平面及其方程
平面及其方程7-5
§7.5平面及其方程一、平面的点法式方程法线向量：如果一非零向量垂直于一平面 .这向量就叫做该平面的法线向量.容易知道 '平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直.唯一确定平面的条件 ：当平面口上一点M o (X 0 J0 Z0)和它的一个法线向量 n^A^B *C)为已知时、平面n 的位置就完全确定了 .平面方程的建立：设M(x.y.z)是平面□上的任一点.那么向量M ^M 必与平面n 的法线向量n 垂直、即它们的数量积等于零 ：由于Tn 球A*BC)* M 0M =(x —X 0, y —y 。
, Z —Z 0).所以A(XF 0)+B(y-y 0)弋(z-Z 0)=0 .n 上任一点M 的坐标 心工所满足的方程.、如果M (x 、y .Z)不在平面r 上、那么向量M^M 与法线向量n 不垂直、从而…即不在平面□上的点M 的坐标X y .Z 不满足此方程. 由此可知、方程A(x-X 0)+B(y-y 0)P(z-Z 0)n 就是平面□的方程.而平面口就是平面方程的图 形.由于方程A (X%)怕(y-y 0)4c (z-Z 0)=0是由平面L ［上的一点M 0(X 0、y 0、Z 0)及它的一个法线向量 n=(AB 、C)确定的、所以此方程叫做平面的点法式方程.例1求过点(2Q)且以 ^(K-2. 3)为法线向量的平面的方程.解根据平面的点法式方程 '得所求平面的方程为(x-2)-2(yt3)t3z=0 * x-2y+3z£n .M 1(2 H ⑷、M 2(—1 \3 L 2)和M 3(0 ,2①的平面的方程.T因为 M 1M 2 =(—3,4, -6)、M 1M 3=(-2,3, —1)、 所以T T in= M 1M^M 1M^ -3-2这就是平面 反过来T n M 0M =0即例2求过三点 解我们可以用 T TM i M 2X M 1M 3作为平面的法线向量k-6 =14 + 9j-k . -1根据平面的点法式方程、得所求平面的方程为14(x-2)H(y+1)-(z -4H0 . 14x49y_ z_15』. 二、平面的一般方程由于平面的点法式方程是 x.y 的一次方程.而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线 向量来确定 '所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.反过来、设有三元一次方程Ax +By 4Cz 4D =0.我们任取满足该方程的一组数 x o .y o .z ^即Ax o +By o 4Cz o +D =0 .把上述两等式相减 '得A(x£o )+B(y-y o )兀(z-z o )=O 、这正是通过点 M o (x o.y oQ )且以nNA 、BQ 为法线向量的平面方程 .由于方程Ax +By 4Cz *DO与方程A(x 必)+B(y-y o )七(Z-z o ) =o同解*所以任一三元一次方程Ax 也y P z +O n 的图形总是一个平面.方程Ax 4By M z +D =o 称为平面的一般方程，其中 心z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标‘即nNA'B .0).例如 '方程3x -4y +z -9=0表示一个平面 小=(3\*訂)是这平面的一个法线向量 .讨论：考察下列特殊的平面方程 .指出法线向量与坐标面、 坐标轴的关系 '平面通过的特殊点或线.Ax +By f z ^o ；By 七Z 也 n^Ax ^z P^o r Ax +By +D P ； Cz +D P 'Ax PO By +D P . 提示： 平面过原点.n =(o *B Q).法线向量垂直于 n =(A 、o rC).法线向量垂直于 n =(A *B *o ).法线向量垂直于 n=(o *o *C)、法线向量垂直于 n=(A .o ,o b 法线向量垂直于 n=(o 占,o b 法线向量垂直于例3求通过x 轴和点(4L 1)的平面的方程.解 平面通过x 轴、一方面表明它的法线向量垂直于 点、即DP .因此可设这平面的方程为By 弋z^o .x 轴*平面平行于 y 轴、平面平行于 z 轴、平面平行于x 轴和y 轴，平面平行于 y 轴和z 轴r 平面平行于 x 轴和z 轴r 平面平行于 xOy 平面.yOz 平面. zOx 平面.X 轴、即AR ；另一方面表明 它必通过原又因为这平面通过点(4 *-3 *7) *所以有—BB-Cn 、或 C 」B .将其代入所设方程并除以B （B 如）、便得所求的平面方程为y ；z=0.例4设一平面与X 、y 、z 轴的交点依次为 P （a *0 * 0）、Q （0、b *0）、R （0 , 0、c ）三点、求这平面的 方程（其中乂&?€）.解 j a ^D =0, f bB +D =0, pc +D=0,A=-D 、B=-D r C=—D a b c 将其代入所设方程、得 -Dx-Dy-Dz+D =0 、 a b c X +上也=1 . a b c '上述方程叫做平面的截距式方程 *而a 、b 、c 依次叫做平面在 X 、y 、z 轴上的截距.三、两平面的夹角两平面的夹角：两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角.设平面n 1和rb 的法线向量分别为 n 1N A 1占1 C ）和n 2=（A 2旧2、C 2）、那么平面n 1和rb 的夹角e 、―AAA_A应是（n 1, n 2）和（Til , n 2）F —g ,改）两者中的锐角、因此、cos 日^cosg ,匹）！.按两向量夹角余弦的坐标表示式.