高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳与测试卷.doc

第十二讲

解三角形

1 、三角形三角关系： A+B+C=180 °； C=180 °— (A+B) ；

3 、三角形中的基本关系： sin( A B)

sin C , cos( A B) cosC , tan(A B)

tanC ,

sin

A B

cos C ,cos

A

B

sin C , tan

A B

cot

C

2

2 2

2 2

2

4 、正弦定理：在 C 中， a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边， R 为

C 的外接圆的半

径，则有

a

b

c 2R ．

sin

sin C

sin

5 、正弦定理的变形公式：

①化角为边： a 2Rsin

， b 2Rsin ， c 2R sin C ；

②化边为角： sin a ， sin b

c

；

， sin C

2R

2R

2R

③ a : b: c sin

:sin :sin C ；④

a b c

a b c

． sin

sin sin C sin sin

sin C

7 、余弦定理：在

C 中，有 a 2

2 c 2

2bc cos 等，变形： cos

b 2

c 2 a 2

b

等，

2bc

8 、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角）

9 、三角形面积公式：

1 1

1

S C

bc sin

ab sin Cac sin ．

2

2 2

10 、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形

式或角的形式设 a 、 b 、 c 是 C 的角 、 、 C 的对边，则：

①若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；②若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；③若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ．

11 、三角形的四心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点

重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1 ）外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）

内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）

12．坡角和坡比

坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．

坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比 )．

1. △ ABC 中，B 45o

，

C 60o c 1

，则最短边的边长等于（）

，

6 6 1 3

A 3

B 2

C 2

D 2

a b c

2. △ ABC 中，cos A

cos B

cosC

，则△ ABC 一定是（）

A 直角三角形

B 钝角三角形

C 等腰三角形

D 等边三角形

60o， a a b c

3. △ABC 中，若A 3

，则 sin A sin B sin C 等于（）1

3

3

A 2

B 2

C

D 2

4. △ABC 中，A:B 1:2， C 的平分线 CD 把三角形面积分成3: 2两部分，则 cosA （）

1

B 1

C

3

D 0

A

2 4

3

5. 在钝角△ ABC 中，已知a

1 ， b

2

，则最大边

c

的取值范围是。

一、利用正弦、余弦定理解三角形

【例 1－ 1 】 (2012辽宁高考)在△ ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c .角 A， B， C 成等差数列．

(1)求 cos B的值；

(2)边 a， b ， c 成等比数列，求sin A sin C 的值．

sin A＋sin B 【例 1－ 2 】△ABC中，A，B，C所对的边为a，b， c，tan C＝cos A＋cos B，sin( B －A)＝

cos C.

(1)求 A，C；

(2) 若S△ABC＝ 3 ＋ 3 ，求a，c.

二、三角形形状的判定

【例2－ 1】△ABC 满足sin B ＝cos A sin C，则△ ABC 的形状是( )．

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

【例 2－ 2 】在△ ABC 中， a ， b ， c 分别为内角

A ，

B ，

C 的对边，且 2 a sin A ＝ (2 b ＋ c )sin B

＋(2 c ＋ b )sin C .

(1) 求 A 的大小；

(2) 若 sin B ＋ sin C ＝ 1 ，试判断△ ABC 的形状．

三、与三角形面积有关的问题

【例 3】在△ ABC

B

C

a

b

c ＝ 2， C π 中，内角 ， ， 对边的边长分别是 ， ， ，已知 ＝ .

A c

3 (1) 若△ ABC 的面积等于

3 ，求 a ， b ；

(2) 若 sin C ＋ sin( B －A )＝2sin 2 A ，求△ ABC 的面积．

1 ．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边为 a ， b ， c .若 a cos A ＝b sin B ，则 sin A cos A ＋ cos

2 B

＝(

)． 1 B ．

1 D ．1

A ．－

C ．－ 1

2

2

2 ．在△ ABC 中， (a ＋ b ＋ c )(a ＋b － c )＝

3 ab ，且 a cos B ＝b cos A ，则△ ABC 的形状为 ____ ． 3 ． (201

4 福建高考 )在△ ABC 中，已知∠ BAC ＝ 60 °，∠ ABC ＝ 4

5 °， BC ＝ 3 ，则 AC ＝

___．

4 ． (2016 陕西高考 )在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对边的长分别为 π

a ，

b ，

c .若 a ＝ 2 ， B ＝ ，c

6

＝2 3 ，则 b ＝ ______.