中职数学数列教案

x x 职业技术教育中心教案复习引入：新授：1. 数列的定义我们把按一定次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项．数列的一般形式可以写成a1, a2, a3, …,a n,….简记作{a n}．其中a1叫做数列的第1项(或首项)，a2叫做数列的第2项, …，a n叫做数列的第n 项(n是正整数)．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．课内练习12. 数列的表示形式数列除了表示成上述形式以外，根据实际情况需要，只要不改变有序这个特，也能以其他形式表示．例如体温记录数列(1)，表示成下面的表可能更合适：当一个有穷数列，随着项号变化，其对应的项的变化没有规律，且数据又要求比较准确时，通常会以列表方式表示．列表表示的一般形式是在医疗单位，表示病员体温记录的数列(1)，更常用的是如下图象表示形式，：图1-3图象表示形式以直观、变化趋势明显为特色．当数列项数不太多而又需要明显地表明其变化趋势时(例如产值变化、利润变化、人口增长率变化等等)，把数列用图象形式表示出来，无疑是上策．3. 数列的通项对于习惯于以式作为研究对象的你来讲，最乐意见到的，是数列{a n}的第n项a n与n(n是正整数)之间的关系可以用一个公式 a n =f (n ),n =1,2,3, … 来表示.公式就叫做这个数列的通项公式．数列的通项公式表示了数列中的任何一项，为了求得第n 项，只要把n 代入到公式中就行了，而且从通项公式还可以进一步探讨数列的性质。

例1 根据数列{a n }, {b n }的通项公式，写出它的前5项：(1)a n =1+n n ； (2)b n =n n21)(-．例2 写出一个数列的通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)11, 21, 31, 41, …； (2)2, -4, 6, -8, …．课内练习21. 怎样表示下面的数列比较合适？ (1)全年按月顺序排列的月降水量；(2)打靶10次，按打靶顺序排列的中靶环数； (3)按由小到大顺序排列的自然数负倒数数列； (4)一年中12个月的营业额． 2. 已知数列的通项，求其前4项：(1)a n =10n ；(2)b n =n n 11+-)(；(3)c n =31n；(4)d n =n (n +2)．3. 已知数列的前4项，试求出其通项公式：(1)2, -4, 6, -8, 10, …； (2)1, -1, 1, -1, …；(3)21, 21, 21, 21,…； (4)21, 45, 89, 1613,…．4. 已知数列{a n }的通项公式a n =12+n n ，8.1是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？小结 作业x x 职业技术教育中心教案复习引入：新授：1. 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．公差通常用字母d 来表示．用符号语言来叙述，则是：如果数列{a n }满足a n ＋1-a n =d , (n 1，且n ∈N +,d 是常数)，那么数列{a n }叫做等差数列，常数d 叫做等差数列的公差．例1 下面的数列中，哪些是等差数列？为什么？如果是等差数列，求出公差d ：(1)-0.70，-0.71，-0.72，-0.74，-0.76，…；(2)-9，-9，-9，-9，-9，…； (3)-1，0，1，0，-1，0， 1，…； (4)1，4，7，10，13，….例2 下列数列都是等差数列，试求出其中的未知项： (1)3，a ，5； (2)3，b ，c ，-9．课内练习11. 下面的数列中，哪些是等差数列？为什么？如果是等差数列，求出公差d ： (1)-1,-1,-1,-1,…； (2)1.1,1.11,1.111,1.1111,…；(3)-321,-1,121,4,621,…； (4)1, 0, 1, 0,1,…； (5)1,21, 31, 41, …. 2. 已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数： (1)( ), 5, 10； (2)31, ( ), ( ), 1． 3. 已知一个无穷等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ．(1)将数列中的前m 项去掉，余下的项按原来顺序组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？(2)取出数列中的所有奇数项，按原来顺序组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？(3)取出数列中所有项数为7的倍数的各项，按原来顺序组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？2. 