平面n 1和rt 的夹角e 可由来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论平面口 1和巧垂直相当于A1A2怕辰 QC2=0； 平面□ 1和n 2平行或重合相当于 A =BL -C!.A ， B, C 2例5求两平面 x-yPz-6=0和2x 为七-5=0的夹角. 解 n 1=（A 1 启1 Q1）=（1、一1 *2）、n 2m A 2、B 2Q2）=（2*1 * 1）.c 1c2l_ I1'2■ (-1)'T ■ 2…I| Jcos g _lAie 日口2 "T A 2+ Bfg 2叔2 +B ：七："712+(-1)2七2722+12+12~^设所求平面的方程为Ax+By4Cz*HD=0.P （a *0 *0）、Q （0 *b *0）、R （0 ,0 ,c ）都在这平面上*所以点P 、Q 、R 的坐标都满足所设方程*即 因为点 有由此得IAA2+B 1B 2+C 1C 2IAco眄cosg,讣府魯Y A 呢W|1X2 +(-1)X1 +2咒1||AA 2+B ,B 2pi C 2|所以*所求夹角为,4,例6 一平面通过两点 M 1(1」和M 2(o 」#)且垂直于平面 x+y+z=o 、求它的方程.解 方法一：已知从点M 1到点M 2的向量为 山勻/卫、-?)、平面x+y+z=o 的法线向量为n 2=(1、 1 J). 设所求平面的法线向量为n^A 、B 、C).因为点M 1(1、1、1)和M 2(o1)在所求平面上、所以n 丄n 仁即从—2C=o 、A 亠2C . 又因为所求平面垂直于平面 x^^zT*所以n 丄m*即A+B4C=o*B=C. 于是由点法式方程*所求平面为-2CZ)£(y —1)兀(Z —1)0 即 2x —y-z=o.方法二：从点M 1到点M 2的向量为n 1 =(-1 e *-2) *平面x+y+z=o 的法线向量为“2=(1* 1 , 1). 设所求平面的法线向量因为所以所求平面方程为2(x-1)-(y-1)-(z-1)0 2x-y-z=0 .例7设P o (x o ,y o ,z o )是平面Ax+By 兀z 也=0外一点、求P o 到这平面的距离. 解 设e n 是平面上的单位法线向量.在平面上任取一点 P 1(X 1 $1 *Z 1)*则P o 到这平面的距离为|A(X o^i )+B(y o-y i )七(z o^i )|扌是示：en^7A ^B ^(A, B, C)' 活o =(xo —x 1,yo —y 1,zo —z1)、例8求点(2 J J )到平面x +y -z +1 =0的距离.解 d JAxp^y o 弋zo^DI 」仝2丁X 1—(—1門+1| _ 3 —E _J A 2 + B 2 弋2 j 12+12+(—1)273 ' n 可取为npc n2 .i:-J o 1J A 2 +B 2+C 2JAx o 怕y oy z o-(Ax1HBy 1 七Z 1)| J A 2 +B 2 七2JAx^怕yo +Czo +D|Td 斗RP oen 1 =j 12+12+(_1)2。
平面及其方程
4A B 2C 0
于是
A B 2C,
3
所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
练习4 求平行于平面6x y 6z 5 0而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解 设平面为 x y z 1, a bc
V 1, 得 1 1 abc 1, 32
由所求平面与已知平面平行得
练习5 一平面通过两点M（1 1，1，1）和M（2 0，1，1） 且垂直于平面x y z 0，求它的方程.
解 设所求平面得一个法线向量为 n (A, B,C).
因M1M2 (1, 0, 2)在所求平面上，它必与n垂直， 所以有
A 2C 0.
(1)
又因所求的平面, 1), M2(2,1, 2)和 M3(1,1, 4) 的平面方程.
解 M1M2 (1,1,3)， M1M3 (2,1, 3)， 取 n M1M2 M1M3 (6, 3,3)， 所求平面方程为
-6(x-1)-3(y-0)+3(z+1)=0 化简得 2x+ 3y- 3z- 3=0.
化简得 2x 3 y z 6 0.
练习2 求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.
解 由于平面通过 x 轴，从而它的法线向量垂直 于x轴，于是法线向量在 x轴上的投影为零，即A 0；
又由平面通过 x 轴，它必须通过原点，于是D 0.
因此可设这平面的方程为 By Cz 0.
代入点(4,3,1)，得 C 3B.
6.4 平面及其方程
6.4.1 平面方程 6.4.2 两平面间的夹角 6.4.3 点到平面的距离
6.4.1 平面方程
1 平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做
平面及其方程77567
o
y
x
由所求平面与已知平面平行得
111 （向量平行的充要条件） a b c ,
616
化简得 1 1 1 , 令 1 1 1 t 6a b 6c 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 6 6t t 6t
1
n2 { A2 , B2 ,C2 },
SUCCESS
THANK YOU
2019/6/21
按照两向量夹角余弦公式有
cos
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12 A22 B22 C22
两平面夹角余弦公式
两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0;
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得 2x 3 y z 6 0.
