含字母参数的二次函数问题

含字母参数的二次函数问题

引入

1.什么是函数？

2.我们已经学过哪些函数？

3.对于函数我们需要掌握哪些知识？

二次函数知识点回顾

1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2

++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2

用配方法可化成：()k h x a y +-=2

的形式，其中

a

b a

c k a b h 4422

-=-=，.

3.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

-+

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a

b

x 2-

=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2

的形式，得到顶

点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.

4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2

ax y =；②k ax y +=2

；③

()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2

；⑤c bx ax y ++=2.

它们的图像特征如下： 开口大小与｜a ｜成反比，｜a ｜越大，开口越小；｜a ｜越小，开口越大. 5.用待定系数法求二次函数的解析式:

（1）一般式：c bx ax y ++=2

.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 6.二次函数与一元二次方程的关系：

（1）一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数c bx ax y ++=2

当函数y 的值为0时的情况． （2）二次函数c bx ax y ++=2

的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、

没有交点；当二次函数

c bx ax y ++=2

的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2

＋bx ＋c=0的根．

（3）当二次函数c bx ax y ++=2

的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2

的图象与x 轴有一个交点时，则一元

二次方程02

=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数y ＝ax 2

+ bx+c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程02

=++c bx ax 没有实数根．

练习1．请你利用配方法求下列函数的对称轴和顶点坐标。

（1）2

25y x x =++ （2）2

261y x x =+-

（3）(2)(5)y x x =++ （4）(23)(1)y x x =+-

练习2．请你将2

y ax bx c =++配方并完成下列问题：

（1）0a >时，① ____x =时，y 取最小值，min ____y =；

② 2b

x a <-

时，y 随x 的增大而 . ③ 2b

x a

>-时，y 随x 的增大而 .

（2）0a <时，① ____x =时，y 取最大值，max ____y =；

② 2b

x a <-时，y 随x 的增大而 . ③ 2b

x a

>-时，y 随x 的增大而 .

练习3．求下列二次函数与x 轴的交点坐标

（1）2

25y x x =++ （2）2

261y x x =+-

（3）(2)(5)y x x =++ （4）(23)(1)y x x =+-

中考链接

1. （2018杭州中考22题，12分） 设二次函数

（a ，b 是常数，a≠0）

（1）判断该二次函数图象与x 轴交点的个数，说明理由．

（2）若该二次函数的图象经过A （-1，4），B （0，-1），C （1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；

（3）若a+b ＜0，点P （2，m ）（m>0）在该二次函数图象上，求证：a ＞0．

2. （2017杭州中考22题，12分）

在平面直角坐标系中，设二次函数y 1=（x+a ）（x -a -1），其中a ≠0。 （1）若函数y 1的图象经过点（1，-2），求函数y1的表达式；

（2）若一次函数y 2=ax+b 的图象与y1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的关系式；

（3）已知点P （x 0，m ）和Q （1，n ）在函数y 1的图象上，若m ＜n ，求x 0的取值范围。

3. （2016杭州中考22题，12分）

已知函数()212,0y ax bx y ax b ab =+=+≠.在同一平面直角坐标系中.

（1）若函数1y 的图像过点（-1,0），函数2y 的图像过点（1,2），求a ，b 的值. （2）若函数2y 的图像经过1y 的顶点.①求证：20a b +=；②当3

12

x <<时，比较1y ,2y 的大小.