近世代数习题解答张禾瑞二章
近世代数习题解答(张禾瑞)二章
近世代数习题解答第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa=-1得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([ 即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群.证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n nn===⇒=---111)()(若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2)a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: nma a = )(n m 〈 故 e amn =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G 但231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的回答是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τ b ax x +→:λ d cx x +→:τλ d cb cax d b ax c x ++=++→)( d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 则 :ε x x → (4) :τ b ax + )(1:1ab x a x -+→-τ而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x :2τ x x 2→ :21ττ )1(2+→x x :12ττ 12+→x x 故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元. 证 :1τ )(1a a τ→ :2τ )(2a a τ→那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ= =→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ 故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元 :ε )(a a a ε=→ :ετ )()]([a a a ττε=→τ:τε )()]([a a a τετ=→∴ τεετ=4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。
近世代数基础 张禾瑞 答案
《近世代数》单元测试（群论部分）
学号_________________ 姓名_______________ 成绩__________________
一、 （15%）在全体n 阶矩阵集合)(R M n 中定义二元关系“~”：⇔B A ~存在可逆矩阵
P ，使得B AP P =-1。
证明：
“~”是一个等价关系。
二、 （15%）设R 为实数域，令R c b a a b a c b a G ∈⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=,,|000{ 且0≠a }。
证明G 关于矩
阵的乘法构成群。
三、 (15%)设}0,,|10{≠∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=r Q s r s r G 对于矩阵乘法构成群，}|101{Q s s H ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=，其中Q 是有理数域，证明：H 是G 的不变子群，且*≅Q H G
，其中*Q 是非零有理数的乘法群。
四、 (15%)设G 和G 是两个有限循环群，它们的阶分别是m 和n ，证明：G 和G 同态当且
仅当m n |。
五、 （15%）若A 、B 是群G 的两个不变子群，且AB G =，证明：若
B b A a ba ab ∈∈∀=,,，则G 是直积B A ⨯的一个满同态象。
六、 （15%）设G 和G 是两个有限循环群，它们的阶分别是m 和n ，证明：G 和G 同态
当且仅当m n |。
七、 （10%）设G G f →:是满同态，G b a ∈,，证明：bK aK b f a f =⇔=)()(，其
中Kerf K =。
近世代数ch2(1-6节)习题参考答案
第二章前6节习题解答 P35 §11．全体整数集合对于普通减法来说是不是一个群？解 ∵减法不满足结合律，∴全体整数对于减法不构成群。
2．举出一个有两个元的群例子。
解 }11{-，对于普通乘法构成一个群。
]}1[]0{[，对于运算][][][j i j i +=+构成群。
]}2[]1{[，对于运算][]][[ij j i =构成群。
它们都是两个元的群。
3. 设G 是一个非空集合，”“ 是一个运算。
假设①”“ 运算封闭；②结合律成立；③G 中存在右单位元R e ：G a ∈∀，有a ae R =；④G a ∈∀，G a R ∈∃-1，有R R e aa =-1。
则G 是一个群。
证(仿照群第二定义的证明)先证R R R e a a aa ==--11。
∵G a R ∈-1，∴G a ∈∃'，使R R e a a =-'1，∴R R R R R R R R R R R e a a a e a a aa a a a a a e a a a a ======--------''')()')(()(11111111，R R e a a =⇒-1。
∴R R R e a a aa ==--11。
再证a ae a e R R ==，即R e 是单位元。
G a ∈∀，已证R R R e a a aa ==--11，∴a a e a ae a a a a aa a e R R R R R =⇒====--)()(11。
∴a ae a e R R ==。
即R e 就是单位元e 。
再由e a a aa R R ==--11得到1-Ra 就是1-a 。
这说明：G 中有单位元， G a ∈∀都有逆元1-a 。
∴G 是一个群。
P38 §21. 假设群G 的每一个元都适合方程e x =2，那么G 是可交换的。
证∵ 12，-=⇒=∈∀x x e x G x 。
近世代数课后习题参考答案（张禾瑞）-1
