公开课--解直角三角形的方法和技巧
公开课--解直角三角形的方法和技巧
教师 彭丹 学生 公开课 时间和时段 年 月 日 （ ： — ： ） 学科数学 年级 九年级 教材名称 北师大版 授课题目解直角三角形的方法和技巧课 次 第（ 1 ）次课 锐角三角函数揭示了直角三角形中锐角与边之间的关系，运用锐角三角函数可以解决许多与直角三角形有关的问题，下面就如何运用三角函数解决问题的方法与策略一、寻找直角三角形图形中往往会有众多的图形存在，首先我们要找到所求元素所在的直角三角形，然后分析这个直角三角形已具备那些已知条件，还需要哪些条件，需不需要别的直角三角形为其提供条件。
例1、如图，∠B=90°，∠CDB=40°，DB=5，EC=2，求ED 的长。
分析：首先寻找直角三角形，其次是在直角三角形中求解。
本题图中有三个三角形，直角三角形有两个，而根据条件，Rt △BCD 可以先直接解，然后为解Rt △BDE 提供条件。
解：在Rt △BCD 中，∵BD=5, ∴BC=5 40tg ≈4.20.在Rt △BDE 中，BE=BC+CE= 6.20,∴ DE=22DB BE+=2544.38+ =44.63≈7.96二. 借助代数方程这些题型中的有些条件,不能直接代入直角三角形中边与边、边与角、角与角之间的公式进行求解，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后列方程求解。
例1、如图，已知∠Ｃ=90°,ＡＢ＝26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求ＢＣ的长．分析:图形中有 Rt △DAC 和Rt △DBC ，但是没有一个直角三角形条件够用，原因是AB=32不属于任一个直角三角形，可以通过设BC=x ，则AC=x+26，让字母参与运算, 最后立方程求解。
解：设BC=x∵∠CBD=45°，∠Ｃ=90°∴BC=CD=x在Rt △DAC 中，∠DAC=30°，AC=x+26tan30°=26+x x ，3x= 3 （x+26），x=33326-, x=13（ 3 +1）∴BC=13（ 3 +1）.三、构造直角三角形在某些问题的图形中你根本看不到直角三角形，这时需要你根据条件通过作辅助线构造直角三角形，然后利用直角三角形的相关知识解决问题。
解直角三角形方法
解直角三角形方法直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
在解直角三角形时，我们需要掌握一些特定的方法和公式。
本文将介绍几种常见的解直角三角形方法，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形最基本的方法之一。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别表示两条直角边的长度，c表示斜边的长度。
例如，已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，我们可以使用勾股定理计算斜边的长度。
根据公式，3^2 + 4^2 = c^2，即9 + 16 = c^2。
解方程可得c = √25 = 5。
因此，该直角三角形的斜边长度为5。
二、正弦定理正弦定理是解直角三角形的另一种常用方法。
根据正弦定理，三角形的任意一条边的长度与其对应的角度的正弦值成比例。
即a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示对应的角度。
例如，已知直角三角形的一条直角边为3，斜边为5，我们可以使用正弦定理计算另一条直角边的长度。
根据公式，3/sin90° = b/sinθ，其中θ为直角边对应的角度。
由于sin90° = 1，可得3/1 = b/sinθ，即b = 3sinθ。
由此可见，直角三角形的另一条直角边的长度取决于对应角度的正弦值。
三、余弦定理余弦定理是解直角三角形的另一种常用方法。
根据余弦定理，三角形的任意一条边的平方等于其他两条边的平方和减去这两条边的乘积与对应角度的余弦值的积。
即c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC，其中c表示斜边的长度，a和b表示直角边的长度，C表示斜边对应的角度。
例如，已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，我们可以使用余弦定理计算斜边的长度。
根据公式，c^2 = 3^2 + 4^2 - 2(3)(4)cos90°，即c^2 = 9 + 16 -24cos90°。
解直角三角形公开课教案
课程目标与要求
01
知识目标
掌握直角三角形的定义、性质 及解法。
02
能力目标
能够运用所学知识解决与直角 三角形相关的问题。
03
情感目标
培养学生对数学的兴趣和热爱 ，提高学生的数学素养。
