高等数学：第五章 第5节广义积分

cosln
x
x
1
1
sinln
xdx
1
sin(ln x)dx
1 [cosln sin ln ] 1
2
2
1
1
sin(ln x)dx lim[
0
0
] 2
17
例6 dx
0 x(4 x)
1 dx
0 x (4 x) 1
dx x(4 x)
lim[arctan 0
x 2
]1
lim[arctan b
lim
0
b
a f (x)dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
11
设函数 f ( x)在区间[a,b] 上除点外 c 连续，
lim
xc
f
(
x)
,如果两个广义积分ac
f
(
x)dx
和
b
c
f
( x)dx 都收敛，则定义
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
lim arctanb b
2
2
.
5
例3
计算广义积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1 x
b 2
blimcos
1 b
cos
2
1.
6
例4
证明广义积分 1
1 xp
a
0
a2 x2
lim 0
0
dx a2 x2
lim
0
arcsin
x a
a
0
lim
0
arcsin
a
a
0
. 2
13
例 2 证明广义积分
当q 1时发散.
1 0
1 xq
dx
当q
1
时收敛，
证 (1) q 1,
1
0
1 xq
dx
1
0
1 x
dx
ln
x
1 0
,
(2) q 1,
1
0
1 xq
dx
第五节 反常积分（广义积分）
一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、Γ函数的介绍 四、小结
1
一、无穷限的广义积分
无穷限广义积分 f ( x)dx,
b
f ( x)dx,
f ( x)dx,
a
定义 1 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，如
果极限 lim b
b
a
f
(
x
)dx
存在，则称此极限为函数
dx
当
p
1
时收敛，
当 p 1时发散.
证
(1)
p
1,1
1 xp
dx
1
1 x
dx
ln
x
1
,
(2)
p
1,
1
1 xp
dx
x1 p 1 p1
,
p
1
1
,
p1 p1
因此当 p 1时广义积分收敛，其值为 1 ； p1
当 p 1时广义积分发散.
7
例 5 证明广义积分 e pxdx 当p 0 时收敛， a
0 1 ln x
0
1
lim ln(ln 2) ln(ln(1 )) 0
.
故原广义积分发散.
15
3
例4 计算广义积分
dx 2.
0 ( x 1)3
x 1瑕点
解
3 dx
0
2
( x 1)3
1
3
( )
dx
2
0 1 ( x 1)3
1 dx
1 dx
0
2
( x 1)3
lim 0
当 p 0时发散.
证
e pxdx lim
b
e
px
dx
a
b a
blim
e pa p
e pb p
e ap
p
,
,
p0 p0
即当 p 0时收敛，当p 0 时发散.
8
例6
0
x (1 x)3 dx
x 11 0 (1 x)3 dx
1
0 [(1 x)2
1 (1 x)3
]dx
[
1 x 1
f ( x) 在无穷区间[a,) 上的广义积分，记作
a
f
( x)dx.
b
a
f
( x)dx
lim
b
a
f
( x)dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
2
类似
b
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
x 2
]1b
2
18
例7
证明
dx 0 1 x4
0
1 2(1
x)2
]0
1 2
9
二、无界函数的广义积分
定 义 2 设 函 数 f ( x) 在 区 间 (a,b] 上 连 续 ，
而 lim xa
f(ຫໍສະໝຸດ x)，如果lim
0
b a
f (x)dx 存在，
则称此极限为函数 f ( x)在区间(a,b]上的广义
积分，记作
b
a
f
(
x
)dx
.
b
b
a
f
( x)dx
0
2 3 ( x 1) 3
3 dx
1
2
( x 1)3
lim 0
3 dx
1
2
( x 1)3
3 3 2,
3 0
dx
2
( x 1)3
3(1 3 2).
16
1
例5 sin(ln x)dx 0
解
1
sin(ln x)dx
sinln x x 1
1
cos ln xdx
sin
ln
lim[e
b
x
]b0
1 lim(eb 1) b
几何意义
4
例2
计算广义积分
1
dx x
2
.
解
dx
0 dx
dx
1 x2 1 x2 0 1 x2
lim a
0
a1
1 x2
dx
lim
b
b1 0 1 x2 dx
lim arctan
a
x0a
lim arctan
b
x
b
0
lim arctana a
f
( x)dx
0
f
( x)dx
0
f
( x)dx
0
b
lim a a
f ( x)dx
lim b 0
f ( x)dx
当右端两个积分都收敛时, 称积分 f ( x)dx收敛;
否则成为发散.
说 明:
f
(
x)dx
定
义
中
用
任
意c作
中
间
限
也
可.
3
例1 exdx lim b exdx
0
b 0
x1q 1 1 q0
, 1 1 q
,
q q
1 1
因此当q 1时广义积分收敛，其值为 1 ； 1q
当q 1时广义积分发散.
14
例3
计算广义积分
2 dx . 1 x ln x
解
2 dx
1 x ln x
lim 0
2
1
dx x ln x
lim 2 d (ln x) lim ln(ln x) 2
lim
0
f (x)dx
a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
10
类似地，设函数 f ( x)在区间[a,b)上连续，
而
lim
xb
f
(
x)
，如果极限
lim
0
b a
f (x)dx 存在，则
称此极限为函数 f ( x)在区间[a,b)上的广义积
分，
记作
b a
f
(
x)dx
c
b
lim f (x)dx lim f (x)dx
0 a
0 c
否则，就称广义积分ab f ( x)dx 发散.
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
12
a
例1 计算广义积分
dx
(a 0).
0 a2 x2
解 lim 1 , xa a2 x2
x a 为被积函数的无穷间断点.
a dx