高等数学：第五章 第5节广义积分
《广义积分的性质》课件
应用：区间可加性在解决实际问题中具有广泛的 应用，例如在计算定积分、广义积分等问题时， 都可以利用区间可加性进行简化计算。
添加标题
性质：区间可加性是广义积分的一个重要性质，它 使得我们可以将复杂的积分问题分解为简单的积分 问题，从而简化计算。
添加标题
注意事项：在使用区间可加性时，需要注意函数的 连续性和可积性，以确保计算结果的正确性。
• 幂级数法：一种求解积分的方法，通过将积分转化为幂级数形式求解 • 典型例题：求解∫(x^2+1)^(-1/2)dx • 解题步骤： a. 将积分转化为幂级数形式：(x^2+1)^(-1/2)=∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n b. 求解幂级数：
∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n=x^2-3x^4+5x^6-7x^8+... c. 积分结果：∫(x^2+1)^(-1/2)dx=x^3-3x^5+5x^77x^9+... • a. 将积分转化为幂级数形式：(x^2+1)^(-1/2)=∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n • b. 求解幂级数：∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n=x^2-3x^4+5x^6-7x^8+... • c. 积分结果：∫(x^2+1)^(-1/2)dx=x^3-3x^5+5x^7-7x^9+... • 结论：幂级数法是一种有效的求解积分的方法，适用于求解某些特定类型的积分问题。
下节课预告
下节课我们将继续学习广义积分 的性质
学习目标：掌握广义积分的基本 概念和计算方法
添加标题
添加标题
添加标题
广义积分
其中 c ∈ (a, b ).
例7 计算广义积分 解 ∵ lim
∫
a
0
dx a2 − x2
(a > 0).
收敛
x →a − 0
1 = +∞ , 2 2 a −x
. ∴ x = a 为被积函数的无穷间断点 瑕点） （
∫0
a
a −ε dx = lim ∫0 2 2 ε → +0 a −x
a −ε
dx 2 2 a −x
ε →0
b
b
a+ε
f ( x)dx = F( x) a
b
= lim F( x) a+ε = limε F(b) − F(a + ε )]b b−[ b ε →0+ ε →0+ lim ) ∫= f ((x)dx (= ε+ 0+)∫a f ( x)dx = F( x) a a F b − F a →0
+∞
其中a 其中 是任意实数 . 若设F ( x )是f ( x )的任一原函数
以后为了方便, 以后为了方便,把 lim F ( x ) a 直接记为 F ( x ) a .
+∞
例1 求 ∫ e−3xdx.
0
+∞
收敛
解
∫
+∞
0
e
−3 x
1 +∞ −3x dx = − ∫ e d(−3x) 3 0
1 −3x =− e 3 0
1 = [ lim ln(1 + x 2 ) − ln 1] 2 x → +∞
= +∞
xdx 思考： 发散？ 发散. 思考： ∫−∞ 1+ x2收敛or发散？ 发散
人大微积分课件5-5广义积分
2021/4/21
22
a
0
1 xp
dx
当
0
p 1 时收敛，当p 1时发散；
再考察a
1 xp
dx
p
0
的敛散性.
当 p 1 时，a 0
a
1dx x
lim
t
ln
t
ln
a
,
当 p 1 时，a 0
1 dx 1 lim t1p a1p
a xp
1 p t
2021/4/21
23
a1 p , p 1 p 1
2.说明
（1）设 Fx f x ，则
a
f xdx
lim Ft Fa F Fa； t
b
f xdx
Fb lim Ft Fb F ； t
2021/4/21
5
f
xdx
lim
t
F
t
lim
t
F
t
F F .
（2）当
f x为奇函数时,
f
x
dx
不能按积
分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为
tc a
tc t
2021/4/21
15
这至散时少. 称有广一义个积不分存在ab ，f 则x称dx广收义敛积，分若上ab f述 x两d极x发限
2.说明
（1）在定义2中f x在点a,b,c 的邻域内都无 界，这些点均为f x的无界间断点，也称为f x
的瑕点，故无界函数的广义积分也称为瑕积分.
