天津市南开中学2012-2013学年高二上学期第五周周练数学理科试题 Word版含答案
天津南开中学2012-2013学年下学期高三年级第五次月考物理试卷
天津南开中学2012—2013年度高三年级第五次月考物理试卷第Ⅰ卷一、单项选择题（每小题6分，共30分。
）1. 如图所示为氢原子的能级图，可见光的光子能量范围约为1.62eV ～3.11eV ，下列说法正确的是A. 大量处在n ＞3的高能级的氢原子向n ＝3能级跃迁时，发出的光可能是紫外线B. 大量处在n ＝3的氢原子向n ＝2能级跃迁时，发出的光具有荧光效应C. 大量处在n ＝3能级的氢原子向n ＝1能级跃迁时，发出的光是红外线D. 处在n ＝3能级的氢原子吸收任意频率的可见光的光子都能发生电离2. 如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m 的照相机，三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成30°角，则每根支架中承受的压力大小为（ ）A.mg 31B.mg 32 C.mg 932 D.mg 63 3. 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v ，假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N 。
已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为（ ）A. GNmv 2B. GmNv 4C. GmNv 2D. GNmv 44. 在水面下同一深处有两个点光源P 、Q ，能发出不同颜色的光。
当它们发光时，在水面上看到P 光照亮的水面区域大于Q 光，以下说法错误的是（ ）A. P 光的频率小于Q 光B. P 光在水中的传播速度小于Q 光C. P 光的光子能量小于Q 光D. 让P 光和Q 光通过同一双缝干涉装置，P 光的条纹间距大于Q 光5. 如图所示，图中两组曲线中实线代表电场线（方向未画出）、虚线a 、b 、c 代表等势线，已知a 与b 、b 与c 之间的电势差相等，b 等势线的电势为零，虚线AB 是一个带电荷量为C 108.4q 10-⨯+=的粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，若带电粒子过a 、c 等势线时的动能分别为J 108.49-⨯和J 106.99-⨯，则下列说法正确的是（ ）A. 相邻等势线间的电势为10VB. a 等势线的电势为5V ，C 等势线的电势为－5VC. 带电粒子一定是从A 点运动到B 点D. 带电粒子运动到b 等势线时电场力的方向一定是沿电场线的切线方向斜向上二、不定项选择题（每小题6分，共18分。
南开中学高2014级12-13学年(上)期末试题——物理
重庆南开中学2012—2013学年度上期期末考试高二年级物理试题一．选择题(以下各小题中只有一个选项是符合题目要求的，选对得3分，选错或不选得0分，共48分)1．通电螺线管内有一在磁场力作用下处于静止的小磁针，小磁针指向如图所示．如果把螺线管等效为条形磁铁，则A．螺线管的P端为N极，a接电源的正极B．螺线管的P端为N极，a接电源的负极C．螺线管的P端为S极，a接电源的正极D．螺线管的P端为S极，a接电源的负极2．如图所示，恒力F与水平方向夹角为θ，作用在质量为m的物体上使物体做匀速直线运动，作用时间为t．则力F的冲量为A．0 B．Ft C．Fcosθt D．(mg-Fsintθ)t3．已知一理想变压器的原副线圈匝数比为2：1，则A．原副线圈两端的电压之比为2：1 B．通过原副线圈的电流之比为2：lC．原副线圈的功率之比为2：1 D．穿过原副线圈的磁通量之比为2：14．在赤道上，地磁场可以看作是沿南北方向并且与地面平行的匀强磁场，磁感应强度是5×10–5T．如果赤道上有一条沿东西方向的直导线，长40 m、载有20 A的电流，则地磁场对这根导线的作用力大小是A．4×10–8B．2.5×10–5C．9×10–4D．4×10–25．如图所示，在光滑水平面上放置两个物体A和B，它们之间用一细线相连，中间有一被压缩的轻质弹簧，弹簧与A、B也相连，最初都处于静止状态．若某时刻把细线烧断，弹簧将推动A、B同时运动。
则在弹簧弹开的过程中A．物体A、B及弹簧组成的系统动量守恒B．物体A、B及弹簧组成的系统动量不断增加C．物体A、B及弹簧组成的系统机械能不断增加D．任何时刻物体A和B的加速度相同6．如图所示，闭合线圈上方有一竖直放置的条形磁铁，磁铁的Ⅳ极朝下．当磁铁向下运动时(但未插入线圈内部)A．线圈中感应电流的方向与图中箭头方向相同，磁铁与线圈相互吸引B．线圈中感应电流的方向与图中箭头方向相同，磁铁与线圈相互排斥C．线圈中感应电流的方向与图中箭头方向相反，磁铁与线圈相互吸引D．线圈中感应电流的方向与图中箭头方向相反，磁铁与线圈相互排斥7．如图所示，工是一个带有铁芯的自感系数很大的线圈，R为一个定值电阻，两条支路的直流电阻相等．那么在闭合电键瞬间、电路稳定后和断开电键瞬间，电流表A1的读数为I1、I1’，I1’’,电流表A2的读数为I2、I2’，I2’’．则在三个状态下，它们大小关系分别是A．I1<I2，I1’= I2’, I1’’= I2’’B．I1<I2，I1’< I2’, I1’’> I2’’C．I1>I2，I1’= I2’, I1’’<I2’’D．I1>I2，I1’>I2’, I1’’= I2’’8．氘核(21H)和氚核(31H)均带正电，且所带电量相等，质量之比是2：3．如果它们在同一垂直纸面向里的匀强磁场中运动时的轨迹完全相同，如图所示，则氘核和氚核A．都沿顺时针方向运动B．运动的周期相同C．运动的动能相同D．运动的动量大小相等9．质量相等的A、B两小球在水平地面上方同一高度处分别做竖直上抛运动和平抛运动，它们的初速度大小相等，最后落于同一水平面上．若不计空气阻力，则以下说法正确的是A．两小球运动时间相同B．重力对两小球的冲量相同C．两小球着地时的动量相同D．两小球着地时的动能相同10．处于竖直向上匀强磁场中的两根电阻不计的平行金属导轨，下端连一电阻R，导轨与水平面之间的夹角为θ．一电阻可忽略的金属棒ab，开始固定在两导轨上某位置，棒与导轨垂直，如图所示．现释放金属棒让其由静止开始沿轨道平面下滑．就导轨光滑和粗糙两种情况相比较，当两次下滑的位移相同时A．金属棒的动能相同B．金属棒的机械能变化量相同C．流过R的电量相等D．闭合回路中磁通量的变化率相等11．如图所示，带电平行金属板上极板带负电，下极板带正电，匀强磁场方向垂直纸面向里．一带电小球从光滑绝缘轨道上的a点由静止滑下，经过1／4圆弧轨道从端点P(切线水平)进入板间后恰好沿水平方向做直线运动．现使带电小球从比a点稍低的b点由静止滑下，则以下说法正确的是A．带电小球带负电B．带电小球在平行金属板中最初一段时间运动时动能增大C．带电小球在平行金属板中运动时所受电场力不断增大D．带电小球进入平行金属板后仍沿水平方向做直线运动12．如图所示，质量mz=1 kg的A球和质量m占=2kg的B球在光滑水平面上同向运动，速度v A=10m／s，v B=5m／s．当它们相碰后，各自的速度可能为A．v A=0，v B =10m／sB．v A=2m／s，v B =8m／SC．v A=8m／S，v B =6m／SD．v A==4m／s，v B=8m／s13．如图所示，在光滑水平面上叠放A、B两物体，其间有摩擦，m A=2kg，m B=1kg，速度的大小均为v0=10 m／s，设A板足够长．当观察到B做加速运动时，A的速度可能为A．2 m／s B．3 m／s C．4 m／s D．6 m／s14．如图所示，在光滑水平面上停放着质量为m、装有光滑弧形槽的小车，一质量也为m 的小球以水平初速度v0沿水平槽口向小车滑去，到达某一高度后，小球又返回左端，则A．小球离开小车左端时将做自由落体运动B．小球离开小车左端时将向右做平抛运动C．整个过程小球和小车组成系统动量守恒D．小球在弧形槽内上升的最大高度为箬15．如图所示，两个垂直纸面的匀强磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B，磁场区域的宽度为a．一正三角形(高度为a)导线框ABC从图示位置沿图示方向匀速穿过两磁场区域，以逆时针方向为电流的正方向．则感应电流，与线框移动距离x的关系图是16．如图(a)所示，质量为2m的长木板，静止放在光滑的水平地面上，另一质量为m的小铅块(可视为质点)以水平速度v0滑上木板左端，恰能滑至木板最右端且与木板保持相对静止(铅块与木板间的摩擦因数处处相同)．现将木板分成长度和质量均相等的l、2两段后紧挨着静止放在同一水平面上，让小铅块以相同的初速度v0由木板1的左端开始运动，如图(b)所示．则下列说法正确的是A．(b)中,铅块、木板1、木板2三者最终速度相等B．(b)中小铅块滑到木板2的最右端之前就与木板2保持相对静止C．(b)中小铅块将从木板2的右端滑下D．(a)、(b)两种过程中系统产生的热量相等二．实验题(按题目要求，将答案写在答题卷上．其中17题4分，18题8分，共12分) 17．请根据以下提供的器材及说明，设计一个自动控制路灯的电路，要求路灯白天熄灭，晚上打开．光敏电阻R1，符号：此电阻可以认为光照强(如白天)时电阻为零，光照弱(如晚上)时电阻无穷大路灯灯泡L，符号：保护电阻R2，符号：电源E，符号：开关S，符号：电磁开关J，符号：此电磁开关为一个继电器，1、2两点连接在电磁铁的线圈上．当l、2点通电时，3、4 点断开；当1、2点不通电时，3、4点导通．请在右侧方框中完善这一控制电路．18．在《验证碰撞中动量守恒》的实验中，有以下两个方案：方案(1)斜槽导轨装置．如图所示，让入射球从斜槽上某处滚下，让两球在槽口碰撞从而验证碰撞过程中动量守恒．①若入射球质量为m-，被碰球质量为m2，则它们的关系应当是m1_____m2(填“>”、“<”或“=”)．②斜槽轨道不可避免的存在摩擦，这个摩擦对实验结果_______影响(填“有”或“无”)；若斜槽末端未能调整水平，则对实验结果______影响(填“有”或“无”)．③某同学实验做完后取下白纸，标上记号如图，量出OM,OP、ON(其中D点为槽口重锤尖位置)．通过计算，只要在实验误差范围内满足______________________则两球在碰撞过程中动量守恒．方案(2)小车拖着纸带碰撞．如图所示，让A、B两车放在长木板上，A车拖着穿过打点计时器的纸带，以一定速度与B车相撞并粘合在一起，测出质量和速度，从而验证碰撞中动量守恒．本实验中，小车和长木板之间存在较大摩擦，将影响实验精度，你觉得要解决这个问题，可以采取什么措施?答：三．计算题(将解答过程写在答题卷相应框内．其中19题8分，20、21、22题10分，23题l2分，共50分)19．匝数n=100的线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，产生正弦交流电，电动势．求：(1)交流电的周期和电动势的有效值；(2)若磁场的磁感应强度B= ，则线圈的面积为多少?20．如图所示，质量m=1 kg、电阻r=0.5 Ω的金属杆a、b置于水平固定的金属轨道上，杆与轨道的摩擦因数μ=0.5，在轨道的一端还接有一只固定电阻，阻值R=2 Ω，轨道电阻不计．已知轨道间距和杆离轨道左端的距离均为L=0.5 m，垂直穿过轨道平面的匀强磁场从某时刻开始按B1=2-2t(T)的规律变化，取向上为正，g=10 m／s2．求：(1)磁场变化后杆中的感应电流大小和方向；(2)设最大静摩擦等于滑动摩擦，则从磁场开始变化后经过多长时间，杆开始滑动?21．如图所示，固定的光滑金属导轨水平放置，轨道间距为l ．整个空间存在磁感应强度为B 、方向竖直向上的匀强磁场．质量分别为m 和2m 的金属杆a 、b 垂直于导轨放置， 两杆的电阻均为R ，轨道电阻不计．现给b 杆一水平向右的速度v 0，设轨道足够长，磁 场区域足够大，两杆始终没有相碰．求：(1)a 杆最终的速度大小；(2)整个过程a 杆产生的焦耳热；(3)当a 杆速度为02v 时的加速度大小·22．如图所示，直角坐标系xOy 中，I 象限有垂直纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场．IV 象限有沿x 轴负方向的匀强电场．III 象限部分区域内有垂直纸面的匀强磁场，III 象限其余部分和II 象限均为真空．一带电粒子(重力不计)在y 轴上坐标为(0，l )的A 点以 速度v 0垂直射入I 象限，经过一段时间垂直x 轴进入IV 象限，再经过一段时间以与y 轴负方向成45°角进入III 象限，在磁场中绕过180°，最后回到A 点．求：(1)粒子的比荷q m； (2)匀强电场的场强大小；(3)第111象限部分区域中存在的匀强磁场的磁感应强度的大小．23．如图所示，质量为m 的长木板静置于光滑水平面，质量为3m 的物块以速度v 水平冲上木板左端，物块与木板之间的动摩擦因数为μ．在水平面的右侧有一固定的竖直墙壁，木板每次与墙壁碰撞均为弹性碰撞．已知木板第一次与墙壁碰撞前物块已相对木板静止．设木板足够长，物块始终在木板上，重力加速度为g ，求：(1)木板第一次碰墙时的速度大小；(2)物块最终在木板上滑过的距离；(3)木板从第一次与墙壁相碰到最终所走过的路程．。
南开中学高三数学模拟试卷(理科)(参考答案).doc
南开中学高三数学模拟试卷(理科)参考答案一、选择题:二、填空题:三、解答题：15.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道 题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是2,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分，答错一•题(不答视为答错)得0分.(I) 求乙的得分X 的分布列和数学期望E(X )；(II) 规定：每个人至少得2()分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过 测试的概率.16.【解】设乙的得分为X, X 的可能值有0,10, 20,30 (1)分 ~\ cJ 1~ \ C/C? 9 玖X = 0)= —= —P{X = 10)= '・•=— C/20 C;20VvP(X = 20) == — Pjx = 30)=空=丄 ......................... 5 分 20 C/ 20VV乙得分的分布列为：1 99 £Y = 0x — +10x — +20x —20 20 20+ 30 x A = 1520所以乙得分的数学期望为15 ............................................ 8分⑵乙通过测试的概率为刃...................................... 9分甲通过测试的概率为刁+訂(尹；=善1A分1 212。
