【区级联考】北京市门头沟区2019届高三3月综合练习数学试题（理）
2019年北京市门头沟区高考数学一模试卷(理科)-含详细解析
2019年北京市门头沟区高考数学一模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，B={x|y=√x}，则A∩B等于（）A. (−1,3)B. [0,3)C. (−1,0]D. (−1,2]2.复数z满足z=2i，那么|z|是（）1−iA. √2B. 2√2C. 2D. √33.一个体积为12√3正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）A. 6√3B. 8C. 8√3D. 124.如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A. c>xB. x>cC. c>bD. b>c，π]”的5.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|b⃗ |=1，且其夹角为θ，则“|a⃗−b⃗ |＞1”是“θ∈（π3（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是（ ）A.B.C.D.7. 某学需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 428. 若函数f （x ）图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则点对（A ，B ）称为函数f（x ）的“友好点对”且点对（A ，B ）与（B ，A ）可看作同一个“友好点对”．若函数f （x ）={x 2+2ex +m −1，x ≤0x +e 2x ，x ＞0（其中e 为自然对数的底数，e ≈2.718）恰好有两个“友好点对”则实数m 的取值范围为（ ）A. m ≤(e −1)2B. m >(e −1)2C. m <(e −1)2D. m ≥(e −1)2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若x ，y 满足条件{x +y −1≤0x −y +1≥0y ≥0，则z =x +2y 的最大值为______．10. 双曲线C ：2x 2-y 2=1的渐近线方程是______．11. 等比数列{a n }中，S 3=21，2a 2=a 3则数列{a n }的通项公式a n =______．12. 已知直线l 的参数方程为{y =t −1x=t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ-4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，则|AB |=______． 13. 已知x ，y ∈R +，求z =（x +2y ）（2x +4y ）的最值．甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法： 甲：z =（x +2y ）（2x +4y ）=2+4x y +4yx +8≥18 乙：z =（x +2y ）（2x +4y ）≥2√2xy ⋅2√8xy =16①你认为甲、乙两人解法正确的是______．②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确． 14. 一半径为4m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水轮上点P 从水中浮现时开始计时，即从图中点P 0开始计算时间． （Ⅰ）当t =5秒时点P 离水面的高度______；（Ⅱ）将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，则此函数表达式为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，且满足已知（2a-c）cos B=b cos C．（1）求∠B的大小；（l）若△ABC的面积为√3，a+c=6，求△ABC的周长．16.在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表：学校A B C D抽查人数50151025“创城”活动中参与4010915的人数（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的．（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）若将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望．17.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为6的菱形，且∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=6，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥CF．（Ⅱ）若AF=2．（i）求PC与平面BDF所成角的正弦值；（ii）侧面PAD内是否存在过点E的一条直线，使得该直线上任一点M与C的连线，都满足CM∥平而BDF，若存在，求出此直线被直线PA、PD所截线段的长度，若不存在，请明理由．18.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），F1，F2分别为其左、右焦点，过F1的直线与此椭圆相交于D，E两点，且△F2DE的周长为8，椭圆C的离心率为√22．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，1）与点Q（0，2），过P的动直线l（不与x轴平行）与椭圆相交于A，B两点，点B1是点B关于y轴的对称点．（i）Q，A，B1三点共线．（ii）|QA||QB|=|PA| |PB|．19.已知f（x）=axe x在点（0，0）处的切线与直线y=x-2平行．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）-b（x22+x）（i）若函数g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求实数b的最大值；（ii ）当b ≤0时，判断函数g （x ）有几个零点，并给出证明．20. 给定数列{a n }，若满足a 1=a （a ＞0且a ≠1），对于任意的n ，m ∈N *，都有a n +m =a n •a m ，则称数列{a n }为“指数型数列”．（Ⅰ）已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n =5×3n -1，b n =4n ，试判断{a n }，{b n }是不是“指数型数列”；（Ⅱ）若数列{a n }满足：a 1=12，a n =2a n a n +1+3a n +1（n ∈N *），判断数列{1a n+1}是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；（Ⅲ）若数列{a n }是“指数型数列”，且a 1=a+1a+2（a ∈N *），证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，B={x|y=}={x|x≥0}，∴A∩B={x|0≤x＜3}=[0，3）．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z==，∴|z|=．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：设棱柱的高为h，由左视图知，底面正三角形的高是，由正三角形的性质知，其边长是4，故底面三角形的面积是=4由于其体积为，故有h×=，得h=3由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3，其面积为3×=故选：A．此几何体是一个正三棱柱，正视图即内侧面，底面正三角形的高是，由正三角形的性质可以求出其边长，由于本题中体积已知，故可设出棱柱的高，利用体积公式建立起关于高的方程求高，再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可．本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则几何体的直观图的能力以及利用体积公式建立方程求参数的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．4.【答案】A【解析】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，∵条件成立时，保存最大值的变量X=C故选：A．根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量X=C．本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：∵，且其夹角为θ；∴①由得：；∴；又0≤θ≤π；∴；即；∴是的充分条件；②由得：；∴1-2cosθ+1＞1；∴；∴；∴是的必要条件；综上得，“||＞1”是“θ∈（]”的充分必要条件．故选：C．根据条件，由即可得出，进而得出cos，又知0≤θ≤π，从而可得出，这便得出“||＞1”是“θ∈（]”的充分条件；反过来，由即可得出，进而得出，从而得出“||＞1”是“θ∈（]”必要条件，这样即得出“||＞1”是“θ∈（]”的充要条件．考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念及范围，余弦函数的图象，充分条件、必要条件及充要条件的概念．6.【答案】D【解析】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于面对角线，连接另一条面对角线，由三垂线定理可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB 垂直于平面MNQ；对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为60°，则AB不垂直于平面MNQ．故选：D．由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，若甲地分派2名女生，有C22=1种情况，若甲地分配1名女生，有C21•C31=6种情况，则甲地的分派方法有1+6=7种，甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有A32=6种安排方法，则不同的选派方法的种数是7×6=42；故选：D．根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和“分派1名女生”两种情况讨论，由加法原理可得甲地的分派方法数目，第二步在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，由排列数公式可得其安排方法数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，注意先分析受到限制的元素，如本题的甲地．8.【答案】C【解析】解：当x≤0时，y=x2+2ex+m-1关于原点对称的函数为-y=x2-2ex+m-1，即y=-x2+2ex-m+1，x＞0，设h（x）=-x2+2ex-m+1，x＞0，条件等价为当x＞0时，h（x）与f（x）的图象恰好有两个不同的交点，则h（x）=-x2+2ex-m+1=-（x-e）2+e2+1-m，x＞0，当x=e时，函数h（x）取得最大值h（e）=e2+1-m，当x＞0时，f（x）=x+，f′（x）=1-=．由f′（x）＞0得x＞e，此时f（x）为增函数，由f′（x）＜0得0＜x＜e，此时f（x）为减函数，即当x=e时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（e）=e=e+e=2e，作出当x＞0时，h（x）与f（x）的图象如图：要使两个图象恰好有两个不同的交点，则h（e）＞f（e），即e2+1-m＞2e，即e2-2e+1＞m，即m＜（e-1）2，故选：C．求出当x≤0时f（x）关于原点对称的函数h（x），条件转化为当x＞0时，h（x）与f（x）的图象恰好有两个不同的交点，求函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，以及分段函数的图象，利用定义作出关于原点对称的函数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．考查学生的作图能力．9.【答案】2【解析】解：由x，y满足条件作出可行域如图，由z=x+2y，得y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过可行域内点A时直线在y轴上的截距最大，z最大．联立，解得A（0，1）．∴目标函数z=x+2y的最大值为0+2×1=2．故答案为：2．由约束条件作出可行域，化目标函数z=x-2y为直线方程的斜截式，可知当直线在y轴上的截距最小时z最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求z的最大值．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题．10.【答案】y=±√2x【解析】解：∵双曲线2x2-y2=1的标准方程为：∴，b2=1，可得a=，b=1又∵双曲线的渐近线方程是y=±x∴双曲线2x2-y2=1的渐近线方程是y=±x故答案为：y=±x将双曲线化成标准方程，得到a、b的值，再由双曲线的渐近线方程是y=±x，即可得到所求渐近线方程．本题给出双曲线方程，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题．11.【答案】3×2n-1【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3=21，2a2=a3，∴a1（1+q+q2）=21，2=q，解得a1=3．数列{a n}的通项公式a n=3×2n-1．故答案为：3×2n-1．设等比数列{a n}的公比为q，由S3=21，2a2=a3，可得：a1（1+q+q2）=21，2=q，解出即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】8【解析】解：由消去t可得y=x-1，其参数方程的标准形式为：（t 为参数），由ρsin2θ-4cosθ=0得ρ2sin2θ-4ρcosθ=0，得y2=4x，联立得t2-4t-8=0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1+t2=4，t1t2=-8，所以|AB|=|t1-t2|=═8．利用直线参数方程中参数t的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．13.【答案】甲【解析】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；②已知x，y∈R+，求z=（a+b）（+）的最小值．甲：z=（a+b）（+）=1+++1≥4，乙：z=（a+b）（+）≥2•2=4．故填甲．乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误．本题考查了基本不等式及其应用，属中档题．14.【答案】2√3+2h（t）=4sin（π10t−π6）+2【解析】解：（Ⅰ）t=5秒时，水轮转过角度为×5=，在Rt△MOP0中，MP0=1，∴∠MOP0=；在，Rt△AON中，∠AON=，∴AN=4×sin=2，此时点A（P）离开水面的高度为2+2；（Ⅱ）由题意可知，ω==，设角φ（-＜φ＜0）是以Ox为始边，OP0为终边的角，由条件得h（t）=4sin（t+φ）+2，其中（-＜φ＜0）；将t=0，h（0）=0代入，得4sinφ+2=0，∴φ=-；∴所求函数的解析式为h（t）=4sin（t-）+2．故答案为：（Ⅰ）2+2，（Ⅱ）h（t）=4sin（t-）+2．（Ⅰ）根据题意，利用直角三角形的边角关系，即可求出5秒后点P离开水面的距离；（Ⅱ）由题意求出ω的值，然后结合t=0时z=0求出φ的值，求得函数的解析式．本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与应用问题，理解函数解析式中参数的物理意义，是解题的关键．15.【答案】解：（1）△ABC中，（2a-c）cos B=b cos C，由正弦定理可得（2sin A-sin C）cos B=sin B cos C，整理可得2sin A cos B=sin B cos C+cos B sin C=sin（B+C）=sin A，又A为三角形内角，sin A＞0，所以cos B=12，由B为三角形内角，可得B=60°；（2）由△ABC的面积为√3，即12ac sin B=√3，所以ac=2√3sin60°=4，又a+c=6，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=（a+c）2-2ac-2ac cos60°=36-3ac=36-3×4=24，所以b=2√6，∴△ABC的周长为a+b+c=6+2√6．【解析】（1）根据题意利用正弦定理，再进行三角恒等变换求得cosB的值，从而求出B 的值；（2）由△ABC的面积公式，利用余弦定理求得b的值，再求△ABC的周长．本题考查了三角形的正弦、余弦定理和面积公式应用问题，也考查了三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，是中档题．16.【答案】解：（Ⅰ）该区共2000名高中学生，由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数为：2000×50100×4050=800．（Ⅱ）设事件A表示“抽取A校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，事件C表示“抽取C校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，则从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，恰有1人参与“创城”活动的概率：P=P（A C−+A−C）=P（A）P（C−）+P（A−）P（C）=45×110+15×910=1350．