教学方法与手段
01
教学方法
讲授法、讨论法、练习法。
02
教学手段
多媒体辅助教学、实物展示、板书演示等。
02
直角三角形基础知识回顾
解答：由$sin A = frac{BC}{AB}$得 ，$AB = frac{AC}{sin A} = frac{4}{sin 60^circ} = frac{8sqrt{3}}{3}cm$。又因为$cos A = frac{AC}{AB}$，所以$BC = AB times cos A = frac{8sqrt{3}}{3} times cos 60^circ = frac{4sqrt{3}}{3}cm$。最后，由直 角三角形内角和为$180^circ$得， $angle B = 180^circ - 90^circ 60^circ = 30^circ$。
锐角三角函数等。
解直角三角形的方法
02
掌握利用已知元素求解未知元素的方法，包括使用正弦、余弦
、正切等三角函数。
实际应用
03
了解解直角三角形在实际问题中的应用，如测量、航海、工程
等领域。
学生自我评价报告
知识掌握情况
学生能够准确理解解直角三角形的相关概念和方 法，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。
学习态度和习惯
要点二
分析
此题考查了勾股定理和锐角三角函数 的定义。首先利用勾股定理求出AC的 长度，再利用锐角三角函数的定义求 出$angle A$和$angle B$的度数。
解直角三角形的方法与技巧
解直角三角形常用解题方法与技巧 解直角三角形所涉及的知识面较广，题目灵活性、综合性较强，因而学习起来可能会有一定的困难，为帮助大家理解并掌握其中的解题方法与解题技巧，现结合实例归纳总结如下： 一、巧妙应变，走出解题陷阱 例1 如图①，在Rt △ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠A =90°，⑴、若a =15，b =12，求c ；⑵、若b =8，c=15，求a ．简析 由∠A =90°知，本题a 才是斜边，故应运用勾股定理222b c a +=求解．解 ⑴、∵∠A =90°，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∴222b c a +=，又∵c ＞0，∴222215129c a b =-=-=．⑵、由⑴知222b c a +=，∴222281517a b c =+=+=．评注 解直角三角形问题，审题很重要，有时候稍一疏忽就有可能导致错解或者漏解的产生．本例在求解时正是注意到了斜边这一特殊边长的变化从而避免了解题错误的发生．二、巧设参数，化繁难为简易例2 如图②，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =45，求tan B 的值． 简析 要算tan B ，必须先求出直角边AC 、BC 的长，注意到题中只有“sin A =35”而没有给出相应线段的长，故考虑采用设参数的办法进行解决．解 设BC =4k ，则AB =5k （k ＞0）．∵在△ABC 中，∠C =90°，∴AC =2222(5)(4)3AB BC k k k -=-=，∴tan AC B BC ==3344k k =． 评注 对于已知特殊角而求三角函数值（或线段比值）的解直角三角形问题，有时候适当引入参数可以帮助我们在解题过程中少走不少弯路．三、巧建模型，以不变应万变例3 如图③所示，某小岛周围40海里内布满暗礁，一艘船由西向东航行，起初在A 处测得小岛在北偏东60°方向，航行30海里后在B 处又测得小岛在东北方向，如果该船不改变航行方向而继续向前航行，那么它会有触礁危险吗？简析 过O 作OH ⊥AB 于H ，将实际问题转化为解直角三角形问题．不妨设OH =x ，则由AH －BH =AB 可得方程cot30°x －cot45°x =30，从中解出x 的值，接下去只需将OH 的值与40进行比较即可得解．解 过点O 作OH ⊥AB 于H ，设OH =x ，由题意可知∠OAH =30°，∠OBH =45°，AB =30．在Rt △OAH 与Rt △OBH 中，∵cot ∠OAH =AH OH ，cot ∠OBH =BH OH∴AB =AH －BH = OH (cot30°－cot45°)，即(cot30°－cot45°)x =30，解之得x =15＋153≈40.98＞40．所以如果不改变航向，该船不会有触礁的危险．例4 如图④所示，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A ，再在河这边沿河边取两点B 、C ，使得∠ABC =60°，∠ACB =45°，现量得BC =30m ，求河的宽度．简析 河的宽度即为△ABC 中BC 边上的高，为此，过点A 作AD ⊥BC于D ，则本实际问题也转化成了解直角三角形问题．