共线共面问题
空间向量的共线与共面问题
么条件?
bC
p
P
Aa B
O
结论:空间一点P位于平面ABC内
存在有序实数对x,y使 AP x AB y AC
或对空间任一点O,有 OP xOA yOB zOC (x y z 1)
可证明或判断四点共面
三.类似地,有空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向
a
+
1 2
b+
1 2
c
A
C N
(C)
1 2
a
+
12b -
23 c
B
(D)
2 3
a
+
2 3
b
-
1 2
c
课外补充练习:
1.对于空间任意一点O,下列命题正确的是:A
(A)若 OP OA t AB ,则P、A、B共线
(B)若 3OP OA AB ,则P是AB的中点
(C)若 OP OA t AB ,则P、A、B不共线
向量规.规定定a 平:: oo行与与于任任b一一记向向作量量aaa/是/是b共.共线线向向量量..
2.共线向量定理:空间任意两个向量
a
、b(
b
≠
0
),
a // b 的充要条件是存在实数 ,使 a b .
练习.已知A、B、P三点共线,O为直线外
一点,且OP OA OB,求 的值.
那么 A 、B 、P 三点共线吗?
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A•
•• l
BP
a
O
注:我们把非零 向量 a 叫做直线 l 的方向向量.
有机物共线共面问题的判断技巧
有机物共线共面问题的判断技巧一、共线与共面基本概念在有机化学中,共线与共面问题是指分子中的原子或基团是否处于同一平面或直线上。
共线问题主要涉及碳碳三键和苯环中的原子共线问题,而共面问题则更加复杂,涉及到多种因素。
二、判断原则和方法判断有机物分子中的原子是否共面或共线,需要遵循以下原则和方法:1.烷烃分子中C原子周围最多有3个H原子与其共平面。
2.含有苯环的有机物分子中,与苯环直接相连的原子一定与苯环共平面。
3.含有碳碳双键或碳碳叁键的有机物分子中,与双键或叁键碳原子直接相连的原子一定与双键或叁键共平面。
4.含有-C=O的有机物分子中,与氧原子直接相连的原子与C=O共平面。
5.某些取代基中有苯环、碳碳双键或碳碳叁键等结构时,可能影响到整个分子中的原子共平面。
6.利用空间几何关系,判断原子是否共平面或共直线。
三、常见有机物的共线与共面问题实例分析1.丙炔中的C≡C键和甲基中的C-C键的C原子周围最多有2个H原子与其共平面。
2.苯酚分子中的苯环上的所有原子共平面,-OH基处于该平面上,故该分子最多有14个原子共平面。
3.氯乙烯和苯乙烯中的双键碳原子周围最多有4个H原子与其共平面。
4.甲醛分子中的C=O双键和C原子周围最多有2个H原子与其共平面。
5.含有苯环的有机物分子中,如果苯环上含有甲基等取代基,则取代基中的H原子最多有3个与其共平面。
6.含有-CN基的有机物分子中,与氮原子直接相连的原子可能为2个或3个与其共平面。
7.含有-CH=CH-结构的有机物分子中,如果存在π-π共轭,则与碳碳双键碳原子直接相连的原子可能为4个与其共平面。
8.含有-C≡C-结构的有机物分子中,如果存在π-π共轭,则与碳碳叁键碳原子直接相连的原子可能为2个与其共直线。
9.含有-OH基的有机物分子中,如果存在氢键,则与氧原子直接相连的原子可能为3个与其共直线。
10.含有苯环的有机物分子中,如果存在硝基等取代基,则硝基中的氮原子的直线结构可能会影响整个分子中的原子共直线。
有机化合物共线共面问题的判断
有机化合物共线共面问题的判断1. 什么是共线共面?好嘞,咱们今天聊聊有机化合物里那些“共线”和“共面”的事儿。
这听上去有点复杂,其实说白了,就是化合物里的原子是怎么排布的。
想象一下,几位老朋友聚在一起,如果大家站成一条线,那就叫“共线”;如果他们凑在同一个平面上,就叫“共面”。
在化学的世界里,这种排列会影响化合物的性质和反应,所以可得好好琢磨琢磨。
1.1 共线的意思首先,咱们先说说“共线”。
你可以想象一下,像一根绳子一样,所有的原子都一字排开,稳稳当当。
这种排布往往会让化合物显得更稳定,反应起来也比较简单。
比如说,某些分子里,碳原子如果排列得像小排队似的,就可能让它们之间的结合力更强。
1.2 共面的意思再来说说“共面”,就是那些原子聚在一个平面上,像开会似的。
通常这种情况下,分子之间的相互作用会比较强,反应也可能更活跃。
咱们在研究的时候,得分清楚,看看哪些原子是“站队”的,哪些是“开会”的,才能弄明白化合物的特性。
2. 判断共线共面的方法接下来,就得说说咱们怎么判断这些原子的排列。
别担心,虽然听上去很复杂,其实就像玩拼图,稍微动动脑子就能找到正确的方式。
2.1 轨道重叠首先,有个重要的概念就是“轨道重叠”。
这就像是在谈恋爱一样,两个原子之间的电子云得靠得很近,才有可能形成稳固的化学键。
如果这些原子恰好在同一条线上,轨道重叠得特别好,那这就可以认为是“共线”了。
想象一下,你和朋友手拉手站成一条线,肯定比随便凑在一起更稳当。
2.2 角度判断其次,我们还可以通过测量角度来判断。
比如说,某些化合物里,如果原子之间的键角非常接近于180度,那就很可能是共线的;如果键角在120度左右,那可能就是共面的。
就像一场排舞,大家的舞步得协调,才能跳得又美又帅。
3. 实际应用中的意义说完这些基本的概念,咱们得聊聊这玩意儿的实际应用了。
很多时候,这些“共线共面”的性质直接关系到化合物的功能,比如药物的设计、材料的开发等等。
05 例谈共点、共线、共面、异面问题
证明1º若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设a,b,c相交于一点A∴直线d和A确定一个平面α.
