二进制数在经典数学题中的应用-精选教育文档

二进制数在经典数学题中的应用

当代电子计算机的核心之一就是使用二进制数。早在1673年，27岁的德国数学家布莱尼兹在研究计算机模型时就认识到了二进制数的重要性，并系统地提出了二进制数的运算法则。二进制数不仅在电子计算机中得到了广泛的应用，而且在实际生活中也得到了广泛的应用，尤其是在解决一些比较复杂的数学题时，更是发挥了重要的作用。本文笔者简要介绍了一下二进制数的概念以及应用原则，并以两个经典数学题为例分析了二进制数在经典数学题中的应用。

一、二进制数的概念

下面我们以十进制数为例，来认识一下二进制数。十进制数是以十为基底的进位计数制，十进制数是使用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个有序的数字符号及一个小数点符号来表示的，而且是“逢十进一”，即各相邻位的“权”（所谓权，指的是在进位数制中，为了确定一个数位的实际数值必须乘上的因子）之比都固定为“10”。以此为基础再来看二进制数，从进位计数制的理论观点来看，在所有可能的基底中，二进制数最小的基底是2。在二进制数中，只有数字符号0和1及一个小数点符号，并且是“逢二进一”，各相邻位的“权”之比为“2”。无论是刚才介绍的十进制数还是二进制数，都属于进位计数制，它们各相邻位的“权”之比都是固定的。

二、二进制数的运算规则

二进制数的运算不仅包括算术运算，而且还包括逻辑运算。在算术运算上，二进制数与十进制数一样，同样可以进行加、减、乘、除四则运算。二进制数的逻辑运算则是指对因果关系进行分析的一种运算。逻辑运算的结果并不表示数值大小，而是表示一种逻辑概念。常见的二进制数的逻辑运算有“与”“或”“非”和“异或”4种。

1.二进制数的四则运算法则

加法：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0（向高位进位）；

减法：0-0=0，0-1=1（向高位借位），1-0=1，1-1=0；

乘法：0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1；

除法：0÷1=0，1÷1=0。

2.二进制数的逻辑运算规则

若干位二进制数组成逻辑数据，位与位之间无“权”的内在联系。对两个逻辑数据进行运算时，每位之间相互独立，运算是按位进行的，不存在算术运算中的进位和借位，运算结果仍是逻辑数据。

与：用符号“∧”来表示0∧0=0，0∧1=0，1∧0=0，1∧1=1；

或：用符号“∨”来表示0∨0=0，0∨1=1，1∨0=1，1∨1=1；

非：常在逻辑变量上面加一横线表示=1，=0；

异或：用符号“”来表示 00=0，01=1，10=1，11=0。

三、二进制数在经典数学题中的应用

1.经典例题一

二进制数在位数相同的时候没有十进制数所表示的数值大，有时为了表示一个很小的数却需要用很长的一行表达式。如79，用二进制数表示则为1001111。但是在解决一些数学问题的时候，有时候采用二进制数反而会比较简洁明了，便于计算。在学习数学的时候我们都会接触到“放麦粒”这一经典例题，在解决这一问题的时候就比较适合用二进制数。下面就来具体分析一下二进制数在这道经典数学题中的应用。

传说国际象棋是舍罕王的宰相西萨?班?达依尔发明的，他把这个有趣的娱乐品进贡给国王。舍罕王对于这一奇妙的发明异常喜爱，决定让宰相自己要求得到什么赏赐。西萨并没有要求任何金银财宝，他只是指着面前8×8的棋盘奏道：“陛下，就请您赏给我一些麦子吧，在第一格棋盘上放1粒，第二格上放2粒，第三格上放4粒，第四格上放8粒……照这样放下去，只要把棋盘上64格的麦粒都赏给你的仆人，他就心满意足了”，舍罕王听了，心中暗暗欣喜：“这个傻瓜的胃口实在不算大啊，这能要多少麦子呢？最多几百斤吧。小意思。”他立即慷慨地应允道：”爱卿，你当然会如愿以偿的！”但当记麦工作开始后不久，舍罕王便暗暗叫苦了，因为尽管第一袋麦子放满了将近二十个格子，可是接下去的麦粒数增长的竟是那样的快，国王很快意识到，即使把自己王国内的全部粮食都拿来，也兑现不了他许给宰相的诺言了。那么，舍罕王究竟该给西萨多少麦粒呢？舍罕王所承诺给

的西萨的麦如果用二进制数来表示就是64个1，用幂来表示为：1+2+22+23+……+263，也就是1+1+2+22+23+……+263

-1=2+2+22+23+……+263-1=22+22+23+……+263-1=……=264-1，即舍罕王所欠的麦子的粒数为264-1。264-1，就是采用的二进制计数法，这样计算起来比较方便，看上去也较为简洁，如果换算成十进制数则是18446744073709551615，这样计算起来会相当的麻烦，看上去也较为繁琐。所以，教师在讲解这道经典的数学题的时候一般都是采用二进制数的，这样会简化整个的计算过程。

2.经典例题二

小学的数学题中常有类似这样的题：有5瓶药，每瓶中有20粒药丸，每粒药丸重10克，其中有1瓶受潮了，受潮的每个药丸重11克。给你一个天平，你怎样一次就能测出哪几瓶是受潮的药呢？这样的题，很容易思考。首先，将5瓶药编号为1-5号，从中分别取出1、2、3、4、5粒药丸，这样进行称重。如果全是没有受潮的话，应是（1+2+3+4+5）×10=150（克）。如果称出的重量是152克，那么超出的重量是2克，说明有2÷（11-10）=2（粒）超重，因此超重的药是第2瓶。如果称出的重量是155克，那么超出的重量是5克，说明有5÷（11-10）=5（粒）超重，因此超重的药是第5瓶。

那么，如果我们把已知有1瓶药受潮改为有几瓶药受潮，问题是不是就变得复杂了呢？即题目改为：有5瓶药，每瓶中有

20粒药丸，每粒药丸重10克，其中有几瓶受潮了，受潮的每个药丸重11克。给你一个天平，你怎样一次就能测出哪几瓶是受潮的药呢？这样的话直接使用上述的方法是行不通的，比如称出的重量是155克，那么超出的重量是5克，说明有5÷（11-10）=5（粒）超重，那么超重的药可能是第1瓶和第4瓶的，也可能是第2瓶和第3瓶的，也可能是第5瓶的。所以要换一种思路来思考这个问题。称重量的想法是没有错的，那么可以进行改进的就是选取药丸的数量。如果已经学习过二进制数，则可以轻松地想到，首先，将5瓶药编号为1-5号，从中分别取出1、2、4、8、16粒药丸，这样进行称重。如果全是没有受潮的话，应是（1+2+4+8+16）×10=310（克）。假如称出的重量是312克，那么超出的重量是2克，说明有2÷（11-10）=2（粒）超重，2=（00010）2，因此超重的药是第2瓶的。如果称出的重量是315克，那么超出的重量是5克，说明有5÷（11-10）=5（粒）超重，5=（00101）2，因此超重的药是第1瓶和第3瓶。如果称出的重量是339克，那么超出的重量是29克，说明有29÷（11-10）=29（粒）超重，29=（11101）2因此超重的药是第1瓶、第3瓶、第4瓶和第5瓶。这样采用二进制数来解决这个问题就变得容易得多了，我们就能很快地找出问题答案。

四、结语

二进制数虽不是解决所有问题的万能钥匙，但是却能提供解决问题的引路石，有了二进制数的帮助，有些数学问题解决起来