（2）设 Fx f x ，则
解
sin
xdx
0 sin
xdx
0
sin
xdx
cos
广义积分的计算方法
广义积分的计算方法广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在某一区间上的积分进行推广，可以用来求解曲线下面的面积、求解物体的质量、求解电荷的总量等问题。
在实际问题中，广义积分的计算方法非常重要，下面我们将介绍一些常见的广义积分的计算方法。
首先，我们来看一下对于无界函数的广义积分。
对于函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分，可以通过极限的方法来进行计算。
具体来说，如果极限lim┬(t→+∞)∫(a)^t f(x)dx存在且有限，则称广义积分∫(a)^+∞ f(x)dx收敛，记为∫(a)^+∞f(x)dx=lim┬(t→+∞)∫(a)^t f(x)dx。
否则，称广义积分∫(a)^+∞ f(x)dx发散。
在计算无界函数的广义积分时，我们需要先对函数进行适当的变形，使得积分变为有限的形式，然后再进行极限的计算。
其次，对于在有限区间上发散的函数，我们可以通过分段积分的方法来进行计算。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上有一个或多个无界点，那么我们可以将积分区间分成若干个有界区间，然后分别计算每个有界区间上的广义积分，最后将这些广义积分的极限相加得到原广义积分的值。
另外，对于奇异点的处理也是广义积分计算中需要注意的问题。
在计算广义积分时，如果积分区间上存在奇异点，我们需要先对奇异点进行适当的处理，例如使用柯西主值等方法，然后再进行积分的计算。
最后，需要注意的是，在计算广义积分时，我们还需要考虑函数的性质、积分区间的选择等因素。
有时候，我们需要对函数进行分解、变形，以便于进行积分的计算。
同时，选择合适的积分区间也是非常重要的，可以通过变量替换、对称性等方法来简化积分的计算。
总之，广义积分的计算方法涉及到许多微积分的知识和技巧，需要我们对函数的性质有深入的理解，熟练掌握各种积分计算方法。
通过不断的练习和实践，我们可以更加熟练地运用广义积分的计算方法，解决实际问题，提高数学建模和问题求解的能力。
高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法
高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法高考数学必绝活：高等数学广义积分计算方法在高考数学中，广义积分的计算虽然不是常见的考点，但一旦出现，往往能拉开考生之间的差距。
掌握广义积分的计算方法，不仅能在高考中多一份胜算，也为后续的高等数学学习打下坚实的基础。
接下来，让我们一起深入探讨高等数学广义积分的计算方法。
一、广义积分的概念广义积分是定积分的扩展，当积分区间为无穷区间或者被积函数在积分区间内有无穷间断点时，就涉及到广义积分。
对于无穷区间上的广义积分，比如积分区间为 a, ＋∞），我们可以写成：∫a, ＋∞） f(x) dx ＝lim b→＋∞ ∫a, b f(x) dx同样，如果积分区间为（∞， b，则广义积分为：∫（∞， b f(x) dx ＝lim a→∞ ∫a, b f(x) dx而对于被积函数在积分区间内有无穷间断点的广义积分，以区间 a,b 上，x ＝c 为无穷间断点为例，广义积分为：∫a, b f(x) dx ＝∫a, c) f(x) dx ＋∫（c, b f(x) dx其中，∫a, c) f(x) dx ＝lim ε→0+ ∫a, c ε f(x) d x ，∫（c, b f(x) dx ＝ lim ε→0+ ∫c ＋ε, b f(x) dx二、常见的广义积分类型及计算方法1、无穷区间上的广义积分（1）形如∫a, ＋∞） x^n dx （n ≠ －1）对于这种类型的广义积分，我们可以使用幂函数的积分公式：∫ x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)） x^（n ＋ 1) ＋ C则∫a, ＋∞） x^n dx ＝lim b→＋∞ （1/（n ＋ 1)） b^（n ＋ 1) （1/（n ＋ 1)） a^（n ＋ 1)当 n ＞－1 时，该广义积分收敛；当n ≤ －1 时，广义积分发散。
（2）形如∫a, ＋∞） e^（px) dx （p ＞ 0）先对被积函数进行积分：∫ e^（px) dx ＝（－1/p) e^（px) ＋ C则∫a, ＋∞） e^（px) dx ＝lim b→＋∞ （－1/p) e^（pb) （－1/p) e^（pa)因为当b → ＋∞ 时，e^（pb) → 0 ，所以该广义积分收敛，其值为（1/p) e^（pa) 。
第五节 广义积分
1 1
例2. 计算广义积分
2
x2 sin x dx.