又设直线d与a,b,c分别相交于E,F,G,
分析:先确定一个平面,然后证明相关直线在这个平面内,最后证明四点共线.
证明∵AB//CD,AB,CD确定一个平面β.
又∵AB ∩α=E,AB β, E α,E β,
即E为平面α与β的一个公共点.
同理可证F,G,H均为平面α与β的公共点.
∵两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线,
∴E,F,G,H四点必定共线.
求证:EF和DH是异面直线.
立体几何中的共点、共线、共面问题
一、共线问题
例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交,并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O,求证:
(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内;
(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交,那么交点在同一直线上(如图).
四边形 是梯形,其两腰必相交,设两腰 相交于一点 ,
平面 平面 , 平面 平面 ,
又平面 平面 .故 相交于同一点 .
2.已知平面α,β,且α∩β= .设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β,求证:AB,CD, 共点(相交于一点).
分析:AB,CD是梯形ABCD的两条腰,必定相交于一点M,只要证明M在 上,而 是两个平面α,β的交线,因此,只要证明M∈α,且M∈β即可.
由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.
数学共线共面问题
数学共线共面问题
数学中的共线共面问题涉及的是几何学中的基本概念。
在二维空间中,共线指的是在同一直线上,而共面则是指的是在同一个平面上。
首先,我们来看共线问题。
在二维空间中,如果三个点共线,那么它们必然位于同一直线上。
这个性质在证明几何命题时非常有用。
例如,如果你知道两个点A和B在直线l上,而点C也在直线l上,那么你就可以推断出A、B、C三点共线。
其次,我们来看共面问题。
在三维空间中,如果三个平面共面,那么它们必然位于同一个平面上。
这个性质在解决实际问题时非常有用。
例如,在建筑学中,如果建筑物的三个面共面,那么这个建筑物就可能是不稳定的。
此外,还有共线共面同时存在的问题。
在二维空间中,如果四个点共面且共线,那么它们必然位于同一直线上。
这个性质在证明几何命题时也非常有用。
例如,如果你知道两个点A和B在直线l上,而点C和D也在直线l上,而且A、B、C、D四点共面,那么你就可以推断出A、B、C、D四点共线。
在实际问题中,共线共面问题的应用非常广泛。
例如,在物理学中,共线共面问题可以用来解决力学问题;在工程学中,共线共面问题可以用来解决机械设计问题;在计算机科学中,共线共面问题可以用来解决图形学问题等等。
总之,数学中的共线共面问题涉及的是几何学中的基本概念,它
们在实际问题中的应用非常广泛。
理解这些概念对于解决实际问题非常重要。
有机化学专题复习-原子共线、共面问题
有机化学专题复习-原子共线、共面问题1.几种典型的结构模型:H-C≡C-H2.判断共线、共面问题思考的角度:(1)展开空间构型:其他有机物可看作甲烷、乙烯、苯三种典型分子中的氢原子被其他原子或原子团代替后的产物,但这三种分子的空间结构基本不变,如CH2=CHCl,可看作氯原子代替了原有乙烯分子中氢原子的位置。
(2)单键旋转思想:有机物分子中的单键,包括碳碳单键、碳氢单键、碳氧单键等均可旋转。
但是碳碳双键和碳碳三键等不能旋转,对原子的空间位置具有“固定”作用。
如结构简式为的有机化合物,其空间结构如图所示,转动①处C—C键可使两平面M1和M2重合为同一平面,炔直线位于醛平面上,但甲基上的H原子都不在炔直线上,转动②处C—C 键,可使甲基的一个H原子位于醛平面上。
(3)定平面规律:共平面的不在同一直线上的3个原子处于另一平面时,两平面必定重叠,两平面内的所有原子必定共平面。
(4)定直线规律:直线形分子中有2个原子处于某一平面内时,该分子中的所有原子也必在此平面内。
(5)注意题目中的隐含条件和特殊规定,如题目中的“碳原子”、“所有原子”、“可能”、“一定”、“最少”、“最多”、“共线”、“共面”等在审题时要加以小心。
变式训练:1.某烃结构简式如下:,有关说法正确的是(A)A.该分子中有6个碳原子一定在同一条直线上B.该分子中有8个碳原子可能在同一条直线上C.该分子中所有碳原子不可能都在同一平面上D.该分子中所有氢原子可能在同一平面2.下列分子中的所有碳原子不可能在同一平面上的是(B)解析:选B由于饱和碳原子上连接4个共价键,构成四面体。
所以凡是含有饱和碳原子的化合物,分子中的所有原子就不可能是共面的。
B项有机物中有连接3个碳原子的饱和碳原子,其所有碳原子不可能在同一平面上,其余都是可以的。
3.下列化合物分子中的所有原子都处于同一平面的是(C )C.氯乙烯(ClCH=CH2)D.丙烯(CH3CH=CH2)解析:选C。
有机分子共线共面问题
一.熟记五类分子空间构型二. 判断技巧:(1)审清题干要求:注意“可能”“一定”“最多”“最少”“所有原子”“碳原子”“氢原子”等关键词和限制条件。
(2)熟记常见共线、共面的官能团:与三键直接相连的共直线,如-C≡C -、-C≡N ;与双键和苯环直接相连的原子共面,如、、;醛、酮、羧酸因与 与相似为平面形(等电子原理),故为平面形分子(所有原子共平面)。
