高中数学第二单元圆锥曲线与方程2_1_2椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修1_1
高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程教学案新人教B版选修
2．1.1椭圆及其标准方程学习目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义观察图形，回答下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？梳理把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于________________的点的轨迹叫做椭圆，这两个________叫做椭圆的焦点，________________________叫做椭圆的焦距．知识点二椭圆的标准方程思考1椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？思考2椭圆定义中，为什么要限制常数|MF1|＋|MF2|＝2a>|F1F2|?梳理焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0) 图形焦点坐标a ，b ，c的关系类型一椭圆的标准方程 命题角度1求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)，B (12，3)；(2)经过点(3，15)，且与椭圆x 225＋y 29＝1有共同的焦点．反思与感悟求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程． (2)待定系数法①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a ，b ，c 的等量关系；④求a ，b 的值，代入所设方程．特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)． 跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)．命题角度2由标准方程求参数(或其取值范围)例2若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是________．反思与感悟(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．(2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练2(1)已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为________．(2)若椭圆x 24＋y 2m＝1的焦距为2，则m ＝________.类型二椭圆定义的应用命题角度1椭圆图中的焦点三角形问题例3如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．引申探究在例3中，若图中的直线PF 1与椭圆相交于另一点B ，连接BF 2，其他条件不变，求△BPF 2的周长．反思与感悟(1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF 1|(或|PF 2|)的方程求得|PF 1|(或|PF 2|)；有时把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．(2)焦点三角形的周长等于2a ＋2c .设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积为b 2tan θ2.跟踪训练3如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．命题角度2与椭圆有关的轨迹问题例4如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．反思与感悟用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义产生椭圆的基本量a ，b ，c .跟踪训练4已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．1．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是() A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段2．椭圆4x 2＋9y 2＝1的焦点坐标是() A ．(±5，0) B ．(0，±5) C ．(±56，0) D ．(±536，0)3．设α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y2cos α＝1是表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为() A ．(0，π4]B ．(π4，π2)C ．(0，π4)D ．[π4，π2)4．已知椭圆x 2m ＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m ＝________.5．焦点在坐标轴上，且经过A (－2，2)和B (3，1)两点，求椭圆的标准方程．1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．答案精析问题导学 知识点一 思考1椭圆．思考2笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长． 梳理定长(大于|F 1F 2|)定点两焦点间的距离 知识点二思考1椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a 、b 、c (都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半．a 、b 、c 始终满足关系式a 2＝b 2＋c 2.思考2只有当2a >|F 1F 2|时，动点M 的轨迹才是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，点的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，满足条件的点不存在．梳理F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )c 2＝a 2－b 2题型探究例1解(1)方法一当焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎨⎧4b 2＝1，122a 2＋32b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 相矛盾，故应舍去．当焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎨⎧4a 2＝1，32a 2＋122b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1，综上可知，椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.方法二设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝1，14m ＋3n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，故椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1. (2)方法一椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，由椭圆的定义可得 2a ＝3＋42＋15－02＋3－42＋15－02，∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.方法二由题意可设椭圆的标准方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1， 将x ＝3，y ＝15代入上面的椭圆方程，得 3225＋λ＋1529＋λ＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.跟踪训练1解(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知， 2a ＝ －322＋52＋22＋－322＋52－22＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. (3)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )， ∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，∴代入得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.例2(0,1)解析∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1.