二、平面的一般方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
D
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量 n {A, B,C}.
平面一般方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x轴； (2) A 0, D 0, 平面平行于 x轴；
类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
一、平面的点法式方程 z
n
如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做
M0 M
高等数学7.7平面及其方程
M 0 M {xx 0，yy 0，zz 0}，
z n
所以 A(xx 0)B(yy 0)C(zz 0)0． 这就是平面的方程． 此方程叫做平面的点法式方程．
M0
O x
M
y
例1 求过点(2，3，0)且以
n{1，2，3}为法线向量的平
或 C3B． y3z0．
将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点，求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
z R (0, 0, c)
n Q (0, b, 0) O y
M 1M 3 {2，31}，
可取
n M 1 M 2 M 1 M 3 3 4 6 14i9jk， 2 3 1
根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为
14(x2)9(y1)(z4)0， 即 14x9yz150．
i
j
k
n
Prj n P1 P0 P1 P0 ·n，
P1
P0
N
1 n {A，B，C}， P1 P0 {x0x1，y0y1，z0z1}， |n| 1 Prj n P1 P0 P1 P0 ·n， {A(x0x1)B(y0y1)C(z0z1)} |n| 1 {Ax0By0Cz0( Ax1By1Cz1)}， |n|
面的方程．
解 根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为 (x2)2(y3)3z0， 即 x2y3z80．
例2 求过三点M 1(2，1，4)、M 2(1，3，2)和M 3(0，2，3) 的平面的方程． z 解 先求出这平面的法线向量 n ．
8(5)平面及其方程
(plane)
平面的点法式方程 平面的一般方程 两平面的夹角 点到平面的距离 小结 思考题 作业
1
第八章 空间解析几何与向量代数
平面及其方程
在空间内, 在空间内,确定一个平面的几何条件 不共线的三点确定、 是多种多样的. 是多种多样的. 如: 不共线的三点确定 P2
平面及其方程
二、平面的一般方程
平面的点法式方程
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
Ax By Cz A + B +C + D= 0 r 法向量 n = ( A, B , C )
Ax + By + Cz − ( Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0 =D
y + 3z − 1 = 0
| −1 × 0 + 2 × 1 − 1 × 3 | , 2 2 2 2 2 ( −1) + 2 + ( −1) ⋅ 1 + 3
1 两平面相交, 两平面相交 cosθ = 60
1 夹角 θ = arccos . 60
15
平面及其方程
( 2 ) 2 x − y + z − 1 = 0, − 4 x + 2 y − 2 z − 1 = 0
D = 0,
6 A − 3 B + 2C = 0
z
r n= (A, B,C)
•
r Q n ⊥ (4,−1,2) ∴ 4 A − B + 2C = 0
2 ⇒ A = B = − C, x 3 所求平面方程为 2 x + 2 y − 3 z = 0.
第五节 平面及其方程
G ( x, y , z ) 0
F ( x, y , z ) 0
z
S O y
x
S2
C F ( x, y , z ) 0
S1
则方程组(1)叫做空间曲线 C 的方程, 曲线 C 叫做方程组(1) 的图形.
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两个基本问题 : (1) 已知一曲面(曲线)作为点的几何轨迹时, 求曲面(曲线)方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1B2 C1C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
1
cos
A1 A2 B1 B2 C1C2
A1 B1 C1
2 2 2
A2 B2 C2
目录
2
2
2
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结束
1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
特别有下列结论：
n1 n2 cos 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2
x0 y0 z0 1, 1 3 x0 3 x0
故
O
M0
y
因此所求球面方程为
x
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结束
n2
(1) 1 2 (2) 1 // 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2
向量代数与空间解析几何-平面及其方程
−1 −1 1 2 Q = = = , 两平面重合 −4 2 2 −2
例8 求过点 M1 (0, −1,0), M 2 (0,0,1)，且与xoy面
成 60 角的平面.
