2012年广东高考数学试题(理数)

【解析】解集为_____ ( −∞, − ]
2 11. 已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 = 1, a3 = a2 − 4 ，则 an = _____
【解析】 an = _____ 2n − 1
2 a1 = 1, a3 = a2 − 4 ⇔ 1 + 2d = (1 + d ) 2 − 4 ⇔ d = 2 ⇔ an = 2n − 1
【解析】 （1） 0.006 × 10 × 3 + 0.01× 10 + 0.054 × 10 + x × 10 = 1 ⇔ x = 0.018 （2） 成绩不低于 80 分的学生有 (0.018 + 0.006) × 10 × 50 = 12 人， 其中成绩在 90 分以上 （含 90 分） 的人数为 0.06 × 10 × 50 = 3 随机变量 ξ 可取 0,1, 2
1 1 y = ( ) x 区间 (0, +∞) 上为减函数， y = x + 区间 (1, +∞ ) 上为增函数 2 x
⎧ y≤2 ⎪ 5. 已知变量 x, y 满足约束条件 ⎨ x + y ≥ 4 ，则 z = 3 x + y 的最大值为( ⎪x − y ≤1 ⎩ ( A) 12
【解析】选 B
12. 曲线 y = x 3 − x + 3 在点 (1,3) 处的切线方程为 【解析】切线方程为
3
2x − y +1 = 0 y = x − x + 3 ⇒ y′ = 3 x − 1 ⇒ k = y ′ x =1 = 2 ⇒ 切线方程为 y − 3 = 2( x − 1) 即 2 x − y + 1 = 0 13. 执行如图 2 所示的程序框图，若输入 n 的值为 8 ， 则输出 s 的值为 【解析】输出 s 的值为 8 S 8 1 2 4 i 6 8 2 4 k 3 1 2 4
（2）设 α , β ∈ [0, 17. (本小题满分 13 分) 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图 如图 4 所示，其中成绩分组区间是： [40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。 （1）求图中 x 的值； （2）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人， 该 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为 ξ ， 求 ξ 的数学期望。
(C ) (6,10)
( D ) (−6, −10)
)
( A) y = ln( x + 2)
( B) y = − x + 1
1 (C ) y = ( ) x 2
(D) y = x +
1 x
【解析】选 A y = ln( x + 2) 区间 (0, +∞ ) 上为增函数， y = − x + 1 区间 (0, +∞ ) 上为减函数
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分。
(一）必做题（9-13 题） 9. 不等式 x + 2 − x ≤ 1 的解集为_____
1 2 ⎧ x ≤ −2 ⎧− 2 < x ≤ 0 ⎧x > 0 1 原不等式 ⇔ ⎨ 或⎨ 或⎨ ,解得 x ≤ − , 2 ⎩−( x + 2) + x ≤ 1 ⎩ x + 2 + x ≤ 1 ⎩ x + 2 − x ≤ 1 1 10. ( x 2 + ) 6 的展开式中 x3 的系数为______。 （用数字作答） x 【解析】系数为______ 20 1 k − k 2(6 − k ) k 12 −3 k ( x 2 + )6 的展开式中第 k + 1 项为 Tk +1 = C6 x x = C6 x (k = 0,1, 2, … , 6) x 3 令 12 − 3k = 3 ⇔ k = 3 得： x3 的系数为 C6 = 20
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。 1. 设 i 为虚数单Hale Waihona Puke Baidu，则复数
5 − 6i =( i
)
( A) 6 + 5i
【解析】选 D 依题意：
( B) 6 − 5i
(C ) −6 + 5i
( D ) −6 − 5i
5 − 6i (5 − 6i )i = = −6 − 5i ，故选 D . i i2 2．设集合 U = {1, 2,3, 4,5, 6}, M = {1, 2, 4} ；则 CU M = ( ) ( A) U ��� � ��� � ( B) {1,3,5} ��� � (C ) {3, 5, 6} ( D ) {2, 4, 6}
2
（二）选做题（14 - 15 题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为
⎧ ⎪x = t ⎧ x = 2 cos θ ，它们的交点坐标为_______. C1 : ⎨ (t 是参数） 和 C : ⎪ (θ 是参数） 2 ⎨ ⎪ ⎩y = t ⎪ ⎩ y = 2 sin θ 【解析】它们的交点坐标为_______ (1,1) C1 : y 2 = x( y > 0), C2 : x 2 + y 2 = 2 解得：交点坐标为 (1,1) 15.(几何证明选讲选做题）如图 3，圆 O 的半径为 1, A, B, C 是圆周上的三点，满足， ∠ABC = 30ο ，过点 A 做圆 O 的切线 与 OC 的延长线交于点 P ，则 PA = _____
【解析】选 C CU M = {3, 5, 6}
3. 若向量 BA = (2,3), CA = (4, 7) ；则 BC = (
)
( A) (−2, −4) ( B) (2, 4) ��� � ��� � ��� � 【解析】选 A BC = BA − CA = ( −2, −4)
4. 下列函数中，在区间 (0, +∞ ) 上为增函数的是(
( D ) 81π
【解析】选 C 几何体是圆柱与圆锥叠加而成 它的体积为 V = π × 3 × 5 + π × 3 × 5 − 3 = 57π
2 2
2
2
7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个， 其个位数为 0 的概率是( )
( A)
4 9
( B)
