数学建模-回归分析-多元回归分析
数学建模方法模型
数学建模方法模型一、统计学方法1 多元回归1、方法概述:在研究变量之间的相互影响关系模型时候用到。
具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。
2、分类分为两类:多元线性回归和非线性线性回归;其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如:y=lnx可以转化为y=u u=lnx来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。
3、注意事项在做回归的时候，一定要注意两件事:(1)回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决)(2)回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决)检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。
4、使用步骤:(1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2)选取适当的回归方程;(3)拟合回归参数;(4)回归方程显著性检验及回归系数显著性检验(5)进行后继研究(如:预测等)2 聚类分析1、方法概述该方法说的通俗一点就是，将n个样本，通过适当的方法(选取方法很多，大家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述)选取m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离Xij，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法(一个样本归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心距离最近)来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas软件或者spss软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。
这种模型的的特点是直观，容易理解。
2、分类聚类有两种类型:(1)Q型聚类:即对样本聚类；(2)R型聚类:即对变量聚类；通常聚类中衡量标准的选取有两种:(1)相似系数法(2)距离法聚类方法:(1)最短距离法(2)最长距离法(3)中间距离法(4)重心法(5)类平均法(6)可变类平均法(8) 利差平均和法在具体做题中，适当选区方法;3、注意事项在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易，这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理。
数学建模——线性回归分析实用精品教案
数学建模——线性回归分析实用精品教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模》第四章“数据的拟合与回归”第二节“线性回归分析”。
详细内容包括：线性回归模型的建立，最小二乘法求解线性回归方程，线性回归方程的显著性检验，以及利用线性回归方程进行预测。
二、教学目标1. 理解线性回归分析的基本概念，掌握线性回归方程的建立方法。
2. 学会运用最小二乘法求解线性回归方程，并能解释线性回归方程的参数意义。
3. 能够对线性回归方程进行显著性检验，利用线性回归方程进行预测。
三、教学难点与重点教学难点：最小二乘法的推导和应用，线性回归方程的显著性检验。
教学重点：线性回归模型的建立，线性回归方程的求解及其应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件，黑板，粉笔。
学具：计算器，草稿纸，直尺，铅笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示一组关于身高和体重的数据，引导学生思考身高和体重之间的关系。
2. 例题讲解：（1）建立线性回归模型，引导学生根据散点图判断变量间的线性关系。
（2）利用最小二乘法求解线性回归方程，解释方程参数的意义。
（3）对线性回归方程进行显著性检验，判断方程的有效性。
3. 随堂练习：（1）给出另一组数据，让学生尝试建立线性回归模型并求解。
（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程进行预测。
六、板书设计1. 线性回归模型2. 最小二乘法3. 线性回归方程的显著性检验4. 线性回归方程的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的数据，建立线性回归模型，求解线性回归方程。
（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程预测某学生的体重。
2. 答案：（1）线性回归方程为：y = 0.8x + 50（2）显著性检验：F = 40.23，P < 0.01，说明线性回归方程具有显著性。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对线性回归分析的理解和应用能力得到了提升，但仍有个别学生对最小二乘法的推导和应用感到困难，需要在课后加强辅导。
数学建模方法分类
数学建模方法分类数据分析法：通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型1、回归分析法：用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
2、时序分析法：处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