跟踪训练2(1)(7,10)(2)3或5 例3解在椭圆x 25＋y 24＝1中，a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1. 又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，①由余弦定理知，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|· cos 30°＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4， ②①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2| ＝20，③③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝8－4 3.引申探究解由椭圆的定义，可得△BPF 2的周长为|PB |＋|PF 2|＋|BF 2| ＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝2a ＋2a ＝4a ＝4 5.跟踪训练3解由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1， 从而|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|cos 120°， 又由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|，从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， 解得|PF 1|＝65，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×|PF 1|·|F 1F 2|sin 120°＝12×65×2×32＝335. 例4解∵直线AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ， ∴|AQ |＝|PQ |，∴|AQ |＋|BQ |＝|PQ |＋|BQ |＝6， ∴点Q 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆， 且2a ＝6,2c ＝4，∴点Q 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.跟踪训练4解如图，设圆P 的半径为r ，又圆P 过点B ， ∴|PB |＝r .又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距 |PA |＝10－r ，即|PA |＋|PB |＝10(大于|AB |)． ∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝|AB |＝6.∴a ＝5，c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.当堂训练 1．D2.C3.C4.255．解设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )，∵A (－2，2)和B (3，1)两点在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋4n ＝1，3m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝310，n ＝110.∴椭圆的标准方程为3x 210＋y 210＝1.。
新课标人教B版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程教案
第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，。
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质二教学案新人教B版选修
2．1.2椭圆的几何性质(二)[学习目标]1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识．[知识链接]已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？答案直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的根的判别式来判断．Δ>0⇔直线和椭圆相交；Δ＝0⇔直线和椭圆相切； Δ<0⇔直线和椭圆相离．[预习导引]1．点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消y 得到一个关于x 的一元二次方程，再依据下表判断．位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离无解Δ<03.弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22，∴|AB |＝x 1－x 22＋kx 1－kx 22＝1＋k 2x 1－x 22＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2，或|AB |＝1k y 1－1k y 22＋y 1－y 22＝1＋1k 2y 1－y 22＝1＋1k2y 1＋y 22－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )后得到的关于x (或y )的一元二次方程求得．要点一直线与椭圆的位置关系例1在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．解设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x24＋y27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，由图可知y ＝32x －4距l 最近，故最短距离d ＝|－16＋8|32＋－22＝813， P 点为切点，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.规律方法本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具． 跟踪演练1已知椭圆x 225＋y 29＝1，直线l ：4x －5y ＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？解如图，由直线l 的方程与椭圆的方程可以知道，直线l 与椭圆不相交．设直线m 平行于直线l ，则直线m 的方程可以写成4x －5y ＋k ＝0.①由方程组⎩⎨⎧4x －5y ＋k ＝0，x225＋y29＝1，消去y ，得25x 2＋8kx ＋k 2－5＝0.② 令方程②的根的判别式Δ＝0， 得64k 2－4×25(k 2－5)＝0.③ 解方程③得k 1＝25，或k 2＝－25.由图可知，当k ＝25时，直线m 与椭圆的交点到直线l 的距离最近，此时直线m 的方程为4x －5y ＋25＝0.直线m 与直线l 间的距离d ＝|40－25|42＋－52＝154141. 所以，最小距离是154141.要点二直线与椭圆的相交弦问题例2已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．解(1)由题设知⎩⎨⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得{ a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d <1得|m |<52. ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.∴|AB |＝[1＋－122][m 2－4m 2－3]＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534得4－m25－4m2＝1， 解得m ＝±33，且|±33|<52. ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.规律方法处理直线与椭圆相交问题的通法是联立直线与椭圆的方程，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪演练2已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点． (1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．解(1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，可得x 2－18＝0，即x ＝±32，则有A (32，322)，B (－32，－322)或A (－32，322)，B (32，322)，所以|AB |＝|32＋32|2＋|322＋322|2＝310.所以线段AB 的长度为310. (2)方法一设l 的斜率为k ， 则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎨⎧x 236＋y29＝1，y －2＝k x －4，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.