解:
2
1 x2
sin 1 dx x
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b1
sin
2
x
d
1 x
lim
b
cos
1 b x 2
lim
b
t
f (x) d x
t
t a
例1. 计算广义积分
解:
dx 1 x2
0
dx 1 x2
0
dx 1 x2
lim a
01 a 1 x2
dx lim b
b1 0 1 x2 dx
y
y
1 1 x2
lim a
基本问题： （1）将定积分的概念推广至积分区间 为无限区间； （2）考虑被积函数在积分区间上无界的情形。
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A
lim
b
b 1
dx x2
lim b
lim
0
arcsin
x a
a
0
lim
0
arcsin
a
a
0
2
.
原式
arcsin x a
§5.5 广义积分
dx
的敛散性. 的敛散性 且
1 ≤ 解：因为 (x ≥1), 2 2 x 1+ x x
sin x
所以
∫
+∞
1
1 dx 收敛， 收敛， 2 x
∫
+∞
sin x x 1+ x2
1
收敛， dx 收敛，即
∫
+∞
sin x
2
1
x 1+ x
dx 绝对收敛 绝对收敛.
14
5.5.2 无界函数的广义积分 瑕积分
a → −∞ a
∫
b
f ( x )dx
上有定义， 上有定义，
+∞
f (x ) 在无穷区间 ( −∞,+∞ )
+∞ −∞
∫
f ( x )dx = ∫
c
−∞
f ( x)dx + ∫
c
f ( x)dx
为常数(通常取 其中 c ∈ ( −∞,+∞) 为常数 通常取c = 0). 左端的广义积分收敛 左端的广义积分收敛 左端的广义积分发散 左端的广义积分发散 右端两个广义积分都收敛 右端两个广义积分都收敛 右端两个广义积分至少有一个发散 右端两个广义积分至少有一个发散
连习. 连习 计算 2 解
∫
+∞
dx x x −1
∫2
+∞
x −1 =t +∞ +∞ dx 2tdt = 2 arctan t 1 = π = ∫1 2 x x −1 (t 2 + 1) ⋅ t
2. 无穷限积分的性质 1)若 若 2)若 若
∫
+∞
a
f ( x ) dx 收敛，则 收敛，
第五节 广义积分
∫
+∞
1
1 dx ( p > 0 ) 的收敛性. 的收敛性. p x
解 当 p = 1 时,
当 p ≠ 1时 ,
∫
+∞
1
1 +∞ dx = ln x 1 = +∞ ， 积分发散； 积分发散； x
∫
+∞
1
1 x dx = p x 1− p 1
+∞ 1− p
+ ∞ , p < 1 = 1 p −1, p > 1
f ( x ) dx ( k ≠ 0) 具有 相同的
+∞ a
敛散性； 敛散性 ；
3 设∫
f ( x ) dx 与
∫
g ( x ) dx 都收敛 ， 则
∫
+∞ a
[ f ( x ) ± g ( x )] dx 也收敛 。
16
二、瑕积分
的任一邻域内都无界, 如果函数 f ( x ) 在点 a 的任一邻域内都无界,则称点
−∞
f ( x)dx + ∫
+∞ a
f ( x)dx
注意：上式只有右边两个反常积分均收敛时才有意义。 注意：上式只有右边两个反常积分均收敛时才有意义。
4
例1
讨论下列无穷限积分的敛散性. 讨论下列无穷限积分的敛散性
(1)
∫
+∞ 0
dx 1 + x2
解 对任意 t > 0 , 有
∫
t
0
dx t 2 = arctan x 0 = arctan t , 1+ x
9
例2
∫
+∞ 0
xe d x = − ∫
65广义积分04238
A), 1
1 dx, x
1 B), dx,
1x
C),
1
1 x2
dx,
D),
13
1 dx. x2
2020/6/27
微积分II 第六章定积分
5
类似地, 可定义
并称此极限值为f(x)在
上的无穷积分
收敛.