等差数列的通项公式设{a n }是等差数列，首项是a 1，公差是d ．根据等差数列的定义，从第2项起，，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，于是有a 2-a 1=d ，a 2=a 1+d ；a 3=a 2+d =(a 1+d )+d =a 1+2d ；a 4=a 3+d =(a 1+2d )+d =a 1+3d ；… 依次类推，得到a n =a 1+(n -1)d , n =1,2,3, …．例3(1)求等差数列8, 5, 2,…的第20项；(2)在等差数列{a n }中，已知a 5=10, a 12=31，求首项a 1与公差d ．例4 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次.奥运会如因故不能举行，届数照算．(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)2008年北京奥运会是第几届？(3)2050年举行奥运会吗？例5 某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm ，求中间四个滑轮的直径．3. 等差中项如果a ,A ,b 这三个数成等差数列，即A -a =b -A ，则A 必定是a ,b 的算术平均值A =2ba +. 从数列的角度来看，A 是成等差三个数的中间一项，故把A 叫做a 与b 的等差中项．反之，若A 由A =2ba +确定，则 A -a =b -A =2a b -，即a ,A ,b 成等差数列．在一个等差数列{a n }中，相邻三项总是等差的，因此从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即a n =211+-+n n a a ,(n ≥2)．例6 已知两个数a =205, b =315，求它们的的等差中项．课内练习21. 求等差数列3, 7, 11,…的第4项与第10项．2. 等差数列的通项公式为 a n =-2n +7，试求其首项和公差．3. 在等差数列{a n }中，已知a 3=10, a 9=28，求a 12．4. 梯子的最高一级宽33cm ，最低一级宽110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列．计算中间各级的宽度.5. -401是不是等差数列-5, -9, -13, … 的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．6. 在通常情况下，从地面到10km 高空，高度每增加1km ，气温就下降某一固定数值，如果高度为1km 处的气温是8.5︒，5km 处的气温是-17.5︒，求高度为2km 、4km 、8km 处的气温． 7. 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，b n =a n +c , (c 为常数)，试证明数列{b n }也是等差数列，并求其公差．4. 等差数列的前n 项和现设{a n }为一等差数列，欲求其前n 项的和S n =a 1+a 2+…+a n ．以 a 2=a 1+d , a 3=a 1+2d , …, a n =a 1+(n -1)d 代入，得S n =a 1+(a 1+d )+(a 1+2d )+ …+[a 1+(n -1)d ]=na 1+[(1+2+3+…+(n -1)]d ． 应用(11-2-3)，S n =na 1+2)1(-n n d ； 因为 na 1+2)1(-n n d = n 2])1([11d n a a -++=2)(1na a n +，故 S n =2)(1na a n +．即等差数列的前n 项和等于首末项的和与项数乘积的一半．即为等差数列前n 项求和公式．两个公式虽说可以互化，但在不同场合还是应该有所选择．例7 (1)求正奇数前100项之和；(2)求第101个正奇数到第150个正奇数之和；(3)等差数列的通项公式为a n =100-3n,求前65项之和；(4)在等差数列{a n }中，已知a 1=3, d =21，求S 10．例8 某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:m)分别是：7500,8000,8500,9000,9500,10000,10500，他在7天内共跑了多少米？例9 在例8中那位长跑运动员的教练，规定第一期训练计划为跑完150000m ．问第一期需要多少天？例10 某人以分期付款方式购买了一套住房，售价50万元．首期付20万元，余款按月归还一次，在20年内还清，欠款以利率0.5%按月计算利息，并平均加到每月还款额上．问此人每月要付多少购房款？最终实际为住房付了多少款？例12 设等差数列{a n }的公差d =21, a n =23, 前n 项之和S n =－215．求首项a 1及n ．