但、所有原子不共平面(因含-CH 3),而-CH 3中的C 与(羰基)仍共平面。
又中*H 与其它原子可能共平面。
因*O 有两对孤电子对,故1个O 与其余2个原子形成的2个价键成V 型(与相似),故C 、O 、H 不共直线。
分子内任意3个原子也不共直线;若有两个苯环共边,则两个苯环一定共面,例如和结构中所有的原子都在同一平面上;若甲基与一个平面形结构相连,则甲基上的氢原子最多有一个氢原子与其共面。
若一个碳原子以四个单键与其他原子直接相连,则这四个原子为四面体结构,不可能共面。
三.易错分析:(1)苯与环己烷:苯()中所有原子共平面,而环己烷()中所有原子不共面。
(2)庚烷中碳碳单键经过旋转,所有的碳原子有可能共面。
(3)以碳原子和化学键为立足点,若碳原子周围都是单键,那么该碳原子与其周围的原子就不共面,。
如CH3Cl。
(4)若两个平面形结构的基团之间以单键相连,这个单键可以旋转,则两个平面可能共面,但不是“一定”共面,如联苯(5)碳原子以单键与其他原子结合时位于四面体中心,且与另两个原子共面;碳碳单键可旋转,碳碳单键不可旋转;CH2Cl2没有同分异构体,说明CH4是正四面体结构;的二元卤代物没有同分异构体,说明苯环上的碳与碳之间的化学键都一样,整个分子中的原子共面。
四、结构不同的基团连接后原子共面分析1.直线与平面连接:直线结构中如果有2个原子(或者一个共价键)与一个平面结构共用,则直线在这个平面上。
如CH2=CH-C≡CH,其空间结构为,中间两个碳原子既在乙烯平面上,又在乙炔直线上,所以直线在平面上,所有原子共平面。
共线共面问题教案
共线共面问题教案教案标题:共线共面问题教案教案目标:1. 理解共线和共面的概念,并能够将其应用于解决相关问题。
2. 掌握共线共面问题的解题方法和技巧。
3. 培养学生的逻辑思维和几何推理能力。
教案步骤:引入(5分钟):1. 引导学生回顾直线和平面的定义,提问是否知道共线和共面的概念。
2. 通过实际生活中的例子,如一条笔直的铁轨上的三个火车站点,引导学生理解共线的概念。
3. 通过展示一张图片或物体,如一本书和一只笔放在同一个平面上,引导学生理解共面的概念。
讲解(10分钟):1. 介绍共线的定义:三个或更多个点位于同一条直线上时,称它们为共线点。
2. 介绍共面的定义:四个或更多个点位于同一个平面上时,称它们为共面点。
3. 引导学生通过绘制示意图来帮助理解共线共面的概念。
示例分析(15分钟):1. 给出一个共线问题的示例,如三个点A、B、C是否共线,要求学生通过测量线段长度或计算斜率来判断。
2. 给出一个共面问题的示例,如四个点A、B、C、D是否共面,要求学生通过计算四个点构成的平面方程来判断。
练习(15分钟):1. 分发练习题,要求学生判断给定的点是否共线或共面,并解释判断依据。
2. 提供不同难度的问题,让学生进行个人或小组讨论,鼓励他们运用所学知识解决问题。
总结(5分钟):1. 对本节课所学内容进行总结,强调共线共面的概念和判断方法。
2. 鼓励学生在实际生活中应用所学知识,如在地图上判断三个城市是否共线。
3. 鼓励学生提出问题和疑惑,并进行讨论和解答。
拓展活动:1. 给学生提供更复杂的共线共面问题,让他们进行探究和解决。
2. 引导学生进行实际测量和绘图,验证共线共面问题的结论。
3. 鼓励学生独立思考并提出自己的共线共面问题,进行讨论和解答。
评估方式:1. 教师观察学生在课堂上的参与和回答问题的能力。
2. 批改练习题,评估学生对共线共面问题的理解和应用能力。
3. 针对学生的拓展活动表现进行评估。
教学资源:1. 图片或物体示例2. 练习题3. 白板、黑板或投影仪教案特点:1. 通过引入实际生活中的例子,帮助学生理解共线共面的概念。
有机物分子共线共面完整问题 答案
有机物分子共线、共面问题 例题: 1、丙烷中最多有 3 个碳原子共面,最多有 5 个原子共面。
2、① 丙烯中有 3 个C 原子共面和 3 个H 原子一定共面。
丙烯中至少有 3 个C 原子共面和 3 个H 原子共面。
丙烯中最多有 3 个C 原子共面和 4 个H 原子共面。
丙烯中可能有 3 个C 原子共面和 4 个H 原子共面。
②2,3—二甲基—2—丁烯至少有 6 个原子共面,最多有 10 个原子共面。
③右上图的二烯烃至少有 6 个C 原子共面,最多有 10 个C 原子共面。
至少有 6 个原子共面,最多有 16 个原子共面。
3、甲苯有 12 个原子一定共面,最多有 13 个原子共面。
4、丙炔有 4 个原子一定共线,最多有 5 个原子共面。
5、①下图该有机物有 4 个原子一定在一条直线上,至少有 8 个原子共面,最多有 9 个原子共面。
CH 3-CH 2—CH =C(C 2H 5)-C ≡CH 中含四面体结构的碳原子数为 4 ,在同一直线上的碳原子数最多为 3 ,一定在同一平面内的碳原子数为 6 ,最少共面的原子数为 8 ,最多共面的原子数为 12 。
C=C CH 3 ╲ CH 3 ╱ H 3C ╱ ╲ H 3C C=C ╲ CH 3 ╱ ╱ H 3C C=C CH 3╲ CH 3 ╱ H 3C ╱ H 3C ╲③CH3--CH=CH-C≡C-CH3分子中,处于同一平面上的原子数最多可能是20 个。
