外力与内力 计算各基本变形的应力与 变形分量 根据叠加原理综合各基本变形的结果 确定组合变形的危险截面与危险点的应力状态
(1
zF z
i
2 y
yF iz2
y
)
在截面上线性分布
中性轴
1
zF z
i
2 y
z0
yF y iz2
y0
0
——不过形心C的直线
截矩
ay
iz2 yF
，az
iy2 zF
距离中性轴最远点：D1——tmax， D2——cmax
横截面外周边具有棱角时，最大正应力在角点上
最大正应力点处于单向应力状态，强度条件 max [ ] 截面形心的位移 w wy2 wz2 x2
练习： P288习题8-16
M I
材料力学 第十章组合变形(123)PPT课件
MPa。
18
例题 8-1
解:1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
F y F c4 o o 0 s q 2 ca 4 o o 0 s 0 .3q 8 a 3
F z F s4 io n 0 q 2sa 4 io n 0 0 .3q 2 a 1
19
例题 8-1
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和 竖直弯曲的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面
平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均
位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成
一条位于纵向对称面内的曲线。 F'
F'
F
F'
纵向对称面?
轴线
7
CL7TU1
一.定义：斜弯曲—荷载不作用在构件的纵向对称 面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
一.力的分解
Fy Fcos
Fz Fsin
z
C
(y, z)
Fz
Fy
Fy
8
CL11TU3
Mz Fy(l x)以z为中性轴弯曲
My Fz(l x)以y为中性轴弯曲
Mz Fcos(lx)Mcos My Fsin(lx)Msin
二.基本变形分析
1.应力计算
z
M
的应力
z
Mz yMycos
Iz
Iz
y
9
M
的应力
y
Myz Mzsin
21
例题 8-1 z
(e)
MyA
z
D1 z
MzA
D2
y
yyBiblioteka (m )A a x M W y y A M W z zA 0 3 .6 .5 q 1 4 1 (1 6 2 2 0 ) 0 .2 2 q 3 6 1 ( 1 6 7 2 6 0 ) (2.1 5130)q
18
例题 8-1
解:1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
F y F c4 o o 0 s q 2 ca 4 o o 0 s 0 .3q 8 a 3
F z F s4 io n 0 q 2sa 4 io n 0 0 .3q 2 a 1
19
例题 8-1
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和 竖直弯曲的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面
平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均
位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成
一条位于纵向对称面内的曲线。 F'
F'
F
F'
纵向对称面?
轴线
7
CL7TU1
一.定义：斜弯曲—荷载不作用在构件的纵向对称 面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
一.力的分解
Fy Fcos
Fz Fsin
z
C
(y, z)
Fz
Fy
Fy
8
CL11TU3
Mz Fy(l x)以z为中性轴弯曲
My Fz(l x)以y为中性轴弯曲
Mz Fcos(lx)Mcos My Fsin(lx)Msin
二.基本变形分析
1.应力计算
z
M
的应力
z
Mz yMycos
Iz
Iz
y
9
M
的应力
y
Myz Mzsin
21
例题 8-1 z
(e)
MyA
z
D1 z
MzA
D2
y
yyBiblioteka (m )A a x M W y y A M W z zA 0 3 .6 .5 q 1 4 1 (1 6 2 2 0 ) 0 .2 2 q 3 6 1 ( 1 6 7 2 6 0 ) (2.1 5130)q
材料力学 第十章组合变形(1,2,3)
C 10kN
1.2m
解：求支反力,由平衡方程
FB B
FA
' FA
F ' A 0,
FA FB 5kN
A
1.6m 1.6m
m g f A
10kN C
m FAy
作折杆的受力图,折杆及 受力对称，只需分析一半 即杆AC 将FA分解, 得杆的轴力 FN、弯矩M (x)
