一阶RC电路零输入响应的求解
(电路分析)一阶电路的零输入响应
一阶电路的零输入响应第 3 节一阶电路的零输入响应零输入响应：电路无外加激励，仅由动态元件的初始储能作用所产生的响应，称为零输入响应（ zero-input response ）。
一、 RC 电路的零输入响应图 5.3-1 （ a ）电路， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 ，讨论换路后时的电容电压、电容电流等响应的变化规律。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电压源 Us 对电容 C 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图5.3-1 （ b ）所示。
时刻，电容电压等于直流电压源的电压 Us ，即时刻，电容与电压源断开，与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图 5.3-1 （ c ）所示。
由换路定则得换路后电容电压的初始值电容电流的初始值为图 5.3-1 （ c ）电路，由 KVL ，可得用积分变量分离法进行求解，得式中，为 RC 电路的时间常数（ time constant ），当 R 的单位为Ω， C 的单位为 F 时，τ的单位是秒（ s ）。
时间常数：时间常数是反映一阶电路过渡过程进展快慢的一个重要的参数，其大小仅取决于电路的结构和参数。
τ越大，响应衰减的速度就越慢；τ越小，响应衰减的速度就越快。
用表示电路换路后的响应，用表示该响应的初始值，则 RC 一阶电路的零输入响应可表示为RC 电路零输入响应的规律RC 电路换路后，各处的零输入响应都是从初始值开始，按指数规律衰减。
衰减得快慢由时间常数τ决定。
二、 RL 电路的零输入响应图 5.3-3 （ a ）是 RL 动态电路。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 。
下面讨论换路后时的电感电流、电感电压等响应的变化规律。
时刻，电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电流源 Is 对电感 L 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图 5.3-3 （ b ）所示。
t=0 时，开关 S 拨到位置 2 ，时，电感与电流源断开，而与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图5.3-3 （ c ）所示。
一阶RC电路的零状态与零输入响应
2022/9/10
2022/9/10
一 四、一过阶渡R过C程电路零输入响应的实例
解： 在开关由位置1拨向位置2的瞬间，电容电压不能越变，因此可得
uC (0 ) uC (0 ) 6V
将连接于电容两端的电阻等效为一个电阻，其阻值为
R 8 6 3 10k 63
的电流为 I0 US R1，
电感中储存一定的 能量。在 t 0，开 关S由位置1拨向位 置2处。
一 三、一过阶渡R过L程电路的零输入响应的分析
一阶RL电路的零输入响应的定性分析
在换路的瞬间，由于电感的电流不能突变，即 iL (0 ) iL (0 ) I0 ， 此时电阻 端电压 uR (0 ) I 0 R 。根据KVL可知，电感上的电压立即从换路前的零值突变
得到如图(b)所示电路，其时间常数为
RC 10103 5106 5102 s 0.05s
uC
t
U0e
6e V 20t
iC
U0
t
e
R
- 6 e20t 10 10 3
0.6e20t mA
一 四、一过阶渡R过C程电路零输入响应的实例
例：电路如下图所示，t 0 时开关由位置1拨向位置2，求 t 0 时
而电阻消耗的能量为
Q
0 uC dq
U 0
S
CuC
duC
1 2
CU
2 S
WR
i 2 Rdt
0
U
2 S
0R
2t
e RC dt
1 2
CU
2 S
由此可见，在充电过程中电源所提供的能量，一半储存在电容的电场中， 一半消耗在电阻上。且电阻上消耗的能量与R无关，充电效率总是50%。
一阶电路零状态响应
S (t = 0)
IS 2Ω
iL 2H
3
② I s = 10 A ， iL ( 0+ ) = 1A ③ I s = 10 A ， iL ( 0+ ) = 5 A 解： τ =
L = 1S R
iL = e − t + 2 (1 − e − t ) = 2 − e − t (A) t>0
① iL ( ∞ ) = I s = 2 A
R 2 C
Us
uc
uc ( 0+ ) = U s uc ( ∞ ) = U s
2V
4Ω
6V
2 = 1A 2 6 = 1A iL ( ∞ ) = 2+4
无过渡过程
无过渡过程 纠错 例 6-5 单刀双掷开关画错了。 例 2 求开关动作后电路中的电流iL。 ① I s = 2 A ， iL ( 0+ ) = 1A
− t RC
+ uC特
求uC特： 令uC特 = B, 代入方程中得B = U s = uc (∞), (t > 5τ 新稳态)。 ∴ uC = A′e 求A′ +Us ∴ A′ = −U s
− t RC
uc
US
O
uc特
uc
0 = A′ + U s
− t RC
∴ uc = U s (1 − e
2.求其他响应
§6-3 一阶电路的零状态响应
一、RC 电路的零状态响应（充电电路） （直流激励下）
1.求换路后uC.