定义6.5.2 函数 f(x) 在(-∞, +∞)上连续，其广义积分为
其中c为任意实数. 当上式右端两个积分都收敛时, 称广义积分
1 x
|1
2lim(11).
0
从而
发散.
例6 讨论瑕积分
的敛散性
解：因为x = 0为瑕点, 所有当 p = 1时,
当 p ≠ 1时,
综上所述 当 p<1时,
收敛; 当 p≥1时,
发散.
A 以下广义积分收敛的是（ ）
1 1
A), dx, x 0
2020/6/27
B),
1
1dx, x微积分II
是收敛的; 而若
பைடு நூலகம்
和
其中之一
发散, 则广义积分
都是发散的.
为简单起见, 广义积分可以简化为
其中
2020/6/27
微积分II 第六章定积分
6
2.瑕积分
如果函数f(x)在区间[a,b]上无界，即f(x)在[a,b]上的某个点无界， 这个无界点可能是端点可能是a，b之间的某个点。
定义 6.5.3 如果f(x)对某一点 满足 则称 为暇点. 定义6.5.4 设 f(x)在[a, b)上连续, 且x=b 是f(x)的暇点, 若极限
1 C第六)章, 定1积分x2
d
x,
§5.5 广义积分
例1
例2 例3
(6) 2 (3) ( 2 .5 ) ( 0 .5 )
5! 2 2!
5 4 3 2 1 2 2 1
30 0 . 75
1 . 5 (1 . 5 ) ( 0 .5 )
1 .5 0 .5 ( 0 .5 ) ( 0 .5 )
a
b
f ( x ) dx
a
这时也称广义积分
f ( x ) dx 收敛,否则发散.
10
a
类似可定义, 且 设函数 f ( x ) 在 ( a , b ] 有定义， lim
x a
f (x) ,
b
a
f ( x ) dx lim
0
b
a
f ( x ) dx
lim 设函数 f ( x ) 在 [ a , b ]上除点 c ( a c b ) 有定义，
结论
14
例5. 计算
2
dx x x 1
x 1 t, 则
1
解 x 1 是瑕点， 令
2
dx x x 1
1
1
2t t ( t 1)
2
0
dt 2
1 2
1 t 1
dt
0
2 arctan t
1 0
2
4
2
.
P8
16
5.5.3
函数和 函数
广义积分 ( r )
b
lim
b
f ( x ) dx
a
广义积分的求解
广义积分的求解广义积分是高等数学中的一个重要分支，它经常被用于求解一些非解析函数的积分问题。
广义积分也可以被视为普通积分在定义域上的一种扩展，但是它与普通积分最大的不同之处在于其定义域是一个无穷区间。
因此，求解广义积分需要特别谨慎和精确定义积分区间和函数的性质。
本篇文章将探讨广义积分的定义、性质以及求解方法，旨在为广大数学学习者提供一些有益的参考。
一、广义积分的定义广义积分的定义非常简单，它可以被定义为当积分区间为无限区间时，积分的下限和上限中至少有一个为无穷时所得到的积分。
具体地说，设函数f(x)在区间[a,b)上有定义，其中b可以为无穷大，则该函数的广义积分为：∫a^b f(x)dx = lim(t→b)∫a^t f(x)dx其中，当a为负无穷时，广义积分的定义也可以写成：∫-∞^b f(x)dx = lim(t→-∞)∫t^b f(x)dx二、广义积分的性质广义积分和普通积分一样也具有一些非常重要的性质。
下面是一些常见的性质：1. 线性性质：即广义积分满足线性代数的规律，即对于任意常数a和b，有：∫a^b (af(x) + bg(x))dx = a ∫a^b f(x)dx + b ∫a^b g(x)dx2. 保序性质：即对于函数值的大小关系，广义积分也具有类似开区间的保序性质。