甲、乙都没通过测试的概率为(1 - 1) . (1 -—)=—2 125 125因此甲、乙两人中至少4人通过测试的概率为】-总=豈………“16.已知函数/(x) = 2A /3sin x cos x-2cos 2x + 1. (I )求函数/(兀)的最小正周期及单调递增区间；A(II)在\ABC 中，d,b,c 分别为角A 9B,C 所对的边，若/(y) = 2, fe = l, c = 2,求 a 的值. 16.解：(I ) fix)=羽 sin lx 一 cos 2x............. 2 分rr TT rr由 2k;r - - < 2x - - < 2心T + 二得,2 6 271x < kz + —(keZ h ........... 了分3rr故f(x)的单调超増区间为；后-二k7l6&分A jr jr(II) /(-) = 2,则2sin(A 一一) = 2 => sin(A 一一) = 1 ....................... 9 分 2 6 6 71 7T 2/r/. A-- = -+ 2kg A = — + 2kgk G Z ............. 10^ 6 2 3 乂0 v A <%,・•• A =互 ................. 11 分3a 2 =b 2 +c 2 -2hc cos A = 7 ..................... 12 分a =.................. 13 分17.如图，在三棱柱ABC-A.B, G 中，AA.C.C 是边t 为4的正方形，.平丄平面 AA|C]C, AB — 3 , BC = 5 .(I) 求证：AA 丄平面ABC ； (II) 求二面角A - BG- 的余弦值；(III) 证明:在线段BC X 存在点D ，使得AD 丄A.B , 并求竺的值. BC.解：(I )因为AAiCjC 为正方形，所以AA|丄AC.因为平面ABC 丄平面AA.CjC,且AAj 垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 】丄平面ABC. (II)由(I)知 AAI 丄AC, AAi 丄AB.由题知 AB=3, BC=5, AC=4,所以 AB 丄AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A —兀yz,则 B(0, 3, 0),A|(0, 0, 4),B ((0, 3, 4),C )(4, 0, 4), 设平面A 】BC]的法向量为n = (x,y,z),则＜ 皿3 = 0 n • A l C [ = 0 3y-4z = 0 4x = 0令 z = 3,则兀=0, y = 4,所以n - (0,4,3). 同理可得,平而BB,C 1的法向量为皿=(3,4,0).,所以cos(/z,m} = n m=—.由题知二面角Aj —BCj —Bj 为锐角,' '\n\\m\ 25 ...................................................所以二而角A| —BC| —B|的余弦值为一.25(III)设 D(x,y,z)是直线 BC1 ± 一点，且=所以 g-3,z) = 2(4,-3,4) •解得x = 42 f y = 3 — 3A f z = 4A.所以 而= (42,3 - 3入 4/1).由X5•丽=0,即9一252 = 0.解得2 = 2.125 9因为—6[0,1],所以在线段BC 】上存在点D,25使得AD 丄A|B.此时，丝=1BC, 252 218-如图’已知椭圆吟+斧1心＞。
2024学年天津市南开中学高二数学上学期期中检测试卷及答案解析
2024学年天津市南开中学高二数学上学期期中检测试卷考试时间：120分钟，试卷满分150分2024.11第I 卷（选择题共60分）一.单选题（共12小题，每小题5分，在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求）1.已知空间向量()(),1,0,21,1,1a b ==-，则下列结论正确的是（）A.向量a在向量b 上的投影向量是12,0,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()0,1,3a b -=--C .a b ⊥D.cos ,15a b =2.已知直线l 经过点()1,2-，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为（）A.2340x y ++= B.2380x y +-= C.3270x y --= D.3210x y --=3.设圆224470x y x y +-++=上的动点P 到直线0x y +-=的距离为d ，则d 的取值范围是A.[]0,3 B.[]2,4 C.[]2,5 D.[]3,54.已知圆的方程为2220x y x +-=，(),M x y 为圆上任意一点，则21y x --的取值范围是（）A.⎡⎣B.[]1,1-C.(),-∞+∞D.(][),11,-∞-+∞5.已知点M ，椭圆2214x y +=与直线(y k x =+交于点,A B ，则ABM 的周长为（）A.4B.8C.12D.166.已知圆C 的圆心是直线10x y ++=与直线10x y --=的交点，直线34110x y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且6AB =，则圆C 的方程为（）A.()22118x y ++= B.()221x y +-=C.()22118x y -+= D.()221x y -+=7.已知圆22:2410C x y x y +-++=关于直线:3240l ax by ++=对称，则由点(,)M a b 向圆C 所作的切线中，切线长的最小值是（）A.2B.C.3D.8.已知,M N 分别是曲线1C ：222410x y x y ++-+=，2C ：226290x y x y +--+=上的两个动点，P 为直线220x y ++=上的一个动点，则||||PM PN +的最小值为（）A .3- B.3C.1- D.49.已知椭圆C ：2213620x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若122AF AF =，则1ABF ∆的面积是（）A. B. C.8D.410.设双曲线224x y -=的焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线右支上，且1290F PF ︒∠=，则点P 的横坐标为（）A.B.2C.D.611.如图，1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，且()1F ，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ．若2ABF △为等边三角形，则双曲线的方程为（）A.22551728x y -= B.2216x y -= C.2216y x -= D.22551287x y -=12.已知椭圆的两焦点1F ，2F 和双曲线的两焦点重合，点P 为椭圆和双曲线的一个交点，且121cos 4F PF ∠=，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的最小值为（）A.1514+B.2C.14D.4第II 卷（非选择题共90分）二.填空题（共8小题，每小题5分）13.过点()2,1-且方向向量为()1,2的直线的方程为___________．14.已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长，则圆C 的方程为________．15.已知圆22460x y x y +--=，则过点()1,1M 的最短弦所在的直线方程是_________.16.已知()2,1,3a →=-，()3,4,2b →=-，()7,,5c λ→=，若,,a b c →→→共面，则实数λ=______．17.椭圆221369x y +=的一条弦被点(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是________.18.双曲线22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为2y x =，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为_______19.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为__________．20.已知F 1､F 2为双曲线2222x y a b-=1(a >0，b >0)的左､右焦点，过F 2作倾斜角为60°的直线l 交双曲线右支于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，则12AF F △的内切圆半径r 1与12BF F △的内切圆半径r 2之比12r r 为___________.三.解答题（共4小题，共50分）21.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，高为4．（1）求1A B 与1AD 所成角的余弦值；（2）1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值．22.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为2，焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.23.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,,2,4ABC AB AC AB AA AC ⊥===，M 是1CC 的中点，N 是1A B 的中点．（1）求证：1C N ∥平面ABM ；（2）求直线1AC 与平面ABM 所成角的正弦值；（3）求平面ABM 与平面1A BC 夹角的余弦值．24.已知椭圆()222210+=>>x y a b a b左顶点为M ，上顶点为N ，直线MN 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）直线()1:02l y x m m =+≠与椭圆交于,A C 两点，与y 轴交于点P ，以线段AC 为对角线作正方形ABCD ，若2BP =．（i ）求椭圆方程；（ii ）若点E 在直线MN 上，且满足090EAC ∠=，求使得EC 最长时，直线AC 的方程．2024学年天津市南开中学高二数学上学期期中检测试卷第I 卷（选择题共60分）一.单选题（共12小题，每小题5分，在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求）1.已知空间向量()(),1,0,21,1,1a b ==-，则下列结论正确的是（）A.向量a在向量b 上的投影向量是12,0,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()0,1,3a b -=--C.ab⊥D.15cos ,15a b =【答案】A 【解析】【分析】对于A 选项，根据投影向量的定义计算即可；对于B 选项，根据空间向量的减法运算法则即可；对于C 选项，根据向量法垂直的判别即可；对于D 选项，根据向量夹角的余弦公式计算即可.【详解】A.a在b 上的投影5||a b b ⋅=-，与b 同向的单位向量为,0,)55||b b =-，所以向量a 在向量b 上的投影向量是552512,0,)(,0,)55555--=-，故A 正确；B.()0,1,3a b -=，故B 错误；C.因为0a b ⋅≠r r ，所以a 与b 不垂直，故C 错误；D.cos 15|,|||a b a b a b <>⋅==-⋅，故D 错误.故选：A.2.已知直线l 经过点()1,2-，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为（）A.2340x y ++=B.2380x y +-=C.3270x y --=D.3210x y --=【答案】C 【解析】【分析】求出直线l 的斜率，利用点斜式可得出直线l 的方程.【详解】 直线l 与直线2310x y +-=垂直，且直线2310x y +-=的斜率为23-，所以直线l 的斜率为32，又因为直线l 经过点()1,2P -，所以直线l 的方程为()3212y x +=-，化简得3270x y --=.故选：C ．3.设圆224470x y x y +-++=上的动点P 到直线0x y +-=的距离为d ，则d 的取值范围是A.[]0,3 B.[]2,4 C.[]2,5 D.[]3,5【答案】B 【解析】【详解】分析：先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径得最小值，加上半径得最大值.详解：由题意得，圆224470x y x y +-++=，即()()22221x y -++=，圆心为()2,2-，半径1r =，由圆心到直线的距离3d ==，∴圆上动点到直线的最小距离为312-=，最大距离为314+=，即d 的取值范围是[]2,4，故选B.点睛：本题考查圆的标准方程及几何性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.4.已知圆的方程为2220x y x +-=，(),M x y 为圆上任意一点，则21y x --的取值范围是（）A.⎡⎣B.[]1,1-C.(),-∞+∞D.(][),11,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】将圆的方程化为标准式，21y x --表示圆上的点与点()1,2A 的连线的斜率，求出过点()1,2A 与圆相切的切线的斜率，即可求出21y x --的取值范围.【详解】圆的方程为2220x y x +-=，即()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，半径1r =，则21y x --表示圆上的点与点()1,2A 的连线的斜率，过点()1,2A 作圆的切线方程，显然，切线斜率存在，设切线方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k -+-=．