复变函数课件.
合集下载
第四章复变函数的级数演示精品PPT课件
则
(1) 当 0 时, 收敛半径 R ;
形式上可以记为
(2)
当
时,
R
收1敛半径
R 0;
(3)
当0
时,
收敛半径
R
1.
证明：由于
为数列, 记为n.
定义4.1 设 n是数列， a ib 是常数.
如果e >0, 存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
n e 成立, 则称当n时, an收敛于 ,
或称 是n的极限, 记作
lim
n
n
.
复数列收敛与实数列收敛的关系
定理一
lim
n
n
的充分必要条件是
lim
n
an
a,
lim
cnzn 发散.
n0
• z0
2 收敛圆与收敛半径
定理3.由6 (Abel定理), 幂若级级数数 ccnnzznn在收z敛1 情0 况有三种: n00
处收敛(1，) 则对当所有z 的z1正时实, 数级都数 收 敛cnz. n 绝对收敛; n0 级数在复平面内绝对收敛.
若级数(2)n对0 cn所zn 有在的z2 正处发实散数，都则发当散z. z2 时, 级数
因此，幂级数 cn(z z0 )n的收敛范围是 n0
以 z z0为中心的圆域.
问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨 论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数
进行具体分析.
例 1 求级数 zn 的收敛半径与和函数.
解
n0
z 1
lim zn 0
n
级数 zn 发散.
fn(z) f1(z) f2(z)
n1
(1) 当 0 时, 收敛半径 R ;
形式上可以记为
(2)
当
时,
R
收1敛半径
R 0;
(3)
当0
时,
收敛半径
R
1.
证明：由于
为数列, 记为n.
定义4.1 设 n是数列， a ib 是常数.
如果e >0, 存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
n e 成立, 则称当n时, an收敛于 ,
或称 是n的极限, 记作
lim
n
n
.
复数列收敛与实数列收敛的关系
定理一
lim
n
n
的充分必要条件是
lim
n
an
a,
lim
cnzn 发散.
n0
• z0
2 收敛圆与收敛半径
定理3.由6 (Abel定理), 幂若级级数数 ccnnzznn在收z敛1 情0 况有三种: n00
处收敛(1，) 则对当所有z 的z1正时实, 数级都数 收 敛cnz. n 绝对收敛; n0 级数在复平面内绝对收敛.
若级数(2)n对0 cn所zn 有在的z2 正处发实散数，都则发当散z. z2 时, 级数
因此，幂级数 cn(z z0 )n的收敛范围是 n0
以 z z0为中心的圆域.
问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨 论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数
进行具体分析.
例 1 求级数 zn 的收敛半径与和函数.
解
n0
z 1
lim zn 0
n
级数 zn 发散.
fn(z) f1(z) f2(z)
n1
复变函数入门 1ppt课件
3. 两复数的商:
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
注解：
➢ 复数的减法运算是加法运算的逆运算
➢ 复数的除法运算是乘法运算的逆运算
➢ 复数的四则运算与实数的四则运算保持一致
7
定理: 全体复数关于上述运算做成一个数域.
称为复数域，用C表示.即
复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 z1 z2 z2 z1 ②加法结合律 z1 (z2 z3) (z1 z2 ) z3 ③乘法交换律 z1 z2 z2 z1 ④乘法结合律 z1 (z2 z3) (z1 z2 ) z3 ⑤乘法对加法的分配律
面上的点向量oz 表示.
o
x
x
18
结论:
两个复数的加减法运算与相应的向量的 加减法运算一致.
y
z2
z1 z2
y
z2
z1
o
z1
x
o
x
z1 z2
z2
19
附录： 向Hamilton 学习
Hamilton.William Rowan（威廉.罗万.哈 密儿顿，1805——1865）爵士，无 疑是使爱尔兰人在数学领域中享有 盛益的最伟大的人物，同时也是有 名望的物理学家和天文学家。他 1805年生于都柏林，除了短时间外 出访问外，一生都是在这里度过 的。他才一岁时，被委托给一位叔 叔教育，这位叔叔的热心在于给他 侧重语言上的教育，不久之后，他 就成了孤儿。Hamilton是个神童，3 岁时能阅读英文，5岁时能阅读、
以上各式证明略.
10
例3 将下列复数表示为 x iy 的形式.