【练习】1、下列有机分子中,所有的原子不可能处于同一平面的是(D )A.CH2=CH-CN B.CH2=CH-CH=CH2C. -CH=CH2D.CH2=C-CH=CH2CH32、(双选)描述CH3-CH=CH-C≡C-CF3分子结构的下列叙述中,正确的是(BC)A.6个碳原子有可能都在一条直线上B.6个碳原子不可能都在一条直线上C.6个碳原子一定都在同一平面上D.6个碳原子不可能都在同一平面上该分子结构中至少可以有8 个原子在同一个平面?最多可以有10 个原子在同一个平面3、甲烷分子中四个氢原子都可以被取代。
简单有机物中原子共线、共面问题
简单有机物中原子共线、共面问题1.抓牢“三个”基本结构
甲烷分子中所有原子一定不共平面,最多有3个原子处在一个平
面上,若用其他原子代替其中的任何氢原子,所得有机物中所有
原子一定不共平面,如CH3Cl分子中所有原子不在一个平面上
乙烯分子中所有原子一定共平面,若用其他原子代替其中的任何
氢原子,所得有机物中所有原子仍然共平面,如CH2==CHCl分子
中所有原子共平面
苯分子中所有原子一定共平面,若用其他原子代替其中的任何氢
原子,所得有机物中的所有原子也仍然共平面,如溴苯()
分子中所有原子共平面
2.把握“三步”解题策略
3.单键旋转思想
有机物分子中的单键,包括碳碳单键、碳氢单键、碳氧单键等均可绕键轴旋转。
但是双键和三键不能绕轴旋转,对原子的空间结构具有“定格”作用。
1.甲苯分子中至少有几个原子可以共平面?最多有几个原子可以共平面?
答案1213
解析如图,甲苯中的7个碳原子(苯环上的6个碳原子和甲基上的一个碳原子)、5个氢原子(苯环上的5个氢原子),这12个原子一定共平面。
此外甲基上1个氢原子(①H、②C、③C构成三角形)也可以转到这个平面上,其余两个氢原子分布在平面两侧,故甲苯分子中最多可能有13个原子共平面。
2.CH3CH==CH—C≡CH分子中最多有几个原子在同一条直线上?最多有几个原子共面?答案49
解析可以将该分子展开,此分子包含一个乙烯型结构、一个乙炔型结构(如图),
其中①C、②C、③C、④H 4个原子一定在一条直线上。
该分子中至少8个原子在同一平面上。
由于碳碳单键可以绕键轴旋转,—CH3中有一个氢原子可以进入该平面,故该分子中最多有9个原子共平面。
有机物分子中原子共线、共面问题(带答案)
有机物分子中原子共线、共面问题(带答案)有机物分子中原子共线、共面问题为了判断有机物分子中的原子是否共线共面,我们需要先熟记五类分子的空间构型,包括6点共面、4点共线(面)、12点共面、平面结构和正四面体。
然后将这些构型从简单的分子中衍变至复杂的有机物中,以判断原子是否共线共面。
举个例子,我们可以通过旋转来判断原子是否共面。
单键是可旋转的,而双键和三键则不可。
如果直线结构中有两个原子与平面结构共用,则直线在这个平面上。
如果两个平面结构通过单键相连,则由于单键的旋转性,两个平面不一定重合,但可能重合。
如果甲基与平面结构通过单键相连,则由于单键的旋转性,甲基的一个氢原子可能暂时处于这个平面上。
在分析直线、平面和立体连接的大分子时,我们需要注意两点。
首先,我们需要观察大分子的结构,找出甲烷、乙烯、乙炔和苯分子的“影子”,再将它们的分子构型知识迁移过来。
其次,苯环以单键连接在6号不饱和碳原子上,不管单键如何旋转,8号和9号碳原子总是处于乙烯平面上。
练题:1.描述CH3-CH=CH-C≡C-CF3分子结构的叙述中,正确的是(BC)。
A。
6个碳原子有可能都在一条直线上B。
6个碳原子不可能都在一条直线上C。
6个碳原子有可能都在同一平面上D。
6个碳原子不可能都在同一平面上2.下列有机化合物分子中的所有碳原子不可能处于同一平面的是(D)。
3.在分子中,处于同一平面上的原子数最多可能是(D)。
A。
12个B。
14个C。
18个D。
20个4.在分子中,处于同一平面上碳原子数最少是(A)。
A。
CH3-CH3B。
C-CH3C。
CH2-C-CH3D。
CH3-CH2C。
共点、共线、共面问题教师版
共点、共线、共面问题总结(教师版)【问题一】共点问题基本思路:两条直线交于一点,然后证明交点在其它直线上1、空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,证明此三条直线必相交于一点. 证明:∵l 1⊂β,l 2⊂β,l 1P l 2,∴l 1∩l 2交于一点,记交点为P .∵P∈l 1⊂β,P∈l 2⊂γ,∴P∈β∩γ=l 3,∴l 1,l 2,l 3交于一点.2.如图,E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且直线EH 与直线FG交于点O .求证:EH 、FG 、BD 三线共点.【证明】 ∵E ∈AB ,H ∈AD ,∴E ∈平面ABD ,H ∈平面ABD .∴EH ⊂平面ABD .∵EH ∩FG =O ,∴O ∈平面ABD .同理O ∈平面BCD ,即O ∈平面ABD ∩平面BCD ,∴O ∈BD ,EH 、FG 、BD 三线共点.3、已知四边形ABCD 是空间四边形,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边CB ,CD 上的点,且BF BC =DG DC =23,求证:直线FE ,GH ,AC 交于一点. 证明:∵E,H 分别是边AB ,AD 的中点,∴EH ∥BD.又∵BF BC =DG DC =23,∴FG ∥BD , ∴EH ∥FG ,且EH≠FG,故四边形EFGH 是梯形,∴EF ,HG 相交.设EF∩HG=K ,∵K ∈EF ,EF ⊂平面ABC ,∴K ∈平面ABC ,同理K∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD =AC ,∴K ∈AC ,故直线FE ,GH ,AC 交于一点.