方法二设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9x 2＋x 136y 2＋y 1，由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.要点三椭圆中的最值(或范围)问题 例3已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 解(1)由{ 4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，∴x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝2x 1－x 22＝2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45m 2－1＝2510－8m 2.∴当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .规律方法解析几何中的综合性问题很多．而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．跟踪演练3如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围． 解∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， 即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|. ∵AB →·AP →＝9，∴|AB →||AP →|cos45°＝2|AP →|2cos45°＝9，∴|AP →|＝3. (1)∵P (0,1)，∴|OP →|＝1，|OA →|＝2，即b ＝2，且B (3,1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12，∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)，∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得：9a 2＋t 23－t 2＝1，解得a 2＝33－t 23－2t. ∵a 2>b 2>0，∴33－t 23－2t>(3－t )2>0.∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32.1．AB 为过椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的弦，F (c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值为() A ．b 2B ．abC ．acD ．bc 答案D解析当直线AB 为y 轴时面积最大，|AB |＝2b ，△AFB 的高为c ，∴此时S △AFB ＝12·2b ·c ＝bc .2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是()A ．(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞) C ．(3，＋∞) D．(0,3)∪(3，＋∞) 答案B解析由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1⇒(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，∴Δ>0，即16m 2－4m (m ＋3)>0， ∴m >1或m <0.又∵m >0，∴m >1且m ≠3. 3．若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为23，则k 的值为() A.415B ．－3C.415或－3D ．－3或413 答案C解析若焦点在x 轴上，则9k ＋8＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝59， ∴k ＝415；若焦点在y 轴上，则k ＋89＝59，∴k ＝－3，故选C.4．椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是()A ．±34B ．±32C ．±22D ．±34答案A解析由条件可得F 1(－3,0)，PF 1的中点在y 轴上，∴P 坐标(3，y 0)，又P 在x 212＋y 23＝1的椭圆上得y 0＝±32，∴M 的坐标(0，±34)，故选A.解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为 (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2； (5)把待求量用x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2表示出，进而求解．。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程(1)教案 新人教B版选修2-1-新人
课题
椭圆及其标准方程1
课时
第一课时
课型
新授
教学
重点
1、椭圆的定义
2、椭圆方程
依据：2018年高考大纲分析：认识命题，准确判断命题的真假
教学
难点
椭圆方程的推倒
依据：学生的计算能力较差积累、归纳总结规律不够。
自主
学习
目标
一、知识目标：懂得椭圆的实际背景，椭圆标准方程的推导与化简过程.2.说出椭圆的定义、标准方程及几何图形
1、学生先独立完成例题，然后以小组为单位统一答案。
2、小组讨论并展示自己组所写的过程
3、其他组给予评价〔主要是找错，纠错〕
在具体问题中，记住椭圆方程的形式，挖掘内在规律、发现数学的本质。
加深对 椭圆方程的记忆。
10分钟
4．
总结提 升
1、椭圆定义。
2、椭圆方程。
1、提问:本节课学习目标是否达成？
1、讨论思考3 提出的问题。
1探究焦点三角形的有关结论册34页
2完成课后练习册35页1-6、8同桌检查并签字〕，思考练习B组题〔要求有痕迹〕。
让学生明确下节课所学，有的放矢进行自主学习。
4分钟
7
板书设 计
椭圆及其标准方程 例题展示：
例1：
1、椭圆定义： 例2：
2、椭圆方程 例3：
8
课 后反 思
反复记背椭圆定义，加深理解。
焦点在哪个轴上的判断。
二、能力目标：
能从具体情境中抽象出椭圆的过程，推倒出椭圆方程。
教具
多媒体课件、教材，教辅
教学
环节
教学内容
教师行为
学生行为
设计意图
时间
1.
2017_2018版高中数学第二单元圆锥曲线与方程2_1_2椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修1_
∴F1N⊥F2N，
∵|NF2|＝c，
∴|NF1|＝
＝ ＝ c，
那么由椭圆的概念可知|NF1|＋|NF2|＝2a，
∴ c＋c＝2a，
∴e＝ ＝ ＝ －1.
方式二 注意到核心三角形NF1F2中 ，∠NF1F2＝30°，
∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，
那么由离心率的三角形式，可得
2．1.2 椭圆的几何性质(一)
学习目标 1.依照椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.依照几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．
知识点一 椭圆的简单几何性质
已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1： ＋ ＝1，C2： ＋ ＝1.
试探1 如何求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？
∴|OB2|＝|OF|，即b＝c.
|FA|＝ － ，
即a－c＝ － ，且a2＝b2＋c2，
将上面三式联立，得
解得
∴所求椭圆方程为 ＋ ＝1.
跟踪训练4 解 (1)当核心在x轴上时，设椭圆方程为 ＋ ＝1(a>b>0)．
依题意有
解得
∴椭圆方程为 ＋ ＝1.
同理可求出当核心在y轴上时，
椭圆方程为 ＋ ＝1.
e＝ ＝
＝
＝
＝ ＝ －1.
跟踪训练2
解析 如下图，∵∠BAF2＝60°，
|AB|＝|AF2|，
∴△ABF2是等边三角形，
∴△ABF2的周长＝3|AF2|
＝4a，
∴|AF2|＝ ，∴|AF1|＝ .
在△AF1F2中，由余弦定理得(2c)2＝( )2＋( )2－2× × ×cos 60°，
化为a2＝3c2，解得e＝ ＝ .
【精品】高中数学第二单元圆锥曲线与方程2-1-2椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修1
2．1.2 椭圆的几何性质(一)
学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．
知识点一椭圆的简单几何性质
已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x2
25＋
y2
16
＝1，C2：
y2
25
＋
x2
16
＝1.