和前例一样，通过设AD =x 然后建立方程即可求得AD 的长．解 过A 作AD ⊥BC 于D ，并设AD =x ．在Rt △ABD 与Rt △ACD 中，∵cot cot 60BD ABC AD =∠=︒，cot cot 45CD ACB AD=∠=︒， ∴BC =BD ＋CD =AD (cot60°＋cot45°)，即(cot60°＋cot45°)x =30，解之得x =45－153， ∴所求河的宽度为(45－153)m ．评注 在解有双方位角或双视角类实际问题时，如果图形中没有直角三角形，则应通过添加辅助线的方法将原图形转化为两个具有公共边特征的直角三角形，然后再建立方程进行求解．为方便同类题型求解，以上两例还可归结为如下的数学模型——⑴如图⑤a ，已知AB ⊥CD 于B ，点C 、D 在AB 的同侧，若测得∠ACB =α，∠ADB =β，且α＜β，则有AB (cot α－cot β)=CD ，BC · tan α=BD · tan β；⑵如图⑤b ，已知AB ⊥CD 于B ，点C 、D 在AB 的两侧，若测得∠ACB =α，∠ADB =β，则有AB (cot α＋cot β)=CD ，BC · tan α=BD · tan β．。
解直角三角形
解直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角）。
解直角三角形是指根据三角形已知的某些条件，推导出其他未知的角度或边长。
在解直角三角形时，常用到三角比例、勾股定理等概念和公式。
下面将详细介绍解直角三角形的方法和步骤。
一、已知两边长度求角度当已知一个直角三角形的两条直角边的长度时，可以通过求解正弦、余弦、正切等三角比例来确定其他两个角度的大小。
假设已知直角三角形的两条直角边长度分别为a和b。
1. 解正弦比例根据正弦定理，sinA=a/c，sinB=b/c，其中c为斜边的长度。
可根据已知的a和b，解出c，然后利用反正弦函数求解出A和B的大小。
2. 解余弦比例根据余弦定理，cosA=a/c，cosB=b/c，同样可以根据已知的a和b解出c，然后求解出A和B的大小。
3. 解正切比例根据正切定理，tanA=a/b，tanB=b/a，可以通过已知的a和b求解出A和B的大小。
二、已知一边长度求其他边长和角度当已知一个直角三角形的一个直角边和一个锐角边的长度时，可以通过勾股定理求解出另一个直角边的长度，并进一步求解出其他角度和边长。
假设已知直角三角形的一个直角边长度为a，一个锐角边长度为b。
1. 求解斜边的长度根据勾股定理，a²+b²=c²，可以解出斜边c的长度。
2. 求解未知角的大小根据已知的三边长度，利用正弦、余弦、正切等三角函数，可以求解出其他两个角的大小。
3. 求解另一个直角边的长度根据已知的斜边长度和一个直角角度，可以利用正弦、余弦等三角函数，求解出另一个直角边的长度。
三、应用解直角三角形的例子解直角三角形的方法在实际生活中有广泛的应用。
比如在测量、建筑、地理等领域都需要用到解直角三角形的知识。
1. 测量在测量中，我们常常需要通过已知的边长测量出其他未知的边长或角度。
例如在测量高楼建筑的高度时，可以利用解直角三角形的方法。
通过观察建筑物的倾斜角度，可以利用三角函数求解出建筑物的高度。
公开课教案解直角三角形
解直角三角形复习课教案教学目标:1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯思想方法：1、数形结合思想：用锐角三角函数解直角三角形，主要是从“数”上去研究的.在具体解题时，要画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行数的运算.2、方程的思想：在解直角三角形时，常常通过设未知数列方程求解，使问题变得清楚明了.3、转化的思想：在求三角函数值和解直角三角形时，常利用三角函数的意义，可以实现边和角的互化，利用互余角的三角函数关系可以实现“正弦”与“余弦”的互化.教学重点：1、锐角三角函数2、特殊角的三角函数值3、直角三角形的解法．教学难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．四、考题透视锐角三角函数在中考中考查的难度不大，分数约4-6分，主要以填空题、选择题出现；解直角三角形方面的应用题历来都是中考的重点和热点内容之一，分数达到8～12分不等，分值占的比例较大，应引起足够的重视。
考点一：锐角三角函数的概念例1（郴州市2007年）如图1在直角三角形ABC34图1ABC中，则______．考点二：特殊角的三角函数值的计算例2：计算考点三：解非直角三角形例3 ：如图所示，已知:在△ABC中，∠A=60,∠B=45,AB=8.求△ABC的面积（结果可保留根号）。
考点四：解直角三角形的实际问题例4、一高速铁路即将动工，工程需要测量某一段河的宽度。