（Ⅲ）将表中的参与率视为概率，从A 学校高中学生中随机抽取3人， 这3人参与“创城”活动人数X ～B （3，45），P （X =0）=C 30(15)3=1125，P （X =1）=C 31(45)(15)2=12125，P （X =2）=C 32(45)2(15)=48125， P （X =3）=C 33(45)3=64125，∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 P1125121254812564125∵X ～B （3，45），∴E （X ）=3×45=125． 【解析】（Ⅰ）由分层抽样性质估计A 学校参与“创城”活动的人数．（Ⅱ）设事件A 表示“抽取A 校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，事件C 表示“抽取C 校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，则从A ，C 两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，恰有1人参与“创城”活动的概率：P=P （A +）=P （A ）P （）+P （）P （C ），由此能求出结果．（Ⅲ）将表中的参与率视为概率，从A 学校高中学生中随机抽取3人，这3人参与“创城”活动人数X ～B （3，），由此能求出这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望．本题考查频数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、相互独立事件概率乘法公式、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】（I ）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，又PA ∩AC =A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥平面PAC ， 又CF ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥CF ．（II ）解：（i ）设AC ，BD 交于点O ，以O 为坐标原点，以OB ，OC ，平面ABCD 过点O 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，则B （3√3，0，0），D （-3√3，0，0），F （0，-3，2），C （0，3，0），P （0，-3，6），∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-6，6），DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（6√3，0，0），BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-3√3，-3，2）， 设平面BDF 的法向量为n ⃗ =（x ，y ，z ），则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{6√3x =0−3√3x −3y +2z =0，令y =2可得z =3，即n ⃗ =（0，2，3）， ∴cos ＜n ⃗ ，CP⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=n⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=0−12+18√13×6√2=√2626． ∴PC 与平面BDF 所成角的正弦值为|cos ＜n ⃗ ，CP⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=√2626． （ii ）取PF 的中点G ，连接FG ，CG ，∵E ，G 分别是PD ，PF 的中点，∴EG ∥DF ，又EG ⊄平面BDF ，DF ⊂平面BDF ， ∴EG ∥平面BDF ，∵F ，O 分别是AG ，AC 的中点，∴OF ∥CG ，又OF ⊂平面BDF ，CG ⊄平面BDF ， ∴CG ∥平面BDF ，又EG ⊂平面CEG ，CG ⊂平面CEG ，EG ∩CG =G ， ∴平面CEG ∥平面BDF ，∴侧面PAD 内存在过点E 的一条直线EG ，使得该直线上任一点M 与C 的连线，都满足CM ∥平而BDF ，此直线被直线PA 、PD 所截线段为EG =12DF =12√AD 2+AF 2=12√36+4=√10． 【解析】（I ）证明BD ⊥平面PAC 即可得出BD ⊥CF ； （II ）（i ）建立空间坐标系，求出平面BDF 的法向量，计算和的夹角的余弦值即可；（ii ）取PF 的中点G ，证明平面CEG ∥BDF ，即可得出结论．本题考查了线面垂直的判定，面面平行的判定与性质，属于中档题． 18.【答案】解：（Ⅰ）∵△F 2DE 的周长为8，∴4a =8，即a =2，∵e =ca =√22，∴c =√2，∴b 2=a 2-c 2=2，故椭圆C 的方程为x 24+y 12=1（Ⅱ）（i ）证明：当直线l 的斜率不存在时，A 、B 分别为椭圆短轴两端点，满足Q ，A ，B 1三点共线．当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y =kx +1， 联立{y =kx +1x 24+y 22=1，得（1+2k 2）x 2+4kx -2=0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则B 1（-x 2，y 2）， x 1+x 2=-4k 1+2k 2，x 1x 2=-21+2k 2，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1，y 1-2），QB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-x 1，y 2-2），∵x 1（y 2-2）+x 2（y 1-2）=x 1（kx 2-1）+x 2（kx 1-1）=2kx 1x 2-（x 1+x 2） =−4k 1+2k2+4k 1+2k 2=0．∴QA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，则Q ，A ，B 1三点共线． （ii ）由（i ）可知Q ，A ，B 1三点共线，∴|QA||QB|=|QA||QB 1|=|x 1||x 2|=|PA||PB|∴|QA||QB|=|PA||PB| 【解析】（Ⅰ）由三角形的周长可得a=2，根据离心率可得c=，即可求出b 2=2，则椭圆方程可求；（Ⅱ）（i ）当直线l 的斜率不存在时，A 、B 分别为椭圆短轴两端点，满足Q ，A ，B′三点共线．当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，然后利用向量证明． （ii ）由（i ）可知Q ，A ，B 1三点共线，即===，问题得以证明本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 19.【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）=axe x ，则f ′（x ）=ae x （x +1），由题意知x =0时，f ′（0）=a =1，即a 的值为1； （Ⅱ）（i ）g （x ）=f （x ）-b （x 22+x ）=xe x -b （x 22+x ），所以g ′（x ）=（x +1）（e x -b ），当x ∈[0，+∞）时，若b ≤1，则e x -b ≥0，g ′（x ）≥0，g （x ）单调递增，所以g （x ）≥g（0）≥0；当x∈[0，+∞）时，若b＞1，令g′（x）=0，解得x1=-1（舍去），x2=ln b＞0，所以g（x）在（0，ln b）内单调递减，g（ln b）＜g（0），所以g（x）≥0不恒成立，所以b的最大值为1；（ii）g（x）=xe x b（x22+x）=x[e x-b（x2+1）]，显然g（x）有一个零点为0，设h（x）=e x-b（x2+1），则h′（x）=e x-b2；当b=0时，h（x）无零点，所以g（x）只有一个零点0；当b＜0时，h′（x）＞0，所以h（x）在R上单调递增，又h（0）=1-b＞0，h（2b-2）=e2b−2-1＜0，由零点存在性定理可知，h（x）在（-∞，0）上有唯一一个零点x0，所以g（x）有2个零点；综上所述，b=0时，g（x）只有一个零点，b＜0时，g（x）有2个零点．【解析】（Ⅰ）求函数f（x）的导数f′（x），计算x=0时的导数即可求出a的值；（Ⅱ）（i）求g（x）的导数g′（x），讨论b≤1时g（x）单调递增，b＞1时g（x）在（0，+∞）内不单调递增，由此求得b的最大值；（ii）化简g（x）知0是g（x）的一个零点，利用构造函数法讨论b=0和b＜0时，函数g（x）是否有零点，从而确定函数g（x）的零点情况．本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了利用导数研究函数在某一点处的切线问题，以及判断函数零点的应用问题，是中档题．20.【答案】（Ⅰ）解：对于数列{a n}，a n+m=a n•a m=53×（5×3n+m-1）≠a n，所以{a n}不是指数型数列．对于数列{b n}，对任意n，m∈N*，因为b n+m=4n+m=4n•4m=b n•b m，所以{b n}是指数型数列．（Ⅱ）证明：由题意，{1a n+1}，是“指数型数列”，a n=2a n a n+1+3a n+1，⇒1a n+1=3a n+2⇒1a n+1+1=3(1a n+1)，所以数列{1a n +1}是等比数列，1a n+1=(1a n+1)×3n−1=3n，(1 a n +1)(1a m+1)=3n⋅3m=3m+n=（1a n+m+1），数列{1a n+1}是“指数型数列”．（Ⅲ）证明：因为数列{a n}是指数数列，故对于任意的n，m∈N*，有a n+m=a n•a m，⇒a n+1=a n•a1⇒a n=a1n=(a+1a+2)n，假设数列{a n}中存在三项a u，a v，a w构成等差数列，不妨设u＜v＜w，则由2a v =a u +a w ，得2（a+1a+2）v =（a+1a+2）u +（a+1a+2）w ，所以2（a +2）w -v （a +1）v -u =（a +2）w -u +（a +1）w -u ，当t 为偶数时，2（a +2）w -v （a +1）v -u 是偶数，而（a +2）w -u 是偶数，（a +1）w -u 是奇数， 故2（a +2）w -v （a +1）v -u =（a +2）w -u +（a +1）w -u 不能成立；当t 为奇数时，2（a +2）w -v （a +1）v -u 是偶数，而（a +2）w -u 是奇数，（a +1）w -u 是偶数， 故2（a +2）w -v （a +1）v -u =（a +2）w -u +（a +1）w -u 也不能成立．所以，对任意a ∈N *，2（a +2）w -v （a +1）v -u =（a +2）w -u +（a +1）w -u 不能成立， 即数列{a n }的任意三项都不成构成等差数列． 【解析】（Ⅰ）利用指数数列的定义，判断即可；（Ⅱ）利用a 1=，a n =2a n a n+1+3a n+1（n ∈N*），说明数列{+1}是等比数列，然后证明数列{+1}为“指数型数列”；（Ⅲ）利用反证法，结合n 为偶数以及奇数进行证明即可．本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键．。
北京东城区普通高中示范校2019高三3月联考综合练习(二)-数学理
？开始是否输出结束第4题图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图北京东城区普通高中示范校2019高三3月联考综合练习（二）-数学理高三数学〔理〕2018.3【一】选择题：本大题共8小题、每题5分，共40分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、1、设集合2{40}A x x=->，1{2}4xB x=<，那么A B=〔〕A、{}2x x> B.{}2x x<- C.{}22或x x x<-> D.12x x⎧⎫<⎨⎬⎩⎭2、复数2(1)(2)z a a i=-+-(a R∈),那么“1a=”是“z为纯虚数”的〔〕A、充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件3、在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程〔〕A、3sin2=ρθB.3cos2=ρθC.3sin2=ρθD.3cos2=ρθ4、如果执行右面的程序框图，那么输出的t=〔〕A.96B.120C.144D.3005、2,,z x y x y=+满足2y xx yx m≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z的最大值是最小值的4倍，那么m的值是〔〕A、14B、15C、16D、176、底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是以下各图中的〔〕[来源:ZA、B.C.D.7、数列{}na满足*7(13)10,6(),6--+≤⎧=∈⎨>⎩Nn na n a na na n，假设{}na是递减数列，那么实数aCA BOD的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫58，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，588、函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++那么以下结论正确的选项是〔〕 A 、()f x 在(0,1)上恰有一个零点B.()f x 在(0,1)上恰有两个零点 C.()f x 在(1,0)-上恰有一个零点D.()f x 在(1,0)-上恰有两个零点 二.填空题〔每题5分,共6小题〕9、随机变量X 的分布列如下，那么的值等于10、假设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线y =无交点，那么离心率e 的取值范围是.11.如图，是圆O 的切线，切点为A ，D 点在圆内，DB 与圆相交于C ，假设3BC DC ==，2=OD ，6AB =，那么圆O 的半径为.12、在ABC ∆中，D 为BC 中点，假设120BAC ∠=︒，1AB AC ⋅=-，那么AD 的最小值是.13、有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，那么不同的安排方法有________种、〔用数字作答〕 14、直线:1(R)l y ax a a =+-∈，假设存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于a ，那么称此曲线为直线l 的“绝对曲线”、下面给出的三条曲线方程：①21y x =--；②22(1)(1)1x y -+-=；③2234x y +=、其中直线l 的“绝对曲线”有＿＿＿＿＿、〔填写全部正确选项的序号〕【三】解答题：本大题共6小题，共80分、解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程、 15.(本小题总分值13分)函数,2co s 26s in 6s in )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=其中R x ∈,0>ω.〔1〕求函数)(x f 的值域；〔2〕假设函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间.16、(本小题总分值13分)某地区举办了一次数学知识应用竞赛、有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图〔如下图〕、(1)试估计这40名学生成绩的众数；(2)试估计这40名学生的成绩在(]84 72,之间的人数；(3)从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在(]09 80,之间的概率、17.(本小题总分值13分)在四棱锥ABCD P -中，底面A B C D 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点、〔1〕求证：PC AD ⊥； 〔2〕求证：//FG 平面BCP ；〔3〕线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ，假设存在，求出AR 的长；假设不存在，请说明理由、 18.(本小题总分值13分)设axx x x f 22131)(23++-= 〔1〕假设)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a的取值范围； 6065707580859095100分数F GPD CBA〔2〕当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值.19、(本小题总分值14分)平面内一动点P 到点)1,0(F 的距离与点P 到x 轴的距离的差等于1、〔1〕求动点P 的轨迹C 的方程；〔2〕过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求⋅的最小值、20、(本小题总分值14分)数集{}),(,,,302121≥<<<≤=n a a a a a a A nn 具有性质P ：对)(,n j i j i ≤≤≤∀1 ，i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A 、(1)分别判断数集{}310,,与数集{}6420,,,是否具有性质P ，说明理由； (2)求证：nn a n a a a 221=+++ ；(3)数集{}821a a a A ,,, =具有性质P 、证明：数列821a a a ,,, 是等差数列、东城区普通高中示范校高三综合练习(二)高三数学〔理〕参考答案2018.3【一】选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BADBACDC15.函数2cos 26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=其中R x ∈,0>ω.〔1〕求函数)(x f 的值域；〔2〕假设函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间. 