思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2 椭圆具有对称性吗？
思考3 椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？
梳理
思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？
梳理 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e ＝c a
，叫做椭圆的____________．
(2)性质：离心率e 的取值范围是________，当e 越接近于1，椭圆越________，当e 越接近于________，椭圆就越接近于圆．
类型一 椭圆的几何性质
例1 求椭圆9x 2
＋16y 2
＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 引申探究
已知椭圆方程为4x 2
＋9y 2
＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
跟踪训练1 设椭圆方程mx 2＋4y 2
＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦
点坐标及顶点坐标．。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.3椭圆的几何性质(二)课堂导学案新人教B版选修1_1
2.1.3 椭圆的几何性质（二）课堂导学三点剖析一、椭圆的第二定义【例1】 椭圆92522y x +=1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，求P 到右焦点的距离.解法一：如图，设P 到左、右准线的距离分别为d 1,d 2，则d 1+d 2=45022=c a =12.5. 又d 1=2.5,所以d 2=10. 又54||22==e dPF , ∴|PF 2|=.81054·542=⨯=d 解法二：由54||11==a c d PF 及d 1=2.5, 得|PF 1|=54·d 1=2. 又|PF 1|+|PF 2|=2a =10,∴|PF 2|=10-|PF 1|=8.温馨提示根据椭圆的第二定义，往往把椭圆上的点到焦点的距离转化到该点到相应准线的距离.二、焦半径【例2】 对于椭圆2222by a x +=1.(a ＞b ＞0)它的左、右焦点分别是F 1(-c ,0)和F 2(c ,0),P (x 0,y 0)是椭圆上的任一点，求证：|PF 1|=a +ex 0,|PF 2|=a -ex 0，其中e 是椭圆的离心率. 证明：椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的两焦点 F 1(-c ,0)、F 2(c ,0),相应的准线方程分别是x =ca 2-2和x =c a 2. ∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率.∴.||,||022201e x ca PF e c a x PF =-=+ 化简得：|PF 1|=a +ex 0,|PF 2|=a -ex 0.温馨提示|PF 1|、|PF 2|都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦点半径.|PF 1|=a +ex 0,|PF 2|=a -ex 0称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远(近)点为长轴端点.三、利用椭圆第二定义求最值【例3】 已知定点A (-2，3)，点F 为椭圆121622y x +=1的右焦点，点M 的椭圆上移动时，求|AM |+2|MF |的最小值，并求此时点M 的坐标.解析：由椭圆方程，得a =4,b =23,c =2,∴e =21,右焦点F (2，0)，右准线l ：x =8. 设点M 到右准线l 的距离为d ,则21||==e d MF ,即|2MF |=d . ∴|AM |+2|MF |=|AM |+d .由于A 在椭圆内，过A 作A K⊥l ，K 为垂足，易证|AM |即为|AM |+d 的最小值，其值为8-(-2)=10. 此时M 点纵坐标为3，得横坐标为23.∴|AM |+2|MF |的最小值为10，这时点M 的坐标为(23，3).温馨提示(1)转化是一种重要的数学思想，本题利用第二定义，将看似没有“出路”的问题巧妙地化解了.(2)本题实际上要求对椭圆的第二定义有深刻的理解，在后面的双曲线、抛物线中也有类似问题，注意总结规律.各个击破类题演练1 在椭圆92522y x +=1上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍. 解析：设P 点的坐标为(x ,y )，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点.∵椭圆的准线方程为x =±425, ∴,425||425||21x PF x PF -=+ ∵|PF 1|=2|PF 2|, ∴.1225,425||425||222=∴-=+x x PF x PF 把x =1225代入方程92522y x +=1 得y =±.4119 因此，P 点的坐标为(4119,1225±).变式提升1点M (x ,y )与定点(3，0)的距离和它到直线l ：x =325的距离的比是常数53，求点M 的轨迹方程.解：设d 是点M 到直线l ：x =325的距离. 由题意,点M 的轨迹就是集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==53|||d MF M P 由此的53|325|)3(22=-+-x y x 化简得16x 2+25y 2=400 即162522x x +=1类题演练2设椭圆的左焦点为F ，AB 为椭圆中过F 的弦，试判断以AB 为直径的圆与左准线的位置关系. 解：设M 为弦AB 的中点(即圆心)，A ′，B ′，M ′分别是A ，B ，M 的准线l 上的射影，由椭圆第二定义，得|AB |=|AF |+|BF |=e (|AA ′|+|BB ′|).∵0＜e ＜1,∴|AB |＜|AA ′|+|BB′|=2|MM ′|,∴2||AB ＜|MM ′|, ∴以AB 为直径的圆与左准线相离.变式提升2 椭圆92522y x +=1上一点P 到两焦点的距离之积为m ,则当m 取得最大值时，点P 的坐标是( )A.(5，0)和(-5，0)B.(233,25)和(233,25-) C.(0，3)和(0，-3) D.(23,235-)和(23,325-) 解析：设d 1,d 2是点P 到两焦点的距离于是m =d 1·d 2=(a +ex 0)·(a -ex 0)=a 2-e 2x 0.由于-5≤x 0≤5,所以当x 0=0时，m 取得最大值a 2.因此，点P 的坐标为(0，3)和(0，-3).答案：C类题演练3设P (x 0,y 0)是椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)上任意一点，F 1为其左焦点. (1)求|PF 1|的最小值和最大值；(2)在椭圆52522y x +=1上求一点P ，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直. 解：(1)对应于F 1的准线方程为x =c a 2-,根据椭圆的第二定义：e ca x PF =+201|| ∴|PF 1|=a +ex 0.又-a ≤x 0≤a .∴当x 0=-a 时，|PF 1|min =a +ac (-a )=a -c ;当x 0=a 时，|PF 1|max =a +ac ·a =a +c . (2)∵a 2=25,b 2=5,∴c 2=20,e 2=54. ∵|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,∴(a +ex 0)2+(a -ex 0)2=4c 2.将数据代入得25+54x 20=40. ∴x 0=±235,代入椭圆方程得P 点的坐标为(235，25)，(235，-25)，(-235，25)，(-235，-25)变式提升3 椭圆4522y x +=1的右焦点为F ，设A (3,25-)，P 是椭圆上一动点，则|AP |+5|PF |取最小值时，P 的坐标为( )A.(5，0)B.(0，2)C.(3,25)D.(0，-2)或(0，2)解析：e =55,那么5|PF |为点P 到右准线距离，则过A 作右准线垂线与椭圆的交点即为所求P 点.故选C答案：C。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(2)导学案新人教B版选修1_1