B
FAx
FN FAx 3kN
3 10 8 10 t 81.1 2 3 c d / 4 d / 32 81.9
3 3
M W
[例10-2]圆截面杆的偏心压缩时不产生拉 力的载荷作用范围
P
y
P
y
Pa
a
z
z
CL11TU12
P
y
Pa
y
P
y
Pa
z
z
z
P
y y
Pa
y
P
z
Pa
z P
y y
z
Pa
y
P
CL11TU10
解： X A 3kN, A 4kN Y
任意横截面x上的内力:
FN X A 3kN FS YA 4kN M ( x) YA x 4 x
1 1截面上危险截面， 其上：FN 3kN，M 8kN m
FN A
M W
t FN M c A W
CL11TU5
y0 Iz tg tg z0 Iz
为中性轴与z轴夹角
3.强度计算：
1）危险截面：当x=0时 M Z , M y 同时取最大,固定端处为危险面 2）危险点：危险面上 D1 , D2点 3)最大应力
1.2m
解：求支反力,由平衡方程
FB B
FA
' FA
F ' A 0,
FA FB 5kN
A
1.6m 1.6m
m g f A
10kN C
m FAy
作折杆的受力图,折杆及 受力对称，只需分析一半 即杆AC 将FA分解, 得杆的轴力 FN、弯矩M (x)
B
FAx
FN FAx 3kN
3 10 8 10 t 81.1 2 3 c d / 4 d / 32 81.9
3 3
M W
[例10-2]圆截面杆的偏心压缩时不产生拉 力的载荷作用范围
P
y
P
y
Pa
a
z
z
CL11TU12
P
y
Pa
y
P
y
Pa
z
z
z
P
y y
Pa
y
P
z
Pa
z P
y y
z
Pa
y
P
CL11TU10
解： X A 3kN, A 4kN Y
任意横截面x上的内力:
FN X A 3kN FS YA 4kN M ( x) YA x 4 x
1 1截面上危险截面， 其上：FN 3kN，M 8kN m
FN A
M W
t FN M c A W
CL11TU5
y0 Iz tg tg z0 Iz
为中性轴与z轴夹角
3.强度计算：
1）危险截面：当x=0时 M Z , M y 同时取最大,固定端处为危险面 2）危险点：危险面上 D1 , D2点 3)最大应力
材料力学第10章 组合变形
5
第二节 斜弯曲 在第6章讨论过平面弯曲，例如，如图10.2(a) 所示的矩形截面梁，外力F1，F2作用于同一纵向 平面内，作用线通过截面的弯心，且与形心主惯性 轴之一平行，梁弯曲后，梁的挠曲线位于外力所在 的形心主惯性平面内，这类弯曲为平面弯曲。如图 10.2(b)所示的矩形截面梁，外力F的作用线虽然通 过截面的弯心，但它与截面的形心主惯性轴斜交， 此时，梁弯曲后的挠曲线不再位于外力F所在的纵 向平面内，这类弯曲则称为斜弯曲(oblique bendin g)。
13
图10.4
图10.５
14
在梁的斜弯曲问题中，一般不考虑切应力的影 响，直接对危险截面上的危险点进行正应力强度计 算，其强度条件为
对于矩形、工字形及槽形截面梁，则可写成
15
五、斜弯曲梁的变形计算 梁在斜弯曲情况下的变形，仍可根据叠加原理 求解。如图10.3所示悬臂梁在自由端的挠度就等于 力F的分量Fy，Fz在各自弯曲平面内的挠度的矢量 和。因为
第10章
第一节 概述 一、组合变形的概念 前面有关章节分别讨论了杆件在各基本变形情 况下的强度计算和刚度计算。在实际工程中，许多 常用杆件往往并不处于单一的基本变形，而可能同 时存在着几种基本变形，它们的每一种变形所对应 的应力或变形属同一量级，在杆件设计计算时都必 须考虑。
1
图10.1
2
二、组合变形的求解方法 在小变形、线弹性材料的前提下，杆件同时存 在的几种基本变形，它们的每一种基本变形都是彼 此独立的，即在组合变形中的任一种基本变形都不 会改变另外一种基本变形相应的应力和变形。这样， 对于组合变形问题就能够用叠加原理来进行计算。
3
具体的方法及步骤是： ①荷载标准化。找出构成组合变形的所有基本 变形，将荷载化简为只引起这些基本变形的相当力 系。 ②基本变形计算。按构件原始形状和尺寸，计 算每一组基本变形的应力和变形。
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Fl W
F A
[ t ]
c,max
Fl W
F A
[ c ]
13
第十章 组合变形
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例题 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的 许用拉应力[t]＝30MPa，许用压应力[c]＝120MPa。试按
立柱的强度计算许可载荷F。
解：（1）计算横截面的形心、 面积、惯性矩
F 350 F
解：1.AB杆的计算简图
D
lCD 2.52 0.82 2.62 m 800
由 M A 0：
FC
0.8 2.62
2.5
F
4
0
.
.
.
A
.
2500
C
.
B
.