解：〔1〕)cos 1(21cos 23sin 21cos 23sin )(x x x x x x f ωωωωω+-⋅-⋅+⋅+⋅==1)6sin(21cos sin 3--=--πωωωx x x …………………………………5分所以函数)(x f 的值域为[]1,3-…………………………………………………7分 〔2〕由2221πωπ=⋅得2=ω…………………………………………………9分所以1)62sin(2)(--=πx x f由πππππk x k 226222+≤-≤+-………………………………………11分得ππππk x k +≤≤+-36所以函数)(x f 的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 3,6)(Z k ∈.………13分16、某地区举办了一次数学知识应用竞赛、有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图〔如下图〕、 (1)试估计这40名学生成绩的众数；(2)试估计这40名学生的成绩在(]84 72,之间的人数；(3)从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在(]09 80,之间的概率、解：(1)77.5；………………………………………3分(2)所求为：直线72=x 与直线84=x 之间的直方图的面积40⨯，因此，61940040040450503503.)...(=⨯⨯+⨯+⨯………………………7分 答：这40名学生的成绩在(]84 72,之间的有20人、〔答19人也算对〕……………8分(3)设这5人中恰有2人的成绩在(]09 80,之间为事件A ， 因为3.05)02.004.0(=⨯+……………………………………10分 所以308701071033225.)(=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=C A P ……………………………………12分答：这5人中恰有2人的成绩在(]09 80,之间的概率为0、3087、………13分 17.在四棱锥A B C D P -中，底面A B C D 为矩形，A B C DPD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点、〔1〕求证：PC AD ⊥；〔2〕求证：//FG 平面BCP ；〔3〕线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ，6065707580859095100分数F GPDCBA假设存在，求出AR 的长；假设不存在，请说明理由、 〔1〕证明： 底面ABCD 为矩形CD AD ⊥∴ABCD AD ABCD PD 平面底面⊂⊥ ,PD AD ⊥∴D PD CD = PDC AD 平面⊥∴ABCD PC 平面⊂ PC AD ⊥∴…………………………………4分〔2〕证明：取H BP 中点，连接CH GH ,中点分别为DC AP F G ,, GH ∴=//AB 21,FC =//AB 21 GH ∴=//FC GFCH 四边形∴是平行四边形，FG ∴//CH ，BCP CH 平面⊂，BCP FG 平面⊄FG ∴//BCP 平面……………………………………8分(3)ABCD PD 平面⊥ ，以D 为坐标原点，以DP DC DA ,,所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，假设在线段AD 上存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面设),,(00m R ，)3,0,0(),0,1,2(),0,1,0(P B C)0,0,2(=CB )3,1,2(-=PB)0,1,2(m -=)3,0,(m RP -=设平面BCP 的法向量为),,(1111z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n CB ，⎩⎨⎧=-+=032021111z y x x ，令31=y ),,(1301=nH F G PD CBA设平面BPR 的法向量为),,(2222z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n ⎩⎨⎧=+-=+-030)2(2222z mx y x m 令12=x ),,(3212m m n -=021=⋅n n 0323=+-∴m m )(，解得23=m ∴线段AD 上存在点R ，且当21=AR 时，使得平面⊥BPR 平面PCB .……………13分18.设axx x x f 22131)(23++-= 〔1〕假设)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；〔2〕当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值.解答〔1〕ax a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-=……………………………2分 )(x f 在),(+∞32上存在单调递增区间 ∴存在),32(+∞的子区间),(n m ，使得),(n m x ∈时0>)('x f )('x f 在),(+∞32上单调递减 032>∴)('f ，即0292)32('>+=a f 解得91->a ∴当91->a 时，)(x f 在),(+∞32上存在单调递增区间………………………………6分 〔2〕令0=)('x f 20<<a∴28111a x +-=；28112a x ++=∴)(x f 在),(),,(+∞-∞21x x 上单调递减，在),(21x x 上单调递增20<<a 4121<<<∴x x∴)(x f 在),(21x 上单调递增，在),(42x 上单调递减…………………………………8分 所以)(x f 的最大值为)(2x f0622714<+-=-a f f )()( ，31634084-=-=∴a f )(………………………10分解得212==x a ,310)2()()(2==∴f x f x f 的最大值为……………………13分19、平面内一动点P 到点)1,0(F 的距离与点P 到x 轴的距离的差等于1、 〔I 〕求动点P 的轨迹C 的方程；〔II 〕过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求AD EB ∙的最小值、 解析：〔1〕设动点P 的坐标为(,)x y ，由题意得1)1(22=--+y y x ……………2分化简得yy x 222+=当0≥y 时y x 42=；当0<y 时0=x所以动点P 的轨迹C 的方程为y x 42=和0=x 〔0<y 〕………………………5分〔2〕由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，那么1l 的方程为1+=kx y 、由044x 4122=-⎩⎨⎧-=+=kx yx kx y 得设1122(,),(,),A x y B x y 那么4,42121-==+x x k x x ，1,2421221=+=+y y k y y …………………………7分因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1k-、设),(),,(4433y x E y x D ，那么同理可得4,44343-=-=+x x k x x ，1,2443243=+=+y y ky y …………………………8分)1)(1()1)(1()()(2143+++++=+=⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+=∙y y y y FB AF EF FD1)(1)(21214343+++++++=y y y y y y y y …………………………………11分16248)1(484482222=⨯+≥++=++=k k k k ……………………………13分 当且仅当221k k=即1k =±时，AD EB ∙取最小值16、…………………………14分 20、数集{}),(,,,302121≥<<<≤=n a a a a a a A nn 具有性质P ：对)(,n j i j i ≤≤≤∀1 ，i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A 、(1)分别判断数集{}310,,与数集{}6420,,,是否具有性质P ，说明理由； (2)求证：nn a n a a a 221=+++ ；(3)数集{}821a a a A ,,, =具有性质P 、证明：数列821a a a ,,, 是等差数列、解：(1) 由于13-和13+都不属于集合{}310,,，所以该集合不具有性质P ；由于02+、04+、06+、24+、26-、46-、00-、22-、44-、66-都属于集合{}6420,,,，所以该数集具有性质P 、…………………………………………4分(2) {}na a a A ,,, 21=具有性质P ，所以n n a a +与n n a a -中至少有一个属于A由n a a a <<<≤ 210，有n n n a a a >+，故A a a nn ∉+A a a n n ∈-=∴0，故01=a n a a a a <<<<= 3210n k n a a a >+∴，故),,,(n k A a a k n 32=∉+由A 具有性质P 知，),,,(n k A a a kn 32=∈-又121a a a a a a a a n n n n n n -<-<<-<-- ，1a a a n n =-∴，21a a a n n =--，…，12-=-n n a a a ，n n a a a =-1 从而n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++=-+-++-+-- 21121)()()()(故n n na a a a =+++)( 212n n a n a a a 221=+++∴ ……………………8分 (3) 由(2)可知，),,,(n i a a a n i n i 211==+-+),,,(82189 ==+∴-i a a a i i …………………………①由872a a a =+知，73a a +，74a a +，…，，77a a +均不属于A由A 具有性质P ，37a a -，47a a -，…，，77-a a 均属于A3837476777a a a a a a a a a a -<-<-<<-<-∴638a a a =-∴077=-∴a a ，267a a a =-，357a a a =-，…，537a a a =- 即),,,(72178 ==+-i a a a i i …………………………②由①②可知),,,)((82117898 =--=-=--i a a a a a a i i i),,,(821178 =-=-∴-i a a a a i i故821a a a ,,, 构成等差数列、…………………………………13分。
北京市门头沟区2019届高三3月综合练习(一模)数学(理)试题
北京市门头沟区2019年3月高三年级综合练习数学试卷 （理）一、选择题（本大题共 8小题，共40.0分）1已知集合:.:［，2加J 褊,则加竹等于A DB.團C.（=训ID.汽21【答案】B【解析】解：集合_?- :，「•［—「I 」：］.—］； — 故选：B .先分别求出集合 A , B ,由此能求出号竹”本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题.故选：A .利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解. 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.3. 一个体积为［岔;歳正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为1-1A•嫗B.瘫C. 2【答案】A【解析】解：72 =—=1-12.复数z 满足 ：：，那么是（）左视图俯视團A.宓B.8C.瘫D. 12【答案】A【解析】解：设棱柱的高为h,由左视图知，底面正三角形的高是热崩，由正三角形的性质知，其边长是4,故底面三角形的面积是由于其体积为，故有沁好「仃辭得［二由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3,其面积为..故选：A .此几何体是一个正三棱柱，正视图即内侧面，底面正三角形的高是冰聽，由正三角形的性质可以求出其边长，由于本题中体积已知，故可设出棱柱的高，禾U用体积公式建立起关于高的方程求高，再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可.本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则几何体的直观图的能力以及利用体积公式建立方程求参数的能力，三视图的投影规则是：主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”.4.如图的程序框图，如果输入三个实数a, b, c要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的A. 曲B. 一C.-.D.淞！【答案】A【解析】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，条件成立时，保存最大值的变量故选：A .根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x 与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量_ .本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题.A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解:且其夹角为:;_ 由l!-b| I得:S-by=f-2a-b+b =l-2cos6 +1>15.已知向量-，-满足_ 一 _ ,且其夹角为”的的必要条件;即可得出癒爲泸汀』,进而得出m -「| .■ 1，从而得出 、一订1 ”是考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念及范围，余弦函数的图象，充分条件、 必要条件及充要条件的概念.6.如图，在下列四个正方体中， A , B 为正方体的两个顶点， M , N , Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中，直线 AB 与平面MNQ 不垂直的是的充分条件;得:综上得， "「是“―的充分必要条件根据条件, 由［黑爾即可得出斜盘泸沁，进而得出CDS 0•，又知航=1冬：「，从而可得出，这便得出“§-订＞1”是“ 的充分条件；反过来，由”必要条件，这样即得出 “ • ”是“.:的充要条件.B.D.【答案】D【解析】解：对于 A , AB为体对角线，MN , MQ , NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于面对角线，连接另一条面对角线，由三垂线定理可得AB垂直于MN , MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ ；对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ ；对于C, AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN , QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ ；对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为，屈则AB不垂直于平面MNQ . 故选：D.由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论. 本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题.7.某学需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人则不同的选派方法的种数是A. 18B. 24C. 36D. 42【答案】D【解析】解：根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，若甲地分派2名女生，有］一种情况，若甲地分配1名女生，有］「二.:种情况, 则甲地的分派方法有 _ 种,甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有种安排方法,则不同的选派方法的种数是故选：D.根据题意，先分析甲地的安排方法，分分派2名女生”和分派1名女生”两种情况讨论，由加法原理可得甲地的分派方法数目，第二步在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，由排列数公式可得其安排方法数目，由分步计数原理计算可得答案.本题考查排列、组合的实际应用，注意先分析受到限制的元素，如本题的甲地.若函数图象上存在两个点8. A , B关于原点对称，则点对選戲称为函数腿q的友好点对”且点对阿与阴可看作同一个友好点对”若函数怔+亦+ 口-让“f(x)= ■(其中e为自然对数的底数，门岳》.沖讣恰好有两个友好点对”则实数m的取值范围为A•口 < B.駁—上一厅C.池 < ：上一厅D.总二【答案】C【解析】解:当宰感时，二一关于原点对称的函数为二.1 _即「I 二1二一，扩》j设.：..■- - 1 —_二__，了述条件等价为当.. 时，色沁］与扩裁的图象恰好有两个不同的交点，则h(i) = -x:+ 2ex-］n + l = -(x-&)2 + e: + 1-m当［二-时，函数敢憩取得最大值能_冲i ―口当「一时,由F 妙疣得；「此时脚为增函数,，此时範『为减函数，即当••—：时，函数取得极小值同时也是最小值: ，■f(e) = e+- = e+e = 2e时，刚与…的图象如图:要使两个图象恰好有两个不同的交点， 则购彩侧，即一一……，即…迤vy 故选：C .求出当罠宅『时範M 关于原点对称的函数 貼第，条件转化为当宰怒卩时，加马与範期的图象恰好有 两个不同的交点，求函数的导数研究函数的单调性和最值，禾惋数形结合建立不等式关系进 行求解即可. 本题主要考查函数与方程的应用，以及分段函数的图象，利用定义作出关于原点对称的函数， 利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键 综合性较强，有一定的难度考查学生的作图能力.