也就是说对于a<b<c，若在[a,b)上f(x)≤g(x)，在[b,c)上f(x)≥g(x)，则有：∫a^b f(x)dx ≤ ∫a^b g(x)dx∫b^c f(x)dx ≥ ∫b^c g(x)dx3. 比较定理：广义积分的比较定理是求解广义积分的一个非常重要的工具，它可以将复杂的广义积分问题简化为更为容易求解的问题。
具体而言，比较定理包括下列两个定理：若在积分区间[a, b)上，有f(x) ≤ g(x)，则当广义积分∫a^b g(x)dx 收敛时，广义积分∫a^b f(x)dx 一定也收敛；当广义积分∫a^b f(x)dx 发散时，广义积分∫a^b g(x)dx 一定也发散；若在积分区间[a, b)上，有f(x) ≤ Kg(x)（0<K<1），则当广义积分∫a^b g(x)dx 发散时，广义积分∫a^b f(x)dx 一定也发散。
05--第五节--广义积分.doc
第五节广义积分我们前面介绍的定积分有两个最基本的约束条件：积分区间的有限性和被积函数的有界性. 但在某些实际问题中,常常需要突破这些约束条件. 因此在定积分的计算中,我们也要研究无穷区间上的积分和无界函数的积分. 这两类积分通称为广义积分或反常积分,相应地,前面的定积分则称为常义积分或正常积分.分布图示★无穷限的广义积分★无穷限的广义积分几何解释★例1 ★例2 ★例3 ★例4★例5 ★例6★无界函数的广义积分★例7 ★例8 ★例9 ★例10★例11 ★例12 ★例13★内容小结★课堂练习★习题5-5★返回内容要点一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分例题选讲无穷限的广义积分例1 (E01) 计算广义积分.解对任意的有于是因此或例2 (E02) 判断广义积分的敛散性.解对任意因为不存在,故由定义知无穷积分发散.例3(E03) 计算广义积分.解例4 计算广义积分解原式例5(E04)计算广义积分(p是常数, 且时收敛).解注: 其中不定式例6 (E05) 讨论广义积分的敛散性.证因此,当时,题设广义积分收敛,其值为当时,题设广义积分发散.无界函数的广义积分例7(E06) 计算广义积分解原式例8(E07) 计算广义积分.解故题设广义积分发散.例9(E08) 讨论广义积分的敛散性.证因此,当时,广义积分收敛,其值为当时,广义积分发散.例10 计算广义积分瑕点.解,例11 计算广义积分解此题为混合型广义积分,积分上限为下限为被积函数的瑕点. 令则时,时,于是再令取时时于是注: 本题若采用变换等,计算会更简单,请读者自行解之.例12 (E09) 计算广义积分.解被积函数有两个可疑的瑕点:和因为所以, 是被积函数的唯一瑕点.从而例13计算解分母的阶数较高,可利用到代换,令则再令则课堂练习1. 计算广义积分;2. 判断广义积分的瑕点.科教兴国。
高等数学高数课件 5.5 广义积分
A A
A
值为
f (x)dx的Cauchy主值,记为(V .P.)
f (x)dx.
当 f (x)dx收敛时,显然有
(V .P.) f (x)dx f (x)dx
当 f (x)dx发散时,
它的Cauchy主值可能存在,也可能不存在.
考察广义积分 x dx。 1 x2
(V.P.)
根据万有引力定律, 在距地心x处火箭所受地球引
力为
F GMm
x2
x
其中:G为万有引力常数, M为地球质量,
m为火箭质量. 在地球表面有
GMm mg
x
R2
其中R为地球半径.
o
火箭从地面升到距地心r(r>R)处需要做的功为
r
R
GMm x2
dx
r
R
mgR 2 x2
dx
mgR 2
(1 R
1) r
因此,火箭克服地球引力飞离地球需要做功
lim
b
cos
1 b
cos
2
1.
问题思考
下面广义积分
sin
xdx
的计算过程是否正确？
解
lim
a
sin xdx lim
cosa cosa 0
a a
a
sin xdx 0.