S(t=0)
R Us
i c (t )
C
uc
duC ⎧ + uC = U s ⎪ RC ① 列方程 ⎨ dt ⎪ =0 ⎩uC (0 + ）
初始值的计算,零输入响应,零状态响应,全响应及三要素公式的推导(1)
i R 0 u L 0
, u 0 uS(0+)
R
NR
, i 0 iS(0+) c
uC(0+) iL(0+)
（b）t=0+时等效电路
电路分析基础
3.8 电路初始值的计算
9
计算非独立初始值的具体方法： A、画出t =0+电路，
a、若 若
uc (0 ) uc (0 ) U cs ，
6
以电容上电压为未知变量列写电路的方程。
换路后由图（b）可知，其KVL方程为：
uczi (t ) uRzi (t ) 0
而uRzi(t)=izi(t) R,
izi ( t )
C
d u C zi ( t dt
)
，代入上式可得：
RC
duCzii (0+ )= RI S
则电容用一个电压源UCS代替；
uc (0 ) 0 ， 则电容用短路线代替。
b、若 iL (0 ) iL (0 ) ILs ，
则电感用一个电流源ILS 代替； 若 iL (0 ) 0 ， 则电感作开路处理。
B、现在可用求解电阻电路的各种方法来求解指定的非独立初始值。
电路分析基础
3.8 电路初始值的计算
（或称内部激励）共同作用引起的响应。
f t 0
N
y t
xk 0 0 k1,2,,n
实际上，由线性电路的性质知：
全响应 零输入响应 零状态响应
即：
y t yzi t yzs t
电路分析基础
xk 0 0 k 1,2,,n
3.4 电感的串联和并联
6
思考题
1. 解释电路零输入响应的定义； 2. 解释电路零状态响应的定义； 3. 解释电路全响应的定义；
一阶电路的零输入响应基础知识讲解
R
现象 ：电压表坏了
10V
L
例2 t=0时 , 开关K由1→2，求电感电压和电流及开关两
端电压u12。 解
iL(0 ) iL(0 )
K(t=0) 2
+1
24V
– 4
2 iL 3 4 u+L 6H
－
6
24 6 2A 4 2 3 // 6 3 6
R 3 (2 4) // 6 6
L 6 1s
t>0
iL() 10A
iL (t ) 10(1 e100t )A
10A
+
2H uL Req
iL –
uL(t ) 10 Reqe100t 2000e V 100t
例2 t=0时 ,开关K打开，求t>0后iL、uL的及电流源的端
电压。
5 10
解
这是一个RL电路零状态响 应问题，先化简电路，有：
K(t=0)
10V
+
uV
–
V RV 10k
iL
解 R=10 L=4H
iL (0+) = iL(0－) = 1 A
iL e t/ t 0
L 4 4104 s
RV 10k
R RV 10000
uV RV iL 10000e2500t t 0
iL
uV (0+)=－ 10000V 造成 V 损坏。
－
iL –
u 5I S 10iL uL 20 10e V 10t
储能大 放电电流小
放电时间长
t
t
uc U0e
0
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
2
3
U0 e -2
一阶电路的零输入响应
3、原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输 入响应的线性关系称为零线性。
零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产生的响应，
其形式表示为：
f (t) f (0) et
t 0
式中 f (0) 为变量的初始值 uC (0 ) 或 iL (0 )
为时间常数 RC （电容）
L R
（电感）
一、RC电路的零输入响应
如右图，已知uc(0-)=U0，K于t=0 时刻闭合，分析t≧0时uc(t) 、 i(t)的变化规律。
0
一阶常系数齐次微分方程
其特征根方程：
S 1 0
特征根
RC
1
S
RC
uc (t )
Ae st
1t
Ae RC (t
0)
又有初始条件： uc(0+) = uc(0-) =U0 （换路定理）
1t
uc (t ) U0e RC (t 0)
i(t ) C duc
U0
1t
e RC (t
0)
dt
R
i(t)
E
uL(t)的变化规律。
R0 K R
iL
+ L uL
-
(a) 分析：t<0时已达稳态，L中电流为I0=E/R0
t≧0时，电感以初始储能来维持电流iL (t)（放电）
①
换路后（ t≧0），由KVL有：
L diL dt
RiL (t ) 0
即：