近世代数课后习题参考答案（张禾瑞）-1近世代数课后习题参考答案第一章基本概念1 集合1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明如下当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故BA =2.假定B A ?,?=B A ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A,这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A = ,B B A ? , 及由B A ?得B B A ? ,故B B A = ,2 映射1.A =}{100,3,2,1，??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射.2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象.3 代数运算1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法是AA ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ?解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不只一个.2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解?a b c aa b ca b cc a a a a a c c a b bd a aca a a4 结合律1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:bab a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律: 212)11(= , 2)21(1= ,从而)21(12)11( ≠.2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律?解? 这个代数运算不适合结合律c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++=)()(c b a c b a ≠ 除非0=c .3.A ={c b a ,,},由表所给的代数运算适合不适合结合律?解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.5 交换律1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律?解? 一般地a b b a -≠- 除非b a =.2.},,,{d c b a A =,由表a b c d a a b c d b b d a c c c a b d dd c a b所给出代数运算适合不适合交换律?a b c aa b cc a cc a b解? d d c = , a c d =从而c d d c ≠.故所给的代数运算不适合交换律.6 分配律假定:?⊕,是A 的两个代数运算,并且⊕适合结合律,⊕?,适合两个分配律.证明)()()()(22122111b a b a b a b a ?⊕?⊕?⊕? )()()()(22211211b a b a b a b a ?⊕?⊕?⊕?= 证?)()()()(22122111b a b a b a b a ?⊕?⊕?⊕? =])[(])[(221121b a a b a a ?⊕⊕?⊕ =)()(2121b b a a ⊕?⊕=)]([)]([212211b b a b b a ⊕?⊕⊕?)()()()(22211211b a b a b a b a ?⊕?⊕?⊕?=7 一一映射、变换1.A ={所有0?的实数},=-A {所有实数}.找一个A 与-A 间的意义映射.证φ:a a a log =→-因为a 是大于零的实数,所以a log 是实数即A a ∈,而--∈A a ,而且b a b a log log =?=.因此φ是A 到-A 的映射.又给了一个-A 的任意元-a ,一定有一个A 的元a ,满足-=a a log ,因此φ是A 到-A 的满射.a a a log =→-b b b l o g =→-若b a ≠, 则b a log log ≠.即 --≠?≠b a b a 因此φ又是A 到-A 的单射.总之,φ是A 到-A 的一一映射.2. A ={所有0≥的实数},=-A {所有实数-a ,10≤≤-a }. 找一个A 到-A 的满射. 证a a a s i n :=→-φ,容易验证φ是A 到-A 的满射.3.假定φ是A 与-A 间的一个一一映射,a 是A 的一个元.?)]([1=-A φφ)]([1=-a φφ若φ是A 的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么?解? a a =-)]([1φφ, a a =-)]([1φφ未必有意义;当φ是A 的一一变换时,.)]([,)]([11a a a a ==--φφφφ8 同态1.A ={所有实数x },A 的代数运算是普通乘法.以下映射是不是A 到A 的一个子集-A 的同态满射?x x a →) x x b 2)→ 2)x x c → x x d -→)证? )a 显然=-A {所有0≥的实数}.又由于y x xy xy =→ 可知x x →是A 到-A 的同态满射.)b 由于)2)(2(2y x xy xy ≠→ ( 除非0=xy )所以x x 2→不是A 到-A 的同态满射.)c 由于222)()()(y x xy xy =→,易知2x x →是A 到-A 的同态满射.这里-A ={所有0≥的实数}.)d 一般来说,))((y x xy --≠-,:所以x x -→不是A 到-A 的同态满射 .2. 假定A 和-A 对于代数运算ο和-ο来说同态，-A 和=A 对于代数运算-ο和=ο来说同态，证明 A 和=A 对于代数运算ο和=ο来说同态。
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46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
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47、采菊东篱下，悠然见南山。
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48、啸傲东轩下，聊复得此生。
ห้องสมุดไป่ตู้
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49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