1 3
(C )
2 9
(D)
1 9
【解析】选 D ①个位数为 1,3,5, 7,9 时，十位数为 2, 4, 6,8 ，个位数为 0, 2, 4, 6,8 时，十位数为 1,3,5, 7,9 ，共 45 个 ②个位数为 0 时，十位数为 1,3,5, 7,9 ，共 5 个别个位数为 0 的概率是
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2cos(ω x + （1）求 ω 的值；
π )(ω > 0, x ∈ R ) 的最小正周期为10π 6
π 5π 6 5π 16 ] ， f (5α + ) = − , f (5 β − ) = ；求 cos(α + β ) 的值 2 3 5 6 17 2π 1 【解析】 （1） T = = 10π ⇔ ω = ω 5 5π 6 π 3 3 4 （2） f (5α + ) = − ⇔ cos(α + ) = − ⇔ sin α = , cos α = 3 5 2 5 5 5 5π 16 8 15 f (5β − ) = ⇔ cos β = ,sin β = 6 17 17 17 4 8 3 15 13 cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β = × − × = − 5 17 5 17 85
BP × BC 2 5 = PC 3 2 BO 在 Rt ∆BOF 中， BO = 2, OE = BF 2 − BO 2 = ⇒ tan ∠BFO = =3 3 OF 得：二面角 B − PC − A 的正切值为 3
在 ∆PBC 中， PB = 5, BC = 2, PC = 3 ⇒ ∠PBC = 90ο ⇒ BE = 19.(本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，满足 2S n = an +1 − 2n +1 + 1( n ∈ N * ) ，且 a1 , a2 + 5, a3 成等差数列。 （1）求 a1 的值； （2）求数列 {an } 的通项公式。 （3）证明：对一切正整数 n ，有
【解析】 PA = _____
3 ο 连接 OA ，得 ∠AOC = 2∠ABC = 60 ⇒ AC = 1, ∠PAC = ∠ABC = 30° ⇒ ∠APC = 30° ⇒ PC = 1 PA2 = PO 2 − OA2 = 3 ⇔ PA = 3
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
5 1 = 45 9
8. .对任意两个非零的平面向量 α 和 β ，定义 α � β =
� � � � α iβ ；若平面向量 a, b 满足 a ≥ b > 0 ， β iβ
)
� � � � � � � � π ⎧n a 与 b 的夹角 θ ∈ (0, ) ，且 a � b, b � a 都在集合 ⎨ n ∈ Z } 中，则 a � b = ( 4 ⎩2 ( A) 1 2 ( B) 1 (C ) 3 2 (D) 5 2
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科）
本试题共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写 在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上 角“条形码粘贴处”. 2、 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要 求做大的答案无效。 4、 作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的， 答案无效。 5、 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：柱体的体积公式 V = Sh ，其中 S 为柱体的底面积， h 为柱体的高.
【解析】选 C
� � � a � � a � b = � cos θ > 0, b � a = b
� b � � � � 1 � cos θ > 0 ⇒ ( a � b) × ( b � a) = cos 2 θ ∈ ( ,1) 2 a
� � � � � � � � nn � � 3 ⎧n a � b, b � a 都在集合 ⎨ n ∈ Z } 中得： (a � b) × (b � a) = 1 2 ( n1, n2 ∈ N * ) ⇒ a � b = 4 2 ⎩2
)
( B) 11
(C ) 3
( D ) −1 5 3 2 2
约束条件对应 ∆ABC 边际及内的区域： A(2, 2), B (3, 2), C ( , ) 则 z = 3 x + y ∈ [8,11]
6. 某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为(
)
( A) 12π
( B) 45π
(C ) 57π 1 3
1 1 C92 6 C9 C3 9 C32 1 = , P ( ξ = 1) = = , P ( ξ = 0) = = 2 2 2 C12 11 C12 22 C12 22 6 9 1 1 Eξ = 0 × + 1× + 2 × = 11 22 22 2 答： （1） x = 0.018 1 （2） ξ 的数学期望为 2
P(ξ = 0) =
18.(本小题满分 13 分) 如图所示，在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，
PA ⊥ 平面 ABCD ，点 E 在线段 PC 上， PC ⊥ 平面 BDE 。
（1） 证明： BD ⊥ 平面 PAC ； （2） 若 PA = 1, AD = 2 ，求二面角 B − PC − A 的正切值； 【解析】 （1） PC ⊥ 平面 BDE ， BD ⊂ 面 BDE ⇒ BD ⊥ PC PA ⊥ 平面 ABCD ， BD ⊂ 面 ABCD ⇒ BD ⊥ PA 又 PA ∩ PC = P ⇒ BD ⊥ 面 PAC （2） AC ∩ BD = O 由（1）得： BD ⊥ AC ⇒ AB = AD ， PA = 1, AD = 2 ⇒ AB = 2 ， PC ⊥ 平面 BDE ⇒ BF ⊥ PC , OF ⊥ PC ⇒ ∠BFO 是二面角 B − PC − A 的平面角