diL dt
R L
iL (t )
0
特征根：
总结rc一阶电路的零输入响应
总结rc一阶电路的零输入响应
RC一阶电路是电子电路中常见的一个电路，它指由一电阻(R)和一电容(C)串联组成的电路。
在电路中加入一个电源后，由于这种电路的特性，电容器会在电路上开始充电，从而转化为一个开环档位，对于这个开环档位，可以对它的零输入响应进行详细的分析。
零输入响应是指在没有输入信号的情况下，电路的输出变化情况。
在RC一阶电路中，当没有输入信号时，可以将电路简化为一个纯电容充放电的过程，其响应的特性主要由电容器本身的性质决定。
电容器的充放电过程可以用微积分的方法求解，具体表现为：
Q(t)=C*Vc(t)
其中Q(t)表示电容器储存的电量，C是电容量，Vc(t)是电容电压。
由上式可以得到Vc(t)=Q(t)/C，代入一阶RC电路中的基尔霍夫第二定律中，可以得到如下微分方程：
Vc(t)/R + C*dVc(t)/dt = 0
将该微分方程分离并积分后，可以得到如下的零输入响应方程式：
其中，Vc(0)表示电容电压初值。
上述方程说明，当RC电路没有输入信号的时候，其输出变化的过程受到电容器充放电的影响，根据RC电路的特性，电容器的电压呈指数级下降。
而速度由RC的参数决定。
需要注意的是，由于电容器的电压馈入电路，导致电路内部存在电势差，所以在实际电路中还会存在一定的漂移电流。
漂移电流会影响电容器储存电荷的过程，从而影响RC电路的响应速度，需要在电路设计过程中加以注意。
研究RC一阶电路的零输入响应，对于理解RC一阶电路的基本特性非常重要。
了解了这个基本特性后，我们可以在实际电路应用中更加轻松地设计和优化RC电路，以便更好地满足设计要求。
RC一阶电路的响应实验
实验RC一阶电路的响应及其应用一、实验目的1. 测定RC一阶电路的零输入响应、零状态响应及完全响应。
2. 学习电路时间常数的测量方法，了解微分电路和积分电路的实际应用。
3. 进一步熟悉示波器的使用，学会用示波器测绘图形。
二、原理说明一阶电路的过渡过程是由于电路中有一个电容或电感逐步储存或释放能量的渐变过程引起的，该过渡过程是十分短暂的单次变化过程，对时间常数τ较大的电路，可用慢扫描长余辉示波器观察光点移动的轨迹。
然而能用一般的双踪示波器观察过渡过程和测量有关的参数，必须使这种单次变化的过程重复出现。
为此，我们利用信号发生器输出的矩形脉冲序列波来模拟阶跃激励信号，即令方波输出的上升沿作为零状态响应的正阶跃激励信号；方波下降沿作为零输入响应的负阶跃激励信号。
只要选择方波的重复周期Ｔ与电路的时间常数τ满足一定的关系，它的响应和直流电源接通与断开的过渡过程是基本相同的。
1. RC电路的过渡过程其电路组成和响应波形如图11-1所示。
状态响应图11-1RC一阶电路及其响应波形零输入响应：设ｕC(0)＝Uo，开关由1→2，换路后ｕC(t)＝Use－t/τ，ｔ≥０,零状态响应：ｕC(0)＝0，开关由2→1，换路后ｕＣ(t)＝Us（1－e－ｔ／τ），ｔ≥０RC 一阶电路的零输入响应和零状态响应分别按指数规律衰减和增长，其变化的快慢决定于电路的时间常数τ（τ＝RC）。
2. 时间常数τ的测定用示波器测定RC 电路时间常数的方法如下：在RC 电路输入矩形脉冲序列信号，将示波器的测试探极接在电容两端，调节示波器Y轴和X轴各控制旋钮，使荧光屏上呈现出一个稳定的指数曲线如图11-2所示。
根据一阶微分方程的求解得知当t ＝τ时，ｕC(τ)＝0.632Us 设轴扫描速度标称值为Ｓ(s /cm)，在荧光屏上测得电容电压最大值U cm＝U s＝a(cm)在荧光屏Y轴上取值ｂ＝0.632×ａ(cm)在曲线上找到对应点Ｑ和Ｐ，使PQ＝ｂ测得OP＝n (cm)则时间常数τ＝Ｓ(s/cm)×n(cm)亦可用零输入响应波形衰减到0.368Us时所对应的时间测取。
电路理论：一阶电路的零输入响应
零输入响应(Zeroinput response )：激励(电源)为零，由初 始储能引起的响应。
一、 RC电路的零输入响应 (C对R放电)
S(t=0) i
+
C uC
–
+
R uC
–
i C duC dt
uC
RC duC dt
0
uC (0)=U0
解答形式 uC(t)=uC"=Aept (特解 uC'=0)
1
p
从理论上讲 t 时,电路才能达到稳态. 单实际上一般认
为经过3 5 的时间, 过渡过程结束,电路已达到新的稳态。
t 0
2
3
4 5
t
uc U0e
U0
0.368U0
0.135U0
0.05U0
0.02U0
0.007 U0
能量关系：
C
R
C的能量不断释放, 被R吸收, 直到
全部储能消耗完毕.