课内练习31在等差数列{a n }中:(1)已知a n =2-0.2n , 求S 50； (2)已知a n =3n, 求第10项至第50项的和S ；(3)已知a 1=100, d =-2, 求S 50； (4)a 1=14.5, d =0.7, 求S 32．2. 设{a n }是等差数列，a 1=65, n =34, S n =-15832，求a n 和公差d ．3. 在一个成等腰梯形屋面上铺瓦，最上面一层铺了21块，往下每一层多铺2块，共铺了19层，问共铺了多少块瓦片？4. 一个剧场设置了20排座位，第一排38个座位，往后每一排都比前一排多3个座位.这个剧场一共设置了多少个座位？5. 已知一个等差数列{b n }的首项b 1=-35，公差d =7，这个数列的前多少项和恰好为0？6. 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买时先付150万元，以后每月都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%．若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问：分期付款的第10个月应该付多少钱？全部贷款付清后，买这40套住房实际花了多少钱？小结：作业：x x 职业技术教育中心教案复习引入：新授：1. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q , (q ≠0)表示．用数学符号语言来说，如果数列{a n }满足nn a a 1+=q , (n ≥1,且n ∈N +, q ≠0, q 是常数)，那么数列｛a n ｝叫做等比数列，常数q 叫做等比数列的公比．例1 下面是数列{a n }的前4项，据此判断哪些是等比数列？为什么？如果是等比数列，求出公比q ：(1)-1, -4, -16, -64, …； (2)2, 2, 2, 2, …；(3)1,21, 41, 61, 81, …； (4)0, 1, 2, 22, 23, 24, … ．例2 求出下列等比数列中的未知项： (1)2, a , 8,(a >0)； (2)4, b , c ,21．课内练习11. 下面是数列{a n }的前4项，由此判断哪些是等比数列？为什么？如果是等比数列，求出公比q ：(1) 0, 0, 0, 0,…； (2)1.21, 1.331, 1.4641, 1.51051, …；(3)1001,0.1,10,100, …． 2. 已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数： (1)( ), 3, 27；(2)16, ( ), ( ), 2．3. 已知{a n }是无穷等比数列，公比为q ：(1)将数列{a n }中的前k 项去掉，剩余各项按原来顺序组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比各是多少？(2)取出数列{a n }中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？(3)数列{a n }中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？2. 等比数列的通项公式等差数列有通项公式，等比数列有没有通项公式？设{a n }是一个公比为q 的等比数列．根据等比数列的定义，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于公比q ，所以每一项都等于它的前一项乘以公比q ，于是有 a 2=a 1q ； a 3=a 2q =(a 1q )q =a 1q 2； a 4=a 3q =(a 1q 2)q =a 1q 3；…．依次类推可得 a n =a 1q n -1, n =1,2,3, …．(a 1≠0, q ≠0)即为所求的通项公式,其中首项为a 1,公比为q ．例3 已知等比数列{a n }2, 6, 18, 54, …，求其公比q , a 5和a n ．例4 在等比数列{b n }中，(1)已知b 1=3, q =2，求b 6；；(2)已知b 3=20, b 6=160，求b n ．例4 培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒？(保留两个有效数字)？3. 等比中项与等差中项类似，在等比问题中也有等比中项．若a ,G ,b 三个数成等比，则把中间那个项G 叫做a ,b 的等比中项．任何两个数均存在他们的等差中项，且等差中项是唯一的．是否任何两个数都存在等比中项？两个数的等比中项也唯一吗？从等比中项定义可知，两个数a ,b 的等比中项G 应满足Gb a G =，G 2=ab ． 这表明当且仅当两个同号的数a ,b 才有等比中项；当a ,b 同号时，其等比中项为 G =±ab ．一个等比数列，从第2项起每一项(有穷等比数列的末首项除外)，是它的前一项与后一项的等比中项，即2n a =a n -1⋅a n +1， a n =11+-n n a a 或 a n =-11+-n n a a ．例5 求5与125的正等比中项．