3、回归分析法：用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
4、时序分析法：处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
2数学建模方法一层次分析法比较合适于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。
其用法是构造推断矩阵，求出其最大特征值。
及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标关于上一层次某相关指标的相对重要性权值。
层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解推断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。
3数学建模方法二回归分析：对具有相关关系的现象，依据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法(一元线性回归、多元线性回归、非线性回归)，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型(经验公式);对回归模型的可信度进行检验;推断每个自变量对因变量的影响是否显著;推断回归模型是否合适这组数据;利用回归模型对进行预报或控制。
相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。
逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉;引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步;关于每一步都要进行值检验，以保证每次引入新的显著性变量前回归方程中只包涵对作用显著的变量;这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。
数学建模之回归分析法
什么就是回归分析回归分析(regression analysis)就是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
运用十分广泛,回归分析按照涉及的自变量的多少,可分为一元回归分析与多元回归分析;按照自变量与因变量之间的关系类型,可分为线性回归分析与非线性回归分析。
如果在回归分析中,只包括一个自变量与一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量与自变量之间就是线性关系,则称为多元线性回归分析。
回归分析之一多元线性回归模型案例解析多元线性回归,主要就是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系,跟一元回归原理差不多,区别在于影响因素(自变量)更多些而已,例如:一元线性回归方程为:毫无疑问,多元线性回归方程应该为:上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止,代表有P个自变量,如果有“N组样本,那么这个多元线性回归,将会组成一个矩阵,如下图所示:那么,多元线性回归方程矩阵形式为:其中:代表随机误差, 其中随机误差分为:可解释的误差与不可解释的误差,随机误差必须满足以下四个条件,多元线性方程才有意义(一元线性方程也一样)1:服成正太分布,即指:随机误差必须就是服成正太分别的随机变量。
2:无偏性假设,即指:期望值为03:同共方差性假设,即指,所有的随机误差变量方差都相等4:独立性假设,即指:所有的随机误差变量都相互独立,可以用协方差解释。
今天跟大家一起讨论一下,SPSS---多元线性回归的具体操作过程,下面以教程教程数据为例,分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。
通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系,建立拟合多元线性回归模型。
数据如下图所示:(数据可以先用excel建立再通过spss打开)点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面:将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内, 将“车长,车宽,耗油率,车净重等10个自变量拖入自变量框内,如上图所示,在“方法”旁边,选择“逐步”,当然,您也可以选择其它的方式,如果您选择“进入”默认的方式,在分析结果中,将会得到如下图所示的结果:(所有的自变量,都会强行进入)如果您选择“逐步”这个方法,将会得到如下图所示的结果:(将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选,最先进入回归方程的“自变量”应该就是跟“因变量”关系最为密切,贡献最大的,如下图可以瞧出,车的价格与车轴跟因变量关系最为密切,符合判断条件的概率值必须小于0、05,当概率值大于等于0、1时将会被剔除)“选择变量(E)" 框内,我并没有输入数据,如果您需要对某个“自变量”进行条件筛选,可以将那个自变量,移入“选择变量框”内,有一个前提就就是:该变量从未在另一个目标列表中出现！,再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可,如下图所示:点击“统计量”弹出如下所示的框,如下所示:在“回归系数”下面勾选“估计,在右侧勾选”模型拟合度“与”共线性诊断“两个选项,再勾选“个案诊断”再点击“离群值”一般默认值为“3”,(设定异常值的依据,只有当残差超过3倍标准差的观测才会被当做异常值) 点击继续。
数学建模-回归分析
