流体力学第三章 流体运动学基础

V V dA dA
速度在过流断面上均布
Q = VA
流体力学
平均速度
平均速度
假设过流断面上各点速 度相等，通过的流量与 实际流量相等
∫ udA v=
A
A
以平均速度计算流量是准确的，但计算动 量、动能等会引入误差，需要修正
流体力学
3.4 流体微团的运动与变形
流体质点
无线尺度，无变形运动
流体微团
大量流体质点构成的微小单元，有线尺度 流体质点的相对运动引起流体微团的变形、 旋转
旋度
无旋流动
ω=0
流体力学
角变形
OA、OB（x、y轴） 间的角变形率
δγ δα + δβ = lim γ = lim δt → 0 δ t δt → 0 δt
∂u ∂ v + ∂y ∂x
B B
δβ δβ
B’ B’
∂u (( ∂uδy))δt δy δt ∂y ∂y ∂v (( ∂vδx))δt δx δt ∂x ∂x
δyy δ δα δα
A’ A’ O O
δδx x
O O
u u
δx δx
A A
OA边旋转角速度 OB边旋转角速度
流体力学
δα ∂v ωOA = lim = δt → 0 δ t ∂x δβ ∂u ωOB = lim = δt → 0 δ t ∂y
旋转2
流体团绕 z 轴的旋转角速度
1 ⎛ ∂v ∂u ⎞ ωz = ⎜ − ⎟ 2 ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎝ ⎠
迹线方程
dx dy dz = = = dt u v w
流体力学
小结5
流线方程
dx dy dz = = u v w
质量流量和体积流量
m = ∫ ρVdA
A
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Q = ∫ VdA
A
相对体积膨胀率
1 d (δV ) ∂u ∂v ∂w = + + = ∇ ⋅V ∂x ∂y ∂z δV dt
流体力学
小结6
流体微团旋转角速度
解：1、迹线
dx = x+t dt dy = −y+ t dt
y y x x
⎧ x = C 1e t − t − 1 ⎨ y = C 2e − t + t − 1 ⎩ x + y = −2
流体力学
流线、迹线－例题1
2、流线
dx dy = u v dx dy = x+t − y+t
y y
ln( x + t ) + ln(− y + t ) = C
迹线、流线、染色线
三种线的特点、区别与联系 迹线方程、流线方程
流体微团的线变形、旋转、角变形
相对体积膨胀率、角速度、角变形率
流体力学
小结3
几个概念 物质导数、局部导数、对流导数 流管、微小流束、总流、过流断面、质 量流量、体积流量 散度、旋度
流体力学
小结4
公式 物质导数
DN ∂N ∂N ∂N ∂N = +u +v +w ∂t ∂x ∂y Dt ∂z
流线的特点
同一时刻，不同流体质点的连线 速度方向与该点切线方向重合 某瞬时的假想曲线，欧拉观点下的概念
流体力学
流线2
流线方程
dl dl
V V
dx dy dz = = u v w
t 为常数，x，y，z 为自变量 一般情况流线不相交
流体力学
V
V′
流线3
流体力学
流线4
一般情况下，流线不能相交和转折
V
流体力学
3.3 迹线、流线和染色线、流管
迹线 迹线的特点
流场中实际存在 同一质点，不同时刻的空间位置 拉格朗日观点下的概念
流体力学
流体质点在空间运动 时所描绘出来的轨迹
迹线
迹线方程
dx dy dz = = = dt u v w
t 是自变量，x，y，z 都是 t 的函数
流体力学
流线1
流线
某瞬时流场中一条假想曲线 该曲线上各点速度方向和曲 线在该点切线方向重合
流体力学
x, y , z , t 为 欧拉变数
欧拉方法2
空间中的速度分布
V = V ( x, y, z, t )
空间中的压强分布、温度分布
p = p( x , y , z , t )
T = T ( x, y, z, t )
场－分布着某种物理量的空间区域
流体力学
几种场1
定常场与非定常场
流场中每一点的物理量都不随时间变 化，称为定常场；否则，为非定常场 定常场数学描述
流体力学
描述流体运动的方法思考题2
某人坐在匀速运动的飞机上测量和记录周 围各点空气的速度和压强，请问它采用的 研究方法是 A、拉格朗日方法 B、欧拉方法 C、两者都不是