、填空题(本大题共 6小题，共30.0 分)9. ___________________________________________________________________ 若x , y 满足条件企+y —，则二二$+2丫的最大值为 ___________________________________________________________x-y+l> 0y>fl【答案】2x , y 满足条件f x+y — 1 < 0作出可行x-y+l> 0 y>0过可行域内点v=—J+-ZifAA在y 轴上的截距最大，z 最大.作出当【解析】解：由 域如图,由图可知，当直线A 时直线联立｛計厂乂，解得A(01)-+1 = 0目标函数站皿的最大值为加冷说弍故答案为：2.由约束条件作出可行域，化目标函数_ 为直线方程的斜截式，可知当直线在y轴上的-截距最小时z最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求z的最大值.本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题.10.双曲线c：________________ 的渐近线方程是的渐近线方程是【解析】解：双曲线--的标准方程为：i JI•可得D双曲线的渐近线方程是，:升--- 故答案为：勺蠱将双曲线化成标准方程，得到a、b的值，再由双曲线: 的渐近线方程是，即汀訂Ed可得到所求渐近线方程.本题给出双曲线方程，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题.11.________________________________________________________________________ 等比数列也鳥中，善疔九，懸r錨则数列甌』的通项公式］___________________________________________________【答案】讥【解析】解：设等比数列悔J的公比为q, 丁除:一理，邀州T"--；-；＞，7解得.•— J故答案为设等比数列 的公比为q ，由站「；亶， ，可得：讷工呵：吋『；蜕， ，解出即可得出.本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12.已知直线I 的参数方程为 为参数，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为―I 上，若设A ，B 对应的参数为 ，，iX4所以踐觸二 一二 . -• 利用直线参数方程中参数 t 的几何意义可得. 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题.直线I 与曲线C 相交于两点A ，B ，则【答案】8 【解析】解：由消去t 可得丁二乂_1，其参数方程的标准形式为:y -1 ~ 1参数，由 T 一 >:-得「!■—和,得声:二 _■，联立卜=1 +空得：-4巨一6二｛），数列.的通项公式13.已知x，求•-一…的最值.甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法: 甲.:------ -----一:h VV £乙『=呼碉+沖阿2石皿I -你认为甲、乙两人解法正确的是I 请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确. 【答案】甲【解析】解：「甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；乙：故填甲.乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误. 本题考查了基本不等式及其应用，属中档题.14. 一半径为4m 的水轮，水轮圆心0距离水面2m,已知水轮每分钟转动 按逆时针方向^圈, 当水轮上点P 从水中浮现时开始计时，即从图中点开始计算时间.■3I 当一二I 秒时点P 离水面的高度 ______________ ；n 将点P 距离水面的高度单位：1；訂表示为时间年单位：皆［的函数，则此函数表达式为已知X ,p1JftBI:岬二J2 初$在恥甄爲中」牯力.「二一；在*麵中［「「「一 —-…呼-T此时点 离开水面的高度为 凰飞空设角”是以Ox 为始边， 为终边的角,(£■--<^<0) ®由条件得—其中一；4iS2将孑胡，「一 G 代入，得城:：：〕■_-【解析】解：I 一 「秒时，水轮转过角度为n 由题意可知，1丿fii =所求函数的解析式为n 由题意求出 的值，然后结合『时求出一的值，求得函数的解析式.本题考查了函数 严拠他m 的图象与应用问题，理解函数解析式中参数的物理意义, 解题的关键.三、解答题（本大题共 6小题，共80.0分）15.在価中，且满足已知勢離迪农迦曲①求―的大小；若朋的面积为，討2伯求加聽的周长°【答案】解：中，「竝诫鈕盘由正弦定理可得 廳盪…蟲趙迪昙蠢激曲整理可得............. -----又A 为三角形内角，袖淀 所以一.，cos3 二-由B 为三角形内角，可得_』嶺丽又般心由余弦定理得盪二----：=(ct+ c^-Jor-2ffGoasfiO c= 36-3K = 36—3x4兰羅，故答案为: 炜-，鮒）®汩+2I 根据题意，利用直角三角形的边角关系，即可求出 5秒后点P 离开水面的距离;由执蹶的面积为，即所以, 駭鼎f的周长为®;「一「一「-「【解析】器鸟根据题意利用正弦定理，再进行三角恒等变换求得呢由撫恥的面积公式，禾U用余弦定理求得b的值，再求曉胡伞的周长.本题考查了三角形的正弦、余弦定理和面积公式应用问题，也考查了三角函数的恒等变换, 以及化简运算能力，是中档题.16.在某区创文明城区”简称创城”活动中，教委对本区 A , B , C, D四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表：学校A B C D抽查人数50151025创城”活动中参与的人数4010915注：参与率是指：一所学校创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值假设每名高中学生是否参与创城”活动是相互独立的.I若该区共2000名高中学生，估计A学校参与创城”活动的人数；n在随机抽查的100名高中学生中，从A, C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与创城”活动的概率；川若将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与创城”活动人数的分布列及数学期望.【答案】解：I该区共2000名高中学生，由分层抽样性质估计A学校参与创城”活动的人数为：100 50n设事件A表示抽取A校高中学生，且这名学生参与1创城I活动”事件C表示抽取C校高中学生，且这名学生参与创城I活动”则从A , C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，恰有1人参与创城”活动的概率：二的值，从而求出B的值;川 将表中的参与率视为概率，从 A 学校高中学生中随机抽取 3人,【解析】I 由分层抽样性质估计 A 学校参与 创城”活动的人数.n 设事件A 表示 抽取A 校高中学生，且这名学生参与（创城！活动”事件C 表示 抽取C校高中学生，且这名学生参与f 创城（活动”，则从A , C 两学校抽出的高中学生中各随机抽此能求出结果.川 将表中的参与率视为概率， 从A 学校高中学生中随机抽取 3人，这3人参与 创城”活动人 ，由此能求出这3人参与创城”活动人数的分布列及数学期望.这3人参与创城”活动人数X1 23Pd *1231：5取1名学生，恰有1人参与 创城”活动的概率::的分布列为:1由数于 - 〕—「，r • 0,粉，r 一 「:：本题考查频数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、相互独 立事件概率乘法公式、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.且俯口繇规平面ABCD ，旳気，F 是棱PA 上的一个动点，E 为PD 的中点.瞩用.求PC 与平面BDF 所成角的正弦值;足违门；：平而BDF ，若存在，求出此直线被直线 PA 、PD 所截线段的长度，若不存在，请明理由.'倾』平面PAC , 又價厂平面PAC ,为坐标轴建立空间直角坐标系, 则殛据0，，嘅爲幌0 ，灌J 迤，蹿3 ， /迪中，底面ABCD 是边长为6的菱形,侧面PAD 内是否存在过点 V 1/ E 的一条直线，使得该直线上任一点 M 与C 的连线，都满【答案】 般证明：：胡珂［平面ABCD ，删厂平面四边形ABCD 是菱形,國曲—二平面PAC U 平面PAC ，Q?）解：孩）设AC , BD 交于点O ,以O 为坐标原点，以0B , 0C ,平面ABCD 过点0的垂线，即（6屈=0—31/31' - 3y + 2z = Q令• -可得_ .,即孟煥2,右、貞亦 0-12410瓏£与平面BDF 所成角的正弦值为|.u ; =（醐取PF 的中点G ,连接FG , CG ,-,G 分别是PD , PF 的中点, 住删谢，又邂瓷平面BDF ，平面BDF ， 生麗汾平面BDF ， 一，O 分别是AG , AC 的中点,吕縊谢平面BDF ，平面宀；，-平面BDF ,平而BDF ，此直线被直线PA 、PD 所截线段为...:G=-Dr = -\J【解析】『场证明遡］平面PAC 即可得出做］|欝科艘:建立空间坐标系，求出平面 BDF 的法向量- （約取PF 的中点G ,证明平面邃觀屜擁，即可得出结论.本题考查了线面垂直的判定，面面平行的判定与性质，属于中档题.设平面BDF 的法向量为- ，则ti? 37 = 0的隠又-［平面BDF , 平面BDF ,又廉严面CEG ,…一平面CEG ，關f心，侧面PAD 内存在过点E 的一条直线EG ,使得该直线上任一点 M 与C 的连线，都满足 迤聚，计算-和一的夹角的余弦值即可;18.如图，已知椭圆C ：】： ,, 分别为其左、右焦点，过的直线与---=： : -此椭圆相交于D ，E 两点，且 鸥悯的周长为8，椭圆C 的离心率为 .I 求椭圆C 的方程；与椭圆相交于 A , B 两点，点 是点B 关于y 轴的对称点.三点共线.【答案】解：I 铲雕J 费琥的周长为8, 打&i ：□和即址□一，故椭圆C 的方程为- + - = 1汀证明：当直线I 的斜率不存在时, 共线.n \在平面直角坐标系xOy 中，已知点？他①与点徴［ij , 过P 的动直线不与x 轴平行A 、B 分别为椭圆短轴两端点，满足 Q , A , 三点当直线I 的斜率存在时，设直线方程为 J 防门，联立：二得糾].•-■ i :-I ,*J*丄设验曲，誉瑟疏，则一皿翩L ■他図、老，盘戌pF'm 热一 2)v 為他■ 2)+亦忸-2)=勿㈣广1) +却(隸,-1] = 2鶴迪-仇+12).一与r 共线，则Q , A ,三点共线.【解析】I 由三角形的周长可得 护匚为，根据离心率可得一 _ 一，即可求出 舉「黃，则椭圆 方程可求； 叮仍当直线I 的斜率不存在时，A 、B 分别为椭圆短轴两端点，满足 Q , A ，:三点共线|当 直线I 的斜率存在时，设直线方程为 旷-冰:「联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，然后利用向量证明.本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查 推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数 学思想，注意解题方法的积累，属于中档题.19. 已知能旷看在点糾琮处的切线与直线 厂奮3平行.I 求实数a 的值;\Q囤 円1\PA\■ps禹由f©可知Q , A ,三点共线,可知Q ，A ， 三点共线，即 问题得以证明fj）若函数備喲診0在魄卜耳］上恒成立，求实数b的最大值;当时，判断函数匚礙麗「有几个零点，并给出证明.【答案】解：1函数㈱「醞単则「鶴：辭险赳由题意知时，■_ _ ，即a的值为1 ；n 1 :,亠丄所以-- ，当眩I附空:时’若池］'则「鷹1旨『:，购单调递增，所以德）;忙侧3 Ji 「II时，若^4,令斛鹽丸，解得筠厂瓦舍去，'泌:減所以曲在翁撼内单调递减，沁K或邺，所以癩轧吨不恒成立，所以b的最大值为1 ；: ，显然-有一个零点为o,（那® 二沁匕+M 二巒T 二+1）：31}当.一时，朗无零点，所以腔;:只有一个零点0;当輕汕时，r （MP血，所以，在R上单调递增,又」」，由零点存在性定理可知，閒在（=、：讲上有唯一一个零点.,综上所述，色弍时‘灘［:只有一个零点, 沁贮时：有2个零点.【解析】I求函数霁婭的导数『慟，计算賞厂£时的导数即可求出a的值;n 若数列.满足: 脣勰临十鼬盼加陶，判断数列—是否为指数型数列”若是给出证明, 若不是说明理由; 川若数列j 卉J 是指数型数列”且 ;+l>…，证明：数列禹1中任意三项都不U. =—20^2能构成等差数列. 【答案】 I 解：对于数列.，所以 不是指n 們itn< HI »%J n数型数列.对于数列觸，对任意n ，恥护，因为 ---..-，所以爛口是指数型数列.n 证明：由题意， ，是指数型数列”() -+1｝—-——,fl"… 劭 •対. 备n#°C 迥 旺血鹹环所以数列'是等比数列，：_ArfirF+1F+I)=3fi F=3B*=t^+l ；F+1)*lv . x*i盹.代 屯数列是指数型数列”n疤求曲的导数炉好讨论號1时他单调递增，环沁时磯;:在紺记内不单调递增，由此求得b 的最大值; 零点，从而确定函数碓的零点情况.本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了利用导数研究函数在某一点处的切线 问题，以及判断函数零点的应用问题，是中档题.20. 给定数列他冷若满足篦厂成减丸且爼當窩，对于任意的n ，腔护，都有編”二」，则称数列.为指数型数列”1已知数列’鶴｝的通项公式分别为遢〜鼻炉"鈿厂巒’试判断’鶴｝是 不是指数型数列”関化简肠知°是幽琥毬是否有的一个零点，利用构造函数法讨论 时，函数川 证明：因为数列.是指数数列，故对于任意的 n ，二护有1W-氐丸匕=^(jy C =1三厂所以闔眩俺汽權t 沪“紂:題粹翠泗©X 当t 为偶数时，/险彳护杵哗^口'樹也是偶数，而F/］2严也是偶数，轲伞釦3是奇数,故一— 一 一 一 不能成立;当t 为奇数时，一 _ 是偶数，而 _ 是奇数，一 是偶数, 故论乜x 斷：产*帥:了f ｛閱1严也不能成立. 所以，对任意 止肿谜「亍飞讨：产=(汨 閔［产:，不能成立, 即数列.［的任意三项都不成构成等差数列.【解析】I 禾U 用指数数列的定义，判断即可;川利用反证法，结合 n 为偶数以及奇数进行证明即可.本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键.假设数列.中存在三项， ，构成等差数列，不妨设 Q 和三晋 ...=^.... . ■ ■ :.... .. :. j '■-，说明数列 ,1 心是等比数列，然后证明数为指数型数列则由站T 牟卜纭，得列。
北京市2019届高三数学(理科)综合练习32 含答案
北京市2017届高三综合练习数学（理）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{}2|4A x x =∈<N ，{}2|230B x x x =∈--<R ，则A B =（ ）、A ．{}101-，，B ．{}01，C ．{}|12x x -<<D ．{}|23x x -<<2. 已知复数z 满足()12z i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 3.一个几何体的三视图如下，其中主视图和俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（ ）A ．4B ．8C ．43D ．834.已知向量a b ，满足1a b a b ==+=，则向量a b ，夹角的余弦值为（ ） A ．12 B ．12-CD ．5.已知数列{}n a 是等差数列，38a =，44a =，则前n 项和n S 中最大的是（ ）A ．3SB ．4S 或5SC ．5S 或6SD ．6S6.已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为（）ABCD．5或7.已知x y ，满足()2221x y x y y a x ⎧-⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，且z x y =+能取到最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <-B ．2a ≥C ．12a -<≤D ．1a <-或2a ≥8.已知函数：①()12f x x =，②()πsin2x f x =，③()1ln 12f x x =+．则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（ ）命题():1p f x +是偶函数； 命题():1q f x +在()01，上是增函数； 命题():r f x 恒过定点()11，； 命题11:22s f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．A ．命题p 、qB ．命题q 、rC ．命题r 、sD ．命题s 、p第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题中横线上．9. 51x ⎫⎪⎭的二项展开式中x 项的系数为 ．10.已知直线():12l y k x =++，圆2cos 1:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩，则圆心C 的坐标是 ；若直线l 与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是 ．11.如图，已知PAB 是O ⊙的割线，点C 是PB 的中点，且PA AC =，PT 是O ⊙的切线，TC 交O ⊙于点D ，8TC =，7CD =，则PT 的长为 ．12.如图所示程序图运行的结果是 ．13.一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 观测到灯塔A B ，在一直线上，并与航线成30︒角．轮船沿航线前进1000米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45︒方向，灯塔B 在北偏东15︒方向．则此时轮船到灯塔B 的距离CB 为 米．14.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对0x ∀≥，总存在正常数T ，使得()T f x +()T f x =+成立，则称()f x 满足“性质P ”．