2019高考数学理专题突破课件第一部分专题六第二讲：概率、随机变量及其分布列
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计
算公式知，没有人申请 A 片区房源的概率为 P4(0) ＝C04310·324＝8116.
(2)所有可能的申请方式有 34 种，而“每个片区的
房源都有人申请”的申请方式有 C24A33种．
记“每个片区的房源都有人申请”为事件 B，从
而有 P(B)＝C324A4 33＝49.
2019高考数学理专题突破课件第一部分专题六第二讲： 概率、随机变量及其分布列
2．常见的离散型随机变量的分布 (1)两点分布 分布列为(其中0＜p＜1)
(2)二项分布 在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数 ξ 是一 个随机变量，其所有可能取的值为 0,1,2,3，…，n， 并且 P(ξ＝k)＝Cknpkqn－k(其中 k＝0,1,2，…，n，q＝1 －p)．
【归纳拓展】 (1)求复杂事件的概率，要正确 分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几 个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个 相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率 公式求解．
事件的概率公式去计算所求事件的概率．
变式训练2 有两枚大小相同、质地均匀的正四 面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字 1,2,3,5.同时投掷这两枚玩具一次，记m为两个 朝下的面上的数字之和．
(1)求事件“m不小于6”的概率； (2)“m为奇数”的概率与“m为偶数”的概率 是否相等？并给出说明．
【解】 (1)由于是有放回地取球，故连续两次取 球是相互独立的，因此连续取两次都是红球的概 率 P＝CC11180·CC11180＝1265. (2)取到黑球时取球次数为 1 次，2 次，3 次的事件， 分别记为 A、B、C.
则 P(A)＝15，P(B)＝45×15＝245，
P(C)＝(45)2×15＝11265. 所以，取球次数不超过 3Байду номын сангаас次的概率是 P(A＋B＋C) ＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝15＋245＋11265＝16215. 即取球次数不超过 3 次的概率是16215.
高考热点讲练
几何概型
例1 (2011 年高考福建卷)如图，矩形 ABCD 中，
点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机
取一个点 Q，则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于
()
1
1
A.4
B.3
C.12
D.23
【解析】 这是一道几何概型的概率问题，点 Q
1
取自△ABE
内部的概率为 S△ABE ＝2·|AB|·|AD|＝ S矩形ABCD |AB|·|AD|
解：因为玩具的质地是均匀的，所以玩具各面朝 下的可能性相等，出现的可能情况有：(1,1)，(1,2)， (1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)， (3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)，共 16 种． (1)事件“m 不小于 6”包含(1,5)，(2,5)，(3,5)， (3,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)，共 8 个基本事件，
【归纳拓展】 (1)求解古典概型中的等可能性事 件的概率，是最基本的一种概率计算问题，其求 解方法就是利用古典概型的概率计算公式 P＝mn 计算即可． (2)求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要 先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对 立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、 对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立
12.故选 C.
【答案】 C
【归纳拓展】 (1)当试验的结果构成的区域为 长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑 使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部 结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有 时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区 域．
变式训练1 (2019年高考湖南卷)已知圆C：x2 ＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25. (1)圆C的圆心到直线l的距离为__________； (2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率 为__________．
所以 P(m≥6)＝186＝12.
(2)“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率不 相等． 因为 m 为奇数的概率为 P(m＝3)＋P(m＝5)＋P(m ＝7)＝126＋126＋126＝38.
m 为偶数的概率为 1－38＝58，这两个概率值不相
等．
相互独立事件、独立重复试 验的概率
例3 (2019年高考重庆卷)某市公租房的房源位 于A、B、C三个片区．设每位申请人只申请其 中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的 房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： (1) 没有人申请A片区房源的概率； (2) 每个片区的房源都有人申请的概率．
【解】 (1)法一：所有可能的申请方式有 34 种，
而“没有人申请 A 片区房源”的申请方式有 24 种． 记“没有人申请 A 片区房源”为事件 A，则
P(A)＝2344＝8116.
法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是 4 次独立重复试验．
记“申请 A 片区房源”为事件 A，则 P(A)＝13.
n
显然 P(ξ＝k)≥0(k＝0,1,2，…，n)， Cknpkqn－k＝1. k＝0
称这样的随机变量 ξ 服从参数 n 和 p 的二项分布， 记为 ξ～B(n，p)．
3．离散型随机变量的期望与方差 若离散型随机变量ξ的分布列为
则称E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数 学期望，简称期望． D(ξ)＝[x1－E(ξ)]2·p1＋[x2－E(ξ)]2·p2＋…＋[xn －E(ξ)]2·pn＋…叫做随机变量ξ的方差．
解析：(1)圆心 C 到 l 的距离为 |－25| ＝5. 42＋32
(2)如图 l′∥l，且 O 到 l′的距离为 3，sin∠ODE
＝3＝ 23
23，所以∠ODE＝60°，从而∠BOD＝60°，
点 A 应在劣弧 BD 上，所以满足条件的概率为16.
答案：(1)5
1 (2)6
古典概型
例2 一个袋中装有大小相同的10个球，其中 红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球， 每次随机取1个． (1)求连续取两次都是红球的概率； (2)如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球， 直到取出黑球，求取球次数不超过3次的概率．
算公式知，没有人申请 A 片区房源的概率为 P4(0) ＝C04310·324＝8116.