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50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
谢谢
近世代数第二章答案
近世代数第二章群论答案（一）§1.群的定义1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？解：不是，因为普通减法不是适合结合律。
例如()321110--=-=--=-=()321312()()--≠--3213212.举一个有两个元的群的例。
解：令G=,e a{},G的乘法由下表给出首先，容易验证，这个代数运算满足结合律(1) ()(),,= ∈x y z x y z x y z G因为，由于ea ae a==，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。
(参考第一章，§4，习题3。
)若是e不在(1)中出现，那么有()aa a ea a==a aa ae a==()而(1)仍成立。
其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。
所以G是一个群。
读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。
3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV'，V'来做群的定义：IV 'G 里至少存在一个右逆元1a -，能让=ae a对于G 的任何元a 都成立；V ' 对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，能让1=aa e -解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V 来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。
§2. 单位元、逆元、消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程2=x e ，那么G 是交换群。
解：令a 和b 是G 的任意两个元。
由题设()()()2==ab ab ab e另一方面()()22====ab ba ab a aea a e于是有()()()()=ab ab ab ba 。
利用消去律，得=ab ba所以G 是交换群。
2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。
解：令G 是一个有限群。
设G 有元a 而a 的阶>2n 。
考察1a -。
我们有()1=nn a a e -()()11==nne a a e --设正整数<m n 而()1=ma e -，那么同上可得=m a e ，与n 是a 的阶的假设矛盾。
近世代数习题解答2
近世代数习题解答第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1 得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea =a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 假设群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群.证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 那么1-a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===⇒=---111)()(假设有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a me a m=∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2) a 的阶大于2, 那么1-≠a a 假设 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 那么 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:n m a a =)(n m 〈 故 e a m n =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定一样? 证 不一定一样 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G但 231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的答复是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 ……τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τb ax x +→:λd cx x +→:τλd cb cax d b ax c x ++=++→)(d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 那么 :εx x → (4):τb ax +)(1:1ab x a x -+→-τ 而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x:2τx x 2→:21ττ)1(2+→x x :12ττ12+→x x故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→ 来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ:)()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元.证 :1τ)(1a a τ→:2τ)(2a a τ→那么:21ττ)()]([2121a a a ττττ=→ 显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ==→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元:ε)(a a a ε=→:ετ)()]([a a a ττε=→τ:τε)()]([a a a τετ=→∴τεετ=4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。