已知函数()g x 满足“性质P”，且()g x 在[]0T ，上的解析式为()2g x x =，则常数T = ；若当[]3T 3T x ∈-，时，函数()y g x kx =-恰有9个零点，则k = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）已知函数()22sin cos 444x x xf x =-⑴ 求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 取值集合；⑵ 令π3f a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且()0πα∈，，求tan 2α的值．16.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，PAD △为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且602DAB AB ∠=︒=，，E 为AD 的中点．⑴ 求证：AD PB ⊥；⑵ 求二面角A PD C --的余弦值；⑶ 在棱PB 上是否存在点F ，使EF ∥平面PDC ？并说明理由．17.（本小题满分13分）如图，某工厂2011年生产的A B C D ，，，四种型号的产品产量用条形图表示，现用分层抽样的方法从中抽取50件样品参加今年五月份的一个展销会．⑴ 问A B C D ，，，型号的产品各抽取了多少件？⑵ 从50件样品中随机抽取2件，求这2件产品恰好是不同型 号的产品的概率；⑶ 在50件样品中，从A C ，两种型号的产品中随机抽取3件，其中A 种型号的产品有X 件，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．18.（本小题满分13分）已知函数()()2121ln 12f x mx x x =-+++．⑴ 当32m =-时，求函数()f x 的极值点；⑵ 当1m ≤时，曲线():C y f x =在点()01P ，处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求实数m 的范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>经过点312M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且其右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合．⑴ 求椭圆1C 的方程；⑵ 直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A B ，两点，与抛物线2C 相交于C D ，两点．求AB CD的最大值．20.（本小题满分13分）已知集合{}12320112012S =，，，，，，设A 是S 的至少含有两个元素的子集，对于A 中任意两个不同的元素()x y x y >，，若x y -都不能．．．整除x y +，则称集合A 是S 的“好子集”．⑴ 分别判断数集{}2468P =，，，与{}147Q =，，是否是集合S 的“好子集”，并说明理由；⑵ 求集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值；⑶ 设123m A A A A ，，，，是集合S 的m 个“好子集”，且两两互不包含，记集合i A 的元素个数为()12i k i m =，，，，求证：()1!2012!2012!mi i i k k =⋅-∑≤数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题三、解答题15、（I ）()f x 的最大值为2，相应的x 取值集合为π|4π,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ；（II ）24tan 27α=-．16、（I ）略；（II ）二面角A PD C --的余弦值为 （III ）在棱PB 上存在点F ，使EF ∥平面PDC ．17、（I ）A 型号的产品10件，B 型号的产品20件，C 型号的产品5件，D 型号的产品15件；（II ）这两件产品恰好是不同类型的产品的概率为57；（III ）随机变量X 的分布列为18、（I ）()f x 的极大值点为13x =-；（II ）m 的取值范围为(]{},01-∞．19、（I ）椭圆的方程为22143x y +=；（II ）AB CD 的最大值为34．20、（I ）P 不是S 的“好子集”；Q 是S 的“好子集”；（II ）A 的最大值为671； （III ）略． 提示：（II ）考虑1,2a b -≠，作S 的模3同余类，可构造{}1,4,7,,2011A =即可．（III ）12,,,m A A A 是S 的“好子集”的条件多余，可直接改为“子集”；考虑2012个数的全排列即可．。
北京市首都师范大学附属中学2019届高三下学期三模数学(理科)试题 Word版含解析
首师大附中高三三模理科试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，2{|5}B x x =≤，那么A B =I ( ) A. {0,2,4} B. {2,0,2}- C. {0,2} D. {2,2}-【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A∩B． 【详解】解：∵集合A ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，B ＝{x |x 2≤5}＝{x |x ≤≤}， ∴A ∩B ＝{﹣2，0，2}． 故选B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.若复数z 满足112iz i-=+，则z 等于（ ）A.25 B.35【答案】C 【解析】试题分析：()()()()1121312125i i i z z i i ----==⇒=+-．故应选C ． 考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3.执行如图所示的程序框图，若输入的m =1，则输出数据的总个数为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.设,x y 满足约束条件2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则下列不等式恒成立的是A. 1x ≥B. 1y ≤C. 20x y -+≥D. 360x y --≤【答案】C 【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得(3,1)A -，同理可得(0,2),(0,3)B C -，设目标函数z x y =-，则()y x z =+-，当直线()y x z =+-过点B 时取得最小值，最小值min 2z =-， 所以20x y -+≥恒成立，故选C ．5.,a b r r 为非零向量，“||||a bb a =r rr r ”为“,a b r r 共线”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】,a b r r 共线，,a b r r方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.【详解】,||||a bb a r rr r 分别表示与,a b r r 同方向的单位向量， ||||a bb a =r rr r ，则有,a b r r 共线， 而,a b r r 共线，则,||||a bb a r rr r 是相等向量或相反向量，“||||a bb a =r rr r ”为“,a b r r 共线”的充分不必要条件. 故选:B.【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ） A. 12种 B. 15种 C. 17种 D. 19种【答案】D 【解析】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有132212C ⨯⨯=取法；第二类，有两次取到3号球，共有2326C ⨯=取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.考点：排列组合，分类分步记数原理. 7.已知函数21()cos 222xf x x ωω=+-(0)x R ω>∈，，若函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω最大值是( )A.512 B.56C.1112D.32【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简()f x ，结合正弦函数图象，即可求解.【详解】211()cos cos sin()2226xf x x x x x ωπωωωω=+-=+=+, 令()0,(),()66k f x x k k Z x k Z πππωπωω=+=∈=-∈， 函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，6(1)26k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩解得111()6212k k k Z ω+-≤≤-∈， 50,0,012k ωω>∴=<≤，5111,612k ω=<≤ ω的最大值是1112. 故选:C.【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.8.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 与线11111,,AA A B A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面1C BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11AB D 与1C BD 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为2，所以其面积为26S ==，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.双曲线2221y x a-=的渐近线为y =，则该双曲线的离心率为________.【解析】 【分析】由双曲线方程和渐近线方程，求出,a b 值，进而求出c ，即可求解. 【详解】设双曲线的焦距为2c ，双曲线2221y x a-=得1b =，渐近线方程的斜率为aa b==2c e ====. 故答案为:2【点睛】本题考查双曲线标准方程、双曲线的简单几何性质，注意焦点的位置，属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是1212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），以O 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程是24cos 30ρρθ-+=.则圆心到直线的距离是________. 【答案】12【解析】 【分析】将直线参数方程化为普通方程，圆C 极坐标方程化为直角坐标方程，应用点到直线距离公式即可求解.【详解】3112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数化为310x y --=，24cos 30ρρθ-+=化为22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，圆心(2,0)C ， 圆心C 到直线l 的距离为2121(3)=+.故答案为:12. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、点到直线的距离等知识，属于基础题11.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.43【解析】 【分析】根据三视图还原为底面为菱形高为2四棱锥，即可求出结论.【详解】由三视图可知四棱锥的底面为边长为2，有一对角为060的菱形，高为2，所以体积为213432223⎫⨯⨯⨯=⎪⎪⎝⎭. 故答案为43. 【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，解题的关键要还原出几何体直观图，属于基础题. 12.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，214a =，且4536a a a +=.（1）数列{}n a 通项公式是________.（2）设数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值是________.【答案】 (1). 42n n a -= (2). 6-.【解析】 【分析】由4536a a a +=求出q ，即可求出{}n a 通项公式，根据等比数列与等差数列的关系，可得{}2log n a 为等差数列，求出所有的负数或0项，即可求出结论.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，214a =， 24533336,6,0,0n a a a a q a q a a q +=+=>>，260,2q q q +-==或3q =-（舍去）， 2422n n n a a q --∴==，24log n a n =-，当224,log 0,5,log 0n n n a n a ≤≤≥>，数列{}2log n a 的前n 项和n S 的最小值是346S S ==-.故答案为:42n n a -=；-6.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算、等比数列与等差数列的关系、等差数列前n 项和最小值等知识，属于中档题.13.写出一组使“,,222x y x y x y +∀∈+<R ”为假命题的一组x ，y ________. 【答案】1,1（答案不唯一） 【解析】 【分析】即求命题的否定“,,222xyx yx y +∃∈+≥R ”为真命题的一组,x y 值，可以应用基本不等式求出满足不等式的充分条件，从中取出一组即可. 【详解】“,,222xyx yx y +∀∈+<R ”为假命题,其命题的否定“,,222xyx yx y +∃∈+≥R ”为真命题，12222x yx y+++≥=， 命题的否定为真的充分条件为1,22x yx y x y ++≥++≤， 取1,1x y ==.故答案为：1,1（答案不唯一）【点睛】本题考查全称命题的真假求参数，属于基础题.14.血药浓度（Serum Drug Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml ），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点i A 的横坐标表示服用第i 种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点i A 的纵坐标表示第i 种药的血药浓度的峰值．（1,2,3i =）①记V i 为服用第i 种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则123V ,V ,V 中最大的是_______；②记i T 为服用第i 种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则123T ,T ,T 中最大的是_______【答案】 (1). 1V (2). 3T 【解析】 【分析】①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择.【详解】①设i i i A x y （，）,则V ii iy x =， 由于1230x x x <<<,2310y y y <<<, 所以1212y y x x >,3113y y x x >,即1V 最大； ②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A 1,A 2,A 3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A 3经历的时间最长，所以123T ,T ,T 中最大的是3T .【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)b =【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB =，则B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b 结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()214sin A B -=详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a b sinA sinB=，可得bsinA asinB =， 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tanB =又因为()0πB ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有22227b a c accosB =+-=，故b ．由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sinA =．因为a <c ，故cosA =．因此227sin A sinAcosA ==，212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=1127-= 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16.2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A 组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B 组.A 组：128，100，151，125，120B 组：100，102，96，101，a己知B 组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是45. （1）求a 的值；（2）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X ，求X 的分布列及期望； （3）试比较A ，B 两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义. 【答案】（1）100a =；（2）分布列详见解答，期望为45；（3）详见解答. 