(2)所有可能的申请方式有 34 种，而“每个片区的
房源都有人申请”的申请方式有 C24A33种．
记“每个片区的房源都有人申请”为事件 B，从
而有 P(B)＝C324A4 33＝49.
2019高考数学理专题突破课件第一部分专题六第二讲： 概率、随机变量及其分布列
2．常见的离散型随机变量的分布 (1)两点分布 分布列为(其中0＜p＜1)
(2)二项分布 在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数 ξ 是一 个随机变量，其所有可能取的值为 0,1,2,3，…，n， 并且 P(ξ＝k)＝Cknpkqn－k(其中 k＝0,1,2，…，n，q＝1 －p)．
【归纳拓展】 (1)求复杂事件的概率，要正确 分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几 个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个 相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率 公式求解．
事件的概率公式去计算所求事件的概率．
变式训练2 有两枚大小相同、质地均匀的正四 面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字 1,2,3,5.同时投掷这两枚玩具一次，记m为两个 朝下的面上的数字之和．
(1)求事件“m不小于6”的概率； (2)“m为奇数”的概率与“m为偶数”的概率 是否相等？并给出说明．
【解】 (1)由于是有放回地取球，故连续两次取 球是相互独立的，因此连续取两次都是红球的概 率 P＝CC11180·CC11180＝1265. (2)取到黑球时取球次数为 1 次，2 次，3 次的事件， 分别记为 A、B、C.
则 P(A)＝15，P(B)＝45×15＝245，
P(C)＝(45)2×15＝11265. 所以，取球次数不超过 3Байду номын сангаас次的概率是 P(A＋B＋C) ＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝15＋245＋11265＝16215. 即取球次数不超过 3 次的概率是16215.
高考热点讲练
几何概型
例1 (2011 年高考福建卷)如图，矩形 ABCD 中，
点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机
取一个点 Q，则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于
()
1
1
A.4
B.3
C.12
D.23
【解析】 这是一道几何概型的概率问题，点 Q
1
取自△ABE
内部的概率为 S△ABE ＝2·|AB|·|AD|＝ S矩形ABCD |AB|·|AD|
解：因为玩具的质地是均匀的，所以玩具各面朝 下的可能性相等，出现的可能情况有：(1,1)，(1,2)， (1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)， (3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)，共 16 种． (1)事件“m 不小于 6”包含(1,5)，(2,5)，(3,5)， (3,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)，共 8 个基本事件，
【归纳拓展】 (1)求解古典概型中的等可能性事 件的概率，是最基本的一种概率计算问题，其求 解方法就是利用古典概型的概率计算公式 P＝mn 计算即可． (2)求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要 先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对 立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、 对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立
12.故选 C.
【答案】 C
【归纳拓展】 (1)当试验的结果构成的区域为 长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑 使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部 结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有 时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区 域．
变式训练1 (2019年高考湖南卷)已知圆C：x2 ＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25. (1)圆C的圆心到直线l的距离为__________； (2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率 为__________．
所以 P(m≥6)＝186＝12.
(2)“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率不 相等． 因为 m 为奇数的概率为 P(m＝3)＋P(m＝5)＋P(m ＝7)＝126＋126＋126＝38.
m 为偶数的概率为 1－38＝58，这两个概率值不相
等．
相互独立事件、独立重复试 验的概率
例3 (2019年高考重庆卷)某市公租房的房源位 于A、B、C三个片区．设每位申请人只申请其 中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的 房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： (1) 没有人申请A片区房源的概率； (2) 每个片区的房源都有人申请的概率．
【解】 (1)法一：所有可能的申请方式有 34 种，
而“没有人申请 A 片区房源”的申请方式有 24 种． 记“没有人申请 A 片区房源”为事件 A，则
P(A)＝2344＝8116.
法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是 4 次独立重复试验．
记“申请 A 片区房源”为事件 A，则 P(A)＝13.
n
显然 P(ξ＝k)≥0(k＝0,1,2，…，n)， Cknpkqn－k＝1. k＝0
称这样的随机变量 ξ 服从参数 n 和 p 的二项分布， 记为 ξ～B(n，p)．
3．离散型随机变量的期望与方差 若离散型随机变量ξ的分布列为
则称E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数 学期望，简称期望． D(ξ)＝[x1－E(ξ)]2·p1＋[x2－E(ξ)]2·p2＋…＋[xn －E(ξ)]2·pn＋…叫做随机变量ξ的方差．
解析：(1)圆心 C 到 l 的距离为 |－25| ＝5. 42＋32
(2)如图 l′∥l，且 O 到 l′的距离为 3，sin∠ODE
＝3＝ 23
23，所以∠ODE＝60°，从而∠BOD＝60°，
点 A 应在劣弧 BD 上，所以满足条件的概率为16.
答案：(1)5
1 (2)6
古典概型
例2 一个袋中装有大小相同的10个球，其中 红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球， 每次随机取1个． (1)求连续取两次都是红球的概率； (2)如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球， 直到取出黑球，求取球次数不超过3次的概率．