课内练习21. 设0.3, 0.09, 0.027, ...为一等比数列{b n }的前3项，求其公比q 及第5项和第n 项．2. 已知等比数列的通项公式a n =41⋅10n ，求其首项与公比． 3. 在等比数列{a n }中，a 3=2, a 6=18，求q 与a 10．4. 求3与27的等比中项．5. 细胞以分裂方式繁殖，一个细胞成熟后分裂成2个．设某种细胞最初有10个，繁殖周期是1小时，且不考虑细胞的死亡，那么在一昼夜之后将有多少个细胞(保留2位有效数字)？6. .某林场计划第一年造林15公顷，以后每年比前一年多造林20％，第5年应造林多少公顷(结果保留到个位)？7. 在9与243中间插入两个数，使它们与这两个数成等比数列．5. 等比数列的前n 项和对一般的等比数列{a n }，若要求其前n 项的和S n ，S n =a 1(1+q +q 2+...+q n -1)，qS n = a 1(q +q 2+q 3+...+q n -1+q n )，两式相加后即可解出 S n =qq a n --111)(． 轻而易举地得到了求等比数列前n 项和的公式．因为a 1q n =a n q ，公式也能变形为S n =qq a a n --11． 例8 在等比数列{a n }中，(1)已知a 1=-4, q =21，求前10项的和S 10；(2)已知a 1=1, a k =243, q =3，求前k 项的和S k ． 例9 某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台(保留到个位)？例10 已知等比数列{a n }中的a 2=5, a 5=40，求其前7项之和S 7．课内练习31. 在等比数列{a n }中，a 1=3, q =2，求前5项的和S 5．2. 求等比数列1,3,9,…,2187的和．3. 求等比数列21,41,81,…的前8项的和． 4. 某养鸡专业户今年向农贸市场出售肉鸡1000只，计划近几年内的出售量平均比上一年增长8％，那么从今年起，大约几年内可以使总出售量达到4500只？5. 在等比数列{a n }中：(1) 已知q =21, S 5＝387，求a 1与a 5； (2)a 1=2, S 3=26，求q 与a 3； (3)已知a 3=121, S 3=421，求a 1与q ． 6. 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．全国约有9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70℅．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12℅，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩(精确到万亩)？课内练习1. 在等比数列{c n }中：(1)c 4=27, q =-3，求c 7； (2)若c 3=-1, c 6=-8，求公比q 及c 10；(3)若c 7=-1251, c 2=25，求公比q 及c 1． 2. 已知{x n }为等比数列，x 7=2, x 17=2048，求x 12．3. 求3与27的等比中项．4. 求等比数列1, -21, 41, -81, ...的前8项之和．小结：作业：x x 职业技术教育中心教案复习引入：新授：例6某企业要在今年起的今后10年内，把产值翻一番，那么平均每年增值率应为多少？解 设今年产值为a ，平均每年增值x %=100x ．则各年的产值依次为 a , a ⋅(1+100x ), a (1+100x )2, a (1+100x )3, ..., a (1+100x )10． 据企业要求x 应满足a (1+100x )10=2a ，(1+100x )10=2，x =100(102-1)≈7.18． 所以，为了使企业在今后10年内把产值翻一番，每年平均增值应不小于7.18%． 例9 某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台(保留到个位)？解 根据题意，每年销售量从上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5000, q =1+10%=1.1；设销售量达30000台须n 年，则 30000=1111115000.).(--⨯n ，即1.1n =1.6，n =1161.ln .ln ≈5(年)． 所以约5年内可以使总销售量达到30000台．例2 从一个边长为a 的原始正方形开始，每次把它分成四个小正方形、取其中一个(见图1)．证明所有这些正方形面积的和S 等于原始正方形面积的三分之四．证明 原始正方形面积A 1=a 2；第一次剖分后正方形边长为2a ，面积A 2=41a 2； 第二次剖分后正方形边长为4a ，面积A 3=161a 2； 第三次剖分后正方形边长为8a ，面积A 4=641a 2；… 所以正方形系列的面积{A n }是一个公比为41的无穷递缩 等比数列．小结：作业：图1。