高中数学第二单元圆锥曲线与方程2_1_2椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修1_1

2．1.2 椭圆的几何性质(一)

学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．

知识点一椭圆的简单几何性质

已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x2

25＋

y2

16

＝1，C2：

y2

25

＋

x2

16

＝1.

思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2 椭圆具有对称性吗？

思考3 椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？

梳理

思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？

梳理 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e ＝c a

，叫做椭圆的____________．

(2)性质：离心率e 的取值范围是________，当e 越接近于1，椭圆越________，当e 越接近于________，椭圆就越接近于圆．

类型一 椭圆的几何性质

例1 求椭圆9x 2

＋16y 2

＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 引申探究

已知椭圆方程为4x 2

＋9y 2

＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．

反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．

跟踪训练1 设椭圆方程mx 2＋4y 2

＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦

点坐标及顶点坐标．

类型二 求椭圆的离心率 命题角度1 焦点三角形的性质

例2 椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正

三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．

反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝ 1－b 2a

2

求解．

跟踪训练2 已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ，

B 两点，若∠BAF 2＝60°，|AB |＝|AF 2|，则椭圆的离心率为________．

命题角度2 利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)

例3 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C

相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．

(2)若椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则

椭圆的离心率e 的取值范围是________．

反思与感悟 若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2

＝b 2

＋c 2

，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．

跟踪训练3 已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且∠BAO ＋

∠BFO ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆的离心率e ＝________.

类型三 利用几何性质求椭圆的标准方程

例4 (1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝

6

3

，求椭圆的标准方程． (2)已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．

反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出

a ，

b .在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论．

跟踪训练4 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；

(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.

1．已知椭圆的方程为2x 2

＋3y 2

＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.

33

C.22

D.12

2．椭圆6x 2

＋y 2

＝6的长轴端点坐标为( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0)

D ．(0，－6)，(0，6)

3．设P (m ，n )是椭圆x 225＋y 2

9

＝1上任意一点，则m 的取值范围是________．

4．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方

程为____________．

5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．

1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．

2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．

3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．