【解析】 【分析】（1）由已知中位数100，确定a 的范围，再求出不小于100的数的个数，即可求出a ；（2）随机变量X 可能值为0,1,2，根据每组车“正点运行”概率求出X 可能值为0,1,2的概率，即可求出随机变量的分布列，进而求出期望;（3）利用方差表示数据集中的程度，说明疏堵工程完成后公交车的稳定程度. 【详解】（1）B 组数据的中位数为100，根据B 组的数据100a ≤， 从B 组中随机抽取一个数不小于100的概率是45， B 组中不小于100的有4个数，所以100a =； （2）从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据， “正点运行”概率分别为13,55， 从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据， 记两次运行中正点运行的次数为X ， X 可能值为0,1,2，428(0)5525P X ==⨯=， 124314(0)555525P X ==⨯+⨯=，133(2)5525P X ==⨯=，X 的分布列为： X12P825 1225 32581434()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=， X 期望为45； （3）对比两组数据，B 组数据方差更小，说明疏堵工程完成后公交车运行时间更为稳定. 【点睛】本题考查中位数和概率求参数，考查随机变量的分布列和期望，属于基础题. 17.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PBC V 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4=AD ，3DC =.（1）求证：//AB 平面PDC .（2）请在图中所给的五个点P ，A ，B ，C ，D 中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC 垂直，并给出证明.（3）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求直线PC 与平面P AB 所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解答；（2）PA BC ⊥，证明见解答；（3）223. 【解析】 【分析】（1）由已知//AB DC ，即可证明结论；（2）根据已知条件排除,,,,AD AB CD PB PC ，只有,PA PD 可能与BC 垂直，根据已知可证PA BC ⊥；（3）利用垂直关系，建立空间直角坐标系，求出PC uuu r坐标和平面P AB 的法向量，即可求解.【详解】（1）//,AB DC AB ⊄平面,PDC CD ⊂平面PDC ，//AB ∴平面PDC ；（2）PA BC ⊥，证明如下： 取BC 中点E ，连,,AC AE PE ，4,3,5,A AD DC AC D DC ⊥==∴==，,AB AC AE BC ∴=∴⊥，,PB PC PE BC =⊥， ,,AE PE E AE PE =⊂I 平面,APE BC ∴⊥平面APE ，AP ⊂平面APE ，BC AP ∴⊥；（3）平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ⊥平面ABCD BC =，,PE BC PE ⊥⊂平面,PBC PE ∴⊥平面ABCD ，.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4=AD ，3DC =，3,2BC PB PE ∴===以D 为坐标原点，以,DA DC ，过D 点与PE 平行的直线分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系D xyz -，则(4,0,0),(4,5,0),(0,3,0),(2,4,2)A B C P ，(2,1,2),(0,5,0),(2,4,2)CP AB AP ===-u u u r u u u r u u u r，设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =r，则00n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即502420y x y z =⎧⎨-++=⎩，0y ∴=，令1x =，则1z =， 平面PAB 一个法向量为(1,0,1)n =r，设直线PC 与平面P AB 所成角为θ，sin |cos ,|3CP n θ=<>==u u u r r， 直线直线PC 与平面P AB所成角的正弦值为3.【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，要注意空间垂直间的转化，考查用空间向量法求线面角，考查计算求解能力，属于中档题.18.已知椭圆C ：(222122x y a a +=＞2，左、右顶点分别为A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P ．（Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线AM 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且∠PFQ =90°，求证：AQ ∥BM ． 【答案】（Ⅰ）（-22，0）U （0，22）（Ⅱ）详见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意可得得c 2＝a 2﹣2，由e 22c a ==，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM 的斜率的取值范围，（Ⅱ）题意F 2，0），设Q （0，y 1），M （x 0，y 0），其中x 0≠±2，则220042x y +=1，可得直线AM 的方程y 002y x =+（x +2），求出点Q 的坐标，根据向量的数量积和斜率公式，即可求出k BM ﹣k AQ ＝0，问题得以证明【详解】解：（Ⅰ）由题意可得c 2=a 2-2， ∵e=c a =22， ∴a=2，2，∴椭圆的方程为2x 4+2y 2=1，设P （0，m ），由点P 在椭圆C 的内部，得＜m， 又∵A （-2，0）， ∴直线AM 的斜率k AM =m 002-+=m 2∈（，又M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点， ∴k AM ∈（-2，0），（0，2）， （Ⅱ）由题意F，0），设Q （0，y 1），M （x 0，y 0），其中x 0≠±2，则20x 4+20y 2=1，直线AM 的方程为y=00y x 2+（x+2），令x=0，得点P 的坐标为（0，02y x 2+）， 由∠PFQ =90°，可得PF u u r•FQ =0，∴（，002y x 2+）•（，y 1）=0，即2+02y x 2+•y 1=0， 解得y 1=-200x 2y +， ∴Q （0，-200x 2y +）， ∵k BM =00y x 2-，k AQ =-00x 22y +，∴k BM -k AQ =00y x 2-+00x 22y +=0，故k BM =k AQ ，即AQ ∥BM【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题 19.已知函数()ln f x x x =.（1）已知函数()f x 在点()()00,x f x 处的切线与x 轴平行，求切点的纵坐标. （2）求函数()f x 在区间20,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上的最小值；（3）证明：1,0t e ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，10,x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()f x t =. 【答案】（1）1e -；（2）1e-；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）求()f x 的导函数()f x '，令0()0f x '=，即可求解；（2）求出()f x 在20,e⎛⎤ ⎥⎝⎦单调区间，极值点，即可求解；（3）转化为函数1(),(0,)y f x x e =∈，与直线1,(,0)y t t e=∈-恒有交点，即可证明结论. 【详解】（1）()ln ,()ln 1f x x x f x x '==+， ()f x 在点()()00,x f x 处的切线与x 轴平行，00001()ln 10,ln 1,f x x x x e'=+==-=，011()()f x f e e∴==-；（2）由（1）得1()0f e'=，当20,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，1()0,0f x x e '<<<，12()0,f x x e e '><<，()f x 递减区间是1(0,)e ，的增区间是12(,)e e，当1x e =时，()f x 取得极小值，也是最小值为1e-，函数()f x 在区间20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上的最小值1e-；（3）由（2）得()f x 递减区间是1(0,)e，110,()0,()x f x f e e →→=-，110,,()(,0)x f x e e ⎛⎫∈∈- ⎪⎝⎭令(),y f x y t ==，当1,0t e ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭时，函数()y f x =图像与直线y t =有唯一的交点， 且交点的横坐标10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,0t e ⎛⎫∴∀∈- ⎪⎝⎭，10,x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()f x t =.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点等知识，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.20.数列n A ：()12,,4n a a a n ≥L 满足：11,n a a m ==，10k k a a +-=或1（1,2,1k n =-L ）．对任意,i j ，都存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+．，其中,,,i j s t ∈ {}12n L ，，且两两不相等． (I)若2m =．写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2 (Ⅱ)记12n s a a a =++L ．若3m =，证明：20s ≥； (Ⅲ)若2018m =，求n 的最小值.【答案】(Ⅰ) ②③(Ⅱ)见解析（Ⅲ）n 的最小值为2026 【解析】试题分析：（Ⅰ）依据定义检验给出的数列是否满足要求条件．（Ⅱ）当3m =时，1,2,3都在数列中出现，可以证明1,3至少出现4次，2至少出现2次，这样20S ≥． （Ⅲ）设1,2,,2018L 出现频数依次为122018,,,q q q L ．同（Ⅱ）的证明，可得：14q ≥，22q ≥，31q ≥，┄，20161q ≥，20172q ≥，20184q ≥，则2026n ≥，我们再构造数列：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B L ，证明该数列满足题设条件，从而n 的最小值为2026．解析：（Ⅰ）对于①，12121,2a a a a ==+=，对于2s t ≤<，3s t a a +=或4s t a a +=，不满足要求；对于②，若()2i j a a i j +=<，则552i j a a --+=，且,,5,5i j i j --彼此相异，若()3i j a a i j +=<，则993i j a a --+=，且,,9,9i j i j --彼此相异，若()4i j a a i j +=<，则994i j a a --+=，且,,9,9i j i j --彼此相异，故②符合题目条件；同理③也符合题目条件，故符合题目条件的数列的序号为②③．注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．（Ⅱ）当3m =时，设数列n A 中1,2,3出现频数依次为,,q q q 123，由题意()11,,2,3i q i ≥=． ① 假设14q <，则有12s t a a a a +<+（对任意2s t >>），与已知矛盾，所以14q ≥．同理可证：34q ≥．② 假设21q =，则存在唯一的{}1,2,3,,k n ∈L ，使得2k a =．那么，对,s t ∀，有112k s t a a a a +=+≠+（,,k s t 两两不相等），与已知矛盾，所以22q ≥.综上：14q ≥，22q ≥，34q ≥，所以4143420S ≥⨯+⨯+=．（Ⅲ）设1,2,,2018L 出现频数依次为122018,,,q q q L ．同（Ⅱ）的证明，可得：14q ≥，22q ≥，31q ≥，┄，20161q ≥，20172q ≥，20184q ≥，则2026n ≥．取12018220174,2,1,3,4,5,,2016i q q q q q i ======L 得到的数列为：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B L下面证明n B 满足题目要求．对{},1,2,3,,2016i j ∀∈L ，不妨令<i j a a ， ① 如果1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184q q ==，所以符合条件；② 如果1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于12018220174,4,2,2q q q q ====，所以也成立；③ 如果1,2i j a a =>，则可选取12,s t j a a a -==；同样的，如果2017,2018i j a a <=， 则可选取1,2017s i t a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等；④ 如果12018i j a a <≤<，则可选取1,1s i t j a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中{},,,1,2,3,,2026i j s t ∈L 且两两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026．点睛：此类问题为组合最值问题，通常的做法是先找出变量的一个范围，再构造一个数列，使得前述范围的等号成立，这样就求出了最值．。
北京市门头沟区2019年3月高三年级综合练习数学试卷(文)及答案
门头沟区2019年高三综合练习（一）数学（文）2019.3一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知集合2{230},{0}A x x x B x x =--<=≥，则A B 等于 A ． 1,3)-（ B ．[0,3) C ． (1,0]- D. (1,2]-2. 复数z 满足21iz i=-，那么z 是A ．．．3. 一个体积为 图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为 A.36 B ．8 C ．38 D ．124. 右面的程序框图，如果输入三个实数,,a b c 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 A ．c x > B ．x c >C ．c b >D ．b c >5.向量,a b →→满足1a b →→==，且其夹角为θ，则“1a b →→-=”是“3πθ=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是7. 已知ABC △中，BC=1，sin C C =，则ABC △的面积为A.8. 函数()221f x x ex m =-++-，函数()2(0)e g x x x x =+>，（其中e 为自然对数的底数，2.718e ≈）若函数()()()h x f x g x =-有两个零点，则实数m 的取值范围为A ．221m e e <-++B ．221m e e >-+C ．221m e e >-++D ．221m e e <-+ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ）9. 若x y ，满足条件10100x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪≥⎩≤≥，则2z x y =+的最大值为 ．10. 双曲线22:21C x y -=的渐近线方程是 .11．等比数列{}n a 中，32321,2S a a ==则数列{}n a 的通项公式n a = .12．过抛物线24y x =焦点且斜率为1的直线l 与此抛物线相交于,A B 两点，则AB = . 13．若函数()f x 满足对定义域上任意12,x x 都有不等式1212()()()22x x f x f x f ++>，成立,则称此函数为“P 函数”，请你写出一个“P 函数”的解析式 .14．一半径为4m 的水轮,水轮圆心O 距离水面2m ,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点P 从水中浮现时开始计时,即从图中点0P 开始计算时间.(Ⅰ)当5t =秒时点P 离水面的高度 ； (Ⅱ)将点P 距离水面的高度h (单位: m )表示为时间t (单位: s )的函数，则此函数表达式为 . 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.） 15. （本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =-+ ()x R ∈（1）求()f x 的周期及单调增区间； （2）若5[0,]12x π∈时，求()f x 的最大值与最小值.16．（本题满分13分）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 和，若51025,19S a ==。
北京市朝阳区2019届高三第一次(3月)综合练习(一模)数学理试卷 含解析