WR
由特征方程
Lp+R=0
得
pR L
由初值 i(0+)=i(0)= I0 得 i(0+)=A= I0
解答
Rt
iL(t) I0e L
(t 0)
Rt
iL(t) I0e L
(t 0)
I0 iL
uL(t)
L diL dt
R t
RI 0e L
(t
0)
O uL
t
O
(1) iL, uL 以同一指数规律衰减到零；
iL I0e L
R
R
t
t
uV RiL RV I0e L 875e L kV
RC一阶电路的响应测试实验内容
实验五RC—阶电路的响应测试一、实验目的1.测定RC-阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应。
2.掌握有关微分电路和积分电路的概念。
3.学会时间常数T的测定方法。
4.进一步学会用示波器观测波形。
二、原理说明图5」所示的矩形脉冲电压波5可以看成是按照一定规律定时接通和关断的直流电压源U。
若将此电压5加在RC串联电路上（见图5.2）,则会产生一系列的电容连续充电和放电的动态过程，在5的上升沿为电容的充电过程，而在5 的下降沿为电容的放电过程。
它们与矩形脉冲电压5的脉冲宽度匕及RC串联电路的时间常数T有十分密切的关系。
当5不变时，适当选取不同的参数，改变时间常数T,会使电路特性发生质的变化。
图5.1矩形脉冲电压波形图5.2 RC串联电路图1 • RC 一阶电路的零状态响应所有储RC喚+ u - U °的电路％（t） = U 卢响应。
电路的微分方程为：RC dt +%-U叫其解为（• 忒八一丿，式中，T=RC为该电路的时间常数。
2.RC-阶电路的零输入响应电路在无激励情况下，由储能元件的初始状态引起的响应称为零输入响应。
电路达到'* ciu c- •'器经R放I V各响应为零输入响应。
电路的微分方程为：RC盂十％"其解为％（t）= U m e \RC —阶电路的零输入响应和零状态响应分别按指数规律衰减和增长（如图5.3 所示），其变化的快慢决定于电路的时间常数T。
3.时间常数T的测定方法方法一：在已知电路参数的条件下，时间常数可以直接由公式计出，T=RC。
方法二：对充电曲线（零状态响应），电容的端电压达到最大值的1二（约0.632）倍时所需要的时间即是时间常数T。
如图5.3 （a）所示，用示波器观测响应波形, 取上升曲线中波形幅值的0.632倍处所对应的时间轴的刻度，计算出电路的时间常数：丫 =扫描时间X 0P其中，扫描时间是示波器上x轴扫描速度开关“t/div”的大小。
一阶电路的零输入响应
202J
5000μJ
电阻耗能
WR
∞Ri2dt
0
t 250103 (80et )2dt 800μJ
0
(5800 5000) μJ
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2. RL电路的零输入响应
iL (0 )
iL (0 )
US R1
R
I0
L diL dt
RiL
0
t 0
+ R1 US
-
特征方程 Lp+R=0
0
∞
0 (I0e
t L/R
)2
Rdt
I
2 0
R
∞
e
2t
L/ Rdt
0
I
2 0
R(
L/R 2
e
2t RC
∞
)
0
1 2
LI02
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例2-3 t=0时,打开开关S，求uV 。电压表量程：50V。
S(t=0)
R=10 解
+ uV 10VVFra bibliotekRViL
L=4H
iL (0+) = iL(0－) = 1 A
等效电路 5F + i1
t >0
－uC 4
解 这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有
t
uC U0e RC t 0
U0 24 V RC 5 4s 20 s
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S
i1
5F + 2
i2
－uC
3 6 i3
5F + i1 －uC 4
t
uC 24e V 20
t
i1 uC 4 6e A 20
阶电路的零输入响应
u C ( 0 _) R 3 i3 ( 0 _) 4 2 8 V
由换路定律，得
u Cx ( 0 ) u C ( 0 ) 8 V
画出0+时刻等效电路如图(b)所示，由欧姆定律可得 8 8 i1 x ( 0 ) 1 .6 A R1 R 2 3 2
i3 x ( 0 )
图 4.3-3 例 4.3-1 图
