函数解析式求法总结及练习题

2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++函 数 解 析 式 的 七 种 求 法

一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．

它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．

解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则

∴⎩⎨

⎧

=+=3

42b ab a ， ∴⎩⎨⎧⎩⎨

⎧=-===3

2

1

2b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ．

二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域． 例2 已知221

)1(x

x x

x f +

=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x

x f ， 21≥+x

x ， 2)(2-=∴x x f )2(≥x ．

三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解

析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表

示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ．

解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ．

x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f

1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ．

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．

例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点．

则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'32

22y y x

x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64

， 点),(y x M '''在)(x g y =上 ，

x x y '+'='∴2．

把⎩⎨⎧-='--='y

y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ．

整理得672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ．

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置

换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．

例5 设,)1(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f ．

解 x x

f x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成x

1，得：x

x f x

f 1)(2)1(=- ②

解① ②联立的方程组，得：x

x x f 323

)(-

-=． 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1

1

)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 解 )

()(),()(x g x g x f x f -=-=

-∴，又1

1

)()(-=

+x x g x f ① ，用x -替换x 得：1

1)()(+-

=-+-x x g x f ，即11

)()(+-=-x x g x f ② ，解① ②联立的方程组，得1

1

)(2

-=

x x f ，x

x x g -=

2

1)(

小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、1()f x

；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组

即得f(x)的解析式。

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对

具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式．

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒

成立，求)(x f ．

解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f ．

再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f ． 例5：已知(0)1,()()(21),f f a b f a b a b =-=--+求()f x 。

解析：令0,a =则2()(0)(1)1f b f b b b b -=--=-+ 令b x -= 则

2()1f x x x =++

小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问

题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系

式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式．

例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的N b a , 都有

ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f

解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，∴不妨令1,==b x a ，得：

x x f f x f -+=+)1()1()(，