【问题二】共线问题基本思路:寻找一条特殊线,证明所有点在这条直线上或两点确定一条直线,然后证明其它点在这条直线上3、已知△AB C 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点,求证:P 、Q 、R 三点共线. 证明:如图,∵A、B 、C 是不在同一直线上的三点,∴过A 、B 、C 有一个平面β.又∵AB∩α=P ,且AB β,∴点P 既在β内又在α内.设α∩β=l,则P ∈l,同理可证:Q ∈l,R ∈l,∴P、Q 、R 三点共线.4.如图所示,四边形ABCD 中,已知AB ∥CD ,AB ,BC ,DC ,AD(或延长线)分别与平面α相交于E ,F ,G ,H ,求证:E ,F ,G ,H 必在同一直线上.证明:因为AB∥CD,所以AB ,CD 确定平面AC ,AD∩α=H ,因为H∈平面AC ,H∈α,由公理3可知,H 必在平面AC 与平面α的交线上.同理F 、G 、E 都在平面AC 与平面α的交线上,因此E ,F ,G ,H 必在同一直线上【问题三】四点共面问题基本思路:① 证明四个点在两条平行线上 ② 证明四个点在两条相交线上③ 证明三个点共线 ④三个不共线的点确定一个平面,证明第四个点在这个平面内5.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为AB 的中点,F 为AA 1的中点.求证:E ,C ,D 1,F 四点共面. 证明:延长D 1F ,设D 1F ∩DA =O ,延长CE ,设CE ∩DA =O 1.∵F 为AA 1的中点,∴OA =AD .同理O 1A =AD ,∴O 与O 1重合,∴D 1F ∩CE =O ,∴E ,C ,D 1,F 四点共面.【问题四】直线共面问题基本思路:两条直线确定一个平面,然后证明其它直线在这个平面内6、如图所示,l 1∩l 2=A ,l 2∩l 3=B ,l 1∩l 3=C.求证:直线l 1,l 2,l 3在同一平面内.证明:∵l 1∩l 2=A ,∴l 1,l 2确定一平面α,又l 2∩l 3=B ,l 1∩l 3=C ,∴B ∈l 2,C ∈l 1,∴B ∈α,C ∈α,∴l 3⊂α,∴直线l 1,l 2,l 3在同一平面内.7.已知直线b ∥c ,且直线a 与直线b ,c 都相交,求证:直线a ,b ,c 共面.证明:∵b∥c,∴直线b ,c 可以确定一个平面α.设a∩b=A ,a ∩c =B ,则A∈a,B ∈a ,A ∈α,B ∈α,即a ⊂α,故直线a ,b ,c 共面.8、求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.(注意分两类)证明:如图,直线a 、b 、c 、d 两两相交,交点分别为A 、B 、C 、D 、E 、F,∵直线a∩直线b=A,∴直线a 和直线b 确定平面设为α,即a,b ⊂α.∵B、C∈a,E 、F∈b,∴B、C 、E 、F∈α.而B 、F∈c,C 、E∈d,∴c、d ⊂α,即a 、b 、c 、d 在同一平面内.9、直线AB ,CD ,EF 两两平行,且分别与直线l 相交于A ,C ,E ,求证:AB ,CD ,EF 三条直线在同一个平面内.【问题五】综合问题10.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ,AC 、BD 交于点M ,E 为AB 的中点,F 为AA 1的中点.求证:(1)C 1、O 、M 三点共线;(2)E 、C 、D 1、F 四点共面;(3)CE 、D 1F 、DA 三线共点. 证明: (1)∵C 1、O 、M∈平面BDC 1,又C 1、O 、M∈平面A 1ACC 1,由公理3知,点C 1、O 、M 在平面BDC 1与平面A 1ACC 1的交线上, ∴C 1、O 、M 三点共线.(2)∵E,F 分别是AB ,A 1A 的中点,∴EF∥A 1B .∵A 1B∥CD 1,∴EF∥CD 1.∴E、C 、D 1、F 四点共面.(3)由(2)可知:四点E 、C 、D 1、F 共面.又∵EF=12A 1B . ∴D 1F ,CE 为相交直线,记交点为P .则P∈D 1F ⊂平面ADD 1A 1,P∈CE ⊂平面ADCB . ∴P∈平面ADD 1A 1∩平面ADCB =AD .∴CE、D 1F 、DA 三线共点.。
立体几何共线、共点、共面问题
立体几何中的共点、共线、共面问题一、共线问题一、共线问题 例1. 若ΔABC 所在的平面和ΔA 1B 1C 1所在平面相交,所在平面相交,并且直线并且直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ,求证:,求证:(1)AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内;分别在同一平面内;(2)(2)如果如果AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别相交,那么交点在同一直线上分别相交,那么交点在同一直线上((如图如图). ).例2. 点点P 、Q 、R 分别在三棱锥A-BCD 的三条侧棱上,且PQ PQ∩∩BC BC==X,QR X,QR∩∩CD CD==Z,PR ∩BD BD==Y.Y.求证:求证:求证:X X 、Y 、Z 三点共线三点共线. .例3. 已知△ABC 三所边所在直在直线分别线分别线分别与平与平面面α交于P 、Q 、R 点三点,求,求证证:P 、Q 、R 三点线共线。