如图1，一测量员在河岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°.（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）；1）求所测之河的宽度2）除图1的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图2中画出图形。
解直角三角形的方法和技巧
解直角三角形的方法和技巧直角三角形是三角形中最为基础和重要的一类三角形，因为它具有很多特殊的性质和应用。
解直角三角形的方法和技巧在数学的学习过程中非常重要，本文将为大家介绍10条关于解直角三角形的方法和技巧，并展开详细描述。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形最基本的定理，也是解直角三角形的最快捷的方法。
勾股定理的公式为：a² + b² = c²。
a和b表示直角边，c表示斜边。
当已知a和b的长度时，可以通过计算c的长度来确定直角三角形的大小和形状。
勾股定理非常广泛地应用于工程、科学和数学等领域，可以帮助我们计算物体的大小、距离和位置等。
二、正弦定理正弦定理也是解直角三角形的一种基本方法，它是一个三角形中的三角函数，公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
a、b、c分别表示三角形任意两边和斜边，A、B、C表示这些边对应的角度。
如果已知了两个长度和一个角度，则可以通过正弦定理计算第三个长度。
正弦定理的应用十分广泛，可以帮助我们计算三角形的任意边的长度。
三、余弦定理余弦定理也是解直角三角形的一种基本方法，它也是一个三角形中的三角函数，公式为：c² = a² + b² - 2abcosC。
a、b表示三角形中两个边的长度，c表示斜边的长度，C表示斜边对应的角度。
如果已知了两个长度和一个角度，则可以通过余弦定理计算第三个长度。
余弦定理也是应用广泛的一个数学公式，可以帮助我们计算三角形的任意边的长度。
四、正切定理正切定理也是解直角三角形的一种基本方法，它是一个三角形中的三角函数，公式为：tanA = a/b或tanB = b/a。
a、b分别表示三角形中的两个直角边，A、B是它们对应的角度。
通过正切定理可以求得角度的大小或两直角边的比例。
五、特殊直角三角形的知识特殊直角三角形是指那些具有特殊边长和角度的直角三角形。
其中最为常见的是边长为3、4、5的特殊直角三角形。
解直角三角形的技巧
解直角三角形知识要点解直角三角形的知识被广泛地应用于测量、工程技术和物理学中，主要是用来计算距离、高度和角度。
因此这部分内容比较广泛，并且具有综合技术应用价值。
为使同学们能顺利掌握本章内容，特向同学们提供本章的学习要点。
一、掌握一个概念锐角三角函数的概念是学习好解直角三角形的基础，它集本章的重点、难点、关键于一身。
所以同学们要特别重视对锐角三角函数概念的理解和记忆。
该概念是建立在“在直角三角形中，当锐角固定时，它的任两边的比值是固定不变的”这样一个数学事实上，于是就有如下的锐角三角函数意义：如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，则sinA=c a ， cosA=,,b a tgA c b =sinB=,cos ,c a B c b =tgB=ab .A BC a bc图1锐角三角函数的定义，是求锐角三角函数值最基本的方法，是学习好本章的基础。
二、抓住两种图形贯串于本章的两个基本图形就是同学们最为熟悉的锐角分别为30°、45°的两直角三角形，也是同学们在小学里就已经使用的学具“一副三角板”(如图2，图3)，所形成的几何图形。
从这两个基本的直角三角形中，还可直接求得特殊角的三角函数值，得到特殊角的三角函数表。
以后在用解直角三角形的知识解决其它数学问题时，通常也是将已知图形(未知问题)转换为(通过添加辅助线)以上两种特殊的三角形(已知问题)来解。
三、解决三类习题解直角三角形的习题有无数多个，可谓“题海茫茫”，但在这茫茫题海中，同学们只要会解以下三类习题，把握住这三种习题的解题脉膊和解题策略，那么就自然进入了一个“解一题，会一片”的境界。
题1 已知直角三角形中的一锐角及一条边，解此直角三角形 例1如图4,已知在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°,αA 1图2A2 145°B C 图3=4,解此直角三角形。
分析解此直角三角形即是求∠B ，b ，c. ①∵∠A+∠B=90°而∠A 已知，则∠B 可求。
解直角三角形题型的解法
解直角三角形题型的解法
直角三角形是一个非常基础的三角形，但在初中数学中却是一
个非常重要的知识点。
解直角三角形问题并不难，下面我将分享几
种解法。
方法一：勾股定理