一、变量之间的两种关系 1、函数关系：y = f (x) 。
2、相关关系：X ，Y 之间有联系，但由 其中一个不能唯一的确定另一个的值。 如： 年龄 X ，血压 Y ； 单位成本 X ，产量 Y ； 高考成绩 X ，大学成绩 Y ； 身高 X ，体重 Y 等等。
二、研究相关关系的内容有
1、相关分析——相关方向及程度（第九章）。 增大而增大——正相关； 增大而减小——负相关。 2、回归分析——模拟相关变量之间的内在 联系，建立相关变量间的近似表达式 （经验 公式）（第八章）。 相关程度强，经验公式的有效性就强， 反之就弱。
三、一般曲线性模型 1、一般一元曲线模型
y = f ( x) + ε
对于此类模型的转换，可用泰勒展开 公式，把 在零点展开，再做简单的变 f ( x) 换可以得到多元线性回归模型。 2、一般多元曲线模型
y = f ( x1 , x2源自,⋯ , xm ) + ε
对于此类模型也要尽量转化为线性模 型，具体可参考其他统计软件书，这里不 做介绍。
ˆ ˆ ˆ ˆ y = b0 + b1 x1 + ⋯ + bm x m
2、利用平方和分解得到 ST , S回 , S剩。 3、计算模型拟合度 S ，R ，R 。 （1）标准误差（或标准残差）
S =
S剩 ( n − m − 1)
当 S 越大，拟合越差，反之，S 越小， 拟合越好。 （2）复相关函数
R =
2
仍是 R 越大拟合越好。 注： a、修正的原因：R 的大小与变量的个数以及样本 个数有关； 比 R 要常用。 R b、S 和 R 是对拟合程度进行评价，但S与 R 的分 布没有给出，故不能用于检验。 用处：在多种回归模型（线性，非线性）时， 用来比较那种最好；如：通过回归方程显著性检验 得到：
数学建模回归分析matlab版
案例一：股票价格预测
总结词
基于历史销售数据，建立回归模型预测未来销售量。
详细描述
收集公司或产品的历史销售数据，包括销售额、销售量、客户数量等，利用Matlab进行多元线性回归分析，建立销售量与时间、促销活动、市场环境等因素之间的回归模型，并利用模型预测未来销售量。
案例二：销售预测
基于历史人口数据，建立回归模型预测未来人口增长趋势。
非线性模型的评估和检验
非线性回归模型是指因变量和自变量之间的关系不是线性的，需要通过非线性函数来拟合数据。
非线性回归模型
Matlab提供了非线性最小二乘法算法，可以用于估计非线性回归模型的参数。
非线性最小二乘法
03
CHAPTER
线性回归分析
一元线性回归分析是用来研究一个因变量和一个自变量之间的线性关系的统计方法。
回归分析在许多领域都有广泛的应用，如经济学、生物学、医学、工程学等。
它可以帮助我们理解变量之间的关系，预测未来的趋势，优化决策，以及评估模型的性能和可靠性。
回归分析的重要性
模型评估指标
用于评估模型性能的统计量，如均方误差（MSE）、均方根误差（RMSE）等。
误差项
实际观测值与模型预测值之间的差异，通常用 ε 表示。
总结词
对数回归模型的一般形式为 (y = a + blnx) 或 (y = a + bln(x))，其中 (y) 是因变量，(x) 是自变量，(a) 和 (b) 是待估计的参数。在Matlab中，可以使用 `log` 函数进行对数转换，并使用 `fitlm` 或 `fitnlm` 函数进行线性化处理，然后进行线性回归分析。
详细描述
多项式回归模型是一种非线性回归模型，适用于因变量和自变量之间存在多项式关系的情况。
数学建模方法详解三种最常用算法
数学建模方法详解三种最常用算法在数学建模中，常使用的三种最常用算法是回归分析法、最优化算法和机器学习算法。
这三种算法在预测、优化和模式识别等问题上有着广泛的应用。
下面将对这三种算法进行详细介绍。
1.回归分析法回归分析是一种用来建立因果关系的统计方法，它通过分析自变量和因变量之间的关系来预测未知的因变量。
回归分析可以通过构建一个数学模型来描述变量之间的关系，并利用已知的自变量值来预测未知的因变量值。
常用的回归分析方法有线性回归、非线性回归和多元回归等。
在回归分析中，我们需要首先收集自变量和因变量的样本数据，并通过数学统计方法来拟合一个最优的回归函数。
然后利用这个回归函数来预测未知的因变量值或者对已知数据进行拟合分析。
回归分析在实际问题中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用回归分析来预测商品销售量、股票价格等。
此外，回归分析还可以用于风险评估、财务分析和市场调研等。
2.最优化算法最优化算法是一种用来寻找函数极值或最优解的方法。
最优化算法可以用来解决各种优化问题，例如线性规划、非线性规划和整数规划等。
最优化算法通常分为无约束优化和有约束优化两种。
无约束优化是指在目标函数没有约束条件的情况下寻找函数的最优解。
常用的无约束优化算法有梯度下降法、共轭梯度法和牛顿法等。
这些算法通过迭代计算来逐步优化目标函数，直到找到最优解。
有约束优化是指在目标函数存在约束条件的情况下寻找满足约束条件的最优解。
常用的有约束优化算法有线性规划、非线性规划和混合整数规划等。
这些算法通过引入拉格朗日乘子、KKT条件等来处理约束条件，从而求解最优解。
最优化算法在现实问题中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，可以使用最优化算法来确定最优的生产数量和生产计划。
此外，最优化算法还可以应用于金融风险管理、制造工程和运输物流等领域。
3.机器学习算法机器学习算法是一种通过对数据进行学习和模式识别来进行决策和预测的方法。
机器学习算法可以根据已有的数据集合自动构建一个模型，并利用这个模型来预测未知的数据。
数学建模之回归分析法
28 400
32
225
W8 1
70 3
192 9
14 114
18 225
0
32
225
1069
70 6
192 0
S甌
29 725
0
42 000
35
210
1146
7U
196 6
20.397
22 25?
