平面解析几何初步

平面几何初步

课程要求

1.直线与方程

(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.

(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.

(4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、

两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.

(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.

(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

2.圆与方程

(1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.

(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.

(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

3.空间直角坐标系

(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.

(2)会推导空间两点间的距离公式.

考情分析

平面解析几何是高中数学的一个基本知识点，我们学习它是为了后面学习空间几何和圆锥曲线打基础。但平面几何作为一个考点，还是会在选择题或填空题中出现一道，而且难度适中。

为了拿到这5分，并且为后面的解答题做准备，我们需要牢牢掌握这部分基础知识。

知识梳理

1

一、 直线与方程

1. 直线的倾斜角和斜率：

倾斜角： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别

地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180

直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线

的斜率。直线的斜率常用k 表示。 斜率反映直线与轴的倾斜程度 斜率的公式：给定两点

()()y x p y x P ,,2

2

2

1

1

1

,，x

x 2

1≠，则直线

P

P 2

1

的斜率

k =

x

x y y 2

1

2

1--

平行与垂直：两条直线l

l 2

1,

，他们的斜率分别为

k k 2,1

k k l

l 212

1,//=⇔ 1212

1

-=•⇔⊥k k l

l

2. 直线的方程

点斜式：直线l 过点

()y x p 0

,，且斜率为k,那么直线方程为:

()x y

x k y 00

-=-

斜截式：直线l 斜率为k ，且与y 轴交点为（0，b ）, 那么直线方程为: y=kx+b 两点式：直线l 过点

()，y x p 1

1

1

,()y x p 2

2

2

,，其中x

x 2

1≠，

y

y 2

1

≠，那么直线

方程为

x x x y

y y

x y 1

21

1

2

1

--=

--

直线的一般方程：0=++C By Ax ，（A ，B 不同是为0） 3.两点间的距离

(

)()y y x x 21212

2

2

1

P

P --+

=

4.点到直线的距离

点

()y x p 0

,到直线l ：0=++C By Ax 的距离为：B

2

20

0+++=

A y x C

B A d

5. 两条平行线间的距离 已知两条平行线

0:,0:C 22

1

1

=++=++By Ax By Ax l

C l ，则l l 21与的距离为

B

A C C d 2

2

2

1

+-=

二、 圆与方程

1.圆的定义

（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. （2）确定一个圆的要素是圆心和半径. 2.圆的方程

（1）圆的标准方程： 2

2

2

()()x a y b r -+-=，其中圆心为A(a,b),半径为r ； （2）圆的一般方程：2

20x y Dx Ey F ++++=()

2240D E F +->

注：上述方程配方得：22

224224D E D E F x y +-⎛

⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

3.求圆的方程的一般步骤为：

（1） 根据题意选择标准方程或者一般方程；

（2） 根据条件列出关于,,a b r 或者,,D E F 的方程组； （3） 解出,,a b r 或者,,D E F 代入标准方程或者一般方程. 4.点00(,)M x y 与圆222

()()x a y b r -+-=的关系：

（1）若22

00()()x a y b -+->2r 则点M 在圆外；

（2）若222

00()()x a y b r -+-=，则点M 在圆上； （3）

若22

00()()x a y b -+-<2r ，则点M 在圆内.

5.直线l ：0Ax By C ++=与圆 222

()()x a y b r -+-=的位置关系： （1）若圆心A 到直线l

的距离d r =

>，则直线与圆相离；

（2）若圆心A 到直线l

的距离d r =

<，则直线与圆相交；

（3）若圆心A 到直线l

的距离d r ==，则直线与圆相切；

6.圆与圆的位置关系：

设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以 下几点：

（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离； （2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；

（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；

注：当圆()()2

2

21111:C x a y b r -+-=与圆()()2

2

22222:C x a y b r -+-=相交与A 、B 两点时，上述方程相减即得直线AB 方程.

题型分类

1. 求直线的方程：

例. 如图所示，已知两条直线l 1：x －3y ＋12＝0，l 2：3x ＋y －4＝0，过定点P （－1，2作一