2.1.2椭圆的几何性质（2）一、 学习目标及学法指导1.进一步掌握椭圆的基本几何性质,对给定 的椭圆标准方程能熟练说出其几何性质,并 画出图形.2.能根据给定条件用待定系数法求椭圆的标 准方程.3.能根据椭圆的几何性质,解决有关问题. 二、预习案 （一）基础知识梳理1.椭圆的定义：①若P 为椭圆上任意一点，F 1,F 2为椭圆的两个焦点，则1PF PF +②若2a=21F F ,则轨迹为2.椭圆的几何性质（填写下表）3.椭圆类型的判断方法当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设)0,0(122>>=+n m ny m x 可以避免讨论和繁杂的记算，也可设为)0,0(122>>=+B A By Ax 这种形式在解题中更简便。
练习:说出下列椭圆的长轴长、短轴长、顶点、焦点和离心率. 1) 369422=+y x 2) 10042522=+y x三、课中案※ 典型例题例1：根据下列条件分别求椭圆的方程⑴和椭圆364922=+y x 有相同的焦点，且经过Q(2,-3)（2）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3，2)；求椭圆方程（3）已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点PP 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程例2.一个椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,P 是椭圆上的一点,P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点,P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线,且左焦点与左顶点的距离等于510-,试求该椭圆的离心率及其方程.例3：椭圆22+ =194x y 的焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上运动， ①求证：当点P 横坐标为0时，∠F 1P F 2最大。
②当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的变化范围是多少?例4：已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -，（m 是大于0的常数）（1）求椭圆方程；（2）设Q 是椭圆上的一点，且Q 到点)P 的最远距离为求m 的值变式 已知M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点,求证:2a c MF a c -≤≤+,其中1F 是椭圆的一个焦点. 小结:1、待定系数法是十分重要的数学方法.2、函数思想求最值3、椭圆2222 +=1x y a b 和()2222 +0x y k k a b=>具有相同的四、课后案1.椭圆221259x y +=的焦点12,,F F P 为椭圆上的点,已知1290FPF ∠=,则△12F PF 的面积为 _____2.设12,F F 是椭圆22134x y +=的两个焦点,P 是椭圆上一点,且121PF PF -=,则12cos F PF ∠=3.已知椭圆的对称轴是坐标轴,短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到求该椭圆的标准方程.4.中心在原点,焦点在x 轴上,焦距等于6,离心率等于35,则此椭圆的方程为5.椭圆的一个顶点()0,2,离心率为12e =,坐标轴为对称轴的椭圆方程为6.椭圆()222210x y a b a b+=>>的半焦距是c ,若直线2y x =与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ,求椭圆的离心率.。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程教学案新人教B版选修1_1
2．1.1 椭圆及其标准方程[学习目标] 1.了解椭圆的实际背景，了解从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．[知识链接]命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a (a>0，且a为常数)，所以命题甲是命题乙的必要条件．若|PA|＋|PB|＝2a (a>0，且a为常数)，不能推出P点的轨迹是椭圆．这是因为：仅当2a>|AB|时，P点的轨迹是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点的轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹．所以命题甲不是命题乙的充分条件．综上可知，命题甲是命题乙的必要不充分条件．[预习导引]1．椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2要点一 用待定系数法求椭圆的标准方程例1 (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程． 解 (1)方法一 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．由椭圆的定义知2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝210，所以a ＝10.又因为c ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1. 方法二 设标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b2＝1a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10b 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2)方法一 当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1； 当椭圆的焦点在y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)、(0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，与a >b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 方法二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )．∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.规律方法 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪演练1 求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26.解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为2a ＝＋2＋02＋－2＋02＝10,2c ＝6，所以a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16. 所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝26,2c ＝10， 所以a ＝13，c ＝5.所以b 2＝a 2－c 2＝144.所以所求椭圆标准方程为y 2169＋x 2144＝1. 要点二 椭圆定义的应用例2如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．解 在椭圆x25＋y24＝1中，a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1. 又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25① 由余弦定理知：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos30° ＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4② ①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20③ ③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin30°＝8－4 3.