锁相环原理

2、环路滤波器
环路滤波器是一个线性低通滤波器，其作用是滤除鉴相器输出误差电压中的高
频分量，起到滤波平滑作用，以保证环路稳定、改善环路跟踪性能和噪声特性。这
是一个很重要的部件。通常由R，C元件(有时使用运算放大器)组成。因为它是一个
线性系统，使用传递函数就可以表示它的基本特性。
假设环路滤波器输入电压为vd(t)，输出电压为ve(t)，若不考虑电路的初始扰动，
(1) 图1－1与图1－8是不相同的。前者是只说明环路组成的方框图；后者是描
述环路相位关系的相位数学模型。而相位数学模型图1－8以及与它对应的微分方程
(1－18)式，只给出了环路输出瞬时相位θ2(t)与输入瞬时相位θ1(t)之间关系。而并不
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给出输出电压vo(t)与输入电压vi(t)之间的关系，也不是输出频率与输入频率之间的 关系。由于锁相环路是一个传递相位的闭环系统，只要研究相位数学模型或它的微 分方程就可以获得这个系统完整的性能。下边所讨论的环路各种性能－－传递函数、 幅频特性、相频特性、环路带宽等，都是对输入信号的相位θ1(t)而言的，并不是对 输入信号的电压或频率而言的，这一点务必请读者注意。
§1-2 锁相环路的工作原理
锁相环路实质上是一个相差自动调节系统。为了掌握环路的工作原理，理解环 路工作过程中发生的物理现象，必须导出环路的相位数学模型和微积分方程。为此， 首先必须了解组成基本锁相环路各部件的功能模型，然后串联起来就组成了锁相环 路的相位数学模型，最后列出微积分方程。
§1-2-1 主要部件的功能模型 锁相环路由三个基本部件组成如图1－1所示。图中vi(t)和vo(t)分别表示环路的
式中Km为乘法器的倍增系数，量纲为1/V。上式中的第一项是和频项，
即2ωo项。因为鉴相器输出的高频分量2ωo被环路滤波器的低通特性所抑制，所以乘
法器实际的输出电压为
1 vd(t)＝ 2 KmViVosin[θ1(t)－θ2(t)]
1 令Kd= 2 KmViVo式中，Kd为鉴相灵敏度，单位是V/rad；
在锁相环路中，从鉴相特性看来，压控振荡器输出信号对鉴相器起作用的不是
它的瞬时角频率而是它的瞬时相位，因此压控振荡器瞬时相位可由(1－14)式的积
分求得
¶ٛ0t *V(t)dt = *0t + K0 ¶ٛ0t vc(t)dt
(1－15)
将此式与(1－7)式相比较，可见以ωot为参考的输出瞬时相位是
2(t) = K0 ¶ٛ0t vc(t)dt
以的，只不过得到的将是余弦鉴相特性。有些锁相技术参考书中是这样表示的。然
而，不论是正弦或余弦鉴相特性，环路稳定工作区域将处于特性的线性区域内。若
以环路锁定时鉴相器输出电压等于零为标志，锁定时则正弦鉴相器与余弦鉴相器仅
相差π/2。显然，使用正弦特性分析比较方便。当ωo=ωi环路锁定时，理想正弦鉴相 器输出θe(t)＝0，这并不意味着鉴相器两个信号相位差等于0，而是表示两输入信号 相位差是π/2。这是由于正弦鉴相特性是根据两输入信号之间正交的前提下导出的。
检取两个输入信号之间的相位差；其次再把相位误差转换为误差电压输出，所以它
是一个相位差转换为电压的转换器。由此可以作出正弦鉴相器的功能模型如图1－
4所示。
图1－3 正弦鉴相特性
图1－4 正弦鉴相器的功能模型
顺便指出一点，在上面推导过程中，将两个输入信号分别表示为正弦和余弦形
式，即正交信号输入形式。实际上，两个输入信号都用正弦或余弦信号表示也是可
(2) 环路微分方程pθe(t)＝pθ1(t)－KoKdF(p)sin θe(t)是一个非线性微分方程。非线 性主要来源于鉴 相器，鉴相特性函数sin θe(t)是一个非线性函数。方程(1－18)的阶 数取决于F(p)/p的阶数，即取决于滤波器传递函数F(p)的阶数加1，因为压控振荡器 等效于一个一阶理想积分器，即如果方程阶段数是n阶，环路滤波器阶数应是 (n-1)阶。求解这个微分方程可以确定环路工作的全部性能。但是目前只能对一阶 (即F(p)=1)环路才能获得精确的解析解，而其它阶数只能借助于一些近似方法进行 求解，或借助于电子计算机得到数值解。
式中ωi和θio 为不随时间变化的量。根据(1－4)式输入相位为
θi(t)=(ωi－ωo)t+θio=Δωot+θio (1－20)式两边对t求导数，则有
(1－20)