Q
0
sin
xdx
发散
sin
xdx
发散.
若 lim A f (x)dx lim[F ( A) F ( A)] 收敛,则称该极限
F () lim F ( x), F() lim F( x)
x
x
则广义积分可表示为(如果极限存在)
f ( x)dx F ( x) F () F (a)
第五节 广义积分
cos
1 b
cos
2
1.
例3. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散 . 证:当 p =1 时有
ln x
a
当 p ≠ 1 时有
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为 a 1 p ; p 1
b
a
f
( x) dx
F (b) F (c )
F(c )
F (a)
可相消吗?
例6. 计算广义积分
解: Q lim 1 , xa0 a2 x2
显然瑕点为 a , 所以
a
dx
a
lim
dx
0 a2 x2 0 0
a2 x2
lim
0
arcsin
当x
1时
,u 4
, 当x
时
, u
2
,
arctanx 1 x 2 dx
2
u
sec 2 u d u
4
tan 2 u
2 u csc 2udu
4
2
4
u
d cotu
[
u
cot
u
]
2
4
2 cot u d u
4
4
[ln
sinu
]
2
4
1 ln 2
广义积分
f ( x)dx = lim+ ∫
ε →0
b −ε
a
f ( x)dx
设 c 为 f ( x) 在 [a, b] 内的唯一瑕点（ a < c < b ）,我们定义
∫
b
a
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = lim+ ∫
a c
c
b
c −ε 1
ε1 →0
a
f ( x)dx + lim+ ∫
−∞
+∞
主值,记为 P．Ｖ． ∫
+∞
−∞
f ( x)dx . 即 P．Ｖ． ∫
+∞ −∞
+∞
−∞
f ( x)dx = lim
A→ +∞ − A
∫
A
f ( x)dx ，若此极限
值存在，则称广义积分 ∫
f ( x)dx 在柯西主值意义下收敛，否则称为发散．
类似地可定义与瑕积分相应的柯西主值为 P．Ｖ． ∫ f ( x)dx = lim+ ⎡ ∫ a ε →0 ⎢ ⎣a
⑴
∫ε
ε
1
ε 1 1 1 = dx d (ln x) = − 1 3 3 ∫ 2 ln x x ln x ε ln x
ε
1
=0
ε
⑵ 奇函数积分 ∫
x dx = 0 −∞ 1 + x 2
+∞
答 都不正确. ⑴错误的原因是将广义积分当作常义积分去计算. x = 1 是被积函数的无穷间断点,本例的积分是无界函数的广义积分. 正确的解法是
ii. Γ( s )Γ(1 − s ) =
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
cosln
x
x
1
1
sinln
xdx
1
sin(ln x)dx
1 [cosln sin ln ] 1
2
2
1
1
sin(ln x)dx lim[
0
0
] 2
17
例6 dx
0 x(4 x)
1 dx
0 x (4 x) 1
dx x(4 x)
lim[arctan 0
x 2
]1
lim[arctan b
lim
0
b
a f (x)dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
11
设函数 f ( x)在区间[a,b] 上除点外 c 连续，
lim
xc
f
(
x)
,如果两个广义积分ac
f
(
x)dx
和
b
c
f
( x)dx 都收敛，则定义
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
lim arctanb b
2
2
.
5
例3
计算广义积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1 x
b 2
blimcos
1 b
cos
2
1.
6
例4
证明广义积分 1
1 xp
a
0
a2 x2
lim 0
0
dx a2 x2
lim
0
arcsin
x a
a
0
lim
0
arcsin
a
a
0
. 2
13
例 2 证明广义积分
当q 1时发散.
1 0
1 xq
dx
当q
1
时收敛，
证 (1) q 1,
1
0
1 xq
dx
1
0
1 x
dx
ln
x
1 0
,
(2) q 1,
1
0
1 xq
dx
第五节 反常积分（广义积分）
一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、Γ函数的介绍 四、小结
1
一、无穷限的广义积分
无穷限广义积分 f ( x)dx,
b
f ( x)dx,
f ( x)dx,
a
定义 1 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，如
果极限 lim b
b
a
f
(
x
)dx
存在，则称此极限为函数
dx
当
p
1
时收敛，
当 p 1时发散.