1500
F
得到 FC 42 kN 2.5
FCx FC 2.62 40 kN
FAx A FAy y
0.8 FCy FC 2.62 12.8 kN
x
y
2
4
2 xy
Wp
1 2 4 2 0
22
30
第十章 组合变形
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M
W
T
Wp
1
2
1 2
2 4 2
2 0
3
2
1 2
2 4 2
第三强度理论：
31
第十章 组合变形
M
W
T
Wp
第四强度理论：
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1
2
1 2
2 4 2
2 0
3
2
1 2
2 4 2
32
第十章 组合变形
l
S平面 y
SF
a
1
T
4
z
x
2
3 Mz
Fa T
M
Fl
1
τ
T Wp
σ
Mz Wz
τ
Hale Waihona Puke T Wp3σ
M W
z z
29
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1
τ
T Wp
3
σ
Mz Wz
τ
T Wp
σ
Mz Wz
max
x
y
2
1 2
x
y
2
4
2 xy
1 2 4 2 0
M
22
T
W
min
x
y
2
1 2
（2）立柱横截面的内力
z0 75mm
FN F
z1 125 mm
M 425 103 F N.m
I y 5.31107 mm4 （3）立柱横截面的最大应力
F 350
z0 z1
M
FN
t.max
Mz0 Iy
FN A
425103 F 0.075 5.31105
F 15 103
667F Pa
c.max
WP
WP
16
d3
1 2 0 3
y
x
45
1 E
1
2
3
1
E
E 45 T Pa 1 WP WP
a E 45 WP 1 P
200109 10 105 0.023
16
40mm
1 0.25
200
1
45
3
36
第十章 组合变形
W d3
32
T 0.04P
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z F A(yF ,zF )
az
y
还与载荷位置有关
中性轴在 y 轴上的截距： ay iz2 yF
中性轴在 z 轴上的截距：
az
i
2 y
zF
结论2：中性轴与偏心载荷的作用点分别位于截面形心
的两侧
23
第十章 组合变形
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3、危险点位置 危险点位于离中性轴距离最远处
中性轴 x ay
z F A(yF ,zF )
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构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的独立性原
理是成立的。即所有载荷作用下的内力、应力、应变等是各 个单独载荷作用下的值的叠加。
解决组合变形的基本方法是将其分解为几种基本变形；分 别考虑各个基本变形时构件的内力、应力、应变等；最后进行 叠加。
6
第十章 组合变形
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§10.2 斜弯曲
AB杆为轴向压缩与弯曲的组合变形
FC
FCy
FCx C
B Fx
17
第十章 组合变形
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2.确定危险截面，作
内力图
800
可知：C截面的左邻为危险截面
FAx
D
.
.
.
A
.
2500
C
.
B
.
1500
A
FC
FCy
F B
FAy
FCx C
Fx
y
FN 40kN
M 12kN.m
18
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设AB为中性轴 a点坐标
AB直线的截距为：
ay
h 2
,
az
由：ya
iz2 ay
,
za
iy2 az
设BC为中性轴
b点坐标:
ya
h, 6
za
0
yb 0,
b za 6
同理可确定 c, d点坐标
连线得截面核心。
28
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§10.5 扭转与弯曲的组合
O az
y
对于有棱角的截面，危险点在棱角处。 (y0,z 0)
中性轴 受压区
受拉区
中性轴
受压区
受拉区
24
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4、截面核心
力作用点
中性轴 受压区
受拉区
中性轴
力作用点 受压区
截面核心——在偏心压力作用下，使杆的横截面上只 产生压应力的载荷作用区域
25
第十章 组合变形
圆形截面和矩形截面的截面核心
组合变形：构件同时发生两种或两种以上的基本变形，且 几种变形所产生的影响(如应力、应变)属于同一数量级。
摇臂钻--拉(压)弯组合变形
3
第十章 组合变形
组合变形工程实例
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吊车杆——压弯组合变形
4
第十章 组合变形
组合变形工程实例
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厂房牛腿——偏心压缩
5
第十章 组合变形
叠加原理
解：由题可以画出杆的内力图
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P
C
弯矩图、扭矩图如图 所示：
A 2P
0.36P
T Pa
M图
M z 0.24P
0.24P
M y 0.36P T图
可知：危险截面在A面处
DB
Pa
Pa
35
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M合
M
2 z
M
2 y
0.24P2 0.36P2 0.43P
T
8
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D1
O Fz
Fy F y
D2
x
z x
K(z, y) l
根据弯曲正应力的计算公式有：
Mz y
Iz
M y z
Iy
按照叠加原理
M
s
in
Iz
y
cos
Iy
z
在强度计算时，须先确定危险截面，然后在危险截面上确定危险点。
强度条件为
max
M y,max Wy
2.0 103 MPa 31250109
MPa
96MPa
11
第十章 组合变形
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§10.3 拉伸(压缩)与弯曲的组合
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=+
10-
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t,max
=+
c,max
c
F A
t,max
=+
t,max
Fl W
c,max
c,max
Fl W
t,max
F 350 y1 z0 y z1
M FN
A 15000mm2 z0 75mm
z1 125 mm I y 5.31107 mm4 （2）立柱横截面的内力
50
FN F
150
M F 350 75103
50
150
425F 103N.m
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A 15000mm2
20
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选取形心主惯性轴 y 轴和 z 轴
z
x F
e A(yF ,zF)
O
y
将 F 向截面形心 O 简化：
x
z
F''
Mz
My O
y
F F
轴向压缩
M y F zF
xz平面内的平面弯曲
Mz F yF
xy平面内的平面弯曲
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第十章 组合变形