不等式的基本性质教案

课题：不等式的基本性质

课型：新授课

教学目标：

知识与技能：了解实数的基本事实，能够比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式。

过程与方法：通过对基本不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质，并有运用基本性质的意识。能够用类比的方法从等式的基本性质来推出不等式的基本性质。

情感态度与价值观：通过类比等式的基本性质来联系不等式的基本性质，是学生掌握类比的数学方法。

教学重点：比较两个实数的大小关系，掌握不等式的基本性质。

教学难点：通过运用基本性质来证明不等式。

教学过程：

一．新知引入

以人们常用的长与短，多与少，轻与重等现实中存在的数量上的不等关系来引入数学中人们用不等式来表示事物的不等关系。

说明研究不等式的出发点是实数的大小关系，并举例说明：

（i ） 设存在a,b 两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B ，当A 在点B 的

左边时，a 与b 有着怎样的大小关系？（a

（ii ） 设存在a,b 两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B ，当A 在点B 的

右边时，a 与b 有着怎样的大小关系？ (a>b)

（i ）（ii ）边说边在黑板上画出数轴，呈现出相应的图形，并让全班一起回答，把答案写在对应图形的右边。

由上面两个实数的不等关系以及已经学过的等式关系，得出实数a,b 存在的三种大小关系并且构成了实数的基本事实。

a>b ⇔ a-b>0.

a

a=b ⇔a-b=0.

引导发问：当a>b （或a

二．练习巩固

例1． 比较)2)(3(++x x 和)9)(4(+-x x 的大小.（答案：> ）

让学生思考片刻，让学生说出解答的过程，并在黑板上写出详细过程。最后总结比较两个实数的大小关系，可以通过考察它们的差与0的大小关系来解答，并说明这种方法是作差比较法。

三．以旧推新

在学习和证明不等式的过程中，我们需要广泛运用基本性质，那么不等式有哪些基本性质？我们要怎么去研究和运用不等式的基本性质？

提示语发问，引起学生思考，并且加以引导：我们已经知道实数的基本事实以及两个实数的三种关系，而这三种关系又可以分为相等关系和不等关系。既然如此，它们之间应该会有一定的联系，那我们可不可以试着用等式的基本性质来推出不等式的基本性质？

回顾等式的基本性质，让一些同学回答，教师再进行完善，并写在黑板的草稿区。 由等式的对称性和传递性容易得到不等式的两个性质：

性质1：a>b ⇔b

性质2：a>b,b>c ⇔a>c （单向传递性）

由等式的加减法和乘法运算法则是否可以推出不等式的相应的性质？尝试和学生一起思考，先在黑板试着写出不等式的相应性质，并让学生在已有的经验上去说明其正误。

尝试写出：

a>b ⇔a ±c>b ±c

a>b ⇔ac>bc

学生很容易判断前者是成立的，而后者不一定成立，与c 的取值有关，从而总结得出以下性质：

性质3：a>b ⇔a ±c>b ±c

性质4：a>b ，c>0⇔ac>bc

a>b ，c<0⇔ac

由此可以说明性质4中大小符号的变化与所乘的乘数有关，提醒学生注意。

说明不等式除了以上性质，还有其他的基本性质：

性质5：a>b>0⇔)2,(≥∈>n N n b a n n

性质6：a>b>0⇔)2,(≥∈>n N n b a n n

给学生演示性质5,6的证明过程。

说明这些基本不等式是不等式证明和运用的基础，提醒学生在运用这些性质时要注意实数的符号（是否大于0）。

四．推论证明

利用不等式的基本性质还可以得出不等式的相关推论。

性质3推论：

（i ） 如果a+b>c ，那么a>c-b

（ii ） 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d

（iii ） 如果a>b,c>d,那么a-d>b-c

对这3个推论都让学生思考运用不等式的基本性质进行证明，1分钟后，教师在黑板上演示推论（i ）(ii)的证明过程，并强调运用的是哪个性质，推论（iii ）让一个学生根据前面的演示来回答解答过程，并要说出是依据什么性质。教师板书过程。

性质4推论：

（i ） 如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd

（ii ） 如果a>b>0,c>d>0，那么c

b d a > 让学生思考片刻证明过程，推论（i ）让学生回答解答过程及依据，教师完善并板书。 推论（ii ）由教师引导思考过程和方向： 要证

c b

d a >，即证c d 11>，在已知c>d>0的前提，问学生c

d 11>的证法。 学生可能会运用函数的单调性质来证明，说明这个方法可行，并要求学生思考运用不等式的基本性质该怎么证明，引导学生回顾比较实数大小的方法并运用基本性质证明。 让学生回答c

d 11>的证明过程：

由c>d>0，得出cd>0,c-d>0,01>cd , 则011>-=-cd

d c c d ， c

d 11>⇒ 接着证明推论（ii ）： 由a>0及性质4，得

0>>c a d a 由a>b>0, c>0,01>c 及性质4，得0>>c

b c a 由性质2得，c

b d a >。 五．小结与作业

小结：回顾本节课的内容，重复比较两个实数大小的方法是作差比较法，回顾不等式的基本性质及其推论，强调证明不等式的过程中要熟练运用这些基本性质及其推论。 作业：课后习题1.1的第1-4题。