解 (1) t＜0时电路已处于直流稳态， 电容C可视为开路， 故有
R ' R1 //( R 2 R 3 ) 3 //( 2 4 ) 2 i3 ( 0 _) R1 R1 ( R 2 R 3 ) Us Rs R2 ' 3 9 30 3 2 2A
t t
8e
t 10 t 10
V A
t≥0
t≥0 t≥0
t
1 .6 e 2e
i3 x ( t ) i3 x ( 0 ) e
t 10
A
(2) 电容元件初始储能wC（0＋）、电阻元件R1和R2上耗能 ω1,2、R3上耗能ω3分别为
wC ( 0 ) w1, 2 w3 1 2 Cu ( 0 )
1
换路后，电容储能通过电阻R放电，在电路中产生零输入响应。
随着放电过程的进行，电容初始储能逐渐被电阻消耗， 电路 零输入响应则从初始值开始逐渐衰减为零。
2
图 4.3 – 1 一阶RC电路的零输入响应
按图4.3-1(a)中设定的电流、电压参考方向，写换路后电 路的KVL方程为
Ri+uC=0
将电容元件伏安关系
8 R3
8 4
一阶电路的零输入响应零状态响应全响应
例1：电路如图，开关S闭合前电路已处于稳态。
t=0时S闭合，试求：t >0时电容电压uC和电流iC、
i1和i2
解：用。三要素法求解
求初始值 uC (0 )
1
+ 6V
- t=0
2
S
1
u
C
+
C
2
3
- 5μF
由t=0-时电路
uC(0)12 6333V +
uC(0)uC(0)3V
6V -
1 2
i(0 )
3
+ uC-(0 )
1.5e 5 1.7 15 0 tA
2021/6/7
31
第四章 动态电路的时域分析
例2 t<0时电路处于稳态。t=0时S1打开，S2闭合。求电容 电压uC和电流i.
解: (1) 求uC(0+)和i(0+). t=0-时，电容C相当于开路，故
u C (0)R R 11 R R 33Is3 3 6 636 V
求电容电压u第四章动态电路的时域分析33第四章动态电路的时域分析34第四章动态电路的时域分析35第四章动态电路的时域分析36第四章动态电路的时域分析37据换路定则可求得时开关合上由图b求出第四章动态电路的时域分析382求稳态值2010第四章动态电路的时域分析391020第四章动态电路的时域分析404代入三要素公式得出或者第四章动态电路的时域分析41rlrl直接从直流电源断开直接从直流电源断开可能产生的现象可能产生的现象1刀闸处产生电弧刀闸处产生电弧2电压表瞬间过电压电压表瞬间过电压第四章动态电路的时域分析42解决措施解决措施接续流二极管接续流二极管vvdd接放电电阻接放电电阻第四章动态电路的时域分析43图示电路中rl是发电机的励磁绕组其电感较大
一阶电路的零输入响应和零状态响应
(t )
uc(t)的微分方程及其求解 R duc RC uc U s + 由KVL dt US uc ( 0) 0
非齐次一阶微分方程的解为：
2.
ic C + uc -
uc ( t ) uch ( t ) ucp ( t )
st t Ke RC
t0
R0
t=0 i + + R uR C uc -
+ -
U0
R0
t=0 i + + R uR C uc C + uc -
i + R uR -
+ -
U0
1、换路前后，电路的物理过程
t 0, uc (0) U 0
t 0 时，uc ( 0 ) U0，i ( 0 ) 0，uR ( 0 ) 0
可写成
并不是所有变量的零状态响应都是从零值趋于稳 态值，例如 ic(t) 是从其初始值按指数规律衰减到 零。这是上图电路中 ic 本身性质所确定的。
uc ( t ) uc ( )(1 e
t
)
。
例 图示电路，2A电流源在t=0时加于电路， u(0)=0，求i1(t)，t>0，并画出其波形。 4 i2
2. 电路的微分方程及其求解
i
设响应为 uc(t) + + uc uR 0 C uc R uR duc uR Ri RC t 0, uc (0) U 0 dt duc RC uc 0，t （齐次微分方程） 0 dt 及uc ( 0) U 0 一阶齐次微分方程的解为 uc ( t ) Ke 式中K是由初始条件确定的待定常数，S 是特征方程的特征根。
电路一阶电路的零输入响应-精品文档
d i L Ri 0 t 0 d t
pt i(t) Ae
特征方程 Lp+R=0
R 特征根 p = L
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数A
A= i(0+)= I0
pt 得 i ( t ) I e I e 0 0
1 CU 2
2 0
-
C
电容放出能量