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理）2019．3第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】由解得，故，故选B.【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.的展开式中的常数项为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简二项式的展开式，令的指数为零，求得常数项.【详解】二项式展开式的通项为，令，故常数项为，故选C.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式中的常数项，属于基础题.4.若函数则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出函数的图像，由此确定函数的值域.【详解】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的图像，考查分段函数的值域，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5.如图，函数的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将图像上特殊点的坐标代入选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于B选项，由于，不正确；对于C选项，由于，不正确；对于D选项，由于，不正确.故本题选A.【点睛】本小题主要考查已知三角函数图像判断函数的解析式，利用特殊值排除法，可快速得出正确选项，属于基础题6.记不等式组所表示的平面区域为．“点”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】画出可行域和点，将旋转到点的位置，求得的值，由此求得的取值范围，进而判断出充分、必要性.【详解】画出可行域和点如下图所示，将旋转到点的位置，得，当时，；当时，.故“点”是“”的充分必要条件.故选C.【点睛】本小题主要考查线性规划可行域的画法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.7.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥，该棱锥的体积：.本题选择D选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．【答案】1【解析】【分析】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，结合点到直线距离公式求解距离即可. 【详解】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为：，即，则焦点到渐近线的距离为：.故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.执行如图所示的程序框图，则输出的值为_____．【答案】【解析】【分析】运行程序，当时退出循环，计算得输出的值.【详解】运行程序，，判断是，，判断是，，判断否，输出.【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果，属于基础题.11.在极坐标系中，直线与圆相交于两点，则___．【答案】【解析】【分析】将极坐标方程转化为直角坐标方程，将直线方程代入圆的方程，求得的坐标，由此求得..【详解】直线即.圆两边乘以得，即，令，解得，故，所以.【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线和圆的交点坐标的求法，属于基础题.12.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________．【答案】【解析】【分析】由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可.【详解】考查函数，绘制函数图像如图所示，该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题.【点睛】本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误.13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，a n＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.在平面内，点是定点，动点满足，，则集合所表示的区域的面积是_______．【答案】【解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据设出两点的坐标，利用向量运算求得点的坐标，化简后可求得点的轨迹也即表示的区域，由此计算出区域的面积.【详解】以为原点建立平面直角坐标系，由于，，即,故设，即，设，由得，即，则，故表示的是原点在圆心，半径为的圆，由于，故点所表示的区域是圆心在原点，半径为的两个圆之间的扇环，故面积为.【点睛】本小题主要考查数形结合的数学思想方法，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析求解能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，，，的面积等于，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组，解方程组求得的值.（II）利用正弦定理求得的的值，利用二倍角公式求得的值.【详解】解：（Ⅰ）由已知得整理得解得或因为，所以．（Ⅱ）由正弦定理，即．所以【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理解三角形，考查二倍角公式，属于中档题.16.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．(1)在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率；(2)从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】（I）根据频率分布直方图分别计算出两个乘客等待时间小于分钟的频率，按照相互独立事件概率计算公式，计算出“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率.（II）根据二项分布概率计算公式以及数学期望计算公式，求得的分布列和数学期望.【详解】解：（Ⅰ）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间都小于20分钟”．由题意知，乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，故的估计值为．乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，故的估计值为．又.故事件的概率为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为.显然，的可能取值为且.所以；；；.故随机变量的分布列为【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布分布列和数学期望的计算，还考查了由频率分布直方图求频率的方法，属于中档题.17.如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)线段上是否存在点，使得直线平面若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）线段上存在点，使得平面，且．【解析】【分析】（I）根据面面垂直的性质定理，证得平面，由此证得.（II）以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量，由此计算出线面角的正弦值.（III）设,用表示出点的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直列方程，解方程求得的值，由此判断存在符合题意的点.【详解】解：（Ⅰ）证明：因为为正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面，所以，．因为，所以两两垂直．分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．因为，，所以，所以．设平面的一个法向量为，则即令，则，所以．设直线与平面所成角为，则．（Ⅲ）设，设，则，所以，所以，所以．设平面的一个法向量为，则因为，所以令，则，所以．在线段上存在点，使得平面等价于存在，使得．因为，由，所以，解得，所以线段上存在点，使得平面，且．【点睛】本小题主要考查面面垂直的性质定理，考查利用空间向量法求解线面所成角的正弦值，考查线面平行的向量表示，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18.已知函数且.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求证：；(3)讨论函数的极值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（II）将原不等式转化为成立，构造函数，利用导数求得的最大值为零，由此证得不等式成立.（III）对求导后，对分成两类，结合函数的单调区间，讨论得出函数的极值.【详解】解：（Ⅰ）当时，．所以．因为，所以曲线在处的切线方程为．（Ⅱ）当时，．函数的定义域为．不等式成立成立成立.设，则．当变化时，，变化情况如下表：所以．因为，所以，所以．（Ⅲ）求导得. 令，因为可得．当时，的定义域为.当变化时，，变化情况如下表：此时有极大值，无极小值．当时，的定义域为，当变化时，，变化情况如下表：此时有极小值，无极大值．【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数证明不等式，考查利用导数研究函数的极值，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.19.已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．(1)求椭圆的离心率及左焦点的坐标；(2)求证：直线与椭圆相切；(3)判断是否为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，据此确定离心率即可；（2）由题意可得.分类讨论和两种情况证明直线与椭圆相切即可；（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得．据此即可证得为定值．【详解】（1）由题意，，所以离心率，左焦点．（2）由题知，，即.当时直线方程为或，直线与椭圆相切．当时，由得，即所以故直线与椭圆相切．（3）设，，当时，，，，，所以，即．当时，由得，则，，．因为．所以，即．故为定值．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20.在无穷数列中，是给定的正整数，，．(1)若，写出的值；(2)证明：数列中存在值为的项；(3)证明：若互质，则数列中必有无穷多项为．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）根据以及的值，由此求得的值，找出规律，求得的值.（II）利用反证法，先假设，利用递推关系找出规律，推出矛盾，由此证明原命题成立.（III）首先利用反证法证明数列中必有“1”项，其次证明数列中必有无穷多项为“1”,由此证得原命题成立.【详解】解：(I)由，以及，可知，，，从开始，规律为两个和一个，周期为，重复出现，故.(II)反证法：假设,由于，记.则.则，,，，，依次递推，有，…，则当时，与矛盾.故存在，使所以，数列必在有限项后出现值为的项．(III)首先证明：数列中必有“1”项．用反证法，假设数列中没有“1”项，由(II)知，数列中必有“0”项，设第一个“0”项是，令，，则必有，于是，由，则，因此是的因数，由，则或，因此是的因数.依次递推，可得是的因数，因为，所以这与互质矛盾．所以，数列中必有“1”项．其次证明数列中必有无穷多项为“1”.假设数列中的第一个“1”项是，令，，则，若，则数列中的项从开始，依次为“1，1，0”的无限循环，故有无穷多项为1；若，则，若，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；若，则从开始的项依次为，必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．【点睛】本小题主要考查递推数列，考查合情推理，考查与数列有关的证明，考查分析问题与解决问题的能力，综合性很强，属于难题.。
2024学年北京市门头沟区市级名校高三下期末大联考数学试题理试题
2024学年北京市门头沟区市级名校高三下期末大联考数学试题理试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π2．已知O 为坐标原点，角α的终边经过点(3,)(0)P m m <且sin 10m α=，则sin 2α=( ) A ．45B ．35C ．35D ．45-3．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ）A ．3B ．5CD4．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．y x =B ．y =C ．2y x =±D ．y =5．已知()()cos 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的表达式是（ ）A ．32cos 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．2cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．2cos 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．32cos 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭6．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为2y x =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9B ．5C ．2或9D ．1或57．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =+下下上上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸8．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-9．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ） A ．10B ．32C ．40D ．8010．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．7B ．7-C ．17D ．17-11．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．280二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市朝阳区2019届高三第一次(3月)综合练习(一模)数学理试卷Word版含解析
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理）2019．3第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】由解得，故，故选B.【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.的展开式中的常数项为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简二项式的展开式，令的指数为零，求得常数项.【详解】二项式展开式的通项为，令，故常数项为，故选C.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式中的常数项，属于基础题.4.若函数则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出函数的图像，由此确定函数的值域.【详解】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的图像，考查分段函数的值域，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5.如图，函数的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将图像上特殊点的坐标代入选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于B选项，由于，不正确；对于C选项，由于，不正确；对于D选项，由于，不正确.故本题选A.【点睛】本小题主要考查已知三角函数图像判断函数的解析式，利用特殊值排除法，可快速得出正确选项，属于基础题6.记不等式组所表示的平面区域为．“点”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】画出可行域和点，将旋转到点的位置，求得的值，由此求得的取值范围，进而判断出充分、必要性.【详解】画出可行域和点如下图所示，将旋转到点的位置，得，当时，；当时，.故“点”是“”的充分必要条件.故选C.【点睛】本小题主要考查线性规划可行域的画法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.7.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥，该棱锥的体积：.本题选择D选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．【答案】1【解析】【分析】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，结合点到直线距离公式求解距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为：，即，则焦点到渐近线的距离为：.故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.执行如图所示的程序框图，则输出的值为_____．