p θ1(t)=ωi－ωo=Δωo
(1－21)
这里Δωo=ωi－ωo为输入信号频率与压控振荡器固有频率之差，称为固有频差。 (1－19)式等号左边第一项为
p θe(t)=pθ1(t)－pθ2(t)＝ωi－ωv=Δωe
这里Δωe是输入信号ωi与压控振荡器输出信号频率ωv之间的频差称为瞬时频差。
(1－19)式等号左边第二项为
KoKdF(p)sin θe(t)＝p θ2(t)=Kovc(t)＝ωv－ωo=Δωv
这里Δωv是压控振荡器受控制电压作用之后的瞬时频率ωv与压控振荡器固有振
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中心变化的。在较大范围内ωv应与Vv成线性关系。在此线性范围内，根据图1－6得 到压控振荡器的控制特性方程为
ωv(t)＝ωo+tgαvc(t)
=ωo+Kovc(t)
(1－14)
*v 式中Ko=tgα= Vc 是压控振荡器控制特性曲线的斜率，表示在单位控制电压作
用下，压控振荡器角频率变化的大小。因此又称之为压控灵敏度，单位rad/(sV)。
图1－1 基本锁相环路的组成 输入、输出信号电压。现将三个基本部件的工作原理分述如下：
1、鉴相器 鉴相器的任务是对它的两个输入信号进行比较。当环路锁定时，鉴相器输出正
比于这两个输入信号相位差的直流电压Vd。 鉴相器的电路形式很多，有模拟的、取样的和数字的。作为原理分析，通常使
用正弦特性的鉴相器。理由是正弦理论比较成熟，分析简单方便，实际上各种鉴相
荡频率ωο之差，称为控制频差。于是根据以上分析可以得到
Δωe+Δωv=Δωo
(1－22)
(1－22)式描述了环路动态频率平衡关系。在任何时间t，环路瞬时频差Δωe与控
制频差Δωv之和总是等于环路的固有频差Δωo，当环路相位锁定时，Δωe＝0，则
Δωv＝Δωο，即环路的控制频差Δωv等于环路的固有频差Δωo。 对于环路相位数学模型与环路微分方程的推导过程，必须强调指出：
对t求导数并移项，则得到
p θe(t)+KoKdF(p)sin θe(t)=p θ1(t)
(1－19)
方程(1－19)是以角频率形式表示的环路微分方程，它概括了环路动态工作时
各频率之间的平衡关系，为了分析简便起见。假定输入信号是一种频率和相位都不
变的正弦信号，即为
vi(t)=Vi sin(ωit+θio)
递函数的自变量要用p（微分算子）；在象函数（复频域）方程中要用s（拉氏算子）
，但本教材为了书写和运用方便起见，它们可以统一使用，即F(s)=F(p)|p=s或
F(jω)=F(p)|p=jω，这样可避免符号方面变化而引起的混乱。
3、压控振荡器 在锁相环路中，压控振荡器起着电压转换为相位的作用。其振荡频率的相位受 滤波器输出电压vc(t)的控制，而其输出信号的相位随环路输入信号相位变化而变化， 从而保持相位跟踪。 压控振荡器的控制特性指的是它的瞬时角频率ωv与控制电压Vc之间的关系。若 取其曲线的线性区域的中心为静态工作点，并以此作为坐标原点，则所得ωv=f(Vc) 关系曲线如图1－6所示。图上的中心频率是压控振荡器未加控制电压，而仅有静态 偏压时的振荡频率ωo，ωo称为压控振荡器固有振荡频率，而瞬时角频率ωv是以ωo为
则环路滤波器的传递函数F(s)可以写成
Vc(s) F(s)= Vd(s)
(1－11)
式中Vc(s)为输入电压的拉氏变换式；
Vd(s)为输出电压的拉氏变换式；
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F(s)可以写成“s”的两个多项式之比的形式，即
Vc(s)
amsm+am−1sm−1+…ao
F(s)= Vd(s) ＝ bn−1sn−1+bn−2sn−2+…bo
θi(t)为输入信号以其载波相位ωit为参考的瞬时相位。
压控振荡器输出信号为
vo(t)=Vocos(ωot+θo(t)) 式中，V0为压控荡器输出信号的振幅； ωo为压控荡器固有角频率；
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(1－2)
θo(t)为压控振荡器输出的信号以其固有振荡相位ωot为参考的瞬时相位。
图1－2 等效鉴相器(乘法器) 一般情况下，两个输入信号的频率是不相同的。但是，相位比较只有在相同频
vc(t) F(p)= vd(t)
或 vc(t)=F(p)vd(t)