o
r n
60o
解 所求平面的法向量为： r n = ( A, B , C ), ⎯ ⎯→ r Q n ⊥ M 1 M 2 = (0, 1, 1) ⎯→ r ⎯ ∴ n ⋅ M 1 M 2 = 0, B + C = 0 r∧ r 又 Q ( n , k ) = 60o r r 1 n⋅k C o = cos 60 = r r = r ∴ 2 nk n
⎯ ⎯→
r n
⋅ P0 P1 ⋅
N
Π
P1 P0 ⋅ n Prjn P1 P0 = n
⎯ ⎯→
P1 P0 = ( x0 − x1 , y0 − y1 , z0 − z1 )
⎯ ⎯→
r n = ( A, B , C )
P1 P0 ⋅ n Prjn P1 P0 = n
⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→
A( x0 − x1 ) + B( y0 − y1 ) + C ( z0 − z1 ) = A2 + B 2 + C 2
第七章
第三节 平面及其方程
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容
(一) 平面方程
设有平面 Π ， M0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ Π 点 z r 如果一非零向量垂直于一 n 平面，这向量就叫做该平 M0 Π 面的法向量． M r o 平面 Π 的法向量 n 的 特征： r r x ① n≠0 r ② n⊥Π
y
r 设法向量：n = ( A, B , C ), r ( n = A2 + B2 + C 2 ≠ 0)
1.6平面及其方程
平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A, B, C). 讨论： 1.填写下表: 平面方程 By+Cz+D=0 Ax+Cz+D=0 Ax+By+D=0 Cz+D=0 Ax+D=0 By+D=0 法线向量 n=(0, B, C) n=(A, 0, C) n=(A, B, 0) n=(0, 0, C) n=(A, 0, 0) n=(0, B, 0) 法线向量垂直于 平面平行于 x轴 x轴 y轴 y轴 z轴 z轴 x轴和y轴 xOy平面 y轴和z轴 yOz平面 x轴和z轴 zOx平面
平面的点法式方程 过点M0(x0, y0, z0)且法线向量为n=(A, B, C)的平面的方程 为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
例1 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)为法线向量的平面的 方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0.
平面的点法式方程 过点M0(x0, y0, z0)且法线向量为n=(A, B, C)的平面的方程 为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
例2 求过三点M1(2,-1, 4)、M2(-1, 3,-2)和M3(0, 2, 3)的平 面的方程.
解 我们可以用 M 1M 2 M 1M 3 作为平面的法线向量 n. 解
2.平面Ax+By+Cz=0有什么特点？ 提示： D=0, 平面过原点.
平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A, B, C). 例3 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 可设此平面的方程为 By+Cz=0. 又因为此平面通过点(4, -3, -1), 所以有 -3B-C=0. 将C=-3B其代入所设方程, 得 By-3Bz=0. 于是所求的平面方程为 y-3z=0. 提示：平面通过 x 轴 , 表明 A=0( 它的法线向量垂直于 x 轴 ) 且 D=0(它通过原点).
3.平面及其方程
面.方程 Ax By Cz D 0 称为平面的一 般 方 程 , 其中 x、y、z 的系数就是该平面一个 法线向量 n 的坐标,即 n ( A, B, C ).
12
3. 特殊的三元一次方程所表示的平面
Ax By Cz D 0. D 0, Ax By Cz 0, 平面过原点. A 0, By Cz D 0, n (0, B, C )垂直
9
一般地, 如果平面过不共线已知 三点 A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ), C (c1 , c2 , c3 ), 设M ( x , y, z )是平面上任 意一点.
根据向量 AB, AC , AM共面, 混合积为零可得 x a1 y a 2 z a 3 b1 a1 b2 a 2 b3 a 3 0 c1 a1 c 2 a 2 c 3 a 3
22
解法三 设所求平面方程为
Ax By Cz D 0, 它过点M 1，M 2，即 A B C D 0，B C D 0 所求平面垂直于已知平 面，即两平面的法向 量互相垂直，于是A B C 0，从而得 A A D 0, B , C . 2 2 取A 2，则B C 1, D 0 所求平面方程为： 2 x y z 0.
MCBFra bibliotekA平面的三点式方程
10
2. 平面的一般方程
点法式方程是 x、y、z 的一次方程, 任一平 面都可用它上面的一点 及它的法线向量确定 ,所 以任一平面都可以用三 元一次方程表示.
反之, 设有三元一次方程 Ax By Cz D 0.