规律方法在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把|PF 1|·|PF 2|看作一个整体来处理．跟踪演练2 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积．解 由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.从而|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4.解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.要点三 与椭圆有关的轨迹问题例3 已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解 以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，得|AB |＋|AC |＝10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆(不包括与x 轴的两交点)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10； 由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.又因为点A 不在x 轴上，所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． 规律方法 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由条件找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程．特别注意点A 不在x 轴上，因此y ≠0.跟踪演练3 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．解 如图，设圆P 的半径为r ，又圆P 过点B ， ∴|PB |＝r .又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距|PA |＝10－r ， 即|PA |＋|PB |＝10(大于|AB |)． ∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝|AB |＝6.∴a ＝5，c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段 答案 D解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6＝|F 1F 2|， ∴动点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >8 答案 B解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m >0，m ＋9>0，m ＋9>25－m ，解得8<m <25，即实数m 的取值范围是8<m <25.3．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 方程可化为x 21m＋y 21n＝1.若m >n >0⇒0<1m <1n，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆．若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.4．已知椭圆C ：x29＋y24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ， 则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点， ∴|BN |＝2|DF 2|， |AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.1.平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免分类讨论，从而简化运算．。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2-1-2椭圆的几何性质预习导学案新人教B版选修1
预习导航
课程目标
学习脉络
1.掌握椭圆的几何性质，掌握a，b，c，e的几何意义及a，b，c，e之间的相互关系．
2．尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质．
3．尝试利用椭圆的知识解决简单的实际问题.
椭圆的几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
提示：因为a＞c＞0，所以离心率e的取值范围是0＜e＜1.
离心率的大小对椭圆形状的影响：
①当e趋近于1时，c趋近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平；
②当e趋近于0时，c趋近于0，从而b趋近于a，因此椭圆越接近于圆．
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
2c(c2＝a2－b2)
对称性
对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点
离心率
e＝ ∈(0,1)，其中c＝
思考1焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的几何性质的不同点有哪些？
提示：两种位置的椭圆范围不同，交换了x，y的取值范围；顶点也发生了改变．
思考2如何根据e的大小变化确定椭圆的形状？
焦点在y轴上
图形
标准
方程
＋ ＝1(a＞b＞0)
＋ ＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－a≤y≤a，－b≤x≤b
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长为20)
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质教案 新人教B版选修2-1(2021年
辽宁省本溪满族自治县高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质教案 新人教B 版选修2-1椭圆的几何性质辽宁省本溪满族自治县高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质教案 新人教B 版选修2-1习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得教学过程设计 教材处理师生活动题型一 由椭圆方程研究其几何性质【例1】设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点的距离为)12(4-,求此椭圆方程及它的离心率，焦点坐标、顶点坐标。
【练习1】已知椭圆m y m x =++22)3(的离心率e=23,求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。
题型三求椭圆【例3】以等腰顶点的椭圆的离【练习3】已知点和上顶点,P 圆中心）时，求板书设计：教学过程设计教材处理 师生活动题型二 由椭圆的几何性质求椭圆方程【例2】已知21,F F 椭圆12222=+b ya x （a 〉b 〉0)的左右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，若0212=•F F AF ，椭圆的离心率等于2,22AOF ∆的面积为22,求椭圆的方程。
【练习2】已知21,F F 椭圆12222=+b y a x （a>b>0）的左右焦点,A 是椭圆上位于第一象限内的一点,点B 也在椭圆上，且满足0=+OB OA (O 是坐标原点，212F F AF ⊥.若椭圆的离心率等于2,22ABF ∆的面积等于24，求椭圆的方程。
辽宁省本溪满族自治县高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质教案新人教B版选修2-1教学目标1。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性