二、共面问题 例4. 直线直线m 、n 分别和平行直线a 、b 、c 都相交,交点为A 、B 、C 、D 、E 、F ,如图,求证:直线a 、b 、c 、m 、n 共面共面. .例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内. . 已知:如图,直线l 1,l 2,l 3,l 4两两相交,且不共点两两相交,且不共点. . 求证:直线l 1,l 2,l 3,l 4在同一平面内在同一平面内例6. 已知:已知:已知:A A 1、B 1、C 1和A 2、B 2、C 2分别是两条异面直线l 1和l 2上的任意三点,上的任意三点,M M 、N 、R 、T 分别是A 1A 2、B 1A 2、B 1B 2、C 1C 2的中点的中点..求证:求证:M M 、N 、R 、T 四点共面四点共面. .例7. 在空间四边形在空间四边形ABCD 中,M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点,且满足MB AM =NBCN =QD AQ =PDCP =k. (1)(1)求证:求证:求证:M M 、N 、P 、Q 共面共面. .(2)(2)当对角线当对角线AC AC==a,BD a,BD==b ,且MNPQ 是正方形时,求AC AC、、BD 所成的角及k 的值的值((用a,b 表示表示) )三、共点问题三、共点问题例8. 三个平面两两相交得三条直线,求证:这三条直线相交于同一点或两两平行三个平面两两相交得三条直线,求证:这三条直线相交于同一点或两两平行. .1、(1)证明:∵:∵AA AA 1∩BB 1=O,∴AA 1、BB 1确定平面BAO BAO,,∵A 、A 1、B 、B 1都在平面ABO 内,内,∴AB Ì平面ABO ABO;;A 1B 1Ì平面ABO.同理可证,同理可证,BC BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内分别在同一平面内. .(2)(2)分析:欲证两直线的交点在一条直线上,可根据公理分析:欲证两直线的交点在一条直线上,可根据公理2,证明这两条直线分别在两个相交平面内,那么,它们的交点就在这两个平面的交线上两个相交平面内,那么,它们的交点就在这两个平面的交线上. .2证明:如图,设AB AB∩∩A 1B 1=P ;AC AC∩∩A 1C 1=R ;∴ 面面ABC ABC∩面∩面A 1B 1C 1=PR.∵ BC Ì面ABC ABC;;B 1C 1Ì面A 1B 1C 1,且 BC BC∩∩B 1C 1=Q Q ∴∴ Q Q∈∈PR,即 P P、、R 、Q 在同一直线上在同一直线上. .3解析:∵A 、B 、C 是不在同一直线上的三点是不在同一直线上的三点∴过A 、B 、C 有一个平面b又b a Ì=ÇAB P AB 且,.,,l p l P Î=Ç\则设内内又在既在点b a a b.,,,:三点共线同理可证R Q P l lR R l l Q Q \ÎÎ 4解析: 证明若干条直线共面的方法有两类:一是先确定一个平面,证明其余的直线在这个平面里;二是分别确定几个平面,然后证明这些平面重合线在这个平面里;二是分别确定几个平面,然后证明这些平面重合. .证明 ∵∵a ∥b,b,∴过∴过a 、b 可以确定一个平面α.∵A ∈a,a Ìα,∴,∴A A ∈α,同理B ∈a.又∵又∵A A ∈m ,B ∈m,m,∴∴m Ìα.同理可证n Ìα.∵b ∥c,c,∴过∴过b,c 可以确定平面β,同理可证m Ìβ.∵平面α、β都经过相交直线b 、m,∴平面α和平面β重合,即直线a 、b 、c 、m 、n 共面共面. .5、解析:证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.1.先证某两线确定平面先证某两线确定平面α,然后证其它直线也在α内.证明:图①中,:图①中,l l 1∩l 2=P ,∴ l 1,l 2确定平面α.又 l 1∩l 3=A,l 2∩l 3=C, C, ∴∴ C,A C,A∈∈α.故 l 3Ìα. 同理同理 l l 4Ìα.∴ l 1,l 2,l 3,l 4共面共面. .图②中,图②中,l l 1,l 2,l 3,l 4的位置关系,同理可证l 1,l 2,l 3,l 4共面共面. .所以结论成立所以结论成立. .6、证明 如图,连结如图,连结MN MN、、NR NR,则,则MN MN∥∥l 1,NR ,NR∥∥l 2,且M 、N 、R 不在同一直线上不在同一直线上((否则,根据三线平行公理,知l 1∥l 2与条件矛盾与条件矛盾).).).∴∴ MN MN、、NR 可确定平面β,连结B 1C 2,取其中点S.S.连连RS RS、、ST ST,则,则RS RS∥∥l 2,又RN RN∥∥l 2,∴,∴ N N N、、R 、S 三点共线三点共线..即有S ∈β,又ST ST∥∥l 1,MN MN∥∥l 1,∴,∴MN MN MN∥∥ST ST,又,又S ∈β,∴,∴ ST ST Ìβ.∴ M 、N 、R 、T 四点共面. 7解析:(1)(1)∵∵ MB AM=QD AQ =k∴ MQ MQ∥∥BD BD,且,且MB AM AM +=1+k k ∴ BD MQ =AB AM =1+k k ∴ MQ MQ==1+k kBD 又 NB CN =PDCP =k ∴ PN PN∥∥BD BD,且,且NB CN CN +=1+k k ∴ BD NP =CB CN =1+k k 从而NP NP==1+k k BD ∴ MQ MQ∥∥NP NP,,MQ MQ,,NP 共面,从而M 、N 、P 、Q 四点共面四点共面. .