任取满足该方程的一组数 x0 , y0 , z0 ,即 Ax0 By0 Cz0 D 0,
平面及其方程
平面及其方程平面的点法式方程平面的一般方程两平面的夹角平面的点法式方程法线向量: 与平面垂直的非零向量.n即有A (x -x 0)+B (y -y 0)+C (z -z 0)=0 设M 0(x 0,y 0,z 0)是平面П上的已知点, n =(A ,B ,C )是平面П的法线向量,M (x ,y ,z )是平面П上的任一点, 则有n •0M M =0.由于n =(A ,B ,C ) ,0M M =( x -x 0,y -y 0,z -z 0),称为平面的点法式方程.O∏zyxM nM例求过点(2,-3,0)且以n=(1,-2,3)为法线向量的平面方程. 解代入平面的点法式方程得:(x-2)-2(y+3)+3(z-0)=0⇒x-2y+3z-8=0例 求过三点M 1(2,-1,4)、M 2(-1,3,-2)、M 3(0,2,3)的平面方程.解 由于n ∥12M M ×13M M =132643----kj i =14i +9j -k则所求平面方程为⇒ 14(x -2)+9(y +1)-(z -4)=0⇒ 14x +9y -z -15=01M2M 3M ∏n平面的一般方程平面的点法式方程A (x -x 0)+B (y -y 0)+C (z -z 0)=0设有三元一次方程Ax +By +Cz+D =0任取满足方程的一组数000,,x y z 即0000Ax By Cz D +++=两式相减，得A x x B y y C z z 000()()()0-+-+-=是x 、y 、z 的一次方程平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0其中n=(A,B,C)为法向量各种特殊情形D=0,平面Ax+By+Cz=0经过原点;D=0,平面Ax+By+Cz=0经过原点; A=0,平面By+Cz+D=0平行于x轴; B=0,平面Ax+Cz+D=0平行于y轴; C=0,平面Ax+By+D=0平行于z轴;A=B=0,平面Cz+D=0平行于xoy平面; A=C=0,平面By+D=0平行于xoz平面; B=C=0,平面Ax+D=0平行于yoz平面.例求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程.解平面经过x轴,则平面经过原点, ⇒D=0;平面经过x轴,则法向量在x轴上的投影为0 ⇒A=0;故可设平面方程为: By+Cz=0,又平面经过点(4,-3,-1), ⇒-3B-C=0,或C=-3B.代入有y-3z=0.和R (0,0,c )三点,求此平面的方程.(其中a ≠0,b ≠0,c ≠0)解 设平面方程为 Ax +By +Cz +D =0代入P (a ,0,0)、Q (0,b ,0)和R (0,0,c )得 A =-D a , B =-D b , C =-Dc, 代入方程并消去D 得平面方程: (,0,0)a (0,,0)b (0,0,)c x yz O和R (0,0,c )三点,求此平面的方程.(其中a ≠0,b ≠0,c ≠0)解 代入方程并消去D 得平面方程:1x y za b c++=此方程称为平面的截距式方程, a ,b ,c 依次称为平面在x ,y ,z 轴上的截距.两平面的夹角两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角).设平面П1和П2的法线向量依次为:n 1=(A 1,B 1,C 1) n 2=(A 2,B 2,C 2)则平面П1和П2的夹角θ为(12,n n ∧)和π-(12,n n ∧)中的锐角,⇒ cos θ=|cos(12,n n ∧)|,⇒222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++∙++++=θθθ1n 2n 1∏2∏两平面垂直、平行的充分必要条件平面П1和П2垂直⇔ A 1A 2+B 1B 2+C 1C 1=0 2∏1∏1∏2∏2n 1n 1n2n 平面П1和П2平行⇔ 12A A =12B B =12C C设平面П1和П2的法线向量依次为:n 1=(A 1,B 1,C 1) n 2=(A 2,B 2,C 2)例 求两平面x -y +2z -6=0和2x +y +z -5=0的夹角.解n 1=(1,-1,2) n 2=(2,1,1)⇒ cos θ=222222|12(1)121|1(1)2211⨯+-⨯+⨯+-+++=21⇒ θ=π3例一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,-1)且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.解设所求平面的一个法向量为n={A,B,C}.由n⊥M M=(-1,0,-2) ⇒-A-2C=012由n⊥(1,1,1) ⇒A+B+C=0 ⇒A=-2C,B=C, 代入点法式方程:A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0消去C得所求方程为:2x-y-z=0例 设P 0(x 0,y 0,z 0)是平面Ax +By +Cz +D =0外一点,求P 0到这平面的距离.解 在平面上任取一点P 1(x 1,y 1,z 1),并作法向量 n ={A ,B ,C }. 则所求距离:d =│Prj n 10P P │.又设e n 为与n 方向一致的单位向量, 则有Prj n 10P P = Prj e n 10P P =10P P •e nn1P 0P θ∏则有Prj n 10P P = 10P P •e n而 e n =(222CB A A++,222C B A B ++,222CB A C++) 10P P =(x 0-x 1,y 0-y 1,z 0-z 1)由于Ax 1+By 1+Cz 1+D =0,所以Prj n 10P P =222000CB A DCz By Ax +++++n1P 0P θ∏点到平面的距离 222000CB A DCz By Ax d +++++=例 求点(2,1,1)到平面x +y -z +1=0的距离解 d =222|1211111|11(1)⨯+⨯-⨯+++-=3平面及其方程1.掌握平面的点法式、一般式、截距式方程,会根据相应条件求平面的方程.2.掌握两平面夹角的概念与求法，掌握两平面平行、垂直的充分必要条件.3.掌握点到平面的距离公式，会求点到平面的距离.。
平面及其方程
M (1,1,0) 2
例6：求两平面x–y+2z– 6=0和2x+y+z–5 = 0的夹角. 解：由公式有
1 cos 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 2 2 1 1 1 2 ( 1) 1 2 1
因此，所求夹角
( 2)
n1 {2,1, 1},
n2 {4, 2,2}
2 1 1 , 两平面平行 4 2 2 M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2
两平面平行但不重合．
2 1 1 , 两平面平行 ( 3) 4 2 2
M (1,1,0) 1
P1 P0 { x0 x1 , y0 y1 , z0 z1 }
A n0 , 2 2 2 A B C
B , 2 2 2 A B C
C 2 2 2 A B C
Pr jn P1 P0 P1 P0 n 0
A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A2 B 2 C 2
n1 n2 cos n1 n2
n2
n1
2 1
即 cos
2 A1
A1 A2 B1B2 C1C2
2 B1 2 C1
A2 B2 C2
2 2
2
特别有下列结论：
(1) 1 2
(2) 1 // 2
规定: 若比例式中某个分母为0, 则相应的分子也为0.