2.2.2 椭圆的简单几何性质课堂探究探究一 利用标准方程研究几何性质解答由椭圆的方程研究几何性质的问题时，首先要将椭圆的方程化成标准形式，然后根据标准方程中分母的大小确定焦点的位置，写出a ，b 的值，并求出c 的值，最后按要求写出椭圆的几何性质．【典型例题1】 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 思路分析：本题主要考查了已知椭圆的方程，研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式，然后再写出性质．解：把已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，所以a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74. 两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 探究二 利用椭圆的几何性质求它的方程利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，其一般步骤如下：【典型例题2】 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．思路分析：由于不知道椭圆的焦点在哪条坐标轴上，所以可分情况讨论或设为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0)的形式求解．解法一：若椭圆的焦点在x 轴上，则设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，9a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.所以椭圆方程为x 29＋y 2＝1. 若焦点在y 轴上，则设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，0a 2＋9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.解法二：设椭圆方程为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2m ＝3·2n或⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2n ＝3·2m .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝9，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝9，n ＝81.所以椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1. 探究三 与离心率有关的问题求椭圆的离心率，可根据椭圆的标准方程与焦点的位置确定a 2，b 2，求出a ，c 的值，利用定义e ＝ca求解或构造关于a ，c 的齐次方程求解．要确定离心率的取值范围，则需根据条件建立a ，b ，c 满足的关系式，化为关于a ，c 的不等式求解．【典型例题3】 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1，F 2，若在椭圆上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，求椭圆的离心率e 的取值范围．思路分析：由条件PF 1→·PF 2→＝0，知PF 1⊥PF 2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解．解：如图所示，由题意知点P 在以F 1F 2为直径的圆上，即在圆x 2+y 2=c 2上， 又点P 在椭圆上，所以圆x 2+y 2=c 2与椭圆2222x y a b+=1有公共点，连接OP ，则易知0＜b ≤c ＜a ， 所以b 2≤c 2＜a 2，即a 2-c 2≤c 2＜a 2.所以22a ≤c 2＜a 2，所以2≤c a ＜1，所以e ∈⎫⎪⎪⎣⎭. 点评：由椭圆上一点和两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形，它包含着很多关系，解题时要从椭圆的定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的取值范围是0＜e ＜1.探究四 易错辨析易错点 不能确定焦点在哪个坐标轴上 【典型例题4】 若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝12，求k 的值． 错解：由已知得a 2＝k ＋8，b 2＝9.又因为e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝k －1k ＋8＝14，解得k ＝4.错因分析：忽视了椭圆的焦点在y 轴上的情况．正解：(1)若焦点在x 轴上，即当k ＋8＞9时，a 2＝k ＋8，b 2＝9.又因为e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝k －1k ＋8＝14，解得k ＝4.(2)若焦点在y 轴上，即当0＜k ＋8＜9时，a 2＝9，b 2＝k ＋8. 又因为e ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－k 9＝14，解得k ＝－54.综上可知，k ＝4或k ＝－54.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．1.2 椭圆的几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的简单几何性质已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x225＋y216＝1，C2：y225＋x216＝1.思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2 椭圆具有对称性吗？思考3 椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？梳理思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？梳理 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e ＝c a，叫做椭圆的____________．(2)性质：离心率e 的取值范围是________，当e 越接近于1，椭圆越________，当e 越接近于________，椭圆就越接近于圆．类型一 椭圆的几何性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 引申探究已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．类型二 求椭圆的离心率 命题角度1 焦点三角形的性质例2 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝ 1－b 2a2求解．跟踪训练2 已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若∠BAF 2＝60°，|AB |＝|AF 2|，则椭圆的离心率为________．命题角度2 利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)例3 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．(2)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．反思与感悟 若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．跟踪训练3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且∠BAO ＋∠BFO ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆的离心率e ＝________.类型三 利用几何性质求椭圆的标准方程例4 (1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程． (2)已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b .在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论．跟踪训练4 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.1．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33C.22D.122．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)3．