《微积分》课后答案第4章(复旦大学版)

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又由题意知 f ( x) 在 1 , 2 上满足罗尓定理的条件,从而至少存在一点 (1 , 2 ) (a, b) ,
使得 f ( ) 0 . 即在 (a, b) 内至少存在一点 ,使 f ( ) 0 .
f ( x) f (1) 1 x
f(1) xBaidu Nhomakorabeaim1
x 1
lim
x1
x
1
1,
f ( x) f (1) 1 x
f(1) lim x1
x 1
lim x1 x
1
1
f(1) f(1) f ( x) 在 x 1 处不可导,从而 f ( x) 在 (0, 2) 内不可导.
又
f (0) f (2) 1
ππ5π
sinx
2
满足罗尓定理的条件.
66
2(1.)下f(x)列ex函2 1数, 在指1,1定; 区间上是(2否)f(x满) 足x 罗1, 尔定0,2理; 的三个条件?有没有满
sin,0 (3)f(x)
0,
1,0
x2
即 f( 1) f(1)
f(x)在 1,1 上满足罗尓定理的三个条件.
令
f (x) 2xe2x 0得 x 0,
10
3
3
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3 (0,1) ,使得 f ( ) f (1) f (0)成立.
3
10
3
5. 已知函数 f (x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且 f(a)=f(b)=0,试证：在(a,b)内至少存在 一点 ξ，使得
证 : 显 然 f ( x) 分 别 在 a, c 和 c, b 上 满 足 罗 尓 定 理 的 条 件 , 从 而 至 少 存 在
1 (a, c) , 2 (c, b) ,使得 f (1 ) f (2 ) 0 .
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π5π
习题4-1 ]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的 ，使f′(ξ)=0.
1.验证函数f(x)=lnsinx在[,
66 解:显然f(x) lnsinx在
6,6,上连续,在 66内可导,且f(66))ln2f(,
令f (x) cosx cot0,则 π
即存在 0 ( 1,1),使f ( ) 0.
1 x0 x 1 x 11 x 2
1
显然f(x)在(0,1),(1,2)内连续,又
f(1 0) limf(x) lim(1 x) 0,
x 1x 1 所以f(x)在x 1处连续,而且
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实根,故 f ( x) 0 有两个实根,分别在区间 (1, 2 ) 和 ( 2,3) 内.
3
解: 显然 f ( x) x3 2 x 在［0，1］上连续,在 ( 0,1) 内可导,满足拉格朗日中值定理的条
件.
若 令 f ( x) 3x 2 2 f (1) f (0) 3 则 x 3 , 取 3 , 即存在
又由
1 f ( x)
0x1
知
f ( x) 0
1 1x2
综上所述,函数 f ( x) 满足罗尓定理的条件(1),(3)不满足条件(2),没有满足定理结论的 .
x0
f ( x) 在 0,π 上不连续,
显 然 f ( x) 在 ( 0, π )上 可 导 , 又 f (0) 1, f (π) 0 , 即 f (0) f (π) , 且
出它们所在的区间.
解: 显然 f ( x) 在 1, 2 上连续, 在 (1, 2 ) 内可导, 且 f (1) f (2) 0 , 由罗尓定理知, 在
(1, 2 ) 内至少存在一点 1 ,使 f (1 ) 0 ,即 f ( x) 0 在 (1, 2 ) 内至少有一个实根.
同理 f ( x) 0 在 ( 2,3) 内也至少有一个实根 2 .又 f ( x) 0 是二次方程,最多有两个
f ( x) cos x x (0, π) ,取 π (0, π) ,有 f ( ) cos coπs 0 .
2
2
综上所述, 函数 f ( x) 满足罗尓定理的条件(2), 不满足条件(1),(3), 有满足定理结论的
π 2
3. 不用求出函数 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数，说明方程 f ( x) 0 有几个实根，并指
f (ξ)+f ′(ξ) = 0，ξ∈(a,b).
x
x
x
x
a
b
由罗尓定理至少存在一点 (a, b) 使 F ( ) 0 .
即
e f ( ) e f ( ) 0 而 e 0
故
f ( ) f ( ) 0
即在 ( a, b ) 内至少存在一点 ,使得 f ( ) f ( ) 0 .
6.若方程 a0 xn a1 xn 1 an 1 x 0 有一个正根 x0,证明方程 a0 nxn 1 a1 (n 1) xn 2 an 1 0
a0 n n 1 a1 (n 1) n2 … an 1 0
成立,这就说明 是方程 a0 nxn 1 a1 (n 1) xn 2 an 1 0 的一个小于 x0 的正根.
7. 设 f(a) = f(c) = f(b),且 a＜c＜b, f ″(x)在［a,b］上存在，证明在(a,b)内至少存在一点 ξ，使 f ″(ξ) = 0.
必有一个小于 x0 的正根.
证: 令 f ( x) a0 x n a1 xn1 … an 1 x , 显然 f ( x) 在 0, x0 连续, 在 ( 0, x0 ) 内可导, 且
f (0) 0 ,依题意知 f ( x0 ) 0 .即有 f (0) f ( x0 ) .由罗尓定理,至少存在一点 (0, x0 ) ,使 得 f ( ) 0 成立,即
1.利用洛必达法则求下列极限：