Ax0 By0 Cz0 ( Ax1 By1 Cz1 ) , 2 2 2 A B C
线性代数 平面及其方程
| 1 0 2 1 1 3 | (1) cos ( 1) 2 2 2 ( 1)2 12 3 2
1 1 cos 两平面相交，夹角 arccos . 60 60
( 2)
n1 {2,1, 1},
n2 {4, 2,2}
1 1 2 , 两平面平行 4 2 2 M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2
又 M 1 , 利用点法式得平面 的方程 14( x 2) 9( y 1) ( z 4) 0
即 14 x 9 y z 15 0
说明: 此平面的三点式方程也可写成
x 2 y 1 z 4
3 2
的平面方程为
4 3
6 0 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , y k , z k ) ( k 1, 2 , 3)
两平面平行但不重合．
2 1 1 , 两平面平行 ( 3) 4 2 2
M (1,1,0) 1
两平面重合.
M (1,1,0) 2
例6 一平面通过两点 M 1 ( 1, 1, 1 ) 和 M 2 ( 0 , 1, 1 ) , 且 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为 n ( A, B, C ) ,则所求平面 方程为
D A , a D B , b D C . c
三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 , C1 ) 平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C 2 ) 则两平面夹角 的余弦为
n1
n 2
平面及其方程
ij k n n1 n2 1 1 1 10i 15 j 5k ，
3 2 12
根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为
10(x 1) 15(y 1) 5(z 1) 0 ，
即
2x 3y z 6 0 ．
1.2 平面的一般方程
从上一节讨论可知，所有平面都可以用平面的点法式方程来表示，而平面的点法式方
平面及其方程
定义 2 设 F(x ，y ，z) 0，G(x ，y ，z) 0 分别为曲面 S1 ，S2 的方程，它们的交线为 C ，则曲线 C 与 S1 ，S2 的方程有下述关系：
（1）曲线 C 上任何点的坐标满足以下方程组
F (x ，y ，z) 0 ， G(x ，y ，z) 0 ；
（9-1）
由于 A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 是由平面 上的一点 M0 (x0 ，y0 ，z0 ) 及它 的一个法线向量 n (A，B ，C) 确定的，所以此方程称为平面的点法式方程．
1.1 平面的点法式方程
例 1 求过点 (2， 3，0) ，且以 n (1， 2，3) 为法向量的平面方程．
（9-4）
A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0 ．
（9-5）
由此可见，方程（9-5）就是过点 M0 (x0 ，y0 ，z0 ) 且以 n (A，B ，C) 为法线向量的平面方
程．因方程（9-5）与方程（9-3）同解，所以任意一个三元一次方程的图形总是一个平面．
1.2 平面的一般方程
程是三元一次方程，所以任意一个平面的方程都是三元一次方程．反之，可以证明任意一
个三元一次方程的图形都是平面．
设有三元一次方程
Ax By Cz D 0 ，
高等数学7.3 平面及其方程
求平面方程.
解：设平面上的任一点为 M( x, y, z)，M0M n 0
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
— 平面的点法式方程
2
填空题 2分
已知平面方程为( x 2) 2( y 3) （3 z-0） 0 则法向量nr ( [填空1] ), 平面必过点（ [填空2] ）
（熟记平面的几种特殊位置的方程）
两平面的夹角.（注意两平面的位置关系）
点到平面的距离公式.
23
P0
则有 Ax1 By1 Cz1 D 0 ,
显然有 | P1P0 n| d | n| ,
P1
N
而 P1P0 n { x0 x1, y0 y1, z0 z1 }{ A, B,C }
A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C(z0 z1 )
解 由于平面过 x 轴, 所以 A = D = 0. 设所求平面的方程为 By + Cz = 0 , 又点(4, 3, 1)在平面上, 所以 3B C = 0 , C = 3B , 所求平面方程为 By 3Bz = 0 ,
显然 B 0 , 所以所求平面方程为 y 3z 0 .
Qy
x
x y z 1 平面的截距式方程 a bc
x轴上截距 y轴上截距 z 轴上截距
12
点法式方程
一般方程
两平面夹角
点到平面距离
例6 求平面6x y 4z 5 0 与三个坐标面所围四
面体的体积.
z
解 把平面方程化为截距式
x y z 1, 5/6 5 5/4
高等数学 第5节 平面及其方程
z
z
oo
o y
y
x
x
若 C 0, Ax By D 0,
——法向量垂直z轴, 平面平行z轴.
Ax By 0, ——平面过z轴。
z
z
oo x
y
y o
x
若 A 0, B 0, Cz D 0, n (0,0,C )
——平面垂直z轴或平行xoy面。
z
n
o y
x
例3 求过点 (4,3,1) 及过x轴的平面方程.
