第8讲 幂函数与函数应用教师

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(2)①当 1≤t≤30，t∈N 时，S＝－(t－20)2＋6 400，当 t＝20 时，S 的最大值为 6 400. ②当 31≤t≤50，t∈N 时，S＝－90t＋9 000 为减函数，当 t＝31 时，S 的最大值是 6 210. 因为 6 210<6 400，所以当 t＝20 时，日销售额 S 有最大值 6 400. [玩转跟踪] 1.手机上网每月使用量在 500 分钟以下(包括 500 分钟)、60 分钟以上(不包括 60 分钟)按 30 元计费，超过 500 分钟的部分按 0.15 元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在 1 分钟以下不计费，在 1 分钟以上(包括 1 分 钟)按 0.5 元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费． ①12 月份小王手机上网使用量 20 小时，要付多少钱？ ②小舟 10 月份付了 90 元的手机上网费，那么他上网时间是多少？ ③电脑上网费包月 60 元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？ 解 设上网时间为 x 分钟，由已知条件知所付费用 y 关于 x 的函数解析式为 y＝ 0，0≤x<1， 0.5x，1≤x≤60， 30，60<x≤500， 30＋0.15x－500，x>500. ①当 x＝20×60＝1 200，即 x>500 时，应付 y＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)． ②90 元已超过 30 元，所以上网时间超过 500 分钟，由 30＋0.15(x－500)＝90 可得，上网时间为 900 分钟． ③令 60＝30＋0.15(x－500)，解得 x＝700. 故当一个月经常上网(一个月使用量超过 700 分钟)时选择电脑上网，而当短时间上网(一个月使用量不超过 700 分钟)时选择手机上网．
＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2 在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选 A.
1
3．已知 f(x)＝ x2 ，若 0<a<b<1，则下列各式中正确的是( )
11 A．f(a)<f(b)<f a <f b
11 B．f a <f b <f(b)<f(a)
11 C．f(a)<f(b)<f b <f a
[玩转练习]
1．下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝x4＋x2
B．y＝10x
C．y＝x13
D．y＝x＋1
考点 幂函数的概念
题点 判断函数是否为幂函数
答案 C
解析 根据幂函数的定义知，y＝x13是幂函数，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1 都不是幂函数．
2．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
34
(2)∵y＝x－1 是(－∞，0)上的减函数，且－2＜－3，∴
－2 3
－1＞
－3 5
－1.
35
1
1 1
1
1
1
(3)0.25 4 ＝ 4 4 ＝2 2 ，6.25 4 ＝2.5 2
1
1
1
1
1
∵y＝x 2 是[0，＋∞)上的增函数，且 2＜2.5，∴2 2 ＜2.5 2 ，即 0.25 4 ＜6.25 4 .
2
2
2
解 2m＋1>m2＋m－1，得－1<m<2，综上所述， 5－1≤m<2. 2
例 4 比较下列各组数中两个数的大小：
11 11
－2
－3
(1) 3 2 与 4 2 ；(2) 3 －1 与 5 －1；
1
1
(3)0.25 4 与 6.25 4 ；(4)0.20.6 与 0.30.4.
1
11 11
解 (1)∵y＝x 2 是[0，＋∞)上的增函数，且1＞1，∴ 3 2 ＞ 4 2 .
31 13 ∴ 4 2＞ 2 4.
3.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A.y＝x－2
B.y＝x－1
C.y＝x2
1
D.y＝x 3
答案 A
1
解析 由于 y＝x－1 和 y＝x 3 都是奇函数，故 B、D 不合题意.又 y＝x2 虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函
数，故 C 不合题意.y＝x－2＝x12在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故 A 满足题意.
|n|的大小.根据幂函数
y＝xn
的性质，故
c1
的
n＝2，c2
的
n＝1，当 2
n＜0
时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线
c3
的
n＝－1，曲线 2
c4
的
n＝－2，故选
B.
[玩转跟踪]
1.如图是幂函数 y＝xm 与 y＝xn 在第一象限内的图象，则( )
A.－1＜n＜0＜m＜1
B.n＜－1,0＜m＜1
C.－1＜n＜0，m＞1
{x|x∈R 且 x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R 且 y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数 非奇非偶函数
奇函数
单调性
x∈[0，＋∞)时，增；
增
增
x∈(－∞，0]时，减
x∈(0，＋∞) 时，减； 增
x∈(－∞，0)时，减
(4)幂函数的共性
α>0 时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0 时，图象不过原点，在第一象限的图象下降.