电阻吸收（消耗）能量
W R
0
t 2t 2 U U 2 RC ( 0e RC)2 Rdt 0 i Rdt e dt 0 0 R R
U RC ( e R 2
2 0
2 t RC 0
)|
1 2 CU 0 2
二. RL电路的零输入响应
解 （ 1） t≥0 电路如图（ b）所示 ,为一 RL 电路。
L 0 . 4 5 4 10 s 3 R R 10 V 10
例:L=0.4H, R=1Ω, US=12V, RV=10kΩ, 量程为50V。 L 0 . 4 5 4 10 s 3 R R 10 V 10
S(t ＝ 0) i C ＋ － uC
du C u Ri , i C R dt
一.RC电路的零输入响应
＋ R uR －
设
du C RC u 0 C dt
pt u A e C
( t 0 )
一阶微分方程
特征方程 1 p RC
RCp 1 0
uC Ae
1 RC
S(t ＝ 0) i C ＋ － uC
uC (t1 ) t 2 t1 tan t uC (t1 ) U 0e t1 duC (t ) 1 t t1 U e 0 dt
rc零状态响应公式
rc零状态响应公式1. 一阶RC电路零状态响应公式推导。
- 对于一阶RC电路，设电路的输入为阶跃电压u_s = Uvarepsilon(t)（varepsilon(t)为单位阶跃函数），初始时刻电容电压u_C(0 - )=0。
- 根据KVL（基尔霍夫电压定律），u_R+u_C = u_s，又因为i = C(du_C)/(dt)，且u_R = Ri，所以RC(du_C)/(dt)+u_C = u_s。
- 这是一个一阶线性非齐次常微分方程，其解u_C(t)由齐次方程的通解u_Ch(t)和非齐次方程的特解u_Cp(t)组成。
- 对于齐次方程RC(du_C)/(dt)+u_C = 0，其特征方程为RCs + 1=0，解得s=-(1)/(RC)，所以齐次通解u_Ch(t)=Ae^-(t)/(RC)。
- 非齐次方程的特解，由于u_s = Uvarepsilon(t)为常数，所以特解u_Cp(t)=U。
- 那么u_C(t)=u_Ch(t)+u_Cp(t)=Ae^-(t)/(RC)+U。
- 利用初始条件u_C(0 + ) = u_C(0 - ) = 0，可得0 = A+U，即A=-U。
- 所以一阶RC电路零状态响应的电容电压公式为u_C(t)=U(1 - e^-(t)/(RC))，电流i = C(du_C)/(dt)=(U)/(R)e^-(t)/(RC)。
2. 二阶RC电路零状态响应（以串联RLC电路为例简单说明）- 对于串联RLC二阶电路，其电路方程为LCfrac{d^2u_C}{dt^2}+RC(du_C)/(dt)+u_C = u_s。
- 在零状态下u_C(0 - ) = 0，i(0 - )=(du_C)/(dt)(0 - ) = 0。
- 设u_s = Uvarepsilon(t)，先求齐次方程LCfrac{d^2u_C}{dt^2}+RC(du_C)/(dt)+u_C = 0的通解。
- 其特征方程为LCs^2+RCs + 1 = 0，解得s_1,2=frac{-R±√(R^2)-4L/C}{2L}。
8.3.1一阶RC电路的零输入响应
一阶电路：可用一阶常微分方程描述的电路。
零输入响应：换路后无独立源的电路中，仅 由储能引起的响应。
1. RC 电路的零输入响应 +C u -R C i C -+Ru 0R C u u -+=0(0)C u U -=C u 0U S(0)t =R C +-a bC C Ri u -+R C u u -+=d 0d C C u RC u t=+=0(0)(0)C C u u U +-==d 0d C C u RC u t +=10RCp +=特征方程1p RC =-e e tptRC C u A A -==通解 特征根 +C u -RC i C -+R u00(0)e C u A A U +===确定AC u =0d e (0)d tC RCC u U i C t t R -=-=>0(0)e e (0)t tRC RC C u U t --+=≥解得 Cu R=t = 0处不连续2. 分析u c (t)和 i c (t)的变换规律 Ot0U Cu (a)O t C i R U 0(b)0e (0)tRC C u U t -=≥0e (0)t RC C U i t R-=>u C 和i C 的衰减速率取决于RC 之积 。