0
23 990
1.8
150
1026
632
17S.0
18780
23.555
0
33 950
2.8
200
108.7
0
19.390
3.4
1BD
110.6
72.7
197.9
点击“分析”一一回归一一线性一一进入如下图所示的界面:
将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个
自变量 拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以 选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的
毫无疑问， 多元线性回归方程应该为
—/?
上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样 本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示：
代表随机误差， 其中随机误差分为： 可解释的误差 和 不可解释的误差, 随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样）
“选择变量（E）"框内，我并没有输入数据，如果你需要对某个“自变量”进行条件筛选， 可以将那个自变量，移入“选择变量框”内， 有一个前提就是：该变量从未在另一个目标列 表中出现！，再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可，如下图所示：
回归分析(数学建模)
16 17 18 19 20 21
166.88 164.07 164.27 164.57 163.89 166.35
141.4 143.03 142.29 141.44 143.61 139.29
-144.34 -140.97 -142.15 -143.3 -140.25 -144.2
正规方程组
一元线性回归
整理得
n n n 0 xi 1 yi i 1 i 1 n n 2 xi 0 xi 1 i 1 i 1
（ 2）
x
i 1
n
i
yi
一元线性回归
ˆ ˆ 0 y x 1 n x i y i n xy ˆ 1 i 1 n 2 2 xi n x i 1
(x
i 1 n
n
i
x )( y i y )
2
（ 3）
( xi x )
i 1
1一元线性回归一元线性回归模型为其中x是自变量y是因变量为未知的待定常数称为回归系数是随机误差且假设其中相互独立且使其随机误差的平方和达到最小即一元线性回归正规方程组一元线性回归整理得一元线性回归其中参数的最小二乘估计一元线性回归xxxx的无偏估计量
线性回归分析
华北电力大学数理系 雍雪林
一、引言
2004年全国数模竞赛的B题 “电力市场的 输电阻塞管理” 第一个问题： 某电网有8台发电机组，6条主要线路，表 1和表2中的方案0给出了各机组的当前出力和 各线路上对应的有功潮流值，方案1~32给出了 围绕方案0的一些实验数据，试用这些数据确 定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近 似表达式。
数学建模——回归分析
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
由于解释变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为 128.361，所以解析变量的效应为
354-128.361=225.639 这个值称为回归平方和。
解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和） =解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的 线性相关性越强）。
如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值 来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。
总的来说：
相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。
在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。
虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它 所描述的关于X为自变量，Y为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的 回归含义是相同的。
不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一种应用 于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。
回归分析：研究一个随机变量Y对另一个(X)或一组(X1， X2，…，Xk)变量的相依关系的统计分析方法
回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数 间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛， 回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和 多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分 为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只 包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线 近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归 分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之 间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
数学建模回归分析
数学建模回归分析回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法，广泛应用于数学建模领域。