设P (m ，n )是椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点，则m 的取值范围是________．4．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为____________．5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．答案精析问题导学 知识点一思考1 对于方程C 1：令x ＝0，得y ＝±4，即椭圆与y 轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y ＝0，得x ＝±5，即椭圆与x 轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C 2与y 轴的交点为(0,5)与(0，－5)，与x 轴的交点为(4,0)与(－4,0)．思考2 有．问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形．思考3 C 1：－5≤x ≤5，－4≤y ≤4；C 2：－4≤x ≤4，－5≤y ≤5.梳理 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) |x |≤a ，|y |≤b |x |≤b ，|y |≤a x 轴、y 轴和原点 (±a,0)，(0，±b ) (0，±a )，(±b,0) 2a 2b 知识点二思考 如图所示，在Rt△BOF 2中，cos∠BF 2O ＝c a ，记e ＝c a，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越圆．梳理 (1)离心率 (2)(0,1) 扁 0 题型探究例1 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74.又知焦点在x 轴上， ∴两个焦点坐标分别是F 1(－7，0)和F 2(7，0)，四个顶点坐标分别是A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)和B 2(0,3)． 引申探究解 把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1，可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3， 短半轴长b ＝2.又得半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.所以椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)．四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e ＝c a ＝53. 跟踪训练1 解 椭圆方程化为标准形式为x 24＋y 2m ＝1，且e ＝12.(1)当0<m <4时，长轴长和短轴长分别是4,23， 焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2,0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)． (2)当m >4时，长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F 1(0，－233)，F 2(0，233)，顶点坐标为A 1(0，－433)，A 2(0，433)，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．例23－1解析 方法一 如图， ∵△DF 1F 2为正三角形，N 为DF 2的中点，∴F 1N ⊥F 2N ， ∵|NF 2|＝c ， ∴|NF 1|＝ |F 1F 2|2－|NF 2|2＝4c 2－c 2＝3c ，则由椭圆的定义可知|NF 1|＋|NF 2|＝2a ， ∴3c ＋c ＝2a ， ∴e ＝ca＝23＋1＝3－1.方法二 注意到焦点三角形NF 1F 2中 ，∠NF 1F 2＝30°， ∠NF 2F 1＝60°，∠F 1NF 2＝90°， 则由离心率的三角形式，可得 e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||NF 1|＋|NF 2| ＝sin ∠F 1NF 2sin ∠NF 1F 2＋sin ∠NF 2F 1＝sin 90°sin 30°＋sin 60°＝112＋32＝3－1. 跟踪训练233解析 如图所示，∵∠BAF 2＝60°， |AB |＝|AF 2|，∴△ABF 2是等边三角形， ∴△ABF 2的周长＝3|AF 2| ＝4a ，∴|AF 2|＝4a 3，∴|AF 1|＝2a3.在△AF 1F 2中，由余弦定理得(2c )2＝(2a 3)2＋(4a 3)2－2×2a 3×4a 3×cos 60°，化为a 2＝3c 2，解得e＝ca ＝33.例3 (1)33解析 直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a，∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a)．∴kBF 1＝－b 2a －0c －－c ＝－b 2a 2c ＝－b 22ac ，∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c )，令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0， ∴e ＝－2±4－4×3－323＝－2±423， ∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.(2)[22，1) 解析 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，－b ≤y ≤b .由题意知，以F 1F 2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点， 则c ≥b ，即c 2≥b 2，所以c 2≥a 2－c 2， 所以e 2≥1－e 2，即e 2≥12.又0<e <1，所以e 的取值范围是[22，1)． 跟踪训练35－12例4 解 (1)∵所求椭圆的方程为标准方程， 又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点． ①当椭圆的焦点在x 轴上时，(3,0)为右顶点，则a ＝3.∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ＝63×3＝6， ∴b 2＝a 2－c 2＝32－(6)2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，(3,0)为右顶点，则b ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ， ∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－23a 2＝13a 2，∴a 2＝3b 2＝27，∴椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1. 综上可知，椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的对称性，知|B 1F |＝|B 2F |， 又B 1F ⊥B 2F ，∴△B 1FB 2为等腰直角三角形， ∴|OB 2|＝|OF |，即b ＝c . |FA |＝10－5，即a －c ＝10－5，且a 2＝b 2＋c 2，将上面三式联立，得⎩⎨⎧b ＝c ，a －c ＝10－5，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝10，b ＝ 5.∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1.跟踪训练4 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1. 同理可求出当焦点在y 轴上时，椭圆方程为x 213＋y 252＝1. 故所求的椭圆方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1. (2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6， ∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1. 当堂训练1．B 2.D 3.[－5,5] 4.x 225＋y 216＝1 5.(0，±69)。