复变函数论第三版PPT课件
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数，其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$，我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数，通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域，通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的，$a, b$ 是常数，则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示，实部为横坐标，虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算，满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数， 表示为 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号， 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数，其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$，我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数，通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域，通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的，$a, b$ 是常数，则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示，实部为横坐标，虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算，满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数， 表示为 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号， 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。
高等数学《复变函数》课件 1
n r, n 2k (k Z )
n
z
n
i 2k
re n
(k 0,1,2,, n 1)
即：
n
z
z
1 arg z 2k
arg z 2k
n [cos(
) i sin(
)]
n
n
(k 0 , 1 , 2 , , n 1)
10
例1 若 z 1 3i , 求 Re(z), Im( z), 和zz i 1i
3i
则 | z | 2，
arg z 5
6
z
2[cos(
5
)
i
s in(
5
)]
2e
5 6
i
6
6
7
二、复数的运算
1、复数的代数形式的四则运算
设 复 数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2
(1) z1 z2 x1 x2 i( y1 y2 )
(2) z1 z2 x1 x2 y1 y2 i( x2 y1 x1 y2 )
如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的
点w，那么w称为z的象(映象)，而z 称为w的
原象。
19
一般地，映射w=f(z)
(1)将z 平面上的点映射成w 平面上的点；
例如 映射 w z 将z平面上的点z a ib 映射成w平面上的点w a ib。
z 平面 y
w平面 wz
v
• a ib
复变函数
• 复变函数与解析函数 • 复变函数的积分 • 复变函数的级数与留数定理
1
第11章 复变函数与解析函数
11.1 复数及其运算 11.2 复变函数 11.3 解析函数 11.4 初等函数
复变函数课件
敛问题.
而由实数项级数 an 和 bn收敛的必要条件
n 1 n 1
lim an 0和 lim bn 0,
n n
立即可得 lim a n 0, 从而推出复数项级数
n
a 收敛的必要条件是 lim a
n 1 n n
n
0.
8
定义： 如果 | a n | 收敛, 则称级数 a n 绝对收敛.
f ( z )
n 1
nc n ( z - a ) n - 1
28
3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即
f ( z ) d z c ( z - a)
C n 0 n C
n
d z , C | z - a | R
或
z
a
cn n 1 f (z ) d z ( z - a) n 1 n 0
3
推论：若实数列{an}与{bn}中有一个发散， 则复数列{αn}一定发散。 例1. 下列数列是否收？如果收敛，求出 其极限.
1 n 1 (1)a n (1 ) in sin ; n n n ( 2)a n ( -1) i cos in; (3)a n p=3>1, 所以原级数在收敛圆上是处 处收敛的.
23
cn 1 n lim lim 1 n n 1 2) n cn , 即 R=1.
在收敛圆|z-1|=1 上, 当 z=0 时, 原级数成为
1 (-1) n n 1
n
, 级数收敛; 当 z=2 时, 原级数成为
cnz n 这是 ,
n 0
(4.1.4)的形式, 为了方便, 今后常就(4.1.4)讨论
而由实数项级数 an 和 bn收敛的必要条件
n 1 n 1
lim an 0和 lim bn 0,
n n
立即可得 lim a n 0, 从而推出复数项级数
n
a 收敛的必要条件是 lim a
n 1 n n
n
0.
8
定义： 如果 | a n | 收敛, 则称级数 a n 绝对收敛.
f ( z )
n 1
nc n ( z - a ) n - 1
28
3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即
f ( z ) d z c ( z - a)
C n 0 n C
n
d z , C | z - a | R
或
z
a
cn n 1 f (z ) d z ( z - a) n 1 n 0
3
推论：若实数列{an}与{bn}中有一个发散， 则复数列{αn}一定发散。 例1. 下列数列是否收？如果收敛，求出 其极限.
1 n 1 (1)a n (1 ) in sin ; n n n ( 2)a n ( -1) i cos in; (3)a n p=3>1, 所以原级数在收敛圆上是处 处收敛的.
23
cn 1 n lim lim 1 n n 1 2) n cn , 即 R=1.
在收敛圆|z-1|=1 上, 当 z=0 时, 原级数成为
1 (-1) n n 1
n
, 级数收敛; 当 z=2 时, 原级数成为
cnz n 这是 ,
n 0
(4.1.4)的形式, 为了方便, 今后常就(4.1.4)讨论
复变函数ppt课件
(iii) f (z) cn (z z0 )n n
有无穷多个负幂次项，称z=z0为~~本~~性~~奇~~点。
3. 性质
若z0为f (z)的可去奇点
f (z) cn(z z0 )n
n0
lim z z0
f (z) c0
补充定义：f (z0 ) c0 f (z)在z0解析.
