2017年解放军军考数学真题及参考答案

2017年士兵高中军考数学真题

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德方军

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一、单项选择（每小题4分，共36分）．

1. 设集合A={y|y=2x ，x ∈R}，B={x|x 2﹣1＜0}，则A ∪B=（ ） A ．（﹣1，1） B ．（0，1） C ．（﹣1，+∞） D ．（0，+∞）

2. 已知函数f （x ）=a x +log a x （a ＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为（log a 2）+6，则a 的值为（ ） A ． B ．

C ． 2

D ．4

3. 设a b 、

是向量，则||=||a b 是|+|=|-|a b a b 的（ ） A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4．已知4213

5

3

=2,4,25a b c ==，则（ ）

A ．b

B ．a

C ．b

D ． c

5. 设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

6. 设数列{a n }是首项为a 1、公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1=（ ） A ．2 B ． C ．﹣2

D ．﹣

7. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．1

8. 已知A ，B ，C 点在球O 的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．16π C ．36π D ．20π

9. 已知2017ln f x x x =+（）（），0'2018f x =（

），则0

x =（ ） A. 2e

B.1

C. ln 2

D. e

二、填空题（每小题4分，共32分）

10. 设向量，，且，则m=．

11.设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为．

12. 已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为．

13. 已知函数f（x）=，则f（f（））= ．

14. 在的展开式中x7的项的系数是．

15. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼﹣15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是_______。

16. 在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=_______．

17. 已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（k≥2，

k为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=时等式成立．

三、解答题（共7小题，共82分，解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

18.（本小题8分）对任意实数x，不等式﹣9＜

2

2

36

1

x px

x x

+-

-+

＜6恒成立，求实数p的取值范围。

19.（本小题12分）

20、（12分）已知数列{a n}中，a1=1，二次函数f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x的对称轴为x=．

（1）试证明{2n a n}是等差数列，并求{a n}通项公式；

（2）设{a n}的前n项和为S n，试求使得S n＜3成立的n值，并说明理由．

21、（10分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．

22、（12分）已知函数f（x）=ax+bsinx，当时，f（x）取得极小值．

（1）求a，b的值；

（2）设直线l：y=g（x），曲线S：y=f（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：

①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；

②对任意x∈R都有g（x）≥f（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．试证明：直线l：y=x+2为曲线S：y=ax+bsinx“上夹线”．

23、（14分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．

（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；

（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）求线段AB长度的最小值．