【答案】【解析】【分析】运行程序，当时退出循环，计算得输出的值.【详解】运行程序，，判断是，，判断是，，判断否，输出. 【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果，属于基础题.11.在极坐标系中，直线与圆相交于两点，则___．【答案】【解析】【分析】将极坐标方程转化为直角坐标方程，将直线方程代入圆的方程，求得的坐标，由此求得..【详解】直线即.圆两边乘以得，即，令，解得，故，所以.【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线和圆的交点坐标的求法，属于基础题.12.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________．【答案】【解析】【分析】由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可.【详解】考查函数，绘制函数图像如图所示，该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题.【点睛】本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误.13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，a n＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.在平面内，点是定点，动点满足，，则集合所表示的区域的面积是_______．【答案】【解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据设出两点的坐标，利用向量运算求得点的坐标，化简后可求得点的轨迹也即表示的区域，由此计算出区域的面积.【详解】以为原点建立平面直角坐标系，由于，，即,故设，即，设，由得，即，则，故表示的是原点在圆心，半径为的圆，由于，故点所表示的区域是圆心在原点，半径为的两个圆之间的扇环，故面积为.【点睛】本小题主要考查数形结合的数学思想方法，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析求解能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，，，的面积等于，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组，解方程组求得的值.（II）利用正弦定理求得的的值，利用二倍角公式求得的值.【详解】解：（Ⅰ）由已知得整理得解得或因为，所以．（Ⅱ）由正弦定理，即．所以【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理解三角形，考查二倍角公式，属于中档题.16.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．(1)在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率；(2)从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】（I）根据频率分布直方图分别计算出两个乘客等待时间小于分钟的频率，按照相互独立事件概率计算公式，计算出“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率.（II）根据二项分布概率计算公式以及数学期望计算公式，求得的分布列和数学期望.【详解】解：（Ⅰ）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间都小于20分钟”．由题意知，乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，故的估计值为．乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，故的估计值为．又.故事件的概率为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为.显然，的可能取值为且.所以；；；.故随机变量的分布列为【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布分布列和数学期望的计算，还考查了由频率分布直方图求频率的方法，属于中档题.17.如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)线段上是否存在点，使得直线平面若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）线段上存在点，使得平面，且．【解析】【分析】（I）根据面面垂直的性质定理，证得平面，由此证得.（II）以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量，由此计算出线面角的正弦值.（III）设,用表示出点的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直列方程，解方程求得的值，由此判断存在符合题意的点. 【详解】解：（Ⅰ）证明：因为为正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面，所以，．因为，所以两两垂直．分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．因为，，所以，所以．设平面的一个法向量为，则即令，则，所以．设直线与平面所成角为，则．（Ⅲ）设，设，则，所以，所以，所以．设平面的一个法向量为，则因为，所以令，则，所以．在线段上存在点，使得平面等价于存在，使得．因为，由，所以，解得，所以线段上存在点，使得平面，且．【点睛】本小题主要考查面面垂直的性质定理，考查利用空间向量法求解线面所成角的正弦值，考查线面平行的向量表示，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18.已知函数且.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求证：；(3)讨论函数的极值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（II）将原不等式转化为成立，构造函数，利用导数求得的最大值为零，由此证得不等式成立.（III）对求导后，对分成两类，结合函数的单调区间，讨论得出函数的极值. 【详解】解：（Ⅰ）当时，．所以．因为，所以曲线在处的切线方程为．（Ⅱ）当时，．函数的定义域为．不等式成立成立成立.设，则．当变化时，，变化情况如下表：＋－↗极大值↘所以．因为，所以，所以．（Ⅲ）求导得. 令，因为可得．当时，的定义域为.当变化时，，变化情况如下表：＋－↗极大值↘此时有极大值，无极小值．当时，的定义域为，当变化时，，变化情况如下表：－＋↘极小值↗此时有极小值，无极大值．【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数证明不等式，考查利用导数研究函数的极值，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.19.已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．(1)求椭圆的离心率及左焦点的坐标；(2)求证：直线与椭圆相切；(3)判断是否为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，据此确定离心率即可；（2）由题意可得.分类讨论和两种情况证明直线与椭圆相切即可；（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得．据此即可证得为定值．【详解】（1）由题意，，所以离心率，左焦点．（2）由题知，，即.当时直线方程为或，直线与椭圆相切．当时，由得，即所以故直线与椭圆相切．（3）设，，当时，，，，，所以，即．当时，由得，则，，．因为．所以，即．故为定值．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20.在无穷数列中，是给定的正整数，，．(1)若，写出的值；(2)证明：数列中存在值为的项；(3)证明：若互质，则数列中必有无穷多项为．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）根据以及的值，由此求得的值，找出规律，求得的值.（II）利用反证法，先假设，利用递推关系找出规律，推出矛盾，由此证明原命题成立.（III）首先利用反证法证明数列中必有“1”项，其次证明数列中必有无穷多项为“1”,由此证得原命题成立.【详解】解：(I)由，以及，可知，，，从开始，规律为两个和一个，周期为，重复出现，故.(II)反证法：假设,由于，记.则.则，,，，，依次递推，有，…，则当时，与矛盾.故存在，使所以，数列必在有限项后出现值为的项．(III)首先证明：数列中必有“1”项．用反证法，假设数列中没有“1”项，由(II)知，数列中必有“0”项，设第一个“0”项是，令，，则必有，于是，由，则，因此是的因数，由，则或，因此是的因数.依次递推，可得是的因数，因为，所以这与互质矛盾．所以，数列中必有“1”项．其次证明数列中必有无穷多项为“1”.假设数列中的第一个“1”项是，令，，则，若，则数列中的项从开始，依次为“1，1，0”的无限循环，故有无穷多项为1；若，则，若，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；若，则从开始的项依次为，必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．【点睛】本小题主要考查递推数列，考查合情推理，考查与数列有关的证明，考查分析问题与解决问题的能力，综合性很强，属于难题.。
北京市门头沟区2019届高三3月综合练习(一模)数学(文)试卷
门头沟区2019年高三综合练习（一）数学（文）2019.3注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知集合2{230},{0}A x x x B x x =--<=≥，则A B 等于 A ． 1,3)-（ B ．[0,3) C ． (1,0]- D. (1,2]-2. 复数z 满足21iz i=-，那么z 是A ．．3. 一个体积为 图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为 A.36 B ．8 C ．38 D ．124. 右面的程序框图，如果输入三个实数,,a b c 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 A ．c x > B ．x c >C ．c b >D ．b c >5.向量,a b →→满足1a b →→==，且其夹角为θ，则“1a b →→-=”是“3πθ=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是7. 已知ABC △中，BC=1，sin C C ，则ABC △的面积为A.8. 函数()221f x x ex m =-++-，函数()2(0)e g x x x x=+>，（其中e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）若函数()()()h x f x g x =-有两个零点，则实数m 的取值范围为A ．221m e e <-++B ．221m e e >-+C ．221m e e >-++D ．221m e e <-+ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ）9. 若x y ，满足条件10100x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪≥⎩≤≥，则2z x y =+的最大值为 ．10. 双曲线22:21C x y -=的渐近线方程是 .11．等比数列{}n a 中，32321,2S a a ==则数列{}n a 的通项公式n a = .12．过抛物线24y x =焦点且斜率为1的直线l 与此抛物线相交于,A B 两点，则AB = .13．若函数()f x 满足对定义域上任意12,x x 都有不等式1212()()()22x x f x f x f ++>，成立,则称此函数为“P 函数”，请你写出一个“P 函数”的解析式 . 14．一半径为4m 的水轮,水轮圆心O 距离水面2m ,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点P 从水中浮现时开始计时,即从图中点0P 开始计算时间.(Ⅰ)当5t =秒时点P 离水面的高度 ； (Ⅱ)将点P 距离水面的高度h (单位: m )表示为时间t (单位: s )的函数，则此函数表达式为 . 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.） 15. （本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =-+ ()x R ∈（1）求()f x 的周期及单调增区间； （2）若5[0,]12x π∈时，求()f x 的最大值与最小值.16．（本题满分13分）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 和，若51025,19S a ==。
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【区级联考】北京市门头沟区2019届高三3月综合
练习数学试题（理）
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则等于A．B．C．D．
2. 复数z满足，那么是
A．B．C．2 D．
3. 一个体积为正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为
A．B．8 C．D．12
4. 如图所示的程序框图，如果输入三个实数，，，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）
A．B．C．D．
5. 已知向量，满足，且其夹角为，则“”是
“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是
A．B．
C．D．
7. 某学需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要
选派1人则不同的选派方法的种数是
A．18 B．24 C．36 D．42
8. 若函数图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对称为函数
的“友好点对”且点对与可看作同一个“友好点对”若函数
其中e为自然对数的底数，恰好有两个
“友好点对”则实数m的取值范围为
A．B．C．D．
二、填空题
9. 已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为_____．
10. 双曲线的渐近线方程是________.
11. 等比数列中，，则数列的通项公式______．
12. 已知直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
，若直线l与曲线C相交于两点A，B，则______．
13. 已知x，，求的最值．
甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：
甲：
乙：
你认为甲、乙两人解法正确的是______．
请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．
三、双空题
14. 一半径为的水轮,水轮圆心距离水面2,已知水轮每分钟转动(按逆
时针方向)3圈,当水轮上点从水中浮现时开始计时,即从图中点开始计算时间.
(1)当秒时点离水面的高度_________；
(2)将点距离水面的高度(单位: )表示为时间(单位: )的函数，则此函数表达式为_______________ .
四、解答题
15. 在中，角所对的边分别是已知．（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的周长．
16. 在某区“创文明城区”简称“创城”活动中，教委对本区A，B，C，D
学校 A B C D
抽查人数50 15 10 25
“创城”活动中参与
40 10 9 15
的人数
注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的．
Ⅰ若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；
Ⅱ在随机抽查的100名高中学生中，从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；
Ⅲ若将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望．
17. 在四棱锥中，底面ABCD是边长为6的菱形，且，
平面ABCD，，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点．
Ⅰ求证：．
Ⅱ若．
求PC与平面BDF所成角的正弦值；
侧面PAD内是否存在过点E的一条直线，使得该直线上任一点M与C的连线，都满足平面BDF，若存在，求出此直线被直线PA、PD所截线段的长度，若不存在，请明理由．
18. 如图，已知椭圆，分别为其左、右焦点，过
的直线与此椭圆相交于两点，且的周长为8，椭圆的离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系中，已知点与点，过的动直线（不与轴平行）与椭圆相交于两点，点是点关于轴的对称点．求
证：
（i）三点共线．
（ii）．
19. 已知在点处的切线与直线平行．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设．
（i）若函数在上恒成立，求的最大值；
（ii）当时，判断函数有几个零点，并给出证明．
20. 给定数列，若满足且，对于任意的n，，都有
，则称数列为“指数型数列”．
Ⅰ已知数列，的通项公式分别为，，试判断，是不是“指数型数列”；
Ⅱ若数列满足：，，判断数列
是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
Ⅲ若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列．。