=1，解得k =，所以21y x --的取值范围为(),-∞+∞ ．故选：C ．5.已知点M ，椭圆2214x y +=与直线(y k x =+交于点,A B ，则ABM 的周长为（）A.4B.8C.12D.16【答案】B 【解析】【分析】求出椭圆中c =，发现点M 为椭圆的右焦点，直线过左焦点，从而根据椭圆定义得到ABM 的周长为4a .【详解】由椭圆方程可知224,1a b ==，所以2223c a b =-=，c =，所以点M 为椭圆的右焦点，直线(y k x =+过左焦点(，由椭圆定义可知：ABM 的周长为48a =故选：B6.已知圆C 的圆心是直线10x y ++=与直线10x y --=的交点，直线34110x y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且6AB =，则圆C 的方程为（）A.()22118x y ++= B.()221x y +-=C.()22118x y -+= D.()221x y -+=【答案】A 【解析】【分析】求出两直线的交点坐标即圆心坐标，根据勾股定理求解半径即可.【详解】直线10x y ++=与直线10x y --=的交点为()0,1-，所以圆心为()0,1C -，设半径为r ，由题意得2223r +=，即解得218r =，故圆C 为()22118x y ++=.故选：A.7.已知圆22:2410C x y x y +-++=关于直线:3240l ax by ++=对称，则由点(,)M a b 向圆C 所作的切线中，切线长的最小值是（）A.2B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】依题可求出圆心及半径，过点(,)M a b 向圆C 所作的切线长l =线长的最小值，只需求||MC 的最小值，依题可得圆心在直线:3240l ax by ++=上，从而可得点(,)M a b 所在直线，由点到直线的距离公式可求出||MC 的最小值，从而得到答案.【详解】因为22:2410C x y x y +-++=即22:(1)(2)4C x y -++=，所以圆心为(1,2)C -，半径为2R =;因为圆C 关于直线:3240l ax by ++=对称，所以:3440l a b -+=，所以点(,)M a b 在直线1:3440l x y -+=上，所以||MC 的最小值为：|384|=35d ++=，=【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，切线长的表示方法，最值的转化，体现出转化与化归数形结合的思想.8.已知,M N 分别是曲线1C ：222410x y x y ++-+=，2C ：226290x y x y +--+=上的两个动点，P 为直线220x y ++=上的一个动点，则||||PM PN +的最小值为（）A.3-B.3C.1- D.4【答案】A 【解析】【分析】根据题意，将问题转化为求12,PC PC 的最小值，求得1C 的对称点，根据对称性即可求得结果.【详解】曲线2212410C x y x y ++-+=是以1(1,2)C -为圆心,2为半径的圆,2226290C x y x y +--+=是以2(3,1)C 为圆心,1为半径的圆,则||PM 的最小值为12PC PN -，的最小值为21PC -,如下图所示,作点1C 关于直线220x y ++=的对称点3C ,设其坐标为(,)m n,可得2211222022n m m n -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+⨯+=⎪⎩,解得32m n =-⎧⎨=-⎩,即3(3,2)C --,连接23C C ,分别交直线220x y ++=､圆2C 于点,P N ,连接1PC ，交圆1C 于点M ,可得123223PC PC PC PC C C +=+≥==,当且仅当23,,C P C 三点共线时32PC PC +的最小值为,则||||PM PN +的最小值为3-,故选：A .【点睛】本题综合考查了点与圆,点关于直线对称的应用,需要学生能灵活运用所学知识.9.已知椭圆C ：2213620x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若122AF AF =，则1ABF ∆的面积是（）A. B. C.8D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆定义可求出12AF F ∆的三边长，利用余弦定理求出12cos F AF ∠，即可得12sin F AF ∠值，故可得12AF F ∆的面积，由对称性可知1ABF ∆的面积.【详解】解：由题意可得6a =，4c =，则12212AF AF a +==，128F F =.因为122AF AF =，所以18AF =，24AF =，所以126416641cos 2844F AF +-∠==⨯⨯，则12sin 4F AF ∠=，故12AF F ∆的面积是121211sin 84224AF AF F AF ⋅∠=⨯⨯⨯=，由对称性可知1ABF ∆的面积是.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题.10.设双曲线224x y -=的焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线右支上，且1290F PF ︒∠=，则点P 的横坐标为（）A.B.2C.D.6【答案】C 【解析】【分析】设(),P m n ，由点在曲线上及1290F PF ︒∠=，列出等式求解即可.【详解】由题意可得：()()12,F F -，设s ,>0，由题意可得：224m n -=1=-，两方程联立解得：26m =，所以m =故选：C11.如图，1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，且()1F ，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ．若2ABF △为等边三角形，则双曲线的方程为（）A.22551728x y -= B.2216x y -= C.2216y x -= D.22551287x y -=【答案】C 【解析】【分析】由双曲线定义结合等边三角形求得2BF ，1BF ，再由余弦定理求得,a b ，即可求得双曲线方程.【详解】根据双曲线的定义，有212AF AF a -=①，122BF BF a -=②，由于2ABF △为等边三角形，因此22AF AB BF ==，由①＋②，得114BF AF a -=，则224AB AF BF a ===，16BF a =，又因为1260F BF ∠=︒，所以()()()22212642642c a a a a =+-⨯⨯⨯，即2277a c ==，解得21a =，则2226b c a =-=，所以双曲线的方程为2216y x -=．故选：C .12.已知椭圆的两焦点1F ，2F 和双曲线的两焦点重合，点P 为椭圆和双曲线的一个交点，且121cos 4F PF ∠=，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的最小值为（）A.1514+B.152C.14D.154【答案】A 【解析】【分析】设1PF x =，2PF y =，不妨设P 在第一象限，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a '，122F F c =，由椭圆与双曲线的定义用,a a '表示出,x y ，然后用余弦定理得出,,a a c '的关系即12,e e 的关系式，然后由基本不等式求得最小值．【详解】设1PF x =，2PF y =，不妨设P 在第一象限，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a '，122F F c =，则22x y a x y a '+=⎧⎨-=⎩，解得x a a y a a =+⎧⎨='-'⎩，在12PF F 中由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，∴22222114242c x y xy x y xy =+-⨯=+-，1c e a =，2ce a ='，222221354()()()()222c a a a a a a a a a '''''=++--+-=+，∴2212358e e +=，∴()22222212121222221221531351888e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(11881884⎛≥+=+=+ ⎝，当且仅当2212222153e e e e =时等号成立．所以2212e e +的最小值为1514+．故选：A ．【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义，考查它们的离心率，解题关键是利用定义表示出焦半径12,PF PF ，然后用余弦定理求得12,e e 的关系式，用基本不等式求得最小值．第II 卷（非选择题共90分）二.填空题（共8小题，每小题5分）13.过点()2,1-且方向向量为()1,2的直线的方程为___________．【答案】250x y --=【解析】【分析】由题意可得直线的斜率，再由点斜式方程即可求解【详解】因为直线过点()2,1-且方向向量为()1,2，所以直线的斜率为221k ==，所以直线的方程为()122y x +=-，即250x y --=，故答案为：250x y --=14.已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长，则圆C 的方程为________．【答案】(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.【解析】【分析】设圆的圆心，由直线与圆相切可得半径，再由垂径定理即可得解.【详解】由圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，∴设圆C 的圆心为(a ,－a )，又∵圆C 与直线x －y ＝0相切，∴半径r ==.又圆C 在直线x －y －3＝0，圆心(a ,－a )到直线x －y －3＝0的距离d =∴2222d r ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即22(23)3222a a -+=，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故答案为：22(1)(1)2x y -++=.15.已知圆22460x y x y +--=，则过点()1,1M 的最短弦所在的直线方程是_________.【答案】230x y +-=【解析】【分析】由题知，弦最短时，圆心与点M 的连线与直线l 垂直，进而求解直线方程即可.【详解】解：根据题意：弦最短时，圆心与点M 的连线与直线l 垂直,因为圆22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=，圆心为：()2,3O ，所以31221OMk -==-，所以112l OM k k -==-，所以所求直线方程为：230x y +-=.故答案为：230x y +-=.16.已知()2,1,3a →=-，()3,4,2b →=-，()7,,5c λ→=，若,,a b c →→→共面，则实数λ=______．【答案】12313-【解析】【分析】由空间向量的共面定理，列出方程组求出实数λ的值．【详解】因为,,a b c →→→共面，所以a x b y c →→→=+，则23732514x y x y x y λ-=+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩，解得311312313x y λ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，故答案为：12313-17.椭圆221369x y +=的一条弦被点(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是________.【答案】280x y +-=【解析】【分析】利用点差法即得直线斜率，再根据点斜式求直线方程.【详解】设这条弦的端点坐标为()()1122,,,x y x y ，则22111369x y +=，22221369x y +=，12128,4x x y y +=+=，∴221222120363699y x y x -+-=，22121222369y x x y -=--，所以()()1212121291362x x y y x x y y ++=-=---，因此这条弦所在的直线方程为1242()y x -=--，即280x y +-=.故答案为：280x y +-=.18.双曲线22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为2y x =，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为_______【答案】2214y x -=【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程可得2ba=，再由焦点到渐近线的距离为2可得2b =，即可得答案；【详解】由题意得：2,12,b a ab ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩，∴双曲线的方程为2214y x -=，故答案为：2214y x -=.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为b ，考查运算求解能力，属于基础题.19.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为__________．【答案】62【解析】【详解】圆的标准方程为22(3)4x y -+=，圆心为(3,0)，半径为2r =，一条渐近线方程为0bx ay -=，圆心到渐近线距离为d =，因为弦长为2，所以22221=-，所以62c e a ==．20.已知F 1､F 2为双曲线2222x y a b-=1(a >0，b >0)的左､右焦点，过F 2作倾斜角为60°的直线l 交双曲线右支于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，则12AF F △的内切圆半径r 1与12BF F △的内切圆半径r 2之比12r r 为___________.