2. 一般式平面方程 点法式平面方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 化为 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0 记 D ( Ax0 By0 Cz0 ), 则平面方程为
Ax By Cz D 0 —— 一般式平面方程
若 D 0, Ax By Cz 0, ——平面过原点
x 3 y z 1 0 都垂直的平面方程.
三、点到平面的距离
设 M0( x0, y0, z0 ) 是平面 : Ax By Cz D 0
外一点, 求点 M0 到平面 的距离.
在平面 上取一点 P( x1, y1, z1),
M0
PM0 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 )
z
o
y
x
若 A 0,
By Cz D 0, n (0, B,C )
——法向量垂直x轴, 平面平行x轴.
By Cz 0, ——平面过x轴。
z
o
y
x
若 B 0, Ax Cz D 0, n ( A,0,C )
——法向量垂直y轴, 平面平行y轴.
Ax Cz 0, ——平面过y轴。
d
公选课(2)--第四节-平面及其方程
第四节 平面及其方程平面和直线是空间最简单的几何图形，本节和下节将以向量为工具讨论平面与直线的方程 一 平面的点法式方程• 与平面垂直的非零向量称为该平面的法向量。
显然，平面的法向量有无穷多个，而且平面上的任一向量都与该平面的法向量垂直。
• 由立体几何知道，过空间一点可以作而已只能作一个垂直于一条已知直线的平面。
下面我们利用这个结论来建立平面的方程。
• 设平面 π 过点M0(x0,y0,z0)，n=（A ，B ，C ）是平面 π 的法向量（图8-17）。
现在来建立平面 的方程。
• 在平面上 π 任取一点M （x,y,z ）.则点M 在平面 上的充要条件是0M M n⊥即00M M n ⋅=• 因为 0000{,,}M M x x y y z z =---=（x-x0,y-y0,z-z0）,n=(A,B,C),所以有(0)(0)(0)0A x xB y yC z z -+-+-=• 该方程称为平面 π 的点法式方程。
• 例1 求过点（2,1,1）且垂直于向量i+2j+3k 的平面方程。
• 解 显然，我们可以取已知向量i+2j+3k 作为所求平面的法向量n ，又因为平面过点（2,1,1）,所以由公式即可得该平面方程为 • （x-2）+2(y-1)+3(z-1)=0 • 即x+2y+3z-7=0• 例2 求过点M1(1,2,-1)、M2（2,3,1）且和平面x-y+z+1=0垂直的平面方程。
• 解 因为点12,M M 所在平面上（图8-18），所以向量M1M2=（1，1，2）在该平面上。
又因为与平面x-y+z+1=0垂直，而已知平面的法向量n1=(1,-1,1),故可取平面的法向量1211 1 23-21 -1 1i j k n M M n i j k =⨯==+• 由于该平面过点M1(1,2,-1)，因此由平面的点法式方程知道3（x-1）+（y-2）-2(z+1)=0，即3x+y-2z-7=0为所求的平面方程 平面的一般方程• 将方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0展开得• Ax+By+Cz+(-Ax0-By0-Cz0)=0,这是x 、y 、z 的一次方程，所以平面可用x 、y 、z 的一次方程来表示，反之，任意的x 、y 、z 的一次方程 • Ax+By+Cz+D=0 （ a ） • 是否都表示平面呢（式中A 、B 、C 不全为零）？方程是一个含有三个未知数的方程，所以有无穷多组解，设x0、y0、z0是其中一组解，则由 • Ax0+By0+Cz0+D=0 ( b )• a-b 得A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,• 它表示过点（x0,y0,z0）,且以n=（A,B,C ）为法向量的平面。
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(四)平面的一般方程
1、定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0都表示平面,且此平面的一个法向量是:
n = (A, B, C )
证: A, B, C不能全为0, 不妨设A 0, 则方程可以化为
A
x
(
D A
)
B
(
y
0
)
C
(
z
0
)
0
它表示过定点
M
0
(
D A
,0,0)
例4: 求通过x 轴和点(4, 3, 1)的平面方程.
解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0. 设所求平面的方程是 By + Cz = 0 又点(4, 3, 1)在平面上, 所以 3B C = 0 C = 3B 所求平面方程为 By 3Bz = 0
即:
y 3z = 0
二、两平面的夹角
(1) [ ] = [ ]= [ ] = – [ ]= – [ ] = – [ ]
(2) , , 共面
[ ]= 0
事实上， 若 , , 在同一个平面上， 则 垂直于它们所在的平面， 故 垂直于 , 即
( ) = 0
3、混合积 ( ) 的几何意义
空间直线可看成是两个不平行平面1与2的交线 已知平面1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0
2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
那末, 交线L上的任何点的坐标满足:
z
A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (1) A2x + B2y + C2z + D2 = 0
1.定义1 两平面的法向量的夹角(通常指锐角)
称为两平面的夹角. 若已知两平面方程是:
1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0
n2 n1
法向量 n1 = (A1, B1, C1)
2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
法向量 n2 = (A2, B2, C2)
2
1
平面Π1与Π2的夹角 应是
(n1, n2 )和( n1, n2 ) (n1, n2 )两者中的锐角,
所以
cosθ cos(n1, n2 )
n2 n1
| n1 n2 | | n1 | | n2 |
| A1 A2 B1 B 2 C1C 2 |
A12
B12
C
2 1
A
2 2
B
2 2
C
2 2
2
1
特别:
平面1与2 相互垂直
2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.