它通过建立数学模型来描述和预测变量之间的关系，并根据实际数据进行参数估计和模型检验。
本文将介绍回归分析的基本概念、主要方法以及在数学建模中的应用。
一、回归分析的基本概念回归分析是一种统计分析方法，通过对自变量和因变量之间的关系建立数学模型，利用统计学方法进行参数估计和推断，从而揭示变量之间的关系。
常见的回归分析方法有简单线性回归、多元线性回归、非线性回归等。
简单线性回归是回归分析中最基础的方法之一，它用于研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
简单线性回归模型可以用以下公式表示：Y=β0+β1X+ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1是回归系数，ε表示随机误差。
回归系数β0和β1的估计值可以通过最小二乘法进行求解。
多元线性回归是回归分析中常用的方法，它用于研究多个自变量和一个因变量之间的关系。
多元线性回归模型可以用以下公式表示：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε其中，Y表示因变量，X1、X2、..、Xk表示自变量，β0、β1、β2、..、βk表示回归系数，ε表示随机误差。
回归系数的估计值可以通过最小二乘法进行求解。
非线性回归是回归分析中考虑自变量和因变量之间非线性关系的方法。
非线性回归模型的形式多种多样，常见的有指数函数、对数函数、幂函数等。
通过选择合适的数学模型，可以更准确地描述和预测变量之间的关系。
二、回归分析的主要方法1.最小二乘法最小二乘法是回归分析中常用的估计回归系数的方法。
它的基本思想是通过最小化观测值与模型预测值之间的差异，从而得到最优的回归系数估计值。
最小二乘法可以保证估计值具有最小方差的良好性质。
2.模型的选择和检验在回归分析中，合适的模型选择对结果的准确性至关重要。
常用的模型选择方法有前向选择法、后向选择法、逐步回归法等。
此外，还需要对建立的回归模型进行检验，常用的检验方法有参数估计的显著性检验、回归模型的整体拟合优度检验等。
数学建模-回归分析例题
目录
引言 线性回归模型 非线性回归模型 多元回归模型 回归分析在实践中的应用
01
CHAPTER
引言
01
02
主题背景
在许多领域，如经济学、生物学、医学和社会学等，都需要用到回归分析来探索变量之间的因果关系或预测未来的发展趋势。
回归分析是数学建模中常用的统计方法，用于研究变量之间的关系。
残差分析
R方值
AIC和BIC值
预测能力
多元回归模型的评估
01
02
03
04
分析残差与拟合值之间的关系，检验模型的假设条件。
计算模型的决定系数，评估模型对数据的拟合程度。
使用信息准则评估模型的复杂度和拟合优度。
使用模型进行预测，评估预测结果的准确性和可靠性。
05
CHAPTER
回归分析在实践中的应用
线性回归模型
它基于最小二乘法原理，通过最小化预测值与实际值之间的平方误差来拟合数据。
线性回归模型适用于因变量与自变量之间存在线性关系的情况，且自变量对因变量的影响是线性的。
线性回归模型是一种预测模型，通过找到最佳拟合直线来描述因变量和自变量之间的关系。
线性回归模型介绍
首先需要明确研究的问题和目标，并确定因变量和自变量。
结果解释
数据分析
THANKS
感谢您的观看。
非线性回归模型
非线性回归模型适用于因变量和自变量之间存在幂函数、对数函数、多项式函数等非线性关系的场景。
适用场景
非线性回归模非线性函数。
数学表达式
非线性回归模型介绍
非线性回归模型的建立
数据准备
收集包含自变量 (x) 和因变量 (y) 的数据集，确保数据具有足够的数量和代表性。
多元回归计算
多元回归计算
多元回归分析是一种常用的统计方法，用于研究多个自变量对一个因变量的影响。
它可以帮助我们理解不同自变量之间的关系，并预测因变量的取值。
在进行多元回归分析时，我们需要收集一组数据，包括自变量和因变量的取值。
假设我们想研究某个城市的房价与多个因素的关系，比如房屋面积、地理位置和建筑年限等。
我们可以收集一些房屋的数据，包括这些因素的取值以及对应的房价。
通过多元回归分析，我们可以建立一个数学模型，将这些自变量和因变量联系起来。
模型的形式可以是线性的，也可以是非线性的。
对于线性多元回归模型，可以使用最小二乘法来估计模型参数。
通过估计模型参数，我们可以了解每个自变量对因变量的影响程度。
例如，如果房屋面积的系数为正，说明房屋面积越大，房价越高；如果地理位置的系数为负，说明地理位置越偏远，房价越低。
除了了解单个自变量的影响，多元回归分析还可以帮助我们研究自变量之间的相互作用。
例如，如果房屋面积和地理位置的交互项的系数为正，说明在某些地理位置，房屋面积对房价的影响更大。
多元回归分析还可以用于预测未来的因变量取值。
通过已有的自变量取值，我们可以利用模型来预测因变量的取值。
这对于房地产行业来说非常有用，可以帮助房地产开发商或投资者做出决策。
多元回归分析是一种强大的工具，可以帮助我们理解和预测多个因素对一个变量的影响。
通过合理地选择自变量和建立适当的模型，我们可以得到有关因变量的重要信息，并做出针对性的决策。
这对于各个领域的研究和实践都有着重要的意义。
数学建模——回归分析模型 ppt课件
有最小值：
n n i 1 i 1
i
2 2 ( y a bx ) i i i
ppt课件
ˆx ˆi a ˆ b y i
6
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型—— a, b, 2估计
n ( xi x )( yi y ) ˆ i 1 b n ( xi x )2 i 1 ˆ ˆ y bx a
数学建模——回归分析模型
Keep focused Follow me —Jiang
ppt课件
1
数学建模——回归分析模型
• • • • • 回归分析概述 几类回归分析模型比较 一元线性回归模型 多元线性回归模型 注意点
ppt课件
2
数学建模——回归分析模型
回归分析 名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。 解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题 等。 几类常用的回归模型：
可决系数（判定系数） R 2 为:
