线性规划理论在实际问题中的应用

线性规划理论在实际问

题中的应用

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线性规划理论在实际问题中的应用

内容摘要：

企业是一个复杂的系统，要研究它必须将其抽象出来形成模型。如果将系统内部因素的相互关系和它们活动的规律用数学的形式描述出来，就称之为数学模型。线性规划是运用数学模型，对人力、设备、材料、资金等进行系统和定量的分析，使生产力得到最为合理的组织，以获得最佳的经济效益。应用线性规划问题解决实际问题，最重要的一个步骤就是首先要建立实际问题的线性规划问题的数学模型。

一、线性规划问题及其数学模型

二、线性规划模型的具体分析及应用Excel求解线性规划问题

三、线性规划的局限性

一、线性规划问题及其数学模型

（一）线性规划的模型决定于它的定义，线性规划的定义是：求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解。根据这个定义，就可以确定线性规划模型的基本结构。

（1）变量变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如X l，X2，X3，X mn等。

（2）目标函数将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值，如产值极大值、利润极大值或者极小值，如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。

（3）约束条件约束条件是指实现系统目标的限制因素。它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件。约束条件的数学表示形式为三种，即≥、＝、≤。线性规划的变量应为正值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负。

（二）在经济管理中，线性规划使用较多的是下述几个方面的问题：

(1) 投资问题—确定有限投资额的最优分配，使得收益最大或者见效快。

(2) 计划安排问题—确定生产的品种和数量，使得产值或利润最大，如资源配制问题。

(3) 任务分配问题—分配不同的工作给各个对象(劳动力或机床)，使产量最多、效率最高，如生产安排问题。

(4) 下料问题—如何下料，使得边角料损失最小。

(5) 运输问题—在物资调运过程中，确定最经济的调运方案。

(6) 库存问题—如何确定最佳库存量，做到即保证生产又节约资金等等。

（三）应用线性规划建立数学模型的三步骤：

(1) 明确问题，确定问题，列出约束条件。

(2) 收集资料，建立模型。

(3) 模型求解(最优解)，进行优化后分析。

其中，最困难的是建立模型，而建立模型的关键是明确问题、确定目标，在建立模型过程中花时间、花精力最大的是收集资料。

（四）线性规划的数学模型的一般形式为：

目标函数 max(min) z=c1 X l +c2 X2+…+cn Xn

满足约束条件：

a11 X l +a12 X2,+…+a1n Xn≤ (＝，≥) b1

a21 X l +a22 X2,+…+a2n Xn ≤ (＝，≥) b2

…………. ……………………….

am1 X l +am2 X2+…+amn Xn ≤ (＝，≥) bm

X l，X2，…，Xn ≥0

线性规划模型的矩阵形式：

目标函数 max(min) Z = CX

约束条件 AX ≤ (＝,≥) b

其中，C=(c1， c2，…，cn) , X=( X l，X2，…Xn)T

b=(b1，b2，… bm)T

a11，a12， (1)

A= a21，a22， (2)

… …… …

am1，am2，…amn

二、线性规划模型的具体分析及应用Excel求解线性规划问题

我们来看生产计划问题：

生产计划是控制生产装置运行的命令，要利用有限的资源获得最大的经济效益，就必须制定最佳生产计划。随着公司生产装置的不断增多，生产计划的制定变得越来越复杂。采用现代管理技术，建立数学模型，利用电子计算机求解，很容易得出最优生产计划。

下面举一案例说明（本案例出自《运筹学》，林齐宁，北京邮电大学出版社，2003年，P7）

某工厂计划用现有的铜、铅两种资源生产A、B两种型号的电缆。A、B两种型号的电缆单位售价分别为6万元和4万元。市场对A型电缆的需要量无限制，而对B电缆的最大需求量为7单位。生产单位产品A、B两种型号电缆对铜、铅的消耗量及可利用的铜、铅数量如下表所示：

表1：基本信息表

工厂应该如何让安排生产，才能使工厂总收入最大

解答过程如下：

(1)决策变量

设x1，x2分别代表A、B两种型号电缆的生产量，f(x)为工厂总收入。

(2) 目标函数

本问题的目标是工厂收益最大值

Maxf(x)=6 X l+4X2

(3)约束条件：

则上述问题可以用如下数学模型（线性规划模型）来表示：

Obj：Maxf(x)=6 X l+4X2

2 X l+X2≤10 铜资源约束

铅资源约束

X2≤7产量数量约束

X l，X2≥0 产量质量约束

★用Excel辅助计算求解。

首先，根据问题建立电子表格模型具体步骤如下：

1.收集问题的数据。

2.在电子表格的数据单元格中输入数据。

3.确定对活动水平需要作出的决策并且指定可变单元显示这些决策。

4.确定对这些决策的约束条件并引入需具体化这些约束条件的输出单元格。

5.选择要输入目标单元格的完全绩效测度。

6.使用SUMPRODUCT函数为每个输出单元格（包括目标单元格）输入合适的值。然后，建立了起电子表格模型：

再进行规划求解：