勾股定理是解直角三角形问题中最常用的方法，根据这个定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
因此，我们可
以通过已知两条边求第三条边的长度。
例如，如果我们知道直角三
角形的一条直角边长为3，另一条直角边长为4，那么我们可以通
过勾股定理求得斜边长，即5。
方法二：正弦定理
正弦定理适用于已知一个角和两边，求另一边的长度。
正弦定
理公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
其中a、b、c分别为三角形中
的边，A、B、C为对应的角度。
例如，如果我们已知三角形的一
个角度为30度，其对边长为5，且斜边长为10，那么我们可以通
过正弦定理求得该直角三角形的另一直角边长为5根3。
方法三：余弦定理
余弦定理适用于已知三角形的任意两边及它们之间夹角，求第三边长度的情况。
余弦定理公式为：c²=a²+b²-2ab*cosC。
其中c为求解的第三边长度，a、b为已知边的长度，C为它们之间的夹角。
例如，如果我们已知直角三角形的两个直角边长分别为3和4，夹角为90度，那么我们可以通过余弦定理求得斜边长，即5。
通过上述三种方法，我们可以解决绝大多数直角三角形问题。
当然，在应用定理时，我们需要确保我们有足够的信息来求解。
学好这些方法，相信解直角三角形问题将变得非常简单明了。
解直角三角形问题的简便方法
解直角三角形问题的简便方法直角三角形是指一个角为90度的三角形。
解直角三角形问题是解决三角形的边长和角度大小的问题，其中直角三角形问题可分为两种情况：已知两边求第三边，已知一边一角求另两边。
下面将介绍一种简便的方法来解决这些问题。
1. 已知两边求第三边
对于一个直角三角形，已知两条边a和b，求第三边c的长度。
根据勾股定理，有a^2 + b^2 = c^2。
将已知的a、b代入该公式，即可求得未知的c。
2. 已知一边一角求另两边
对于一个直角三角形，已知一条边a和一个角A，求另外两条边b 和c的长度。
此时可以利用三角函数的关系来求解。
首先，确定已知边a的位置，以角A的相对位置为准，假设边a位于直角的左边邻边。
然后，利用以下公式计算：
- 求边b的长度：b = a * tan(A)。
- 求边c的长度：c = a / cos(A)。
需要注意的是，当角A为直角时，边b或边c的长度会变为0，因为正切函数的值在90度时为无穷大，余弦函数的值在90度时为0。
此时，原问题将转化为已知两边求第三边。
总结起来，解直角三角形问题的简便方法主要包括利用勾股定理和三角函数的关系。
根据已知条件，选择适当的计算公式，即可求解直角三角形的边长。
通过这种简便方法，解决直角三角形问题会变得更加直观和高效。
你可以灵活运用这些方法，根据具体情况选择合适的计算公式，来解决各种类型的直角三角形问题。
希望以上方法能够帮助你更好地解决直角三角形问题，并且提高你的数学解题能力。
解直角三角形的方法,步骤与应用
解直角三角形的方法,步骤与应用
几何学中最常见的形状之一是直角三角形，它的特点是一个锐角90度，三
条边均不等的三角形。
学习有关直角三角形的方法有助于理解和应用几何学。
一、如何确定一个三角形是直角三角形？
若要确定一个三角形是否为直角三角形，可以使用斜边-直角定理：如果一个
三角形的斜边的平方等于另外两边相加的平方，则此三角形正是直角三角形。
另外，我们可以使用勾股定理快速判断一个三角形是否为直角三角形，即两个直角边的平方等于对角边的平方。
二、如何确定一个直角三角形的高度？
要计算直角三角形的高度，可以使用直角三角形高度公式：高度=斜边×正弦
度数，其中斜边是三角形斜边的长度；正弦度数是三角形斜边相对应的角度，也就是直角相对应的角度。
三、直角三角形的应用
直角三角形在工程学、护理学、机械学、建筑学等领域都有广泛应用。
在工程学中，直角三角形可以用来计算坡度，从而实现控制俯仰角；在护理学中，直角三角形可以帮助计算肌肉拉伸时的牵力；在机械学中，直角三角形的绘制可以帮助机械工程师确定轴的夹角；在建筑学中，直角三角形可以帮助建筑师设计建筑物的外形和内部空间结构。
综上所述，学习有关直角三角形的方法有助于我们更好地理解几何学知识，并将其应用于各个领域。
解直角三角形的方法技巧
解直角三角形的方法技巧解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角的大小和面积等。
首先要明确解直角三角形的依据和思路：在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数的定义。
因此，锐角三角函数的定义本质上揭示了直角三角形中边角之间的关系，它是解直角三角形的基础。
每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，实际上就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解方程来求解。