若z0为f (z)的m (m 1) 级极点
----z=1为孤立奇点
f
(z)
1 sin
1
z
----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
但 lim 1 0, 在z 0不论多么小的去心
n n
y
邻域内,总有f (z)的奇点存在，
故z
0不
是
1 sin
1
z
的孤立奇点。
这说明奇点未
o
x
必是孤立的。
2. 分类
以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：
(1 ez )'
ez
z i ( 2k 1)
z i ( 2k 1)
[cos (2k 1) i sin (2k 1)] 0
zk i(2k 1) (k 0,1,2,)是1 ez的一级零点
综合 z i为f (z)的二级极点; zk i(2k 1) (k 1,2,)为f (z)的 一 级 极 点.
而
f (m)(z0 ) m!
c0
0
必要性得证！
充分性略！
例如 z 0与z 1均为f (z) z(z 1)3的零点。 又f '(z) (z 1)3 3z(z 1)2
f "(z) 6(z 1)2 6z(z 1)
有无穷多个负幂次项，称z=z0为~~本~~性~~奇~~点。
3. 性质
若z0为f (z)的可去奇点
f (z) cn(z z0 )n
n0
lim z z0
f (z) c0
补充定义：f (z0 ) c0 f (z)在z0解析.
若z0为f (z)的m (m 1) 级极点
----z=1为孤立奇点
f
(z)
1 sin
1
z
----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
但 lim 1 0, 在z 0不论多么小的去心
n n
y
邻域内,总有f (z)的奇点存在，
故z
0不
是
1 sin
1
z
的孤立奇点。
这说明奇点未
o
x
必是孤立的。
2. 分类
以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：
(1 ez )'
ez
z i ( 2k 1)
z i ( 2k 1)
[cos (2k 1) i sin (2k 1)] 0
zk i(2k 1) (k 0,1,2,)是1 ez的一级零点
综合 z i为f (z)的二级极点; zk i(2k 1) (k 1,2,)为f (z)的 一 级 极 点.
而
f (m)(z0 ) m!
c0
0
必要性得证！
充分性略！
例如 z 0与z 1均为f (z) z(z 1)3的零点。 又f '(z) (z 1)3 3z(z 1)2
f "(z) 6(z 1)2 6z(z 1)
复变函数第三版课件第一章
3
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1
复变函数 全套课件
不存 . 在
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
29
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不 是 有 界 函 数 .
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.
5
复变函数的概念
复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
《复变函数》
第一讲 复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
29
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不 是 有 界 函 数 .
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.
5
复变函数的概念
复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
《复变函数》
第一讲 复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,
复变函数 ppt课件
z x iy
其中 i 为虚数单位，满足 i2 1
记号： x Re z , y Im z
若 x 0 ，则称 z iy 为纯虚数。
称复数 x iy 为复数 z x iy 的共轭复数,
记为 z x iy
注：１）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等； ２）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。
为arg z，这样，我们有：
Arg z arg z 2k
2020/12/27
15
arg z 与 arctan y 关系如下 x
arctan
y x
,
2
,
当x 0时 当x 0, y 0时
arg
z
2
,
当x 0, y 0时
arctan
y x
＋
,
当x
0,
y
0时
arctan
2020/12/27
4
x
arctan x
1
dx
1
x
(
1
1
)dx
0 1 x2
2i 0 i x i x
[ 1 2i
ln
i i
x x
]0x
1 2i
ln
i i
x x
1 2i
ln1
1 ln i x 2i i x
这样取X =1，得
arctan1 1 ln i 1
4
2i i 1
1 ln( i 1)2 4i i 1
除 法： z z1 z2
z2 z z1 (z2 0)
运算：
2020/12/27
z1 z1z2 z2 z2 z2
(z2 0)
10
容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。 此外，共轭复数具有下列性质：
复变函数课件
第一章 复数与复平面
1. 复数域
目录
2. 复平面
3.复球面及无穷大
§1 复数及其几何表示
1、复数域
(1)复数的概念 形如 z x iy 的数称为复数 复数
或
z x yi
如果两个复数z1和z2的实部和虚部分别相等，那么 称这两个复数为相等。
x及y分别称为z的实部和虚部，分别记作 y Im z x Re z 及
o
r
1
z1
r1
2
r2
z2
x
结论：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
即先把 z1 按逆时针方向 旋转一个角 2 , 再把它的模扩大到 r2 倍, 就得到z1 z2 .