【答案】3【解析】【分析】连接12O O 交AB 于D 点，由题意可得1122122O D r r r r ==++，即求.【详解】由内切圆的性质可知，12AF F △的内切圆1O 和12BF F △的内切圆2O 都与x 轴相切于双曲线的右顶点C ，可知12,,O C O 三点共线.连接12O O 交AB 于D 点，如图：直线l 的倾斜角为60°，所以1160CO T ∠=，2260DO T ∠= ，在11Rt DO T 与22Rt DO T 中，则1122122O D r r r r ==++，则12r r 为3.故答案为：3三.解答题（共4小题，共50分）21.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，高为4．（1）求1A B 与1AD 所成角的余弦值；（2）1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值．【答案】（1）45（2）13【解析】【分析】（1）利用棱柱中的平行关系转化异面直线为共面直线，余弦定理解三角形求夹角即可；（2）利用棱柱中的平行关系转化线面夹角，结合（1）解三角形计算即可.【小问1详解】连接1A B ，由正四棱柱的性质可知11//A B D C ，1A B 与1AD 所成角为1AD C ∠，由已知可得2211245,2AD D C AC ==+=由余弦定理可知：22211111324cos 22205D A D C AC AD C AD D C +-∠===⋅⨯；【小问2详解】由题意可知11//CC DD ，则1CC 与平面1ACD 所成角即1DD 与平面1ACD 所成角,连接DB 与AC 交于O ，结合（1）与条件易知1,D O AC BD AC ⊥⊥,而11,DC D O O DC D O =⊂ 、面1DD O ，故AC ⊥面1DD O ，又AC ⊂面1ACD ，所以面1ACD ⊥面1DD O ,显然面1ACD ⋂面11DD O D O =，即直线1DD 在面1ACD 上的投影在直线1D O 上,故1DD 与平面1ACD 所成角为1DDO ∠，易得221112,222AC DO AC D O D A ⎛⎫===- ⎪⎝⎭,所以111sin 3DO DD O D O ∠==.22.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为22，焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.【答案】(1)2212x y +=(2)10x y -+=或10x y ++=.【分析】（1）由离心率合焦距可得出a 、c 的值，可求出b 的值，于是可得出椭圆E 的方程；（2）设直线l 的方程为1x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，于是得出ΔA 的面积为1212ABC S OF y y ∆=⋅-，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，将韦达定理代入ΔA 的面积表达式可求出m 的值，从而可得出直线l 的方程．【详解】（1）由2c a =，22c =，222a b c =+，解得a =1b =所以，椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）设过()1,0F -的直线方程为1x my =-，代入椭圆E 的方程，化简得()222210m y my +--=，显然0∆>.设()12,A x x ,()12,B x x ，则12222m y y m +=+,12212y y m -=+从而12y y -=.所以121223OABS OF y y ∆=⋅-=，解得1m =±，所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y ++=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆中的面积问题，在求解直线与圆锥曲线的综合问题时，一般采用将直线与圆锥曲线方程联立的方法，结合韦达定理求解，易错点就是计算量大，所以在计算中充分运用一些运算技巧，简化计算．23.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,,2,4ABC AB AC AB AA AC ⊥===，M 是1CC 的中点，N 是1A B 的中点．（1）求证：1C N ∥平面ABM ；（2）求直线1AC 与平面ABM 所成角的正弦值；（3）求平面ABM 与平面1A BC 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）31010（3）3030【分析】（1）取AB 中点为E ，连接,NE ME ，易证四边形1NEMC 为平行四边形，则可得1//NC EM ，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）由题意建立A xyz -空间直角坐标系，则可得1(0,4,4)A C =- ，平面ABM 的法向量1(0,1,2)n =-，再由直线1AC 与平面ABM 所成角的正弦值111111cos ,A C n A C n A C n ⋅=⋅求出答案；（3）由题意易知1(0,1,2)n =- ，可求出平面1A BC 的法向量2(2,1,1)n =，由平面ABM 与平面1A BC 夹角的余弦值121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅即可求出答案.【小问1详解】如图所示：取AB 中点为E ，连接,NE ME ，在1ABA △中，,N E 分别为1,BA BA 中点，所以NE 为1ABA △的中位线，所以1//NE AA ,且12AA NE =，又1111//,AA CC AA CC =，M 为1CC 中点，所以11//,NE C M NE C M =,所以四边形1NEMC 为平行四边形，所以1//NC EM ，又1NC ⊄平面ABM ，EM ⊂平面ABM ，所以1//C N 平面ABM；【小问2详解】如图所示：建立A xyz -空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,2,0,0,0,4,0,0,4,2,0,0,4A B C M A ，所以1(2,0,0),(0,4,2),(0,4,4)AB AM A C ===- ，设平面ABM 的法向量为1(,,)n x y z = ，则1120420n AB x n AMy z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1y =，则0x =，2z =-，则1(0,1,2)n =- ，所以直线1AC 与平面ABM所成角的正弦值为111111cos ,10A C n A C n A C n ⋅==⋅；【小问3详解】由题意知1(2,0,4),(2,4,0)A B BC =-=-，设平面1A BC 的法向量为2(,,)n x y z =，则212240240n A B x z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取2x =，则1y =，1z =，则2(2,1,1)n =，平面ABM 与平面1A BC夹角的余弦值121212cos ,30n n n n n n ⋅===⋅.24.已知椭圆()222210+=>>x y a b a b左顶点为M ，上顶点为N ，直线MN 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）直线()1:02l y x m m =+≠与椭圆交于,A C 两点，与y 轴交于点P ，以线段AC 为对角线作正方形ABCD，若2BP =．（i ）求椭圆方程；（ii ）若点E 在直线MN 上，且满足090EAC ∠=，求使得EC 最长时，直线AC 的方程．【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）()()221414221x i y ii y x +==-【分析】（Ⅰ）根据直线MN 的斜率可得2a b =，即可求出离心率；（Ⅱ）()i 将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得AC 及PQ ，根据勾股定理即可求出b 的值；()ii 根据平行间的距离公式求出AE ，再根据勾股定理和二次函数的性质即可求出EC 最长时m 的值，即可求出直线AC 的方程．【详解】解：（Ⅰ） 左顶点为M ，上顶点为N ，直线MN 的斜率为12．12b a ∴=，2c e a ∴===，（Ⅱ）()i 由(Ⅰ)知椭圆方程为22244x y b +=，设()11,A x y ，()22,C x y ，线段AC 中点Q 则2221244y x m x y b⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，整理得：2222220x mx m b ++-=，由()22222(2)422840m m b b m =-⨯-=-> ，则122x x m +=-，221222x x m b =-，()1212122y y x x m m +=++=，则1,2Q m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由l 与y 轴的交点()0,P m ，PQ ==，()()()()()2222222121212125||14844AC x x y y k x x x x b m ⎡⎤=-+-=++-=-⎣⎦，()2222222221551010||||||244444BP BQ PQ AC PQ b m m b ∴=+=+=-+==，21b ∴=，即1b =，∴椭圆方程为2214x y +=；()ii 由()i 可知AC =，直线MN 的方程为112y x =+，∴直线MN 与直线l 点E 在直线MN 上，且满足90EAC ∠= ，AE ∴=，()222222421854||||(1)525555EC AE AC m m m m ∴=+=-+-=--+，当421m =-时，此时EC 最长，故直线AC 的方程14221y x =-.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．。
天津市南开中学2012-2013学年高二上学期第二周周练数学理科试题Word版无答案
天津南开中学高二第一学期周练21. 下列说法中正确的是（ ）.A 三点确定一个平面 .B 两条直线确定一个平面.C 两两相交的三条直线一定在同一平面内 .D 过同一点的三条直线不一定在同一平面内 2. 直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，,M a N b ∈∈，且,M l N l ∈∈，则（ ）.A l α⊂ .B l α⊄ .C l M α= .D l N α=3. 设,,a b c 是空间三条直线，下面给出5个结论：()1若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ()2若a 和b 平行，b 和c 平行，则a 和c 也平行； ()3若a 和b 垂直，b 和c 垂直，则a 和c 也垂直；()4若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 也是异面直线； ()5若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面．其中真命题的个数是（ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 44. 正方体1111ABCD A B C D -中，,,P Q R 分别是11,,AB AD B C 的中点，那么，正方体的过,,P Q R 的截面图形是（ ）.A 三角形 .B 四边形 .C 五边形 .D 六边形 5. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行：②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号为（ ） .A ①②③ .B ②④ .C ③④ .D ②③④6. 已知长方体1111ABCD A B C D -中，侧面11A ADD 是正方形，M 是棱CD 的中点，AM 与1CD MFBC ND E A所成角为θ，若sin θ=，则1AA AB的值为（ ） (A (B (C (D7. 异面直线,a b 分别在平面,αβ内，l αβ=，则直线l 于,a b 的位置关系是（ ）()A 与,a b 相交 ()B 至少与,a b 中的一条相交 ()C 与,a b 都不相交 ()D 至多与,a b 中的一条相交8. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，,E F 分别是棱,AB BC 上的点，且AE BF =，若1A E 与1C F 所成的角最小，则有 （ ）.A 14AE BF a == .B 13AE BF a ==.C 25AE BF a == .D 12AE BF a ==9. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为AB 、AD 的中点，1．11A C 与1B C 所成角的大小是_____________; 2．11A C 与EF 所成角的大小是_____________; 3．1A C 与1AD 所成角的大小是_____________;4．1AD 与EF 所成角的大小是_____________; 5．1BD 与CE 所成角的余弦值是_____________;10. *正方形ABCD 中，M 为AD 中点，N 为AB 的中点，沿,CM CN 分别将CDM 和CBN 折起，使CB 与CD 重合，设B 点与D 点重合于P 点，DM 的中点折起后变成PM 的中点T ，则异面直线CT 和PN 所成角的余弦值为______________．11. 画出经过PQR 的正方体的截面1()1 * ()212. 画出经过,,A B C 的四棱锥的截面13. 已知点,,P Q R 分别在三棱锥S ABC -的三条侧棱,,SA SB SC 上，且PQ 与AB 交于点D ，PR 与AC 交于点E ，RQ 与BC 交于点F ，求证：,,D E F 三点共线．14. 在正方形1111ABCD A B C D -中，,G H 分别是11B C ，11C D 的中点。