例1.如图1，若图中所有的三角形都是直角三角形，且，求AB 的长。
∠==A AE α，1图1思路1：所求AB 是的斜边，但在中只知一个锐角A 等于，暂不Rt ABC ∆Rt ABC ∆α可解。
而在中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解入手。
Rt ADE ∆Rt ADE ∆解法1：在中，因，且，AE ＝1Rt ADE ∆cos A AE AD=∠=A α故AD AE A ==cos cos 1α在中，由，得Rt ADC ∆cos A AD AC =AC AD A ===cos cos cos cos 112ααα在中，由，得Rt ABC ∆cos A AC AB =AB AC A ===cos cos cos cos 1123ααα思路2：观察图形可知，CD 、DE 分别是和斜边上的高，具备应用Rt ABC ∆Rt ACD ∆射影定理的条件，可以利用射影定理求解。
解法2：同解法1得AD =1cos α在中，由，得Rt ACD ∆AD AE AC 2=⋅AC AD AE ==221cos α在中，由，得Rt ABC ∆AC AD AB 2=⋅AB AC AD ==231cos α点拔：本题是由几个直角三角形组合而成的图形，这样的问题，可先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。
解直角三角形公开课ppt课件
综合应用举例
具体步骤
根据实际问题建立直角三角形模型，确定已知条件和所求量。然后选择合适的解 法（如已知两边求角、已知两角求边等）进行计算，得出结果并进行检验。
注意事项
在综合应用过程中，需要注意实际问题的背景和限制条件，以及计算结果的合理 性和准确性。同时，还需要掌握多种解法，以便灵活应对不同的问题和情况。
已知两角求边
具体步骤
设已知的两个锐角为α和β，其中α为与已知边相邻的角，β为另一个锐角。则 可以利用正弦函数sin(α) = a/c或余弦函数cos(α) = b/c求解边长a或b，其中c 为斜边。
注意事项
在求解过程中，需要注意角度的单位和范围，以及正弦和余弦函数在不同象限 的正负性。同时，还需要注意已知边与所求边之间的关系，避免出错。
直角三角形两直角边互相 垂直，且斜边是直角边的 平方和的平方根。
直角三角形的元素
包括直角边、斜边和两个 锐角。
解直角三角形的意义
解决实际问题
解直角三角形可以帮助我们解决很多 实际问题，如测量、航海、建筑等。
培养数学思维
为后续学习打下基础
解直角三角形是学习数学的基础，对 于后续学习三角函数、解析几何等具 有重要意义。
力学问题中的解直角三角形
力的分解与合成
在力学中，经常需要将一个力分解为两个或多个分力，或 将多个分力合成为一个力，这时可以利用直角三角形的性 质和三角函数进行计算。
运动学中的问题
在研究物体的运动轨迹、速度、加速度等问题时，可以利 用直角三角形的性质进行求解，如抛物线运动、圆周运动 等。
动力学中的问题
定义、性质、三角函数定义和应用的理解程度等。
学习困难与问题反馈
02
鼓励学生反馈在学习过程中遇到的困难和问题，以便教师及时
28.2第1课时解直角三角形-公开课
b 14
c=14
b
B
60°
a C
∴b=14×sin 60°= 7 3
a a ∴cos60°= ∵ cos B 14 c ∴a=14× cos60°= 7
这堂课你有 什么疑惑？
?
你还能提 出什么问 题呢？
提出问题: 在锐角 △ABC中，已知AC=6，BC= 3 6 如图， ∠B=45°，求∠A,∠C及AB的长。 A D
B
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上 多高的平房?(精确到0.1m) 角α越大,攀上的高度就越高. 这个问题归结为:
在Rt△ABC中,已知∠A= 75°,斜边 AB=6,求BC的长
A
C
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所 成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子.问:
28.2 解直角三角形
第1课时 解直角三角形
台风是一种空气旋涡，是破坏力很强的自然灾害。 2006年5月18日2时15分，台风“珍珠”在广东汕头澄 海和饶平之间登陆，一棵百年大树被吹断折倒在地上， 你知道这棵大树在折断之前有多高吗？
如何知道这棵大树在折断之前有多高？ A A
情景分析
A
B
C
B
C
B
?
2 b
C
?
6
a
例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠B＝30°, b＝20 , 解这个直角三角形 .
A
c B
?
? 20
b=20 C
30°
a
?