2. 平面的点法式方程
设平面 过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n=(A,B, C).
对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直.
z
n
M0
n M0 M = 0
M
而M0 M =(x x0, y y0, z z0),
O
y
得:
已知平面 x+ y+ z = 0的法向量 n1=( 1, 1, 1)
所以:
n M1M2 且n n1
而
M1M2 = ( 1, 0, 2)
于是:
A ( 1) + B 0 + C (2) = 0
A1+B1+C1=0
M1(1, 1, 1) , M2(0, 1, 1)
解得:
B=C
A= 2C
取C = 1, 得平面的一个法向量
,
且
法向量为 n = (A, B, C ) 的平面.
注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (4)
称为平面的一般方程.
例3: 已知平面过点M0(1, 2, 3), 且平行于 平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程.
解: 所求平面与已知平面有相同的法向量n =(2 3, 4)
x + y +1 = 0
2x y + 4 = 0
解得:
x0
5, 3
y0
2 3
所以,
点M
0
(5, 3
2 , 0 )在直线上. 3
(2) 再找直线的方向向量 s .
由于平面1: x + y + z +1 = 0的法线向量 n1=(1, 1, 1)
平面2: 2x y+3z+4 = 0的法线向量 n2=(2,1, 3)
平行六面体
a b = |a| Prjab
底面积 S | |
高 h 为 在 上的投影的绝对值
h | pij |
h
所以，
V = S h = | | | pij |
= |( ) |
混合积( ) 的绝对值等于以 , , 为棱 的平行六面体的体积 V 的数值。
所以, 可取
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
平面1与2 相互平行
A1 B1 C1 A2 B2 C 2
规定: 若比例式中某个分母为0, 则相应的
分子也为0.
例5: 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1), 且垂 直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程.
解: 设所求平面的一个法向量 n = ( A, B, C )
三、两向量的混和积
1.定义2 设有三个向量, , , 称 与 的向量积 再与向量 的数量积为向量, , 的混合积，记作 [ ] 即 [ ]＝ ( )
2.混合积的坐标表示式
设向量 = (ax , ay , az), = (bx , by , bz), = (cx , cy , cz),
即 V 1 | [AB AC AD] | . 6
AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1),
AC = (x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1),
AD = (x4 – x1, y4 – y1, z4 – z1),
所以，
V=
1 6
x2 x3
x1, x1,
x4 x1,
n = (2, 1, 1)
所以, 所求平面方程是 2 (x 1) + 1 (y 1) + 1 (z 1) = 0
即:
2x y z = 0
三、点到平面的距离
设 P0(x0, y0, z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一点,
求 P0到这平面的距离d.
在平面上任取一点P1(x1, y1, z1)
n ·i = A ·1 + B ·0 + C ·0 = A = 0 于是:
平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0; 平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.
特别: D = 0时, 平面过坐标轴.
(3) 平行于坐标面的平面方程 平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0; (即z = k) 平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; (即y = k) 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0. (即x = k)
所以, 得点P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:
d Ax 0 By 0 Cz 0 D (5) A2 B2 C2
例6:求点A (1, 2, 1)到平面:x + 2y +2z
10=0的距离
d 11 2 2 2110 3 1
12 22 22
3
§4 空间直线及其方程
一. 空间直线的方程 (一)空间直线的一般方程
M2 ( x 2 , y 2 , z 2), M3 (x 3 , y 3 , z 3),
对于平面上任一点 M (x , y , z),
M1M， M1M2， M1M3 共面
即 x x1 y y1 x2 x1 y2 y1 x3 x1 y3 y1
(M1M M1M2 ) M1M3 0,
z z1 z2 z1 0. (2) z3 z1
n
则 P1P0 =(x0 x1, y0 y1, z0 z1)
P0
过P0点作一法向量 n =(A, B, C)
P1
于是:
d Pr j n P1 P0
P1 P0 n |n|
N
A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) A2 B2 C2
又 A(x0x1)+B(y0y1)+C(z0z1) = Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+Cz1+D) = Ax0+By0+Cz0+D
平面的三点式方程.
(三) 平面的截距式方程
设平面与x, y, z 轴的交点依次为P(a, 0, 0),
Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点
z
则 xa y z
R
a b 0 0.
a 0 c
o P
Qy
有 bcx acy abz abc x
当 a,b, c 非零时
得 x y z 1 (3) abc
例5: 已知空间内不在一个平面上的四点
A (x 1 , y 1 , z 1), B ( x 2 , y 2 , z 2), C (x 3 , y 3 , z 3), D (x 4 , y 4 , z 4) 求四面体 ABCD 的体积。 解：四面体 ABCD 的体积等于以 AB, AC 和 AD 为棱的平行六面体体积的六分之一，