可决系数越靠近1，模型对数据的拟合程度越好。 ppt课件 通常可决 系数大于0.80即判定通过检验。 模型检验还有很多方法，以后会逐步接触
15
2 e ESS RSS i R2 1 1 TSS TSS (Yi Y )2
数学建模——回归分析模型
2 i i 1
残差平 方和
13
数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型—— 估计 j 令上式 Q 对 j 的偏导数为零，得到正规方程组，
用线性代数的方法求解，求得值为：
ˆ ( X T X )1 X TY
ˆ 为矩阵形式，具体如下： 其中 X , Y ,
回归分析
准差
r剩
S剩 （n r 1）
r 为进入回归模型的变量个数。上述公式表示对于任一给定 的自变量(x1, x2, xm)，所对应因变量的实际值 y 以95%的概率落 在区间 ( yˆ 2r剩，yˆ 2r剩)，即预测值 yˆ 与实际值 y之差有95%的概
率，使得 y yˆ 2r剩， 所以r剩 越小其预测精度越高。
此外，在检验得知方程是显著之后，还需检验方程中哪些变量 x1, x2 , xm
是影响 y 的重要变量，哪些是不重要变量，进而剔除不重要的变量，简化
方程，得到优化回归方程，这就是所谓的对每个变量要进行显著性检验 （t检验）
n
总离差平方和 S总 ( yi y)2 ，自由度为 n 1，如果观测值给定，S总 i 1
i 1
化对 y 的波动，其自由度为 m 。
n
记 S剩 ( yi yˆi )2 称为剩余平方和（或残差平方和），它是由实验 i1
误差以及其他因素引起的。它反映了实验误差以及其他因素对实验结果的
影响程度，其自由度为n m1。
于是
S总 S回 S剩
当 S总确定时， S剩 越小， S回 越大，则 S回 就越接近 S总，于是用 S回 是否接
一组回归系数 b1 ,b2 , bm 值。 设 b1 ,b2 , bm 分别为 0, 1, , m 的最小二乘估计值，于是
有
yˆ b0 b1x1 b2x2 bmxm
其中 yˆ 是 y 的一个最小二乘估计。
下用最小二乘法求b1 ,b2 , bm
令
1 x11 x12 x1m
4、回归分析预测法的步骤
（1）．根据预测目标，确定自变量和因变量 明确预测的具体目标，也就确定了因变量。如预测具体
数学建模-多元线性回归分析
数学建模-多元线性回归分析引言多元线性回归是一种常用的数学建模方法，它用于分析多个自变量和一个因变量之间的关系。
通过寻找最佳的拟合直线，我们可以预测因变量的值，同时还可以了解每个自变量对因变量的贡献程度。
在本文档中，我们将介绍多元线性回归的基本原理、模型拟合和模型评估等内容。
基本原理多元线性回归的基本原理建立在最小二乘法的基础上。
我们假设因变量Y和自变量X之间存在线性关系，即：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βn*Xn其中，Y是因变量，X1、X2、…、Xn是自变量，β0、β1、β2、…、βn是回归系数。
我们的目标是求解最佳的回归系数，使得拟合直线与观测数据之间的残差平方和最小。
模型拟合为了拟合多元线性回归模型，我们首先需要收集足够的数据。
然后，我们可以使用各种统计软件或编程语言来进行模型拟合。
这些软件和语言通常提供了专门的函数或库，用于执行多元线性回归分析。
以Python语言为例，我们可以使用statsmodels库中的OLS函数进行多元线性回归拟合。
下面是一个示例代码：import pandas as pdimport statsmodels.api as sm# 读取数据data = pd.read_csv('data.csv')# 构建自变量矩阵X和因变量YX = data[['X1', 'X2', ... , 'Xn']]Y = data['Y']# 添加常数列X = sm.add_constant(X)# 拟合模型model = sm.OLS(Y, X)results = model.fit()# 输出回归结果print(results.summary())在上面的代码中，我们首先读取了数据集，然后构建了自变量矩阵X和因变量Y。
接下来，我们使用sm.add_constant()函数在自变量矩阵X中添加了一个常数列，用于拟合截距项。
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1、 多元线性回归在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为
多元回归。
事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。
在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。
例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。
这样的模型被称为多元线性回归模型。
（multivariable linear regression model ）
多元线性回归模型的一般形式为：
其中k 为解释变量的数目，j β
(j=1,2,…，k)称为回归系数（regression coefficient)。
上式也被称为总体回归函数的随机表达式。
它的非随机表达式为：
j β也被称为偏回归系数（partial regression coefficient)。
2、 多元线性回归计算模型
多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和（Σe)为最小的前提下，用最小二乘法或最大似然估计法求解参数。
设（
11
x ，
12
x ，…，
1p
x ，
1
y ），…，（
1
n x ，
2
n x ，…，
np
x ，
n
y ）是一个样本，
用最大似然估计法估计参数：
达
到最小。
把（4）式化简可得：
引入矩阵：
方程组（5）可以化简得：
可得最大似然估计值：
3、Matlab 多元线性回归的实现
多元线性回归在Matlab 中主要实现方法如下：
（1）b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值
其中
（2）[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)求回归系数的点估计和区间估计、并检
验回归模型
①bint 表示回归系数的区间估计.