天津市天津一中2012-2013学年高二上学期期末考试 数学文试题.pdf
天津一中2012-2013-1高二年级第二次模块检测 数学试卷） 2.某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），这个几何体的体积是A． B． C．D． ( ) A．1 B．13 C．13 D．19 4. 若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( )A. B．C.D. 5.用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题,正确的是 ( ) 若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥； ③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④ 6.已知平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是 （ ） A． B． C．相交 D．的一条中位线平行于或在内 7.已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ） A．B．C．D． 8. 已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（ ）． A．B．C．D． 二、填空题（每小题4分，共24分）10.一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的 表面积为 . 11.如图，正方体中，点为的中点，点在上，若∥平面，则线段的长度等于_________. 正方体，下结论的序号是____. ①平面∥平面 ②与相交 ③⊥平面 ④ 异面直线与所成角为的大小是60°，线段.， 与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 . 14.如图，在正三棱柱中，，若二面角的大小为，则C到平面的距离是，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点， （1）求弦的长； （2）求的面积. 16．如图，平面，，，，分别为的中点．（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值． 17.在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．求证：（1）平面平面； （2）直线平面． （1）求证：平面BCD； （2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值； （3）求点E到平面ACD的距离． 参考答案： 1．A2．B3．C4．B5．C6．D 7．D8．A9．110．24+8 11．12．①③13．14． 15．（1）联立消y得 |AB|=2 （2）S=16．（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD （Ⅱ）在中，，所以 而DC平面ABC，，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， 所以直线AD与平面ABE所成角是 在中， ， 所以 ∵是直三棱柱，∴平面 又∵平面，∴ 又∵平面，∴平面 又∵平面，∴平面；（2）∵，为的中点，∴ 又∵平面，且平面，∴ 又∵平面，，∴平面 由（1）知，平面，∴∥ 又∵平面平面，∴直线平面 在中，由已知可得 而 即 平面 …………4分 （II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在中， 是直角斜边AC上的中线， …………8分 （III）解：设点E到平面ACD的距离为 在中， 而 点E到平面ACD的距离为 …………12分 高考学习网： 高考学习网： 俯视图 20 10 10 侧视图 20 正视图 20 20。
天津市南开中学2012-2013学年高二上学期第十五周周练数学理科试题Word版无答案
南开中学高二上第十五周数学周练本周涉及知识点：1．继续研究双曲线的定义，性质，标准方程2．直线与双曲线的综合考试重点：双曲线的性质，直线与双曲线的综合型试题应知应会：1. 若双曲线22221x y a b-=的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是（ ） ()A 2 ()B 3 ()C 34 ()D 35 2. 若22121x y k k+=---表示焦点在y 轴上的双曲线，则它的半焦距的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()0,1 C ．()1,2 D ．与k 有关3. 设0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则二次曲线22cot tan 1x y θθ-=的离心率的取值范围为（ ）.A 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ .B 12⎛ ⎝⎭ .C ⎝ .D )+∞ 4. 双曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞5. 若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）56. 下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（ ）()A 2213x y -=和22193y x -= ()B 2213x y -=和2213x y -= ()C 2213x y -=和2213y x -= ()D 2213x y -=和22193x y -= 7. 设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐进线的斜率为 （ ）A ．2±B ．43±C ．12±D ．34±8. 直线1y kx =+与双曲线22:1C x y -=的左支只有一个公共点，则k 的取值为（ ）.A(]1,1- .B k = .C []1,1- .D (]1,1-9. P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（ ）.A 6 .B 7 .C 8 .D 910. 过双曲线222:1y M x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于,B C ,且AB BC =,则双曲线M 的离心率是 ( ).A .B .C .D 11. 设12F F ，分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=（ ）A B ． C D ．12. 过双曲线22196x y -=的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线的条数为_____. 13. 已知12F F ，为双曲线22221(00)a b x y a b a b≠-=>>且，的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题（ ）Ａ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上；Ｂ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上；Ｃ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上；Ｄ．12PF F △的内切圆必通过点0a ()，．其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．14. 过双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于,M N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于___________．15. 双曲线2219x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个焦点，则12PF F ∆的重心M 的轨迹方程为______________.16. 设双曲线2214x y -=，1F 是它的左焦点，直线l 通过它的右焦点2F ，且与双曲线右支交于,A B 两点，则11F A F B ⋅的最小值为________.17. 设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上任意一点，过点P 的直线与两渐近线分别交于12,P P ,设12P P PP λ=，求证：()12214OP P S ab λλ∆+=18. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为)。
天津天津市南开中学高二物理上学期精选试卷检测题
天津天津市南开中学高二物理上学期精选试卷检测题一、第九章静电场及其应用选择题易错题培优（难）1．电荷量相等的两点电荷在空间形成的电场有对称美．如图所示，真空中固定两个等量异种点电荷A、B，AB连线中点为O.在A、B所形成的电场中，以O点为圆心半径为R的圆面垂直AB连线，以O为几何中心的边长为2R的正方形平面垂直圆面且与AB连线共面，两个平面边线交点分别为e、f，则下列说法正确的是( )A．在a、b、c、d、e、f六点中找不到任何两个场强和电势均相同的点B．将一电荷由e点沿圆弧egf移到f点电场力始终不做功C．将一电荷由a点移到圆面内任意一点时电势能的变化量相同D．沿线段eOf移动的电荷，它所受的电场力先减小后增大【答案】BC【解析】图中圆面是一个等势面，e、f的电势相等，根据电场线分布的对称性可知e、f的场强相同，故A错误．图中圆弧egf是一条等势线，其上任意两点的电势差都为零，根据公式W=qU可知：将一正电荷由e点沿圆弧egf移到f点电场力不做功，故B正确．a点与圆面内任意一点时的电势差相等，根据公式W=qU可知：将一电荷由a点移到圆面内任意一点时，电场力做功相同，则电势能的变化量相同．故C正确．沿线段eof移动的电荷，电场强度先增大后减小，则电场力先增大后减小，故D错误．故选BC．【点睛】等量异种电荷连线的垂直面是一个等势面，其电场线分布具有对称性．电荷在同一等势面上移动时，电场力不做功．根据电场力做功W=qU分析电场力做功情况．根据电场线的疏密分析电场强度的大小，从而电场力的变化．2．如图所示，空间有竖直方向的匀强电场，一带正电的小球质量为m，在竖直平面内沿与水平方向成30º角的虚线以速度v0斜向上做匀速运动．当小球经过O点时突然将电场方向旋转一定的角度，电场强度大小不变，小球仍沿虚线方向做直线运动，选O点电势为零，重力加速度为g，则A．原电场方向竖直向下B．改变后的电场方向垂直于ONC．电场方向改变后，小球的加速度大小为gD ．电场方向改变后，小球的最大电势能为204mv 【答案】CD【解析】 【分析】【详解】 开始时，小球沿虚线做匀速运动，可知小球受向下的重力和向上的电场力平衡Eq=mg ，小球带正电，则电场竖直向上，选项A 错误；改变电场方向后，小球仍沿虚线做直线运动，可知电场力与重力的合力沿着NO 方向，因Eq=mg ，可知电场力与重力关于ON 对称，电场方向与NO 成600，选项B 错误；电场方向改变后，电场力与重力夹角为1200，故合力大小为mg ，小球的加速度大小为g ，选项C 正确；电场方向改变后，小球能沿ON 运动的距离为202m v x g = ，则克服电场力做功为：220011cos 60224m v W Eq x mg mv g ==⨯= ，故小球的电势能最大值为2014mv ，选项D 正确；故选CD.3．如图所示，A 、B 两点有等量同种正点电荷，AB 连线的中垂线上C 、D 两点关于AB 对称，0t =时刻，一带正电的点电荷从C 点以初速度v 0沿CD 方向射入，点电荷只受电场力。
2024年天津市南开中学高二上期中——物理试卷
南开中学2024-2025学年度第一学期阶段性质量检测(一)高二物理一、单选题(每题4分，共40分)1. 如图所示，半径均为r 的两个金属球，其球心相距为3r ，现使两球带上等量的同种电荷，电荷量都为q ，设静电力常量为k 。
则对两球间的静电力F 的判断正确的是( )A .F =kq 2r 2B .F =kq 29r 2C .kq 29r 2<F <kq 2r 2D .F <kq 29r 22. 在如图所示的四种电场中，分别标记有a 、b 两点。
其中a 、b 两点电场强度大小相等、方向相反的是 ( )A. 甲图中与点电荷等距的a 、b 两点B. 乙图中两等量异种电荷连线的中垂线上与连线等距的a 、b 两点C. 丙图中两等量同种电荷连线的中垂线上与连线等距的a 、b 两点D. 丁图中非匀强电场中的a 、b 两点3. 用轻质柔软绝缘细线，拴一质量为4.0×10⁻²kg 、电荷量的大小为3.0×10⁻⁸C 的小球，细线的上端固定于 O 点。
现加一水平向右的匀强电场，如图所示，平衡时细线与竖直方向成37°(重力加速度g =10m /s ², sin 37°=0.6, cos 37°=0.8),则( )A. 小球带负电B. 平衡时细线的拉力为0.24NC. 匀强电场的场强为 1.0×10⁷N/CD. 若撤走带电小球，原小球所在位置场强大小变为0如图所示，在点电荷Q 产生的电场中，实线MN 是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子仅在静电力作用下的运动轨迹。
设电子在A 、B 两点的加速度大小分别为a A 、a B ,电势能分别为Ep A 、Ep B . 下列说法正确的是( )A. 电子可能做匀变速曲线运动B. 无论Q为正电荷还是负电荷一定有E pA<E pBC. B点电势可能高于 A 点电势D. 若a A>a B, 则 Q靠近M端且为负电荷5. 图示是“研究电容器两极板间距对电容大小的影响”实验，保持电荷量不变，当极板间距增大时，则有 ( ).A. 静电计指针张角增大B. 电容器的电容增大C. 极板间电场强度增大D. 极板间电势差减小6. 如图甲所示，距离足够大的两平行金属板中央有一个静止的电子(不计电子所受重力)，在A、B两板间加上如图乙所示的交变电压。
天津市南开中学高考数学模拟试卷(理科)(含解析)
