量子力学第一章习题答案

第一章

1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律： 能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反

比，即λm T = b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。

解：黑体辐射的普朗克公式为：)

1(833

-=kT h e c h ν

νν

πρ ∵ v=c/λ

∴ dv/dλ= -c/λ²

又 ∵ ρv dv= -ρλdλ

∴ ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(e

hc/λkT

-1)] 令x=hc/λkT ,则 ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1)

求ρλ极大值，即令dρλ(x)/dx=0，得：

5(e x -1)=xe x

可得： x≈4.965

∴ b=λm T=hc/kx

≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23)

≈2.9*10-3（m K ）

1.2√. 在0 K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。

解： h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,， 1 eV = 1.6×10-19 J

故其德布罗意波长为：

07.0727A λ=== 或λ= h/2m E = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 Å

1.3 √.氦原子的动能是E=

32

KT （K B 为波尔兹曼常数），求T=1 K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原子的质量约为=-26-2711.993104=6.641012

kg ⨯⨯⨯⨯ , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K

故其德布罗意波长为：

λ

×10-34/ (2×-276.6410⨯×1.5×1.381×10-23×1)1/2

≈0

1.2706A

或λ= 而KT E 23

=601.270610A λ-==⨯

1.4利用玻尔-索末菲量子化条件，求：

a ） 一维谐振子的能量：

b ） 在均匀磁场作圆周运动的电子轨道的可能半径。

解： a ）解法一：设一维谐振子的质量为m ，广义坐标为 q=Acos(ωt+φ)

根据玻尔—索末菲量子化条件 ∮pdq = nh

得：∮m(dq/dt)dq = m ωA 2∮sin 2θd θ=m ωA 2π=nh ∴ A 2 =nh/(πm ω)=2nh/m ω (其中h=h/2π)

又 ∵ 一维谐振子的周期 T =2π(m/k)0.5

∴ 一维谐振子的角频率 ω=2π/T =(k/m) 0.5

∴ k = m ω2

∴ 一维谐振子的能量为E=kA 2

/2=nh ω n=1,2,3,…

解法二：一维谐振子的能量为 E = mv 2/2 + m ω2q 2/2 =p 2/(2m)+ m ω2q 2/2

即 p 2/(2mE) + q 2/(2E/m ω2) = 1

可以知道椭圆的两半轴分别为（2mE ）0.5和（2E/m ω2）0.5

根据玻尔—索末菲量子化条件 ∮pdq = nh

则 ∮pdq=π（2mE ）0.5（2E/m ω2）0.5=2πE/ω=E/ν=nh

∴ 一维谐振子的能量为E=nh ν=nh ω n=1,2,3,…

(其中h=h/2π)

b) ∵ 电子在均匀磁场中作圆周运动

∴ f=evB=mv 2/r

∴ mv=reB

又 ∵ p=mv, dp=rd θ 且 ∮pdq=nh (玻尔-索末菲量子化条件) ∴ ∮eBr 2d θ=nh

∴ eBr 22π=nh

∴ r 2=nh/(2πeB)=nh/eB

∴ r=(nh/eB)0.5

(其中h=h/2π)

√.补充作业题：投球手以40米每秒投出一个质量为0.15 千克的棒球，请计算棒球的deBroglie 波长. h

p λ=，h h p mV

λ== (答案：1.1 x 10 -34 m)