由除法定义，我们还有
z1 | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 ) z2 | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | (cos 2 Argz2 sin 2 Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | z1 | z1 | Arg z1 Argz Argz , 1 2 z z2 | z2 | 2
1. 复数域
目录
2. 复平面
3.复球面及无穷大
§1 复数及其几何表示
1、复数域
(1)复数的概念 形如 z x iy 的数称为复数 复数
或
z x yi
如果两个复数z1和z2的实部和虚部分别相等，那么 称这两个复数为相等。
x及y分别称为z的实部和虚部，分别记作 y Im z x Re z 及
o
r
1
z1
r1
2
r2
z2
x
结论：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
即先把 z1 按逆时针方向 旋转一个角 2 , 再把它的模扩大到 r2 倍, 就得到z1 z2 .
由除法定义，我们还有
z1 | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 ) z2 | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | (cos 2 Argz2 sin 2 Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | z1 | z1 | Arg z1 Argz Argz , 1 2 z z2 | z2 | 2
复变函数课件第一章第二至四节复变函数
内区域
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
复变函数课件
2. 映射的概念
如用z平面上的点表示自变量 的值, 而用另一个平面w 如用 平面上的点表示自变量z的值 而用另一个平面 平面上的点表示自变量 的值 平面上的点表示函数w的值 则函数w=f(z)在几何上就 的值, 平面上的点表示函数 的值 则函数 在几何上就 可以看做是把z平面上的一个点集 定义集合)变到 平面上的一个点集G(定义集合 变到w平 可以看做是把 平面上的一个点集 定义集合 变到 平 面上的一个点集G*(函数值集合 的映射 或变换 这个 函数值集合)的 面上的一个点集 函数值集合 映射(或变换). 映射通常简称为由函数 由函数w=f(z)所构成的映射 如果 中 所构成的映射. 映射通常简称为由函数 所构成的映射 如果G中 的点z被映射 的点 被映射w=f(z)映射成 中的点w, 则w称为 的象 映射成G*中的点 称为z的 被映射 映射成 中的点 称为 (映象 而z称为 的原象 映象), 称为w的原象. 映象 称为
§5 复变函数
1. 复变函数的定义
是一个复数z=x+iy的集合 如果有一个确定的 的集合, 定义 设G是一个复数 是一个复数 的集合 法则存在, 按照这一法则, 对于集合G中的每一个复数 中的每一个复数z, 法则存在 按照这一法则 对于集合 中的每一个复数 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应 则称复变数 是 与之对应, 就有一个或几个复数 与之对应 则称复变数w是 复变数z的函数 简称复变函数 的函数(简称复变函数), 复变数 的函数 简称复变函数 记作 w=f(z)
.
这就是说 lim u ( x, y ) = u 0 , lim v( x, y ) = v0
x → x0 y → y0 x → x0 y → y0
充分性: 充分性
《复变函数》课件
设 ①B是 由
C
C1
C
2
C
所
n
围
成
的
有界多连通区域.且B D, ②f (z)在D内解析,则
f (z)dz 0 (1)
n
或
f (z)dz
f (z)dz (2)
c
其中:闭C
D
,
i 1
C1 , C
ci
2 ,
C
是
n
在C的内部
的
简
单
闭曲线(互不包含也不相交), 每一条曲线C及Ci
是逆时针,
C
i
c
c1
ck
f ( z)dz f ( z)dz
此式说c明一个解析c1 函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 的f(z)的不解析点. —闭路变形原理
D
CCC1 11
C
例2 计 算
2z 1 z2 z dz
: 包 含 圆 周z 1在 内 的
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
由柯西-古萨基本定理有
y
11
C
dz 0,
C1 2 z i
1 1 dz 0,
C1 2 z i
C2
•i
C1
1
11
O
x
dz 0, dz 0,
C2 z
C2 2 z i
• i
22
1
1
1
C
z(z2
dz 1)
C1
dz z
C2
2( z
i)
高校工程数学第5节复变函数教学课件
同理直线 y 的象为:
v 2 4 2 ( 2 u),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
4、反函数定义
假定函数w = f ( z ) 的定义集合为G，函数值集合为 G*，那么G*中的每一个点必将对应着G中的一个 或几个点。 按照函数的定义，在G*上就确定了某一个函数 z=φ(w)，它称为函数w=f(z)的反函数，也称为映射 w=f(z)的逆映射。
u
w1 2 3i
z1 w1 , z2 w2 ,
ABC ABC .