天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2B．4C．5D．204．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2B．C．1D．6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B．C．D．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，求实数k的取值范围．天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，变形为，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，∴==2+2i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}考点：绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解补集以及交集即可．解答：解：全集U=R，A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，∴∁U A={y|y≤1}B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}={x|}，则（∁U A）∩B={x|＜x≤1}．故选：B．点评：本题考查函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2B．4C．5D．20考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+3y 的最小值．解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+3y=z，显然当平行直线过点A（2，0）时，z取得最小值为4；故选B．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2B．C．1D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值解答：解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数．专题：计算题；压轴题．分析：由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b ＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．解答：解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．点评：本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用．7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B．C．D．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．解答：解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．点评：本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S n 是否继续循环循环前0 1第一圈0 2 是第二圈 3 3 是第三圈 5 4 是第四圈10 5 否此时S值为10．故答案为：10．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是﹣192．考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题；概率与统计．分析：先求定积分得出a的值，再在二项式展开式的通项公式中，再令x的系数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解答：解：∵已知=（sinx﹣cosx）=2，则二项式=的展开式的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=•x3﹣r．令3﹣r=2，解得r=1，故展开式中含x2项的系数是=﹣192，故答案为﹣192．点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆；推理和证明．分析：由已知条件求出BD=2，BE=，再由切割线定理知BE•BF=BD•BC，由此能求出EF．解答：解：∵在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，∴BD=2，BE==，∵BE•BF=BD•BC，∴，解得EF=．故答案为：．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为3．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1，可得圆的普通方程．求出圆心到直线l的距离d．即可得出圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），∵cos2θ+sin2θ=1，∴圆的普通方程为（x﹣2）2+y2=1．圆心（2，0）到直线l的距离d==2．则圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r=3．故答案为：3．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过题意可知AD=AC=5，cos∠CAD=，cos∠BAC=，利用=•﹣•，代入计算即可．解答：解：∵AB⊥BC，AB=3，BC=4，∴AC==5，cos∠BAC=，又∵△ACD是等边三角形，∴AD=AC=5，cos∠CAD=，∴=•（﹣）=•﹣•=﹣=，故答案为：．点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围a≥e．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a ﹣1，而|f（x1）﹣f（x2）|max=f（x）max﹣f（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可．解答：解：f′（x）=a x lna+2x﹣lna=（a x﹣1）lna+2x，当a＞1时，x∈[0，1]时，a x≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′（x）≥0；当0＜a＜1时，a x≤1，lna＜0，2x≥0，此时也有f′（x）≥0，综上知，f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1﹣lna，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，故答案为：a≥e．点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问难的能力．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）确定乙得分的取值，求出相应的概率，即可求得分布列和数学期望；（Ⅱ）利用对立事件的概率公式，即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．解答：解：（Ⅰ）设乙的得分为X，X的可能值有0，10，20，30…（1分），，…（5分）乙得分的分布列为：X 0 10 20 30P…（6分）所以乙得分的数学期望为15…（8分）（Ⅱ）乙通过测试的概率为…（9分）甲通过测试的概率为…（11分）甲、乙都没通过测试的概率为因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为…（13分）点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由f（）=2，得到sin（A﹣）=1，确定出A的度数，求出cosA的值，再由b，c 的值，利用余弦定理即可求出a的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）sin2x﹣cos2x=2（sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣），∵ω=2，∴最小正周期T==π；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵f（）=2，∴2sin（A﹣）=2，即sin（A﹣）=1，∴A﹣=+2kπ，k∈Z，即A=+2kπ，k∈Z，又0＜A＜π，∴A=，由余弦定理及b=1，c=2，cosA=﹣得：a2=b2+c2﹣2bccosA=7，即a2=1+4+2=7，解得：a=．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．解答：（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用4S n=（2n﹣1）a n+1+1，写出4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得，利用累加法求解a n，判断数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）利用放缩法以及裂项法，直接证明求解即可．解答：（Ⅰ）证明：因为4S n=（2n﹣1）a n+1+1，所以当n≥2时，4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n（n≥2），所以（2n+1）a n=（2n﹣1）a n+1，即，在4S n=（2n﹣1）a n+1+1中，令n=1，得a2=3，所以=，所以a n﹣a n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣3）=2（n≥2），故数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，且a n=2n﹣1．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，当n=1时，；当n≥1时，，所以．点评：本题考查等差数列的判定，数列的递推关系式的应用，放缩法以及裂项求和的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，求实数k的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=3时，求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，结合韦达定理，可得f（x1）﹣f（x2），构造新函数F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），确定其单调性，即可得出结论；（Ⅲ）确定g（x）在上单调递增，可得g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，h（a）=）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），分类讨论，确定单调性，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1，f′（x）＜0，可得＜x＜1，∴f（x）的递增区间为（0，）和（1，+∞），递减区间为（，1）；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，∴x1+x2=，x1x2=∴2（x1+x2）=a，x2=，∴f（x1）﹣f（x2）=lnx1+x12﹣ax1﹣（lnx2+x22﹣ax2）=2lnx1﹣x12++ln2（0＜x≤1）．设F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），则F′（x）=﹣＜0，∴F（x）在（0，1）上单调递减，∴F（x）≥F（1）=﹣+ln2，即f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）解：g（x）=f（x）+2ln=2ln（ax+2）+x2﹣ax﹣2ln6，∴g′（x）=，∵a∈（2，4），∴x+＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在上单调递增，∴g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，∴2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6＞k（4﹣a2）在（2，4）上恒成立．令h（a）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），则h（2）=0，∴h（a）＞0在（2，4）上恒成立．∵h′（a）=，k≤0时，h′（a）＜0，h（a）在（2，4）上单调递减，h（a）＜h（2）=0，不合题意；k＞0时，h′（a）=0，可得a=．①＞2，即0＜k＜时，h（a）在（2，）上单调递减，存在h（a）＜h（2）=0，不合题意；②≤2，即k≥时，h（x）在（2，4）上单调递增，h（a）＞h（2）=0，满足题意．综上，实数k的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查导数的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于难题．。
天津市南开中学2023-2024学年高三上学期第五次统练数学试题
天津市南开中学2023-2024学年高三上学期第五次统练数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
常数ω所有可能的值的个数是( )
A．0B．1 C．2D．4
由（I ）知()f x 在()1,a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，
故当0x a =时，()()1f x f a £=在[]1,1a a -+上恒成立，从而()x g x e £在[]001,1x x -+上恒成立.
