【区级联考】北京市门头沟区2019届高三3月综合练习数学试题（理）

【区级联考】北京市门头沟区2019届高三3月综合

练习数学试题（理）

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 已知集合，，则等于A．B．C．D．

2. 复数z满足，那么是

A．B．C．2 D．

3. 一个体积为正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为

A．B．8 C．D．12

4. 如图所示的程序框图，如果输入三个实数，，，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）

A．B．C．D．

5. 已知向量，满足，且其夹角为，则“”是

“”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是

A．B．

C．D．

7. 某学需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要

选派1人则不同的选派方法的种数是

A．18 B．24 C．36 D．42

8. 若函数图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对称为函数

的“友好点对”且点对与可看作同一个“友好点对”若函数

其中e为自然对数的底数，恰好有两个

“友好点对”则实数m的取值范围为

A．B．C．D．

二、填空题

9. 已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为_____．

10. 双曲线的渐近线方程是________.

11. 等比数列中，，则数列的通项公式______．

12. 已知直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

，若直线l与曲线C相交于两点A，B，则______．

13. 已知x，，求的最值．

甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：

甲：

乙：

你认为甲、乙两人解法正确的是______．

请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．

三、双空题

14. 一半径为的水轮,水轮圆心距离水面2,已知水轮每分钟转动(按逆

时针方向)3圈,当水轮上点从水中浮现时开始计时,即从图中点开始计算时间.

(1)当秒时点离水面的高度_________；

(2)将点距离水面的高度(单位: )表示为时间(单位: )的函数，则此函数表达式为_______________ .

四、解答题

15. 在中，角所对的边分别是已知．（1）求的大小；

（2）若的面积为，求的周长．

16. 在某区“创文明城区”简称“创城”活动中，教委对本区A，B，C，D

学校 A B C D

抽查人数50 15 10 25

“创城”活动中参与

40 10 9 15

的人数

注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的．

Ⅰ若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；

Ⅱ在随机抽查的100名高中学生中，从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；

Ⅲ若将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望．

17. 在四棱锥中，底面ABCD是边长为6的菱形，且，

平面ABCD，，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点．

Ⅰ求证：．

Ⅱ若．

求PC与平面BDF所成角的正弦值；

侧面PAD内是否存在过点E的一条直线，使得该直线上任一点M与C的连线，都满足平面BDF，若存在，求出此直线被直线PA、PD所截线段的长度，若不存在，请明理由．

18. 如图，已知椭圆，分别为其左、右焦点，过

的直线与此椭圆相交于两点，且的周长为8，椭圆的离心率为

．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）在平面直角坐标系中，已知点与点，过的动直线（不与轴平行）与椭圆相交于两点，点是点关于轴的对称点．求

证：

（i）三点共线．

（ii）．

19. 已知在点处的切线与直线平行．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）设．

（i）若函数在上恒成立，求的最大值；

（ii）当时，判断函数有几个零点，并给出证明．

20. 给定数列，若满足且，对于任意的n，，都有

，则称数列为“指数型数列”．

Ⅰ已知数列，的通项公式分别为，，试判断，是不是“指数型数列”；

Ⅱ若数列满足：，，判断数列

是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；

Ⅲ若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列．