八年级数学下册第17章函数及其图象17.1变量与函数教案2新版华东师大版

17.1 变量与函数(2)

知识技能目标

1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制；

2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.

过程性目标

1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；

2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法.

教学过程

一、创设情境

问题1

(1)填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?

(2)如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式.

解如图能发现涂黑的格子成一条直线.

函数关系式：y＝10－x.

问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式.

解y与x的函数关系式：y＝180－2x.

问题3 如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积y cm2与MA长度x cm之间的函数关系式.

解 y 与x 的函数关系式：22

1x y

. 二、探究归纳

思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围.

(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？

分析 问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围.

问题2，因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x 不可能大于或等于90°.

问题3，开始时A 点与M 点重合，MA 长度为0cm ，随着△ABC 不断向右运动过程中，MA 长度逐渐增长，最后A 点与N 点重合时，MA 长度达到10cm.

解 (1)问题1，自变量x 的取值范围是：1≤x ≤9；

问题2，自变量x 的取值范围是：0＜x ＜90；

问题3，自变量x 的取值范围是：0≤x ≤10.

(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4.

上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：s ＝60t ， S ＝πR 2.

在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义.例如，函数解析式S ＝πR 2中自变量R 的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S 与圆半径R 的关系，那么自变量R 的取值范围就应该是R ＞0.

对于函数 y ＝x (30－x )，当自变量x ＝5时，对应的函数y 的值是 y ＝5× (30－5)＝5×25＝125.

125叫做这个函数当x ＝5时的函数值.

三、实践应用

例1 求下列函数中自变量x 的取值范围：

(1) y ＝3x －1； (2) y ＝2x 2＋7； (3)21+=x y ； (4)2-=x y . 分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值.例如，在(1)，(2)中，x 取任意实数，3x －1与2x 2＋7都有意义；而在(3)中，x ＝－2时，

21+x 没有意义；在(4)中，x ＜2时，2-x 没有意义.

解 (1)x 取值范围是任意实数；

(2)x 取值范围是任意实数；

(3)x 的取值范围是x ≠－2；

(4)x 的取值范围是x ≥2.

归纳 四个小题代表三类题型.(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式. 例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：

(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y (元)关于用电度数x 的函数关系式；

(2)已知等腰三角形的面积为20cm 2，设它的底边长为x (cm)，求底边上的高y (cm)关于x 的函数关系式；

(3)在一个半径为10 cm 的圆形纸片中剪去一个半径为r (cm)的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为S (cm 2)，求S 关于r 的函数关系式.

解 (1) y ＝0.50x ，x 可取任意正数；

(2)x

y 40=，x 可取任意正数； (3)S ＝100π－πr 2，r 的取值范围是0＜r ＜10.

例3 在上面的问题(3)中，当MA ＝1 cm 时，重叠部分的面积是多少?

解 设重叠部分面积为y cm 2

，MA 长为x cm ， y 与x 之间的函数关系式为

22

1x y = 当x ＝1时，2

11212=⨯=y 所以当MA ＝1 cm 时，重叠部分的面积是

21cm 2. 例4 求下列函数当x = 2时的函数值：

(1)y = 2x -5 ； (2)y =－3x 2 ； (3)1

2-=x y ； (4)x y -=2. 分析 函数值就是y 的值，因此求函数值就是求代数式的值.

解 (1)当x = 2时，y = 2×2－5 =－1；

(2)当x = 2时，y =－3×22 =－12；

(3)当x = 2时，y =1

22-= 2； (4)当x = 2时，y =22-= 0.

四、交流反思

1.求函数自变量取值范围的两个依据：

(1)要使函数的解析式有意义.

①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0.

(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义.

2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值.

五、检测反馈

1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：

(1)一个正方形的边长为3 cm ，它的各边长减少x cm 后，得到的新正方形周长为y cm.求y 和x 间的关系式；

(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n 封这样的信所需邮资y (元)与n 间的函数关系式；

(3)矩形的周长为12 cm ，求它的面积S (cm 2

)与它的一边长x (cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm 时这个矩形的面积.