玻色子和费米子

玻色子和费米子

粒子按其在高密度或低温度时集体行为的不同可以分成两大类：一类是费米子，得名于意大利物理学家费米，另一类是玻色子，得名于印度物理学家玻色。区分这两类粒子的重要特征是自旋。自旋是粒子的一种与其角动量（粗略地讲，就是半径与转动速度的乘积）相联系的固有性质。量子力学所揭示的一个重要之点是，自旋是量子化的，这就是说，它只能取普朗克常数的整数倍（玻色子，如光子、介子等）或半整数倍（费米子，如电子、质子等）。那么我们到底是怎么来定义波色子和费米子的呢？

首先在介绍波色子和费米子的概念之前我们先来谈谈全同粒子，因为波色子和费米子的定义我们是在有两个全同粒子的系统中给出的。

Ⅰ.全同粒子

全同粒子就是具有完全相同的属性的同类粒子，这个属性包括质量、电荷、自旋等等。在量子力学里，全同粒子是一群不可区分的粒子，又称不可区分粒子。甚至在原则上，它們们都无法被区分。全同粒子包括基本粒子，像电子、光子，也包括合成的粒子，像原子、分子。

再者在全同粒子的基础上，我们再来谈谈对称态和反对称态。

Ⅱ.对称态和反对称态

1.第一种表述

设想有一个由两个全同粒子1和2组成的系统。我们令粒子1处在位置a上，而粒子2处在位置b上，然后测量后的态为|ψ>=|ab>。由于粒子是不可分辨的，所以交换它们之后的态也是不可分辨的，所以|ψ>也可以为|ψ>=|ba>，相对应的就是粒子1在b位置而粒子2在a位置。

假设我们用两个全同粒子来重复做实验：一个在位置a上捕获，而另一个在位置b上捕获。我们测量后得到的态矢量是否仅仅就是|ab>或者是|ba>？答案是：不是任何一个。在物理上，如果有这么两个态|ψ>和α|ψ>，那么我们认为两个态是等价的。我们研究的系统的粒子是全同粒子，我们不能区分到底是粒子1处在a，还是粒子2处在a的位置上，所以我们认为这两个状态也是等价的。根据以上所述，我们可以得出这样一个结论：测量后的态矢量满足以下要求，|ψ(a,b)>=α|ψ(b,a)> ⑴由于在|ab>←→|ba>这个变换下，这两个矢量并不是倍数关系，所以我们可以把测量后的态矢量|ψ(a,b)>表示成：

|ψ(a,b)>=β|ab>+γ|ba> ⑵

同理，我们把粒子交换之后|ψ(b,a)>也可以用一下形式表示：

|ψ(b,a)>=β|ba>+γ|ab> ⑶

把⑵、⑶代入⑴式，我们可得到：

β|ab>+γ|ba>=α(β|ba>+γ|ab>) ⑷

我们知道|ab>和|ba>式相互独立的，所以由上面的⑷式可得到以下关系：

β=αγ，γ=αβ⑸

要使得以上的两个式子成立，我们只能得到：α=1或者α=-1.

由此我们可以构造这样两个态矢量：

①对称态：|ab,S>=|ab>+|ba>

此时α=1

②反对称态：|ab,A>=|ab>-|ba>

此时α=-1

全同粒子可以分为两个类型：波色子和费米子。我们把符合上面对称态的全同粒子叫做波色子；而把符合反对称态的全同粒子称为费米子。

2.第二种表述

同样也是在有一个由2个全同粒子组成的系统中，两粒子1、2分别位于r′和r′′两个位置上，整个系统测量后的状态用波函数ψ(r′,r′′)来描述。显然，两粒子互换位置后的状态应当用ψ(r′′, r′)来描述。现在就要来解决ψ(r′,r′′)与ψ(r′′, r′)之间到底是什么关系?

因为我们研究的系统的粒子是全同粒子，我们不能区分到底是粒子1处在r′，还是粒子2处在r′的位置上，所以我们认为这两个状态也是等价的。也就是说，全同粒子互换位置后不影响概率，这样就意味着：

∣ψ(r′,r′′)∣2 = ∣ψ(r′′, r′)∣2 ①

解此方程，得到两解：

ψ(r′,r′′) = +ψ(r′′, r′) ②

ψ(r′,r′′) = - ψ(r′′, r′) ③

我们把能够满足②式的函数称为具有对称性的函数，而把够满足③式的函数称为具有反对称性的函数。而把具有对称性的波函数的粒子称为波色子，而把具有对反称性的波函数的粒子称为费米子。

Ⅲ.波色子和费米子的性质

我们现在假设在这个有两个全同粒子的系统中，这两个粒子处于同一个态上。对于第一种表述：

①波色子：测量后的态为|ab,S>=|ab>+|ba>=|aa>+|aa>

所以对波色子，显然没什么影响。

②费米子：测量后的态为|ab,A>=|ab>-|ba>=|aa>-|aa>=0

也就是说，测量后的态是不存在的，这样就显得没有意义了。所以这就导出了著名的Pauli不相容原理：两个不可分辨的费米子不可以处在相同的量子态上。

而对于第二种表述也是一样的：

对于r′= r′′，代入②式后得到的是恒等式。波色子显然不受影响；而对于费米子，将之代入③式后得到的只能是零解，表示概率为零，意味着“不可能”。所以说，玻色子的波函数是对称的。费米子要受泡利原理的限制，同一个态上的粒子数不能超过1.

所以总得来说，波色子不受泡利原理的限制；而费米子要受泡利原理的限制。

Ⅳ.总结

试验上解：严格的量子场论当然能解释，不过如果能用一种更简单，但却又更普遍的方法看这个问题会有些不同的意义吧：主要说说费米子吧（因为玻色子的行为从量子力学的角度看还是显然的），很奇怪的是泡利不相容原理，正是因为它，才有统计上的很多奇怪的性质。泡利不相容原理意味着交换后几率幅的变号。这里说一个简单的小实验来验证这种性质。

首先这样一点是明显的：把两个粒子交换一下对波函数的影响和把其中一个的参考系相对于另一个旋转360度，结果都是一样的。这样就可以自己动手来做一个小实验验证这个结论了。准备一个纸条；设想两个粒子的状态就又纸条两端的两个点表示，我们可以通过观察纸条是否扭转来确定参考系是否转动；现在交换纸条的两端，然后尽量让纸条恢复原状，你会发现，枝条的确转过了360度。就是这么简单。交换和旋转的结果是等价的，那么波函数差一个（-1）的相位也就好理解

了。