令 时间常数 (单位：s)RC τ=0 … 0.007U 00.018U 0 0.05U 0 0.135U 0 0.368U 0 U 0 u C (t ) ∞ …5τ 4τ 3τ 2τ τ 0 t τ 对放电时间的影响U 0u CO t U 0.3680τ3τ2τ1不同τ 值的 u C<<τττ123有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）22C C W Cu =电容储能越多 C 越大τ 越大 2/R p u R =R 越大 电阻消耗功率越小放电时间越长222000001()d ()d (e )d 2t RC R C U p t t i t R t R t CU R +++-∞∞∞===⎰⎰⎰电阻所消耗的能量 2220111(0)(0)(0)222C C C W Cu Cu CU ++-===电容的原始储能。
一阶RC电路分析
3.3 RC电路的响应经典法分析电路的暂态过程，就是根据鼓励通过求解电路的微分方程以得出电路的响应。
鼓励和响应都是时间的函数所以这种分析又叫时域分析。
RC电路的零输入响应零输入响应------无电源鼓励，输入信号为零。
在此条件下，由电容元件的初始状态u C〔0+〕所产生的电路的响应。
分析RC电路的零输入响应，实际上就是分析它的放电过程。
如图(RC串联电路，电源电压U0)。
换路前，开关S合在位置2上，电源对电容充电。
t=0时将开关从位置2合到位置1，使电路脱离电源，输入信号为零。
此时，电容已储有能量，其上电压的初始值u C〔0+〕=U0；于是电容经过电阻R 开场放电。
根据基尔霍夫电压定律，列出t≥0时的电路微分方程RCdu C/dt+u C=0式中i=Cdu C/dt令式的通解为u C=Ae ptpt得微分方程的特征方程RCp+1=0其根为p=-1/RC于是式的通解为u C=Ae-1t/RC定积分常数A。
根据换路定那么，在t=0+时，u C〔0+〕=U0，那么A=U0。
所以u C= U0e-1t/RC= U0 e-1/τ------ C图3.3.1RC放电电路-+-U+u C-t=0+u CSiR其随时间变化的曲线如下列图。
它的初始值为U 0，按指数规律衰减而趋于零。
式中，τ=RC 它具有时间的量纲，所以称电路时间常数。
决定u C 衰减的快慢。
当t=τ时， u C = U 0e -1=U 0/2.718=36.8%U 0 可见τ等于电压u C 衰减到初始值U 0的36.8%所需的时间。
可以用数学证明，指数曲线上任意点的次切距的长度都等于τ。
以初始点为例〖图〔a 〕〗du C /dt=-U 0/τ 即过初始点的切线与横轴相交于τ。
从理论上讲，电路只有经过t=∞的时间才能到达稳定。
但是，由于指数曲线开场变化较快，而后逐渐缓慢，如下表所列 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ e -1 e -2 e -3 e -4 e -5 e -6 o.3680.1350.0500.0180.0070.002所以，实际上经过t=5τ的时间，就足以认为到达稳态了。
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第3章第1部分
在本次课中，我们将介绍三相交流发电机 的原理、三相电压的特点、对称三相电路的 分析方法等。
相关知识点与学习目标
本课涉及三相电压的形式及其特点、三相电源的联 接方式、对称三相电路的特点 3个知识点，通过本课 学习，应懂得应用实践中将多个正弦电源组合应用的 必要性，理解三相电压的形式及其特点，掌握三相电 源星形联接、三角形联接的方法及其特点
三．对称Y-Y联接三相电路
三相负载也有星形 接法。星形电源常 与星形负载联接 （Y-Y联接） 对称三相电源和对称 三相负载相联接，称 为对称三相电路
若每相负载都相同，称 为对称负载
各相负载的电流称为相电流，端线中的 电流称为线电流 Y-Y联接三相电路中，线电流等于相 电流
三相电源向外 引出了四根导线， 所以这种输电方 式为三相四线制
在对称YY电路中， 负载中点与 电源中点是 等电位点 （解释，见 书P105） ， 各相电路相 互独立，三 相电路可归 结为单相 （通常为A 相）的计算 （例题、下 一例题 ）
因为负载中点与电源中点是等电位点， 所以在对称Y-Y电路中，流过中线的电流 为0，如同开路（解释），中性线在许多 场合下可以不要。 这种输电方式称为三相三线制
第3章三相电路的应用与电路的暂态分析