流体力学
小结1
描述流体运动的两种方法
拉格朗日方法 欧拉方法
物质导数
采用欧拉变量描述流体质点某物 理量对时间的变化率
流体力学
小结2
欧拉法描述流体质点的加速度1
V ( x + δx , y + δy , z + δ z , t + δ t ) − V ( x , y , z , t ) a = lim δt → 0 δt
∂V ∂V ∂V ∂V a= +u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z
流体质点的加速度 流体质点的速度对时间的变化率
流体团绕 x 和 y 轴的旋转角速度
1 ⎛ ∂w ∂v ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂w ⎞ ωx = ⎜ − ⎟ ω y = ⎜ − ⎟ 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠ 2 ⎝ ∂z ∂x ⎠
流体力学
旋转3－角速度矢量、旋度
i j k 1 ∂ ∂ ∂ 1 ω= = ∇ ×V 2 ∂x ∂y ∂ z 2 u v w
∂v ∂v ∂v ∂v 2 = -2y + 4yt +u +v +w ay = ∂z ∂t ∂x ∂y
流体力学
物质导数－例2
不可压缩流体的数学描述 流体质点的密度在运动过程中保持不变
∂ρ ∂ρ ∂ρ Dρ ∂ρ = +u +v +w =0 Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
均质不可压缩流体的数学描述
ρ = const
微小流束 总流 过流断面
V
流管元内所有流线的总和 流管内所有流线的总和 与总流所有流线 相垂直的截面
V
流体力学
质量流量
质量流量
m = ∫ ρVdA
A
单位时间通过流管过 流断面的流体质量
V V dA dA
速度、密度在过流断面上均布
m = ρVA
流体力学
体积流量
体积流量
Q = ∫ VdA
A
单位时间通过流管过 流断面的流体体积
流体力学
xy = 1
x x
t = 2时 ( x + 2 )(− y + 2) = 3 定常流动条件下，流线、迹线、染色线重合
流体力学
流管
在流场中做一封闭且不自相交的曲线 C， 在某瞬时通过该曲线上的流线构成的管 状表面称为流管 有限流管 流管元
C
定常流动时，流管形状不变，类似于固 定管道
流体力学
总流、过流断面
流体力学
染色线
染色线
相继通过流场同一空间点的 流体质点在同一瞬时的连线
流场显示技术，反映流场结构、流动特点
流体力学
流线、迹线－例题1
例：设一流场，其欧拉表达式为u = x + tt， v = -例：设一流场，其欧拉表达式为u = x + ， v = y + tt， w = 0，求 tt = 0 时过M ((-1,-1)点的流 y + ， w = 0，求 = 0 时过M -1,-1)点的流 线和迹线 线和迹线
x x
一维流动
y y
z z
r r
r r
二维流动
流体力学
z z
3.2 物质导数
欧拉方法描述流体质点的加速度
∂V ( x , y , z , t ) =? ∂t
t 时刻 t + δ t时刻
V ( x, y, z, t )
V ( x + δx , y + δy , z + δz , t + δ t )
流体力学
δyy δ
A’ A’ O O
δx δx
δα δα
A A
z、x 轴及y、z 轴间的角变形率
∂u ∂w ∂w ∂v + + , ∂z ∂x ∂y ∂z
流体力学
描述流体运动的方法思考题1
下列流动适合用那一种方法描述 A、研究一污染物粒子在水中运动的轨迹 B、研究无数质点组成的质点群的运动 C、研究一流动空间的速度分布
流体力学
欧拉法描述流体质点的加速度2
∂V ∂t
空间点上的速度对时间的变化率 由速度场的非定常性引起
当地加速度或局部加速度
∂V ∂V ∂V u +v +w ∂x ∂y ∂z
由速度场的非 均匀性引起
迁移加速度或对流加速度
流体力学
欧拉法描述流体质点的加速度3
流体力学
物质导数1
任意物理量 N 的物质导数
A A
δ yy δ
O O
δx δx
δx δx
O O
∂u (( ∂ uδ x ))δtt δx δ ∂x ∂x