由()()326341f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -££.
令()32261t x x x =-+，[]1,1x Î-，所以()2'612t x x x =-，
令()'0t x =，解得2x =（舍去），或0x =.
因为()17t -=-，()13t =-，()01t =，故()t x 的值域为[]7,1-.
所以，b 的取值范围是[]7,1-.
【考点】导数的应用
【名师点睛】利用导数工具研究函数是历年高考题中的难点问题，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值或最值，利用导数的几何意义研究曲线的切线方程以及利用导数研究函数的零点和值域也是常见考法，本题把恒成立问题转化为函数值域问题很巧妙，问题转化为借助导数研究函数在某区间上的取值范围去解决，方法灵活思维巧妙，匠心独运.。
2012-13学年高二上学期期末考试数学理试题
天津一中2012-2013-1高二年级第二次模块检测数学科试卷（理）一、选择题（每小题4分，共32分）1.一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可能是 （ ） A ． 圆柱 B. 三棱锥 C. 正方体 D. 球2.某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），这个几何体的体积是( )A．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm 3.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A ．1∶3B ．1∶3C ．1∶33D ．1∶94. 若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( )A.2B．4C. 12D. 25.用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题,正确的是 ( )① 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b . A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④6.已知平面α外不共线的三点C B A ,,到α的距离都相等，则正确的结论是（ ）A ．平面ABC 必不垂直于αB ．平面ABC 必平行于α正视图侧视图俯视图α∙AB∙βC ．平面ABC 必与α相交D ．存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内7.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C D 8. 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（ ）． A B C D 二、填空题（每小题4分，共24分）9.三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高 .10.一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为 .11.如右图，正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面1ABC ，则线段EF 的长度等于_________.12.如右图正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论中正确的序号是________. ①平面1A BD ∥平面11CB D ②1AC 与1CD相交 ③1AC ⊥平面11CB D ④ 异面直线AD 与1CB 所成角为060. 13.如右图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .14.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ，若二面角1C AB C --的大小为060，则C 到平面1ABC 的距离是 .三、解答题：（共4题，44分） 15．已知椭圆方程为22119x y +=，过左焦点作倾斜角为6π的直线交椭圆于,A B 两点， （1）求弦AB 的长； （2）求ABO △的面积.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1PA AD ==，AB =F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动.（1）求三棱锥E PAB -的体积；（2）当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的关系，并说明理由； （3）求证：PE AF ⊥17. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD =====（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．E B D18.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直线B1C与平面ABC成30°角.（1）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；（2）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值；（3）求二面角B—B1C—A的大小.参考答案1．A 2．B3．C 4．B5．C 6．D7．D 8．A9．1 10．24+8311．2 12．①，③13．4314．2315．（1）联立消y得24150x++= |AB|=2（2）16．解：（1）11113326E PAB P AEB AEBV V PA S--∆==⋅⋅=⋅⋅=……………………3分（2）F是DP中点，E是DC中点EF PC∴,PC APC EF APC⊂⊄平面平面，EF APC∴ 平面………………3分（3）,AP AD F PD=是中点,AF PD∴⊥PA ABCD⊥平面,PA CD∴⊥B EAD CD ⊥ CD APD ∴⊥平面 CD AF ∴⊥ AF PCD ∴⊥平面 AF PE ∴⊥ …………………4分17．,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO == 而2,AC =222,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD…………4分（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME ∆中，111,22EM AB OE DC ==== OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴==cos OEM ∴∠=…………8分 （III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h,11 (33)E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴= 在ACD ∆中，2,CA CD AD ===122ACD S ∆∴==而211,22CDE AO S ∆===1.7CDE ACD AO S h S ∆∆∴===ABMDEOC∴点E 到平面ACD的距离为7…………12分 18．（I ）证明：由直三棱柱性质，B 1B ⊥平面ABC ，∴B 1B ⊥AC ， 又BA ⊥AC ，B 1B∩BA=B ，∴AC ⊥平面 ABB 1A 1， 又AC ⊂平面B 1AC ，∴平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1. （II ）解：建立如图的空间直角坐标系A —xyz ，∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角， ∴∠B 1CB=30°.设AB=B 1B=1，).1,1,0(),1,0,0(),0,0,2(),0,1,0(),0,0,0(.2,311B A C B AAC BC 则则==11111111111,,(0,1,1),cos ,||||A B A B B AC A B AC A B AC A B AC A B AC =-=⋅∴<>===⋅连结易知是平面的一个法向量又 ∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.66（III ）解：设(,,)n x y z =为平面BCC 1B 1的一个法向量，所求二面角为θ，由10BC n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,令,1=x 得(1n = ,又111,(0,1,1),A B B AC A B =- 是平面的一个法向量故1c o s c o s ,3A B n θ==。
天津南开中学高三第五次月考
高中数学学习资料金戈铁骑整理制作天津南开中学 2016 届高三第五次月考数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必然自己的姓名、准考号填写在答题纸上。
答题时，务必然答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共 8 题，共 40 分。
一、选择题：（ 1）i是虚数单位，复数7 + i=3- 4i （ A ）1- i（B ）- 1+ i（ C）17+31i（ D）-17+25i 252577 x y20,（ 2）设变量x，y满足拘束条件x y20, 则目标函数 z x 3 y 的最小值为y1,（A）2（B）3（C）4（D）520 x 2 1 （ 3）设 p : x 3x 2， q :0 ，则 p 是 qx2（ A ）充分非必要条件 （ B ）必要非充分条件（ C ）充要条件（ D ）既不充分也不用要条件（ 4）函数 f (x ) = log 1 (x 2 - 4)的单调递减区间是2（ A ） (0,+ ￥) （B ） (- ￥,0)（C ） (2,+ ￥) D ） (- ￥,- 2),(2 ,+ ? )（ 5）阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为（A ）2 开始（ B ） 4k=0,S=1（C ） 8（D ）16k=k+1（ 6）设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，S=S × 2 k若 S m 13,S m 0, S m 1 4 ，则 mk<3是（ A ） 5 否（B ）6 输出 S（C ） 7 结束（D ）8（第 5 题图）（ 7）在 △ ABC 中，ABC 90 ， AB 3，BC2 ，点 P 为 △ ABC 内一点，若BPC 90 ， PB1，则 PA（A ）43 （B ）7（C ） 7 （D ）12（ 8）已知菱形 ABCD 的边长为 2， ? BAD 120 ，点 E, F 分别在边 BC, DC 上，BE = l BC ， DF = mDC . 若 AE ?AF 1， CE ?CF- 2，则 l ?m3（A）1（B）2（C）5（D）7636122015~2016 年度南开中学高三第五次月考数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
天津市南开中学2012-2013学年高二上学期第九周周练数学理科试题 Word版含答案
南开中学高二数学第9周周练及答案一、选择题 (每题4分,共48分)1 对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是（ ）A. 所给命题为假B. 它的逆否命题为真C. 它的逆命题为真D. 它的否命题为真 2 命题“若x k y =，则x 与y 成反比例关系”的否命题是（ ） A. 若xk y ≠，则x 与y 成正比例关系 B. 若xk y ≠，则x 与y 成反比例关系 C. 若x 与y 不成反比例关系，则xk y ≠ D. 若xk y ≠，则x 与y 不成反比例关系 3 下列命题中，否命题为假命题的是（ ）A. 若同位角相等，则两直线平行B. 若y x ,全为0，则0=x 且0=yC. 若方程220x x m ++=有实根，则0≥mD. 若0232>+-x x ，则032>-x x4 已知原命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5 已知p ：21,x x 是方程0652=-+x x 的两根，q ：521-=+x x ，则p 是q 的（ ） A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6 设命题甲为：50<<x ，命题乙为32<-x ，那么甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7 若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8 下列真命题的个数（ ）（1）x x x |{∈∃是无理数}，2x 是有理数（2）23,x x R x >∈∀（3）012,2≤+-∈∃x x R x （4）01,2≥+∈∀x R xA. 0B. 1C. 2D. 39 下列特称命题中假命题的个数是（ ）（1）R x ∈∃，使0122=++x x （2）存在两条相交直线垂直于同一个平面（3）0,2≤∈∃x R xA. 0B. 1C. 2D.310 下列全称命题的否定形式中，假命题的个数是（ ）（1）所有能被3整除的数能被6整除 （2）所有实数的绝对值是正数（3）Z x ∈∀，2x 的个位数不是2A. 0B. 1C. 2 D311 “232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12 R x ∈，)1)(1(x x +-是正数的充分必要条件是（ ） A. 1<x B.1<xC. 1-<xD. 1<x 且1-≠x二、填空题（每题4分，共16分）13 命题：23,x x N x ≤∈∃的否定是 。
天津市南开中学高二数学上学期第周围周练试题 理