本章内容为次重点教学内容，对应教材第3、 4章； 学习本章应重点理解三相电压的形式及其 特点，能对简单的三相电路进行计算；理解 动态电路初始值、时间常数、零输入响应、 零状态响应、全响应等动态电路分析基本概 念，能运用三要素法求解简单电路，懂得安 全用电的此相 隔120°。当转子以角速度ω顺时针 旋转时，将在三相绕组产生频率相 同、幅值相同，彼此间的相位相差 120°的三相电压
三相电 压的时间 表达式 三相电 压的相量 表达式
转 子
定 子
三个频率相同、幅值 相同、彼此相位相差 120°的电压，称为对 称三相电压
相电流可由相电压相量求出，根据基尔霍夫 电流定律的相量形式，可以写出线电流与相电 流间的关系（解释），由此可做出电流相量图 如上（MATLAB仿真分析图
可见，线电 流也是一组 对称正弦量， 线电流滞后 相电流30O
线电流相电流有 效值关系
【例1】(书P109-例3.3.2)
六．本部分的重点 重点：
必须指出，三相电源各绕组作三角形联接时，每相始端、 末端应联接正确，否则三个相电压之和不为零，在回路内 将形成很大的电流而烧坏绕组
五．对称△-△联接三相电路
三相对称△-△联接三相电路 如下图 但线电流 并不等于 相电流
由于每相负载直接联接 在每相电源的两端线之间， 所以三角形联接的线电压 等于相电压
上一课内容回顾
三相电源有星形、三角形两种联接方式，三相负载也存在星形、 三角形两种联接方式，负载星形联接的三相电路线电流等于相电 流，电压相量图如左上： 在对称Y-Y三相电路中，负载中点 与电源中点是等电位点，流过中 线的电流为零，每相电路相互独 立，对称Y-Y三相电路可归结为单 相的计算
一．三相电压的产生
三相电压由三相 交流发电机产生 其发电原理是电磁感 应（变化的磁场产生 变化的电场）
转子是一个磁极，当转子 以角速度ω顺时针旋转时， 产生变化的磁场，将在三 相绕组产生感应电压
定 子 定子的槽 中嵌有三组 绕阻，每组 称为一相， 分别称为A 相、B相和 C相 工艺上保证定子与转子之间磁 感应强度沿定子内表面按正弦 规律分布。在各相绕组的始端 和末端间产生随时间按正弦规 律变化的感应电压
四．三相绕组的三角形联接
如果将发电机的三个 定子绕组的始端，末 端顺次相接再从各联 接点向外引出三根导 线，称为三角形联接 相量图如
三角形接法没有中点， 对外只有三个端子 一般情况下， 三角形联接的 三相电源电压 是对称的，所 以，回路电压 相量之和为零
图3-1-7
显然，三角形联接的三相电 源的线电压、相电压相同
电压源的连接方式
对称三相负载连接
二．三相绕组的星形联接
三相电源相当于三 个独立的正弦电源
在实践应用中，三相发 电机的三相绕组一般都要 按某种方式联接成一个整 体后再对外供电
A、B、C三端分别向外引出 三根导线，称为端线，俗称 火线 如果把发 电机的三个 定子绕组的 末端联接在 一起，对外 形成A、B、 C、N四个 端，称为星 形联接
三相电压的特点、对称三相电路的分析
七．思考题1 思考题2
第三章第2部分
在本次课中，我们将介绍三相电路的功率、 三相电路的计算、发电、输电及工业企业配 电及安全用电等。
相关知识点与学习目标
本课涉及对称三相电路的计算、工业企业配 电与安全用电2个知识点，通过本课学习，能对 简单的对称三相电路进行计算，了解工业企业 配电及安全用电知识。
义如式3-1-1 ，相量 图如图3-1-2
相电压、线电压都是同 频率的正弦量，相量图 如图3-1-5（MATLAB 仿真分析图）（解释）
图中假定相电压有效值为 220V
端线A、B、C之间的电压（火线 与火线之间的电压）称为线电压， 其有效值用UAB、UBC、UCA表示， 一般通用Ul表示。 可见，三相线电压也是一组对称正 弦量，线电压超前相电压30O ，有
中点N引出的导线称 为中线或零线
星形联接的三相电源（简称星形电源） 的每一相电压（火线与零线间的电压）称 为相电压，其有效值用UA、UB、UC表示， 一般通用Up表示。
相电压的定义如 式3-1-1 ，相量图 如图3-1-2
A、B、 C三 端端 线俗 称火 线
中点N引出的导线称 为中线或零线 相电压的有效值用UA、 UB、UC表示，一般通用 Up表示。相电压的定
三相电路中的电源一般都是对称的
三相电 压的时间 表达式
对称三相电压的相量图及波 形如图3-1-2、图3-1-3
三相电压的相 量表达式
上述三相电压到达正幅值（或相应零值）的先后次序称为 相序。
图3-1-2示三相电压的相序为A→B→C，称为正序或顺序。与
此相反，如B相超前A相120°，C相超前B相120°，这种相序 称为负序或逆序。今后如无特殊声明，均按正序处理 由相量式知，上面定义的三相电压的相量和为0