（ 1）
映射
z1 w2
o
如果把z平面和w平面重叠在一起，不 难看出，函数是关于实轴的一个对称 映射，且是全同图形。 一般地，通过映射，z平面上的任一图 形的映象是关于实轴对称的一个全同
图形。
A
§1.5 复变函数
1、复变函数的定义 2、映射的概念 3、典型例题 4、小结与思考
一、复变函数的定义
1、复变函数的定义[定义] 设 Nhomakorabea是一个复数z=x+iy的集合，如果有一个 确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中 的每一个复数z，就有一个或几个相应的复数 w=u+iv随着而定（与之对应），那么称复变数w 是复变数z的函数（简称复变函数)，记作 w=f(z)
u=u(x,y)，v=v(x,y)
它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数。反之，
如果给定了两个二元实变函数u=u(x,y)和v=v(x,y)，那
么w=u(x,y)+iv(x,y)就构成了z=x+iy的一个复变函数 w=f(z)。
复变函数和实变函数的关系
例如，函数w=z2。令z=x+iy，w=u+iv，那么
复变函数解读课件
幂级数展开式的应用
幂级数展开式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用，如求解微分方程、
研究函数的奇点和极点等。
洛朗兹级数展开式
洛朗兹级数展开式的定义
01
将复变函数表示为洛朗兹函数的无穷级数形式，可以用于研究
函数的局部行为和性质。
洛朗兹级数展开式的收敛性
02
洛朗兹级数展开式在一定条件下收敛，收敛条件决定了函数的
解析函数的性 质
在解析区域内，解析函数具有无限次 可微性，且满足柯西-黎曼条件。
全纯函数的性质
全纯函数
如果一个复数函数在某个区域内有定义，并且在该区域内可微，则称该函数为全纯函数。
全纯函数的性质
全纯函数具有零点孤立性、增长性、最大值最小值定理等性质。
共轭函数与解析函数的判别
共轭函数
如果一个复数函数的共轭复数也满足解析函 数的条件，则称该函数为共轭函数。
复数的性质
复数具有加法、减法、乘法和除法等 运算性质，满足交换律、结合律和分 配律等基本运算规则。
复数的几何意 义
1 2
3
复平面
复数可以用几何图形表示，通常在直角坐标系中，实部表示 为横轴，虚部表示为纵轴，形成一个二维平面称为复平面。
点的表示
每个复数$z=a+bi$在复平面上对应一个点$(a,b)$。
连续性的性质
连续性具有传递性、局部性等性质，并且满足中值定理。
一致连续与一致收敛
一致连续是指函数在整个定义域上具有连续性，而一致收敛则是 指函数序列在无穷远点处的极限存在。
一致连续与一致收敛
01
一致连续的定义
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正数$delta$，使得当两
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.解析函数在无穷远点的性质
定义： 如果函数 f (z)在无穷远点 z= 的去心邻域
R<|z|<内解析, 称点为 f (z)的孤立奇点.
1 作变换 w 把扩充z平面上的去心邻域 R<|z|<+ z 1 0 | w | . 映射成扩充w平面上原点的去心邻域： R
又 f ( z ) f ( 1 ) j ( w) .这样, 我们可把在去心邻域R<|z|<+
且可设：f ( z ) cn z n(0 | z | ) (5.14)于是有
n 0
定理5.10 若 f ( z ) 为一整函数，则 (1) z 为的可去奇点的充要条件是f ( z )为常数； (2) z 为 f ( z )的 m 级极点的充要条件是f ( z ) 是一 个m次多项式. (3) z 为的本性奇点的充要条件是(5.14)有无穷 多个 cn不等于零.(这样的整函数称为超越整函数)
tan
1 z k 1 k 2
k 0,1,2,为本性奇点
z 0为非孤立奇点；
§4.整函数与亚纯函数的概念
4.1 整函数
4.2 亚纯函数
4.1 整函数
定义：在整个复平面上解析的函数称为整函数。
设f ( z)为一整函数，则 f ( z)只以z 为孤立奇点，
(证略)
定义 5.7 非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯 函数。 亚纯函数可以表示成两个整函数的商,也可以 表示成部分分式(有理函数式)。
无穷大来决定.