(1－13)
式中“p”代表微分符号“d/dt”，(1－13)式就是环路滤波器的微分方程，其
功能模型如图1－5所示。
图1－5 环路滤波器的功能模型
图1－6 压控振荡器控制特性
这里指出一点，在以下分析中，严格地说：凡是在原函数(时域)方程中各种传
率情况下才有意义，所以为了适应鉴相器进行同频比相的需要，现统一以压控振荡
器固有振荡相位ωot为参考。故需重新定义vi(t)的瞬时相位。现将输入信号瞬时相位 改写为
[ωi(t)+θi(t)]=ωot+[(ωι−ωο)t+θi(t)] =ωot+θ1(t)
式中，
(1－3)
θ1(t)=(ωι−ωο)t+θi(t)=Δωot+θi(t)
(1－8)
令θe=θ1(t)－θ2(t)=Δωot+θi(t)－θ2(t)
(1－9)
式中，θe(t)为两输入信号的瞬时相差。因此，(1－8)式就可以写为
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vd(t)=Kdsin θe(t)
(1－10)
这就是正弦鉴相器的数学模型。按(1－10)式画的正弦鉴相特性曲线如图1－
3所示。
上述鉴相器的功能可以分解为两个作用，首先是起到一个相位减法的作用，即
并用θ(t)表示，它就等于这里的θ2(t)。
§1－2－2 相位数学模型和基本方程 将图1－4、图1－5、图1－7的三个基本环路部件的功能模型按环路的组成次序 联接起来，就可构成相位反馈系统的数学模型，如图1－8所示，从图1－8中可以清 楚地看出，这个调节系统的给定值是输入信号的相位θ1(t)，系统的受调节值是压控 振荡器的输出相位θ2(t)。因为输出相位能够直接加到鉴相器上进行相位比较，无需 反馈网络进行变换，所以它又是一个单位反馈系统。图1－8是明确地表示了环路相 位的反馈调节关系，故又称之为环路相位数学模型。
(1－4)
这里θ1(t)是以固有振荡相位ωot为参考的输入信号瞬时相位。
压控振荡器输出瞬时相位保持原来表示法，只是为了书写统一。将θot＝θ2t代
替，可写成
ωot+θ0(t)=ωot+θ2(t)
(1－5)
根据以上重新定义的瞬时相位，vi(t)和vo(t)可以分别定写成为
vi(t)=Visin[ωot+θ1(t)]
(1－16)
为了分析方便，若将(1－16)式中积分符号用微分符号p的倒数表示，则(1－
16)式可写为 vc(t)
θ2(t)=Ko p
因此压控振荡器的功能模型如图1－7所示。
(1－17)
图1－7 压控振荡器的功能模型 图1－8 锁相环路的相位数学模型 顺便指出，在有些参考资料中常将压控振荡器输出相位当作输入相位的估值，
g(s−z 1 )(s−z 2 )…(s−z m ) = (s−p1)(s−p2)…(s−pn−1)
(1－12)
如果滤波器是物理可实现的，则一般满足m≤n－1。
注意：这里将滤波器传递函数的分母阶次写成(n－1)阶，目的是为了适应n阶
锁相环路的传递函数分母为p的n阶形式而写出的。
(1－12)式为环路滤波器的复频域方程。如果写时域方程则可写成
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根据图1－8，结合基本部件的数学关系式(1－10)、(1－Leabharlann Baidu3)、(1－17)可以得到
环路的瞬时相差表示式
vc(t) θe(t)=θ1(t)-θ2(t)=θ1(t)-Ko p
1 ＝θ1(t)－ p KoKdF(p)sin θe(t)
(1－18)
(1－18)式为锁相环路以相位形式表示的环路微分方程。若将方程(1－18)两边
特性当信噪比降低时，都趋向于正弦特性。
原则上，任何一种理想的模拟乘法器都可以作为具有正弦特性的鉴相器，如图
1－2所示。输入信号vi(t)和压控振荡器的输出信号vo(t)分别加到乘法器的两个输入 端。设输入信号为
vi(t)=Visin[ωit+θi(t)] 式中，Vi为输入信号的振幅；
(1-1)
ωi为输入信号的角频率；
(1－6)
vo(t)=Vocos[ωot+θ2(t)]
(1－7)
经过乘法器之后的输出信号电压为
vd(t)=Kmvi(t)vo(t)
=KmVisin[ωot+θ1(t)]Vocos[ωot+θ2(t)]
1
1
＝ 2 KmViVosin[2ωot+θ1(t)+θ2(t)]+ 2 KmViVosin[θ1(t)－θ2(t)]