天津南开中学高二第一学期数学周练4本周涉及知识点:平面概念,与平面有关的表示法,三个公理及其推论,空间直线位置关系,直线和平面平行判定和性质考试重点异面直线成角,直线和平面平行性质定理的应用难点几何体中截面的画法能力要求:明白得空间直线、平面位置关系的概念，并了解如下能够作为推理依据的公理和定理.◆公理1：若是一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：若是两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行.◆定理：空间中若是一个角的两边与另一个角的两边别离平行，那么这两个角相等或互补明白得以下判定定理.◆若是平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.有关问题平面与平面图形是不是一样？如何证明三点共线或三线共点？两个平面的公共点可否只有一个？空间三条直线两两相交有几种情形，空间四条直线两两相交有几种情形？三个平面能够把空间分为几部份，最多能够把空间分为几部份？空间中同垂直于一条直线的两条直线必然平行吗？异面直线成角如何计算？直线在平面外有几种情形，若是线//面,能够推出线//面内所有直线吗?空间中//,////a b b c a c ⇒能够吗？//,////a b a b αα⇒能够吗？试题训练：应知应会：一、四条直线相交于一点，它们能确信的平面的个数为_________二、空间四点，没有三点共线，可确信平面的个数为_____________3、依照以下图，写出图中的元素应知足的条件 ____,____,_____,___,____A A αββγαγαβ=== 关于图（1），_______,_______,______,______PQ B C A ====关于图（2），4、证明：不共点的四条直线两两相交，求证：这四条直线在同一个平面内五、如图，已知ABC 的各个极点都在平面α外，直线AB ，AC ，BC 别离交平面α于点P ，Q ，R ，求证：P ，Q ，R 三点共线六、三个平面两两相交，所得的三条交线____________________7、连结空间四边形各边中点取得的四边形是_________8、如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，那么在以下命题中，错误的为 A . AC BD ⊥ B . AC ∥截面PQMNC . AC BD = D . 异面直线PM 与BD 所成的角为45 9、假设直线a 与平面α内的无数条直线平行，那么a 与α的位置关系为______________10、在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，1A B 与1AD 所成角为多少异面直线BC 与AA1的距离为___________________;异面直线BA1与CC1的距离为___________________1一、A 是△BCD 平面外的一点,E 、F 别离是BC 、AD 的中点，假设AC ⊥BD,AC=BD,求EF 与BD 所成的角 已知平面,//,//l a a αβαβ=，求证：//a lPQ M N A B CD能力提高：空间四边形ABCD 中，假设1AB BC CD DA BD =====，且AB C D ，，，不在同一平面内，那么AC 的取值范围是14、将无盖正方体各面展开，直线AB CD ，在原正方体的位置关系 是（ ）Ａ．平行 Ｂ．垂直Ｃ．异面 Ｄ．相交成6015、画出以下几何体中由MNP 确信的截面。
天津市南开中学2012-2013学年高二上学期第十周周练数学理科试题Word版无答案
天津南开中学高二上数学周练10一、选择题 (每题4分,共40分)1. 22530x x --<成立的一个必要不充分条件是 （ ）A ．132x -<<B ．102x -<<C ．132x -<< D ．16x -<< 2. 在ABC 中，条件甲：A B <，条件乙：sin sin A B <，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3. >|x||y |<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 设0,h >命题甲:实数a b 、满足2a b h -<,命题乙：1,1a h b h -<-<，那么（ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.5. 下面各组方程表示同一曲线的是（ ）.A 2y x =与y = .B y x =与1y x=.C 22log y x =与22log y x = .D 221x y +=与y =6. 已知A ()11,x y ，B ()22,x y 分别是直线l 上和l 外的点，若直线l 的方程为(),0f x y =，则方程()()11,,f x y f x y =表示（ ）.A 直线l .B 过点,A B 的直线.C 过点B 与l 垂直的直线 .D 过点B 与l 平行的直线7. 设命题甲为：点P 的坐标适合方程(),0f x y =；命题乙：点P 在曲线C 上；命题丙：点Q 坐标不适合(),0f x y =；命题丁：点Q 不在曲线C 上．已知甲是乙的必要不充分条件，那么丙是丁的（ ）条件.A 充分不必要 .B 必要不充分 .C 充要 .D 既不充分也不必要8. 如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） .A ()0,+∞ .B ()0,2 .C ()1,+∞ .D ()0,19. 椭圆的两条准线间的距离是该椭圆的焦距的2倍，则该椭圆的离心率为（ ）.A 14 .B 256.C 92 .D 158 10. 设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF 为等腰直角三角线，则椭圆的离心率为（ ）.A 2 .B 12 .C 2 .D 1二、填充题(每题4分,共24分)11. 已知命题:211p x -≥，命题21:045q x x >+-，则p ⌝是q ⌝的______________条件. 12. 已知命题p ：不等式25x x m -++>的解集为R ,命题q ：函数()(52)x f x m =--是减函数,若p 或q 为真，p 且q 为假,则实数m 的取值范围是 _____________.13. 过()2,4P 作两条互相垂直的直线12,l l ，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，则线段AB 的中点M的轨迹方程为_______________． ()2501x y x +-=≠14. 已知k R ∈，则两条动直线()210kx y k -++=与()210x ky k ++-=的交点P 的轨迹方程为__________________.15. 椭圆2255x ky -=的一个焦点为()0,2，则k =__________.16. 椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)1P ，(2P ，则椭圆方程为______________．三、解答题(共4大题，共36分) 17. 已知,A B 为两个定点，动点M 到A 与B 的距离比为常数λ，求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线．18. 已知点P 是圆224x y +=上的一动点，定点()4,0Q ()1求线段PQ 中点的轨迹方程；()2设POQ ∠的平分线交PQ 于R ，求点R 的轨迹方程。
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天津南开中学高二第一学期数学周练5
一、选择题：（每题5分） 1、,a b 是异面直线，点P a
b ∉，下列命题：（1）过P 可作平面与,a b 均平行；（2）
过P 可作直线与,a b 都相交；（3）过P 可作平面与,a b 都垂直；（4）过P 可作直线,a b 都垂直，其中真命题的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3
D 、4
2、正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是棱1,AD AA 的中点，则1D E 和1B F 所成的角的余弦值为（ ）
A 、
1
2
B 、
35
C 、
25
D 3、已知长方体的对角线长为4，过同一顶点的两条棱与此对角线成角均为60，则长方体的体积是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、4、已知,,,a b c d 是四条不重合的直线，其中c 为a 在平面α上的射影，d 为b 在平面α上的射影，则（ ） A 、////c d a b ⇒ B 、a b c d ⊥⇒⊥ C 、////a b c d ⇒ D 、c d a b ⊥⇒⊥
5、P 是正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱CC 1上一点（侧棱端点除外），则∠APB 的大小满足（ ）
A 、︒<∠<︒600AP
B B 、︒=∠60APB
C 、︒<∠<︒9060APB
D 、以上都有可能
6、如图在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE,且BC=1，则正三棱
锥A-BCD 的体积是 （ ）
24
3D. 123C. 242B. 122.
A （正三棱锥：底面是正三角形，侧棱长都相等的三棱锥，侧棱长不一定等于底面边长）
7、在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A 、30
B 、45
C 、60
D 、90
*8的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为（ ）
A 、
B 、
C 、4
D 、二、填空题：（每题5分）
9、四边形ABCD 是矩形，AB=2，BC=1，PC ⊥平面AC ，PC=2，则点P 到直线BD 的距离为___________
*10、已知矩形ABCD 中，AB=1，BC=a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上有且仅有一个点Q 满足PQ QD ⊥，则a 的值为________
11、已知ABC 的顶点B 在平面α内，A 、C 在α的同侧，AB ，BC 与α所成的角分别
是30和45，若AB=3，BC=AC=5，则AC 与α所成角的余弦值为________ 12、给出下面四个命题： ①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条
②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行 ③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行
④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等
其中正确的命题序号为 .
C 1
B 1
A 1
A
C 三、解答题：（每题10分）
13、如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC
（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦
14、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面A B C D 是矩形，PA ⊥平面A B C D ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． （1）求证：PD ⊥平面ABM ；
（2）求直线PC 与平面ABM 所成的角的正切；
*15、在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC ⊥，求1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值
（正三棱柱：上下底面为正三角形的直棱柱，底面边长不一定等于侧棱长）
B
天津南开中学高二第一学期数学周练5答案
一、 选择题 ACCC ABCC
二、 填空题
9
10、2
11 12、②④
三、解答题： 13、（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC .
又90BCA ︒
∠=，∴AC ⊥BC .
∴BC ⊥平面PAC .
（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，
∴1
2
DE BC =
， 又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E .
∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴
AD AB =
， ∴在Rt △ABC 中，60ABC ︒
∠=，∴1
2
BC AB =
.
∴在Rt △ADE 中，sin 2DE BC DAE AD AD ∠===
14、（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，AD PA A ⋂=
所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，AB BM B ⋂=，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ （２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，
则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，
由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN 是PN 在平面ABM 上的射影， 所以 P N M ∠就是PC 与平面ABM 所成的角， 且PNM PCD ∠=∠，
tan tan PD
PNM PCD DC
∠=∠=
=
15、取11A B 中点D ，设11A B =2a ，连接1,C D BD
1C D ∴，设1B B x = 11111
,C D BB C D A B ∴⊥⊥正三棱柱
111111,,C D ABB AB C D AB BD AB BD M
∴⊥∴⊥∴⊥⋂=面
1B M ∴=
1ABM
B DM
1113B M x B A ∴==⇒= ∴1C BD ∠
为所求角，1sin C BD ∴∠=。