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60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
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41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温
42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚
43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊
44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
近世代数的答案
近世代数习题解答第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1 所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([ 即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群.证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n nn===⇒=---111)()(若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a Θ的阶等于1-a 的阶(2)a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈K K K ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: nma a = )(n m 〈 故 e amn =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G 但231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的回答是回有的},3,2,1{K =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τ b ax x +→:λ d cx x +→:τλ d cb cax d b ax c x ++=++→)( d cb ca +,是有理数 0≠ca Θ 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 则 :ε x x → (4) :τ b ax + )(1:1ab x a x -+→-τ 而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x :2τ x x 2→ :21ττ )1(2+→x x :12ττ 12+→x x 故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元. 证 :1τ )(1a a τ→ :2τ )(2a a τ→那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ= =→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ 故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元 :ε )(a a a ε=→ :ετ )()]([a a a ττε=→τ:τε )()]([a a a τετ=→ ∴ τεετ=4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。
近世代数习题解答2汇总
近世代数习题解答第二章群论1群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？证不是一个群，因为不适合结合律•2. 举一个有两个元的群的例子.证G二｛1,-1｝对于普通乘法来说是一个群.3. 证明，我们也可以用条件1,2以及下面的条件4',5'来作群的定义：4 . G至少存在一个右单位元e,能让ae= a 对于G的任何元a都成立5 . 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元a-1,能让aa，二e证（1）一个右逆元一定是一个左逆元，意思是由aa'=e 得a_1a=e因为由4G有元a能使a J a = e所以（a」a）e = @屯）@备）=[a」（aa^a =[a」e]a，= a^a，= e即a a = e（2）一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元，意即由ae = a 得ea = aea 二（aa'）a 二a（a'a）二ae 二a即ea 二a这样就得到群的第二定义•（3）证ax = b可解取x 二aa（a』b）二（aa』）b 二be 二b这就得到群的第一定义•反过来有群的定义得到4，,5,是不困难的.2单位元，逆元，消去律1. 若群G的每一个元都适合方程x2二e,那么G就是交换群.证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对a,b ：=G 有ab = (ab)' = b'a -1 = ba .2. 在一个有限群里阶大于 2的元的个数是偶数.证 ⑴ 先证a 的阶是n 则a J的阶也是n . a n = e= (a 」)n = (a n )—1 = e -1 = e 若有mn 使(a 」)m =e 即(a m )，二e 因而 a m =e ，. a m =e 这与a 的阶是n 矛盾-a 的阶等于a J 的阶1 1 2(2) a 的阶大于2,则a=a 若a 二a=a 二e 这与a 的阶大于2矛盾(3)a =b 贝y a J - b J_ 1总起来可知阶大于 2的元a 与 a 双双出现，因此有限群里阶大于 2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群，在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数•证 根据上题知，有限群G 里的元大于2的个数是偶数；因此阶-2的元的个数仍是偶数，但阶是1的元只有单位元，所以阶 <2的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的证 a G故 a ，a 2,…，a m ，…，a n 「• G由于G 是有限群，所以这些元中至少有两个元相等n - m 是整数，因而a 的阶不超过它不一定相同_1J3例如G 二{1,-- 2 G ={1}对普通乘法G ，G 都作成群，且 (x^1 (这里x 是G的任意元，1是G 的元)(m n)n -m故a =e4群的同态假定在两个群G 和G 的一个同态映射之下，a > a , a 和a 的阶是不是一定相同？