A A
A’ A’
x方向相对变形率
∂u ∂x
x方向相对线变形引起体积膨胀率
流体力学
∂u ∂x
线变形2－散度
线变形引起总的相对体积膨胀率
1 d (δV ) ∂u ∂v ∂w = + = ∇ ⋅V + δV dt ∂ x ∂y ∂z
V′
奇点
流体力学
A
C
驻点
流线5
流线的走向和疏密反映了某瞬时流场内流 体速度方向和大小：流线密的地方流速大
流体力学
流线、迹线的区别
同一质点，不同时刻位置的连线
迹线
流场中实际存在的线 拉格朗日观点下的概念 同一时刻，不同质点的连线 速度方向与该点切线方向重合
流线
流场中并不存在，假想曲线 欧拉观点下的概念
流体力学
流体微团的运动与变形
t 0 + δt
平动
线变形 +
=
t0
+ 流体团复 合运动
流体力学
+ 旋转 角变形
线变形1
x方向速度只在x方向有梯度
B B
u u
C C B B C C C’ C’
δ yy δ
u u
∂u u + ∂ uδ x u+ δx ∂x ∂x ∂u u + ∂ uδ x u+ δx ∂x ∂x
由物理量场的非 均匀性引起的 N 的变化率
位变导数或对流导数
流体力学
物质导数－例1
例：已知速度场u = 2xt， v = --2yt，求流体质点 例：已知速度场u = 2xt， v = 2yt，求流体质点 的axx，ayy 。 的a ，a 。
∂u ∂u ∂u ∂u 2 ax = +u +v +w = 2 x + 4 xt ∂z ∂t ∂x ∂y
DN ∂N ∂N ∂N ∂N = +u +v +w Dt ∂z ∂t ∂x ∂y DN Dt
流体质点的物理量 N 随时间的 变化率
物质导数（质点导数或随体导数）
流体力学
物质导数2
∂N ∂t
空间点上的N随时间的变化率， 由物理量场的非定常性引起
局部导数或当地导数
∂N ∂N ∂N u +v +w ∂z ∂x ∂y
描述每个流体质点自始至终的运动规律 设初始时刻某质点标记为（a, b , c）， 则该质点的物理量 η 可表示为
η = η (a , b, c , t )
其中 a, b , c , t 为拉格朗日变数
流体力学
拉格朗日方法
任意时刻流体质点的位置矢量
r = r (a , b, c , t )
任意时刻流体质点的速度和加速度
∂η =0 ∂t
流体力学
或 η = η ( x, y, z )
几种场2
流体力学
几种场3
均匀场与非均匀场
流场中各空间点上的物理量都一样，称 为均匀场；否则，为非均匀场 均匀场数学描述
∂η ∂η ∂η = = = 0 或 η = η (t ) ∂x ∂y ∂z
流体力学
一维、二维、三维流动
速度场为三个空间坐标的函数－三维流 动，实际流动都是在三维空间中的流动
不可压缩流体
∇ ⋅V = 0
流体力学
速度散度为零
旋转1
存在交叉导数
∂u u + ∂uδyy u+ δ ∂yy B ∂ B ∂u (( ∂uδyyδtt δ ))δ ∂yy ∂ ∂v (( ∂vδx)δtt δx)δ ∂x ∂x
C C
B B
δβ δβ
B’ B’
δyy δ
vv ∂v vv+ ∂vδx + δx ∂x ∂x A A
第三章
流体运动学基础
流体运动学
流体运动的数学描述，流体运动的分类， 流体微团的运动和变形
基础知识
导数的概念、微分方程、场论、流 体质点，角变形率
流体力学
概述
描述流体运动的两种方法
拉格朗日方法、欧拉方法
物质导数 迹线、流线、染色线 流体微团的运动和变形
流体力学
3.1 描述流体运动的两种方法
拉格朗日方法－跟踪流体质点
i j k 1 ∂ ∂ ∂ 1 ω= = ∇ ×V 2 ∂ x ∂ y ∂z 2 u v w
流体微团角变形率
∂u ∂v ∂ w ∂ v ∂ u ∂ w + , + , + ∂y ∂ x ∂ y ∂z ∂ z ∂ x
流体力学
作业：P.53～54 作业：P.53～54 3−2 3 − 10 3 − 14 3 − 17
∂r (a , b, c , t ) V= ∂t
∂V ∂ 2 r (a , b, c , t ) a= = ∂t ∂t 2
流体力学
欧拉方法1
着眼于空间点
描述空间某点流体运动物理量随时间的变 化规律及由一点转向另一点时该量的变化 空间点的位置为(x , y , z)，则物理量 η 的空间分布
η = η ( x, y, z, t )