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三 角形； B
（1） a = 30 , b = 20
A
c
手把手教你解直角三角形
手把手教你解直角三角形直角三角形是数学中最基本的几何形状之一，它的特点是其中一个角度为90度。
解直角三角形是解决各类三角函数问题的基础，下面将以手把手的方式来教你解直角三角形。
一、已知两边求第三边的长度当已知直角三角形的两条边的长度时，可以利用勾股定理来求得第三边的长度。
勾股定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2其中，c表示直角三角形的斜边，a和b分别表示直角三角形的两条直角边。
假设已知直角三角形的两条直角边分别为a=3，b=4，求斜边的长度c。
根据勾股定理，我们有：c^2 = 3^2 + 4^2c^2 = 9 + 16c^2 = 25两边开平方，得到：c = √25c = 5因此，斜边的长度为5。
二、已知一边和一个角度求另一条边的长度当已知直角三角形的一条边的长度和一个角度时，可以利用三角函数来求得另一条边的长度。
在直角三角形中，常用的三角函数有正弦、余弦和正切函数。
1. 已知一边和角度求另一边的长度（正弦函数）如果已知直角三角形的一条直角边长度a和角度θ，我们可以利用正弦函数来求另一条直角边的长度b。
sinθ = b/a假设已知直角三角形的直角边a=3，角度θ=30°，求另一条直角边的长度b。
sin30° = b/3根据正弦函数表，我们可以得到：b = 3 * sin30°b = 3 * 0.5b = 1.5因此，另一条直角边的长度为1.5。
2. 已知一边和角度求另一边的长度（余弦函数）如果已知直角三角形的一条直角边长度a和角度θ，我们可以利用余弦函数来求另一条直角边的长度b。
cosθ = b/a假设已知直角三角形的直角边a=5，角度θ=60°，求另一条直角边的长度b。
cos60° = b/5根据余弦函数表，我们可以得到：b = 5 * cos60°b = 5 * 0.5b = 2.5因此，另一条直角边的长度为2.5。
3. 已知一边和角度求另一边的长度（正切函数）如果已知直角三角形的一条直角边长度a和角度θ，我们可以利用正切函数来求另一条直角边的长度b。
公开课(解直角三角形)PPT课件
C 2
1 A 60°
D
B
C 2Ｆ
1 A 60°
E
D
你能根据图上信息，提出一个用锐角三角 函数解决的实际问题吗？试一试
P
30° 45°
A 400米 B
C
小结与回顾
1、通过这节课的学 习你有什么收获？
2、本节课你有什么疑惑？
1、在下列直角三角形中 不能求解的是（D ） A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角 C、已知两边 D、已知两角
（3）已知c=20，∠A=60°，求 ∠B, a，b．
（4）已知a=1，b= 3 ，求c, ∠A， ∠B
定义：
由直角三角形中的已知 元素，求出所有末知元素的 过程，叫做解直角三角形.
问题：1、解直角三角形需要 什么条件？
2、解直角三角形的条 件可分为哪几类？
1、解直角三角形除直角外，至少要知道 两个元素（这两个元素中至少有一条边）
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
HB
如图，在四边形ABCD中， AB=2， CD=1， ∠A= 60°， ∠D= ∠B= 90°，求 此四边形ABCD的面积。
B
C 2
60°
1
A
D
如图，在四边形ABCD中， AB=2， CD=1， ∠A= 60°， ∠D= ∠B= 90°，求 此四边形ABCD的面积。
B
C 2
60°
1
A
D
E
E
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End 演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
解直角三角形的方法与技巧
解直角三角形的方法与技巧直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
在解决几何问题时，了解解直角三角形的方法与技巧能够帮助我们更高效地推导和计算相关的问题。
本文将介绍一些解直角三角形的方法和技巧，希望能够对读者有所启发。
1. 边长关系在直角三角形中，三条边的关系是解题的关键。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这一关系可以表示为c^2 = a^2 + b^2，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示两条直角边的长度。
2. 比例关系直角三角形中，两个角的比例关系也是解题时需要注意的重点。
根据正弦定理和余弦定理，我们可以得到解直角三角形的更多方法。
2.1 正弦定理在直角三角形中，通过正弦定理，我们可以得到以下关系：a/sinA= b/sinB = c/sinC。
其中a、b、c分别表示三个边的长度，A、B、C分别表示与边a、b、c相对的角度。
这一定理可以帮助我们在已知两个边和一个角度的情况下求解其他未知量。
2.2 余弦定理直角三角形中，通过余弦定理，我们可以得到以下关系：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