由 J可知G s G1 i . 3 _ 1 _ i 3但1I 3 1 I 3的阶都是3.2 ' 2而1的阶是1.5变换群1. 假定.是集合的一个非一一变换,.会不会有一个左逆元•二使得•，•二；？ 证我们的回答是回有的 A ={1,2,3,…}1 T 1 1 T 1 2~ 12 T3 3T 2 3 T4 4T 34T52.假定A 是所有实数作成的集合 •证明.所有A 的可以写成 x > ax b,a,b 是有理数，a = 0形式的变换作成一个变换群 •这个群是不是一个交换群 ？ 证(1) . :x > ax b x — ex d汀“：e(ax b) d 二 eax eb dea,eb d 是有理数 ca = 0； 是关闭的(2)显然时候结合律(3) a =1 b =0 贝y ； ： x — xax bi1 +/ b 、:x x ( ) a a= •；：所以构成变换群又 d X r X 12 :x — 2xV 2 ： X — 2(x1)2 “： x > 2x 1 故12 1因而不是交换群3.假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合，我们暂时仍用旧符号 :a > a '= (a)来说明一个变换.•证明，我们可以用.仁2： ar 匚[.2(a)] =’2(a)来规定一个S 的 乘法，这个乘法也适合结合律，并且对于这个乘法来说；还是S 的单位元..显然是一个非 -- 变换但 -:-j T -J证: a —1(a)2： a—：2(a)那么12： a— 1[ 2(a)]二 1 2(a)7显然也是A的一个变换.现在证这个乘法适合结合律：(12)3： a > ( 1 2)[ 3(a)] K I[.2【3(a)]]1(2 3)：a— d 2 3(a)]=餡[2【3(a)]]故(1 2)3 =讷(・2 3)再证；还是S的单位元；: a 》a = ；(a)T:a—■[ (a)] = (a)；：a—[ ；(a)] = .(a)ST = TS4. 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。
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近世代数习题解答第二章群论1群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？证不是一个群，因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证G={1,-1}对于普通乘法来说是一个群.3. 证明，我们也可以用条件1,2以及下面的条件4,5'来作群的定义：4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae = a 对于G的任何元a都成立5 . 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元 a ,能让aa eA_1证(1) 一个右逆元一定是一个左逆元，意思是由aa e 得a a = e因为由4 G有元a能使a'a =e1 1 1 '所以(a a)e = (a a)(a a )即a a = e(2)一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元，意即由ae = a 得ea = a即ea = a这样就得到群的第二定义.(3)证ax二b可解取x = a这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到4,5'是不困难的.2单位元，逆元，消去律1. 若群G的每一个元都适合方程x2二e,那么G就是交换群.证由条件知G中的任一元等于它的逆元，因此对a,b^G有ab = (ab)，= b°a，= ba .2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数._1 n —1 n n —1 —1证(1)先证a的阶是n则a 的阶也是n . a e= (a ) (a ) e e若有m n 使(a ')m= e 即(a m)' = e因而a m=e‘ • a m=e 这与a的阶是n矛盾「a的阶等于a °的阶_4 _4 2(2) a的阶大于2,则a=a 若a=a : a=e 这与a的阶大于2矛盾(3) a b 贝U a「b'斗总起来可知阶大于2的元a与a双双岀现，因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G是个数一个阶是偶数的有限群，在G里阶等于2的元的个数一定是奇数.证根据上题知，有限群G里的元大于2的个数是偶数；因此阶<2的元的个数仍是偶数，但阶是1的元只有单位元，所以阶<2的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的证a ：= G故a a2…a m…a n…€ G由于G是有限群，所以这些元中至少有两个元相等：m n n _ma =a (m n) 故a 二en - m是整数，因而a的阶不超过它.4群的同态假定在两个群G和G的一个同态映射之下，a》a，a和a的阶是不是一定相同？证不一定相同丄 c _1 +23 _1 +伍例如G 二{1, , }-2 2对普通乘法G,G都作成群，且(x^1 (这里x是G的任意元,1是G的元)由••可知G s G—1+&3 —1—iJ3但11的阶都是3.2 2而1的阶是1.5变换群1 11. --------------------------------------- 假定I是集合的一个非变换，1会不会有一个左逆元T ，使得I =Z ?证我们的回答是回有的 A ={1,2,3,— }3f 2 3 f 44f 3 4-显然是一个非--- 变换但'二2.假定A是所有实数作成的集合.证明.所有A的可以写成x > ax b,a,b是有理数，a = 0形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群？证(1) - : x—ax ■ bca,cb d是有理数ca尸0 ；是关闭的.⑵显然时候结合律⑶ a =1 b =0则:Xr X 而.J .二. ；所以构成变换群.又d X"x 13. 故1 - 21因而不是交换群3.假定S 是一个集合 A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号.:a 》a' = .(a)来说明一个变换..证明，我们可以用.「2： a“【[.2(a)] = j.2(a)来规定一个S 的乘法，这个乘法也适合结合律,并且 对于这个乘法来说；还是S 的单位元.证 彳： a —. d (a)那么.「2： a “ i [ .2(a)] = i 2(a) 显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律：故 (•1・2)・3 =・1(・2・3) 再证；还是S 的单位元4 .证明一个变换群的单位元一定是恒等变换证设；是是变换群G 的单位元G , G 是变换群，故.是—变换，因此对集合 A 的任意元a ，有A 的元b ,；(a) »( (a)) = ；• (b) = • (b) =a另证■- (x)(x)根据1.7.习题3知t i(x) =x 5.证明实数域上一切有逆的n n 矩阵乘法来说，作成一个群。