(2)(2)∵∵ MA BM =k1,NC BN =k 1 ∴ MA BM=NC BN =k 1,MA BM BM +=11+k∴ MN MN∥∥AC AC,又,又NP NP∥∥BD.∴ MN 与NP 所成的角等于AC 与BD 所成的角所成的角. .∵ MNPQ 是正方形,∴是正方形,∴ ∠∠MNP MNP==9090°°∴ AC 与BD 所成的角为9090°,°,°,又AC AC==a ,BD BD==b ,AC MN =BA BM =11+k ∴ MN MN==11+k a又 MQ MQ==11+k b,b,且且MQ MQ==MN MN,, 1+k k b =11+k a ,即k =b a .说明:公理4是证明空间两直线平行的基本出发点是证明空间两直线平行的基本出发点. .已知:平面α∩平面β=a ,平面β∩平面γ=b ,平面γ∩平面α=c . 求证:a 、b 、c 相交于同一点,或a ∥b ∥c .证明:∵α∩β=a ,β∩γ=b∴a 、b Ìβ∴a 、b 相交或a ∥b .(1)a 、b 相交时,不妨设a ∩b =P ,即P ∈a ,P ∈b而a 、b Ìβ,a Ìα∴P ∈β,P ∈α,故P 为α和β的公共点的公共点又∵α∩γ=c由公理2知P ∈c∴a 、b 、c 都经过点P ,即a 、b 、c 三线共点三线共点. .(2)(2)当当a ∥b 时∵∩=c且aÌ,aË∴a∥c且a∥b∴a∥b∥c两两平行. .故a、b、c两两平行相交于一点或两两平行. . 由此可知a、b、c相交于一点或两两平行。
平面几何中的共线与共面问题
平面几何中的共线与共面问题在平面几何中,共线与共面问题是研究几何图形中点、线、面之间位置关系的重要内容。
共线是指多个点在同一条直线上,共面是指多个点在同一个平面上。
本文将介绍共线与共面的定义、判定方法以及应用。
一、共线的定义与判定共线是指多个点在同一条直线上。
在平面几何中,判定多个点是否共线的方法有多种,下面将介绍常用的判定方法。
1.1 三点共线三点共线是指三个点在同一条直线上。
判定三个点共线的方法有很多,其中最常用的方法是通过计算斜率。
首先,选取其中两点A、B,计算斜率 k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1);然后,选取另外两点B、C,计算斜率 k2 = (y3 - y2) / (x3 - x2);最后,若 k1 = k2,则三个点A、B、C共线。
1.2 多点共线判定多个点是否共线时,除了计算斜率的方法外,还可以通过构造向量的方法进行判定。
对于n个点 A1(x1, y1)、A2(x2, y2)、...、An(xn, yn),构造两个向量V1 = A2 - A1,V2 = A3 - A1;然后,计算两个向量的叉积 V = V1 × V2;最后,若 V = 0,则n个点共线。
二、共面的定义与判定共面是指多个点在同一个平面上。
在平面几何中,判定多个点是否共面的方法和共线类似,下面将介绍常用的判定方法。
2.1 四点共面四点共面是指四个点在同一个平面上。
判定四个点共面可利用行列式的方法进行判断。
选取四个点A、B、C、D,将它们的坐标表示为矩阵的形式:A = (x1, y1, z1),B = (x2, y2, z2),C = (x3, y3, z3),D = (x4, y4, z4);然后,构造3阶行列式det(A, B, C, D) = |1 x1 y1 z1 ||1 x2 y2 z2 ||1 x3 y3 z3 ||1 x4 y4 z4 |;若 det(A, B, C, D) = 0,则四个点A、B、C、D共面。
有机原子共线共面问题
有机原子共线共面问题近年来,有机原子共线共面问题在有机化学领域中备受关注。
这个问题涉及到有机分子的几何构型以及反应机理等多个方面,在有机合成和生物化学等领域具有重要的应用价值。
下面将分步骤对这个问题进行阐述。
第一步:认识有机原子共线共面问题有机原子共线共面问题指的是,在某些情况下,有机分子中的一些原子会趋向于排列在同一直线或同一平面上。
这种现象存在于化学结构中,常常也与一些化学性质密切相关。
例如,共面的三个原子能够形成一个平面角度,若角度相等,就可以达到光学畸变,进而引起某些光电性质的变化。
第二步:探究有机原子共线共面问题的成因有机原子共线共平面问题与有机化学中的键阻力有关。
如当分子中存在π键、环状结构时,这些部分会引起原子之间的位阻,从而影响有机分子的构型。
此外,有机分子的扭曲及氢键等因素也可以引起分子构型的变化。
第三步:分析有机原子共线共面问题对化学反应的影响有机原子共线共面的问题可能会导致分子的极性、光学活性以及吸附性能等方面发生变化,这些变化将直接影响到有机分子及其反应。
在有机合成反应中,有机原子共线共面问题可能限制反应的速率和产率,同时也会影响化合物分子间的相互作用。
第四步:解决有机原子共线共面问题的方法有机原子共线共面问题的解决方法多种多样。
在设计有机分子结构的过程中,可以采用不同的构型来避免或减小有机原子共线共面问题的影响。
另外,改变反应条件,如反应溶剂、温度等,也可以降低有机原子共线共面问题对化学反应的影响。
综上所述,有机原子共线共面问题是有机化学中的一个重要问题,它牵涉到有机分子的构型、性质以及反应机理等多方面。
透过对这个问题的深入研究,可以帮助我们更好地了解有机分子的性质及其应用价值,为相关领域的发展提供一定的理论和实践指导。
共线共面问题资料
(3)
—C≡C—CH=CF2
思考:(1)至少有几个碳原子共面? (2)最多有几个碳原子共面?