②r 表示残差
③rint 表示置信区间
④stats 表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F 值、与F 对应的
概率p
说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著；F>F1-alpha(p,n-p-1) 时拒绝H0，F
越大，说明回归方程越显著；与F 对应的概率p<α 时拒绝H0，回归模型成立。
⑤alpha 表示显著性水平(缺省时为0.05)
（3）rcoplot(r,rint) 画出残差及其置信区间
4.基于以上理论分析，求解回归方程
(1) 经分析，拟定以1月份数据进行分析求解回归方程，一月份数据如下表格。
设12345y PM2.5x x x x x 表示二氧化硫 表示二氧化碳 表示可吸入微粒物 表示一氧化碳 表示臭氧 表示
在Matlab 中输入一下程序：
>> x1=[53 47 57 61 55 56 51 58 64 61 74 62 59 50 54 63 57 56 54 55 54 72 57 58 53 85 72 63 47 44];
x2=[89 83 80 92 104 97 97 123 111 111 115 109 111 110 112 109 89 95 94 87 82 92 97 99 101 120 121 110 102 85];
x3=[76 88 51 81 96 99 121 157 127 159 145 143 131 136 124 159 145 137 111 91 82 116 119 112 106 156 236 149 120 96];
x4=[19 29 31 28 34 30 31 54 47 51 65 59 45 44 44 60 61 48 39 41 53 75 66 50 32 52 73 57 40 40 ];
x5=[30 8 13 8 8 10 28 9 8 24 4 27 38 27 9 5 15 36 26 12 11 8 24 32 43 19 18 30 62 23];
y=[90 143 58 142 175 215 250 309 273 329 299 299 246 261 260 295 282 262 204 179 227 277 242 226 173 266 426 307 230 201]; X=[ones(length(y),1),x1',x2',x3',x4',x5']; Y=y';
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); >> b,bint,stats
运行结果为：
b =
-12.2923
-1.5271
0.8327
1.3775
2.0068
-0.3086
bint =
-106.3464 81.7618
-2.9355 -0.1186
-0.4217 2.0871
0.8554 1.8995
1.0254
2.9882
-1.0032 0.3860
stats =
0.9284 62.2206 0.0000 474.4773
因此可得出，
r2=0.9284,F=62.2206,p=0.0000 则p<0.05,回归模型为：
在Matlab命令中输入
Rcoplot(r,rint)
可得到残差图如下图所示
从残差图中和以上分析可以看出，此回归方程效果良好
(2)按同样步骤对全部数据进行了回归分析，运行后的结果为：
b =
-32.4586
0.1718
0.4463
0.8737
2.2106
-0.3352
bint =
-46.4503 -18.4669
-0.2300 0.5736
0.1428 0.7499
0.6943 1.0531
1.7915
2.6297
-0.4650 -0.2053
stats =
0.8373 238.7281 0 927.5409
同样可得出，
r 2
=0.8373,F=238.7281,p=0.0000 则p<0.05,回归模型为：
12345y 32.45860.17180.44630.8737 2.21060.3352x x x x x =-++++-
在Matlab 命令中输入 Rcoplot(r,rint)
可得到残差图如下图所示
从残差图中和以上理论分析可以看出，此回归方程效果也亦良好。