证G =｛实数域上一切有逆的 n n 矩阵｝1 1A, B • G 则B A 是AB 的逆从而 代B - G 对矩阵乘法来说， G 当然适合结合律且 E ( n 阶的单位阵) 是G 的单位元故 G 作成群。
6置换群找岀所有S 3的不能和(撐)交换的元.证S 3不能和(撐)交换的元有(123),(；23),(；；3)解：S 3的所有元用不相连的循环置换写岀来是(1), (12), (13), (23), (123), (132).证明：(1)两个不相连的循环置换可以交换⑵ 仏…i k )'=(i k i k ・i 1)证(1)(症…ikXikJimim^TJi 1i2 i k i k 1i k 2i m i m L i n—I I . . ■ « . .. . . I炒3 Wk 2i k 3…i k丽1…in• •・・・• . ■ ■.・・1. 这是难验证的.2.把S 3的所有的元写成不相连的循环置换的乘积 i 1i2 ■ i k i k 1i k r ■ i m i m 1 ■ j n(i 1 i 2i k ik 2i k 3 i k 1i m 1 …*丿k i k 1i k 2 i m i m 1'，n i1i2 i k i k 1 i m i m 1 i n1*2 i乂(i k 1i k 2 i m)(i1i2 I k丿= (i1i「i k i k2i k3 …i k」m1 …in 八i2i3J i k「i m i m 1 …i n 丿=(i CC；m；m V in i n),故(症…匚小山十…気)=山齐気)(応…iQ3.⑵(症i k)(i k i k」-i i) =(h),故(施…i k)丄h).3.证明一个K 一循环置换的阶是K.证设兀=仏…i k)=C；：.；；)设hk,那么二h=(「.打)=(ij'h 1 'h 15. 证明S n的每一个元都可以写成(12),(13)/ ,(1 n)这n -1个2—循环置换中的若干个乘积。
证根据2.6.定理2。
S n的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积而我们又能证明同时有(i i ij=(1i i)(1i i)(1i i),这样就得到所要证明的结论。
贝U 二2=(；匚卜)二J (W )!3 ”“1 t X/7循环群1. 证明一个循环群一定是交换群。
证G (a) a m, a n Gm n mn ：：m n m贝U a a a a a ar n2. 假设群的元a的阶是n，证明a的阶是一这里d=(r,n)是r和n的最大公因子d证因为(r, n) = d 所以r二dn ,n二小门“而(口，口)=13. 假设a生成一个阶n是的循环群G。
证明a r也生成G，假如(r, n) = 1(这就是说r和n互素)证a生成一个阶n是的循环群G，可得生成元a的阶是n，这样利用上题即得所证, 或者，由于(r,n) =1有sr - tn =1a = a a a (a ) 即a (a )故(a) =(a)r4假定G是循环群，并且G与G同态，证明G也是循环群。
证有2。
4。
定理1知G也是群，设G 且(a^ a (是同态满射)b G则存在b G使(b^b b =a k因而G s G_k _k故(a k) a 即(b)二ak因而b =a 即?=(?)5 •假设G是无限阶的循环群，G是任何循环群，证明G与G同态。
证i)设G是无限阶的循环群，- - -TG =(a) 令(a )二a且(a s a ) = a a a 二(a s) (a )所以G s Gii)设G =(a)而a的阶是n。
令* : a" a 当且只当h|二nq^i ' & ,0 _ k i n易知‘-：是G到G的一个满射设k1k2= nq k 则h h2= n(qq2) K k2 = n(q1q2q) k_k _q _k 4q _k^tk2 」_k2那么a h l a h2—； a a a a a aG s G8子群1 •找岀S3的所有子群证S3={ (1),(12),(13),(23),(123),(132)}的子群一定包含单位元(1)。
i)S3本身及只有单位元(1)都是子群2ii)包含(1)和一个2 一循环的集合一定是子群因(1)(ij) = (ij), (ij) (1)H2={ (1),(12)}, H3 ={ (1),(13)}, 出={(1),(23)}亦为三个子群iii)包含(1)及两个3—循环置换的集合是一个子群2(ijk) =(ijk), (ijk)(ikj) =(1)出={ (1),(123),(132)}是子群，S有以上6 个子群，今证只有这6个子群，iv)包含(1)及两个或三个2—循环置换的集合不是子群因(ij)(ik) = (ijk)不属于此集合v )若一集合中3—循环置换只有一个岀现一定不是子群因(ijk)2=(ikj)Vi) 一个集合若岀现两个3—循环置换及一个2 —循环置换不是子群因(ij)(ijk)=(ik)耐)3—循环置换及2—循环置换都只有两个岀现的集合不是子群因若(ij),(ik)岀现则(ij )(ijk0 =( jk)故S3有且只有6个子群。
2. 证明；群G的两个子群的交集也是G的子群。
证H 1,H 2是G的两个子群，H = H丄H 2H显然非空a,b・H 则a,b・H1同时a,b，H2因H1,H2是子群，故ab^ e H1，同时ab'w H2所以ab 4 H1 H2 = H故H是G的子群3 •取S3的子集S ={(12),(123)}，S生成的子群包含哪些个元？一个群的两个不同的子集不会生成相同的子群？证(12)2=(1) S (12)(132)=(23) S 从而S=S3群的两个不同的子集会生成相同的子群S ={(123)} 3生成的子群为{(1),(123),(132)}S2 二{(132)} S2生成的子群为{ (1),(123),(132)} 4 •证明，循环群的子群也是循环群。
证G= ( a)是循环群，H是G的子群设a^ H，而o h k 时a k F H。