其中c表示斜边的长度，a和b表示两条直角边的长度，C表示两条直角边之间的夹角。
这一定理可以帮助我们在已知三个边的长度时求解角度。
3. 特殊角度的解法解直角三角形时，特殊角度的解法也是十分常用的。
例如，当一个直角角度等于30度时，另外两个角度分别为60度和90度。
我们可以利用特殊角度的性质，直接计算边长和角度的数值。
4. 应用于实际问题解直角三角形的方法和技巧可以应用于各种实际问题中。
例如，在测量建筑物高度时，可以通过测量直角三角形的底边和仰角来计算建筑物的高度。
在导航中，可以利用直角三角形的边长关系来计算两点之间的距离。
5. 示例与练习为了更好地理解和应用解直角三角形的方法与技巧，我们可以通过一些实例和练习来加深学习。
以下是一些示例题目：5.1 已知一个直角三角形的斜边长为10厘米，一直角边长为6厘米，求另一直角边的长。
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教师 学生
公开课 时间和时段 年 月 日 （ ： — ： ） 学科
数学 年级 九年级 教材名称 北师大版 授课题目
解直角三角形的方法和技巧
课 次 第（ 1 ）次课 锐角三角函数揭示了直角三角形中锐角与边之间的关系，运用锐角三角函数可以解决许多与直角三角形有关的问题，下面就如何运用三角函数解决问题的方法与策略
一、寻找直角三角形
图形中往往会有众多的图形存在，首先我们要找到所求元素所在的直角三角形，然后分析这个直角三角形已具备那些已知条件，还需要哪些条件，需不需要别的直角三角形为其提供条件。
例1、如图，∠B=90°，∠CDB=40°，DB=5，EC=2，求ED 的长。
分析：首先寻找直角三角形，其次是在直角三角形中求解。
本题图中有三个三角形，
直角三角形有两个，而根据条件，Rt △BCD 可以先直接解，然后为解Rt △BDE 提供条件。
解：在Rt △BCD 中，∵BD=5, ∴BC=5 40tg ≈4.20.
在Rt △BDE 中，BE=BC+CE= 6.20,
∴ DE=22DB BE
+=2544.38+ =44.63≈7.96
二. 借助代数方程
这些题型中的有些条件,不能直接代入直角三角形中边与边、边与角、角与角之间的公式进行求解，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后列方程求解。
例1、如图，已知∠Ｃ=90°,ＡＢ＝26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求ＢＣ的长．
分析:图形中有 Rt △DAC 和Rt △DBC ，但是没有一个直角三角形条件够用，原因是AB=32不属于任一个直角三角形，可以通过设BC=x ，则AC=x+26，让字母参与运算, 最后立方程求解。
解：设BC=x
∵∠CBD=45°，∠Ｃ=90°
∴BC=CD=x
在Rt △DAC 中，∠DAC=30°，AC=x+26
tan30°=26+x x ，3x= 3 （x+26），x=3
3326-, x=13（ 3 +1）∴BC=13（ 3 +1）.
三、构造直角三角形
在某些问题的图形中你根本看不到直角三角形，这时需要你根据条件通过作辅助线构造直角三角形，然后利用直角三角形的相关知识解决问题。
例2、如图，在四边形中，AD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∠ADC=120°，BC=14,AD=3，
求DC 的长。
分析：原图中没有直角三角形,但通过延长BA ，CD 交于点P ，从而构造出两个
直角三角形Rt △PBC 和Rt △PAD,再利用锐角三角形函数的相关知识求解.
解：延长BA ，CD 交于点P ，∵AD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∴∠C=∠PAD=90°，∵∠ADC=120°，∴∠ADP=60°，∴∠P=30°，在Rt △PAD 中，sin 30°=PD AD ，PD=2AD=6m ，由于BC=14m ，在Rt △PBC 中，tan30°=PC BC =33，PC=143m ，∴DC=PC-PD=143-6≈18.25。
四、将实际问题转化为数学问题
解直角三角形的应用可以说涉及到众多的方面，但是不管以什么背景出现，将其转化为解直角三角形问题后，归纳起来不外乎以上几种情况而已．
例４、（05青岛）小明的家在某公寓楼AD 内，他家的前面新建了一座大厦BC ，
小明想知道大厦的高度，但由于施工原因，无法测出公寓底部A 与大厦底部C 的直线
距离，于是小明在他家的楼底A 处测得大厦顶部B 的仰角为60︒，爬上楼顶D 处测得
大厦的顶部B 的仰角为30︒，已知公寓楼AD 的高为60米，请你帮助小明计算出大厦
的高度BC 。
分析：将实际问题转化为数学问题后，需要方程来助解．
解：如图，由题意知：四边形ACED 是矩形
∴===AC DE DA EC ，60
米，∠=︒BDE 30，设DE x =，在Rt BDE ∆中， tan tan ∠=∴=⨯∠=BDE BE x BE x BDE x ，33
在Rt BAC ∆中， tan ∠=BAC BC AC
，即tan 603360︒=+x x ∴=+33360x x ，解得：x =303∴=+=+=⨯+=BC BE EC x 336033
3036090（米） 答：大厦的高度BC 为90米。