证
(1)
p
1,1
1 xp
dx
1
1 x
dx
ln
x
1
,
(2)
p
1,
1
1 xp
dx
x1 p 1 p1
,
p
1
1
,
p1 p1
因此当 p 1时广义积分收敛，其值为 1 ； p1
当 p 1时广义积分发散.
7
例 5 证明广义积分 e pxdx 当p 0 时收敛， a
0 1 ln x
0
1
lim ln(ln 2) ln(ln(1 )) 0
.
故原广义积分发散.
15
3
例4 计算广义积分
dx 2.
0 ( x 1)3
x 1瑕点
解
3 dx
0
2
( x 1)3
1
3
( )
dx
2
0 1 ( x 1)3
1 dx
1 dx
0
2
( x 1)3
lim 0
当 p 0时发散.
证
e pxdx lim
b
e
px
dx
a
b a
blim
e pa p
e pb p
e ap
p
,
,
p0 p0
即当 p 0时收敛，当p 0 时发散.
8
例6
0
x (1 x)3 dx
x 11 0 (1 x)3 dx
1
0 [(1 x)2
1 (1 x)3
]dx
[
1 x 1
f ( x) 在无穷区间[a,) 上的广义积分，记作
a
f
( x)dx.
b
a
f
( x)dx
lim
b
a
f
( x)dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
2
类似
b
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
x 2
]1b
2
18
例7
证明
dx 0 1 x4
0
1 2(1
x)2
]0
1 2
9
二、无界函数的广义积分
定 义 2 设 函 数 f ( x) 在 区 间 (a,b] 上 连 续 ，
而 lim xa
f(ຫໍສະໝຸດ x)，如果lim
0
b a
f (x)dx 存在，
则称此极限为函数 f ( x)在区间(a,b]上的广义
积分，记作
b
a
f
(
x
)dx
.
b
b
a
f
( x)dx
0
2 3 ( x 1) 3
3 dx
1
2
( x 1)3
lim 0
3 dx
1
2
( x 1)3
3 3 2,
3 0
dx
2
( x 1)3
3(1 3 2).
16
1
例5 sin(ln x)dx 0
解
1
sin(ln x)dx
sinln x x 1
1
cos ln xdx
sin
ln
lim[e
b
x
]b0
1 lim(eb 1) b
几何意义
4
例2
计算广义积分
1
dx x
2
.
解
dx
0 dx
dx
1 x2 1 x2 0 1 x2
lim a
0
a1
1 x2
dx
lim
b
b1 0 1 x2 dx
lim arctan
a
x0a
lim arctan
b
x
b
0
lim arctana a
f
( x)dx
0
f
( x)dx
0
f
( x)dx
0
b
lim a a
f ( x)dx
lim b 0
f ( x)dx
当右端两个积分都收敛时, 称积分 f ( x)dx收敛;
否则成为发散.
说 明:
f
(
x)dx
定
义
中
用
任
意c作
中
间
限
也
可.
3
例1 exdx lim b exdx
0
b 0
x1q 1 1 q0
, 1 1 q
,
q q
1 1
因此当q 1时广义积分收敛，其值为 1 ； 1q
当q 1时广义积分发散.
14
例3
计算广义积分
2 dx . 1 x ln x
解
2 dx
1 x ln x
lim 0
2
1
dx x ln x
lim 2 d (ln x) lim ln(ln x) 2
lim
0
f (x)dx
a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
10
类似地，设函数 f ( x)在区间[a,b)上连续，
而
lim
xb
f
(
x)
，如果极限
lim
0
b a
f (x)dx 存在，则
称此极限为函数 f ( x)在区间[a,b)上的广义积
分，
记作
b a
f
(
x)dx
c
b
lim f (x)dx lim f (x)dx
0 a
0 c
否则，就称广义积分ab f ( x)dx 发散.
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
12
a
例1 计算广义积分
dx
(a 0).
0 a2 x2
解 lim 1 , xa a2 x2
x a 为被积函数的无穷间断点.
a dx