对数平均不等式 - 学生

对

数平均不等式

1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b

+->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释： 反比例函数()()10f x x x =

>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||

轴， (),0,A a 1,,P a

a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B

b Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫ ⎪+⎝⎭处的切线分别与

,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知， 变形公式： )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b

a b a b a 3.典例剖析

对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．

（一） 0ln ln b a

b a a b a 的应用

例1 （2014年陕西）设函数

)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数． （1）（2）（略）

（3）设+∈N n ，比较()()()12g

g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．

. （二）2202ln ln b b a b a b a 的应用

例2 设数列{}

n a 的通项n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+． （三） 02ln ln a b b a b a b a 的应用

例3. 设数列{}n a 的通项111123

n a n =++++，证明：()ln 21n a n <+． （四） 2011ln ln b a b a b a a b 的应用

例 4. （2010年湖北）已知函数0b

f x ax c a x 的图象在点1,1f 处的切线方程为1y x ．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略）

（3）证明：1111ln 11.2321n n n n n （五） 0ln ln b a ab b a b a 的应用

例5. （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =++

+-+． （1）（略）

（2）求证：

()222223411ln 21411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立． 强化训练

1. （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．

（1）（2）（略）（3）证明：

()()12ln 212*.21n i n n N i =-+<∈-∑ 2.（2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x x

λ+=+-+． （1）若0x ≥时, ()0,f x ≤求λ的最小值；

（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明：21ln 24n n a a n -+>．