2 3 . f ( z ) ( z 2)( z 1). z 为唯一奇点：阶极点 例题1
z 1 z
1 z
例题2 f ( z ) e
. z 0与均为本性奇点 .
f ( z ) 1 为f ( z )的可去奇点 . . lim z
例题3 f cos z 都是超越整函数.
2.亚纯函数
定义5.6 在复平面上除极点外无其他类型奇点的单值 解析函数称为亚纯函数.(也可以没有奇点) 亚纯函数族 是较整函数族更一般的函数族。最简单的有极点的亚 纯函数是有理(分式)函数，也就是两个多项式之商. 定理5.11函数 f ( z )为有理函数 f ( z )在扩充复平面 上除极点(和可去奇点)外没有其它类型的奇点。
1 对f (z)的研究变为在0 | w | 内对j (w)的研究.显然j (w) R 1 在 0 | w | 内解析, 所以w=0是孤立奇点. R
w
lim f z limj w f (z)在无穷远点 z= 的奇点类型
z w0
等价于j (w)在w=0的奇点类型。故:
z 为f ( z )的奇点类型完全可以 w 0为j（w） 的奇点类型来定义 .见P204定义5.5
几个等价定理：P205-206
定理5.3 定理5.4 定理5.5 定理5.6
注：z=是f (z)的可去奇点, 极点或本性奇点, 完全看极限
lim f ( z ) 是否存在(有限值), 为无穷大或即不存在又不是 z
定义： 如果函数 f (z)在无穷远点 z= 的去心邻域
R<|z|<内解析, 称点为 f (z)的孤立奇点.
1 作变换 w 把扩充z平面上的去心邻域 R<|z|<+ z 1 0 | w | . 映射成扩充w平面上原点的去心邻域： R
又 f ( z ) f ( 1 ) j ( w) .这样, 我们可把在去心邻域R<|z|<+
且可设：f ( z ) cn z n(0 | z | ) (5.14)于是有
n 0
定理5.10 若 f ( z ) 为一整函数，则 (1) z 为的可去奇点的充要条件是f ( z )为常数； (2) z 为 f ( z )的 m 级极点的充要条件是f ( z ) 是一 个m次多项式. (3) z 为的本性奇点的充要条件是(5.14)有无穷 多个 cn不等于零.(这样的整函数称为超越整函数)
tan
1 z k 1 k 2
k 0,1,2,为本性奇点
z 0为非孤立奇点；
§4.整函数与亚纯函数的概念
4.1 整函数
4.2 亚纯函数
4.1 整函数
定义：在整个复平面上解析的函数称为整函数。
设f ( z)为一整函数，则 f ( z)只以z 为孤立奇点，
(证略)
定义 5.7 非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯 函数。 亚纯函数可以表示成两个整函数的商,也可以 表示成部分分式(有理函数式)。
无穷大来决定.
2 3 . f ( z ) ( z 2)( z 1). z 为唯一奇点：阶极点 例题1
z 1 z
1 z
例题2 f ( z ) e
. z 0与均为本性奇点 .
f ( z ) 1 为f ( z )的可去奇点 . . lim z
例题3 f cos z 都是超越整函数.
2.亚纯函数
定义5.6 在复平面上除极点外无其他类型奇点的单值 解析函数称为亚纯函数.(也可以没有奇点) 亚纯函数族 是较整函数族更一般的函数族。最简单的有极点的亚 纯函数是有理(分式)函数，也就是两个多项式之商. 定理5.11函数 f ( z )为有理函数 f ( z )在扩充复平面 上除极点(和可去奇点)外没有其它类型的奇点。
1 对f (z)的研究变为在0 | w | 内对j (w)的研究.显然j (w) R 1 在 0 | w | 内解析, 所以w=0是孤立奇点. R
w
lim f z limj w f (z)在无穷远点 z= 的奇点类型
z w0
等价于j (w)在w=0的奇点类型。故:
z 为f ( z )的奇点类型完全可以 w 0为j（w） 的奇点类型来定义 .见P204定义5.5
几个等价定理：P205-206
定理5.3 定理5.4 定理5.5 定理5.6
注：z=是f (z)的可去奇点, 极点或本性奇点, 完全看极限
lim f ( z ) 是否存在(有限值), 为无穷大或即不存在又不是 z