【公开课教案】“隐形圆”的探析

“圆”形毕露（二）

考纲要求：

江苏省高考考试说明中圆的方程是C 级考点,近几年在各地模考和高考中出现频率较高,在题设中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中的,要通过分析、转化,发现圆(或圆的方程),从而最终利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐形圆”问题．

考点解读：

在平面上给定相异两点B A ,,设点P 在同一平面上且满足λ=⋅(或22PB PA +是定值),则点P 的轨迹是个圆.

小题热身

(1)平面内到原点距离为1的点的轨迹方程为 .

(2)从圆1:22=+y x O 外一点P 向圆引两条切线,切点分别是A 、B ,使得∠APB ＝60°,则点P 的轨迹方程为 .

(3)已知两点)0,2(),0,2(B A ,若存在点P ,使得∠APB =90°,则点P 的轨迹方程为 .

(4)已知两点),0,2(),0,2(B A -若存在点P ,使得

20AP BP λ+=,则点P 的轨迹方程为 .

(5)已知两点),0,2(),0,2(B A -若存在点P ,使得1022=+PB PA ,则点P 的轨迹方程为 .

题型一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆

例 1(1)如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a 的取值范围是 ．05

6<

（2）(2016南京二模)已知圆1:22=+y x O ,圆()()14:22=+-+-a y a x M ．若圆M 上存在点P ,过点P 作圆O 的两条切线,切点为A ,B ,使得∠APB ＝60°,则a 的取值范围为 ．

题型二 动点P 对两定点B A ,张角是90°(1PA PB k k =-,或

0PA PB =)确定隐形圆

例 2 已知圆()()143:22=-+-y x C 和两点()0),0,(),0,(>-m m B m A ,若圆上存在点P ,

使得∠APB =90°,则m 的取值范围是 ．

题型三 两定点B A ,,动点P 满足λ=⋅PB PA 确定隐形圆

例 3 (2017南通密卷3)已知点)3,2(A ,点)3,6(B 点P 在直线 3430x y -+=上,

若满足等式 20AP BP λ+=的点P 有两个,则实数λ的取值范围是 ．

题型四 两定点B A ,,动点P 满足22PB PA +是定值确定隐形圆

例 4 (1)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1,点)2,0(A ,若圆C 上存在点P ,满足1022=+PO PA ,则实数a 的取值范围是 ．

(2)(2017.12南京十校联考12)已知,A B 为直线l ：y x =-上两动点,且4AB =，圆C ：226620x y x y +--+=,圆C 上存在点P ,使2210PA PB +=,则线段AB 中点

M ]214,214-

提升练习

(1)(2017苏北四市一模)已知B A ,是圆1:221=+y x C 上的动点, AB P 是圆()()143:222=-+-y x C 上的动点,则 PA PB +的取值范围是 ．

(2)(2017南通市一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知C B ,为圆22

4x y +=上两点,点 A(1,1) ,且AC AB ⊥,则线BC 段的长的取值范围为 ．

一．阿波罗尼斯圆

1. 在直角坐标系中，()30，

A ，直线42;-=x y l ，圆C 的半径为1，圆心C 在l 上 圆心C 也在直线1-=x y 上，过A 点作作圆C 的切线，求切线的方程

（1）圆心C 也在直线1-=x y 上，过A 点作圆C 的切线，求切线的方程。

（1）若圆C 上存在点M ，使得MA=2MO ，求圆C 的横坐标的取值范围。

2. ABC ∆中，AB=2,BC AC 2=,则ABC ∆面积的最大值是________________

二．动点P 满足M BP AP =+22,则动点P 的轨迹是以AB 为中点O 为圆心，半径为r

（其中()M AO r =+222)

1.在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()()1222=+-+-a y a x ，点A （0，2），若

圆C 上存在点M ，满足：

1022=+MO MA ,则实数a 的取值范围是______________ 2.在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()()2,1,1,0-A 0,422B x y x =-+

(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M,N 两点，且MN=AB ，求l 的方程。

(2)在圆C 上存在点P 使得1222=+PB PA ？若存在，求P 点的个数；若不存在，说明理由。

三．若ABCD 为矩形,则2222PD PB PC PA +=+

1. 圆O ：1622=+y x ，点()2,1P ,N M ,是圆O 上的不同的两点，且满足：

0=∙PM ,若+=,的最小值为_______________

2. 向量,,12===，且()()＝０－∙的取值范围是_____

四．双重身份

1. 在ABC ∆中，点D 在边BC 上，且BD=2DC ，1,900==∠AD BAC ,CD 的取值范围是-_____

五．若m =∙,（A,B 为定点），且0412>+AB m ,则点P 的轨迹是以AB 为中点为圆心，241AB m r +=的圆上。其推导：

1.已知,,是同一平面内的三个向量，其中,是相互垂直的单位向量，且())

1=-∙-的最大值是____________