▪ 例3.对于CH3—CH=CH—C≡C—CF3分子结 构的描述
▪ (1)下列叙述中,正确的是( C ). ▪ (A)6个碳原子有可能都在一条直线上 ▪ (B)6个碳原子不可能都在一条直线上 ▪ (C)6个碳原子有可能都在同一平面上 ▪ (D)6个碳原子不可能都在同一平面上 ▪ (2)一定在同一直线上的碳原子个数为___4___。 ▪ (3)位于同一平面内的原子数最多有___6___个。
H-C≡N 腈原子团共线
H C
H3C
H C
C C H
该有机物最多有_九__个原子可能共面
最少_六__个碳原子,最多_十__个 碳原子共面
四、苯的平面结构 当苯分子中的一个氢原子被其他
原子或原子团取代时,代替该氢原子 的原子一定在苯分子所在平面内。
12原子共面(6C6H)
对角线4原子共线(2C2H)
共线共面问题
一、甲烷的正四面体结构: 甲烷分子中有且只有_三__个原子共面
(一C两H)
乙烷的结构
乙烷最多有_四__个原子可能共面 (两C两H)
丙烷的结构
乙烷最多有_五__个原子可能共面 (三C两H)
戊烷模型
二、乙烯的平面结构 当乙烯分子中某氢原子被其他原 子或原子团取代时,则代替该氢 原子的原子一定在乙烯的平面内。
甲苯最多有_1_3_个原子可能共面
苯乙烯最多有_1_6_个原子可能共面
萘共有_1_8_个原子共面 (十C八H)
蒽共有_2_4_个原子共面 (14C10H)
共有_1_7_个原子共面 (11C6H)
该有机物最多有_1_9_个原子共面
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有机物分子中原子的共面共线问题
袁清理
有机分子中原子的共面共线是中学有机化学教学的一个难点。
此类题目的解题思维方法如下:原子共面共线问题思维的基础:甲烷的正四面体结构;乙烯、苯、萘、蒽的平面结构;乙炔的直线结构。
1.甲烷的正四面体结构
在甲烷分子中,一个碳原子和任意两个氢原
子可确定一个平面,其余两个氢原子分别位于平
面的两侧,即甲烷分子中有且只有三原子共面
(称为三角形规则)。
当甲烷分子中某氢原子被
其他原子或原子团取代时,该代替原子的共面问题,可将它看作是原来氢原子位置。
CH 3CH3其结构式可写成如图2所
示。
左侧甲基和②C构成“甲烷分
子。
此分子中⑤H,①C,②C构成三
角形。
中间亚甲基和①C,③C构成“甲烷”分子。
此分子中①C,②C,③C构成三角形,同理②C,③C,④H
构成三角形,即丙烷分子中最多两个碳原子(①C,②C,③C)三个氢原子(④H,⑤H)五原子可能共面。
2.乙稀的平面结构
乙烯分子中的所有原子都在同一平面内,
键角为120°。
当乙烯分子中某氢原子被其
他原子或原子团取代时,则代替该氢原子的
原子一定在乙烯的平面内。
CH3CH=CH2其结构式可写成如图4所示。
三个氢原子(①②③)和三个碳原子(④⑤
⑥)六原子一定共面。
根据三角形规则[⑤C,⑥C,⑦H 构成三角形]。
⑦H也可能在这个平面上。
(CH3)2C=C(CH3)2至少6个原子(6个碳原子),至多10个原子[6个碳原子和4个氢原子(每个甲基可提供一个氢原子)]共面。
3.苯的平面结构
苯分子所有原子在同一平面内,键角为
120°。
当苯分子中的一个氢原子被其他原子或原
子团取代时,代替该氢原子的原子一定在苯分子所在平面内。
甲苯中的7个碳原子(苯环上的6个碳原
子和甲基上的一个碳原子),5个氢原子
(苯环上的5个氢原子)这12个原子一定
共面。
此外甲基上1个氢原子(①H,②C,③C构成三角形)也可以转到这个平面上,其余两个氢原子分布在平面两侧。
故甲苯分子中最多有可能是13个原子共面。
同理可分析萘分子中10个碳原子,8个氢原
子18原子共面和蒽分子中14个碳原子,10个氢原子,共24个原子共面问题。
4.乙炔的直线结构
乙炔分子中的2个碳原子和2个氢原子一定在一条直线上,键角为180°。
当乙炔分子中的一个氢原子被其他原
子或原子团取代时,代替该氢原子的原子一定和乙炔分子的其他原子共线。
①H ②C ③C ④C四原子共线,甲基中的三个氢原子
一定不在这条直线上。
此分子中①C ②C ③C ④H四原子一定在一条直线上。
故该分子共有8个原子在同一平面
上。
再如:其结构简
式可写成最少6个碳原子(因双键与双键之间的碳碳单键可以转动),最多10个碳原子共面。
再如:中11个碳原子,萘环上的6个氢原子共17个原子共面。
亚甲基上的两个氢原子分别位于平面的两侧(①C ②C ③C构成三角形)。