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1
a＋1≥0，
解析 (1)易知函数 y＝x 2 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以 3－2a≥0，
a＋1<3－2a，
解之得－
1≤a<2. 3
2．比较下列各组数的大小：
2
3
(1) 3 0.5 与 5 0.5；(2)－3.143 与－π3；
13 31 (3) 2 4 与 4 2 .
幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要
看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一
定是原点.
[玩转典例] 题型一 幂函数的概念 例 1 函数 f(x)＝(m2－m－1)x m2 m3 是幂函数，且当 x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式. 解 根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1， 当 m＝2 时，f(x)＝x3 在(0，＋∞)上是增函数，当 m＝－1 时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求. ∴f(x)的解析式为 f(x)＝x3. [玩转跟踪]
(1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系；
(2)求日销售额 S 的最大值．
解
(1)根据题意得 S＝
－2t＋200
1t＋30 2
，1≤t≤30，t∈N，
45－2t＋200，31≤t≤50，t∈N，
－t2＋40t＋6 000，1≤t≤30，t∈N， 即 S＝
－90t＋9 000，31≤t≤50，t∈N.
(4)由幂函数的单调性，知 0.20.6＜0.30.6，又 y＝0.3x 是减函数，∴0.30.4＞0.30.6，从而 0.20.6＜0.30.4.
[玩转跟踪]
1
1
1.若(a＋1) 2 <(3－2a) 2 ，则实数 a 的取值范围是________．
答案 (1)－1 (2)[－1，2) 3
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的图象，由高向低依次为
C1，C2，C3，C4，所以
C1，C2，C3，C4
的指数α依次为
2，1，－1，－2. 22
6．已知 2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
得到
2m2 m 3 0
解得 又因为
1 m 3 , 2
mZ,
2 分
所以 m 0 或1.
3 分
又因为是偶函数当 m 0 时， f (x) x3, 不满足 f (x) 为奇函数；
当 m 1 时， f (x) x2, 满足 f (x) 为偶函数；
所以 f (x) x2.
5 分
题型二 幂函数的图像
1.已知函数 f (x) x2m2m3(m ) 为偶函数，且在 (0, ) 上为增函数.
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（1）求 m 的值，并确定 f (x) 的解析式； 解析.由条件幂函数 f (x) x2m2m3(m ) ，在 (0, ) 上为增函数，
D.n＜－1，m＞1
答案 B
解析 在(0,1)内取同一值 x0，作直线 x＝x0，与各图象有交点，如图所示.根据点低指数大，有 0＜m＜1，n ＜－1.
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题型三 幂函数的性质
1
1
例 3 若(2m＋1) 2 >(m2＋m－1) 2 ，则实数 m 的取值范围是( )
A．y＝x－2
B．y＝x－1
C．y＝x2
1
D．y＝ x3
答案 A
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1
解析 其中 y＝x－2 和 y＝x2 是偶函数，y＝x－1 和 y＝ x3 不是偶函数，故排除选项 B，D，又 y＝x2 在区间(0，
－ －∞，
5－1
A.
2
5－1，＋∞ B. 2
C．(－1,2)
5－1，2 D. 2
答案 D
1
解析 (1)因为函数 y＝x 2 的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于
2m＋1≥0， m2＋m－1≥0， 2m＋1>m2＋m－1.
解 2m＋1≥0，得 m≥－1；解 m2＋m－1≥0，得 m≤－ 5－1或 m≥ 5－1.
C1，C2，C3，
C4 的指数α依次为( )
A．－2，－1，1，2 22
B．2，1，－1，－2 22
C．－1，－2,2，1
2
2
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D．2，1，－2，－1
2
2
答案 B 解析 要确定一个幂函数 y＝xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数 y＝xα随着α值的改变图象的变化规 律．随着α的变大，幂函数 y＝xα的图象在直线 x＝1 的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线 x＝1 右侧
题型四 函数应用
例 5 经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为销售时间 t(天)的函数，且销售量近似地满足
f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前 30 天价格为 g(t)＝1t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后 20 天价格为 g(t)＝ 2
45(31≤t≤50，t∈N)．
例 2 如图所示，图中的曲线是幂函数 y＝xn 在第一象限的图象，已知 n 取±2，±1四 2
个值，则相应于 c1，c2，c3，c4 的 n 依次为( )
A.－2，－1，1，2 22
B.2，1，－1，－2 22
C.－1，－2,2，1
2
2
D.2，1，－2，－1
2
2
答案 B
解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性.注意当 n＞0 时，对于 y＝xn，n 越大，y＝xn 增幅越快，n＜0 时看
A．－3 B．2 C．－3 或 2 D．3
考点 幂函数的性质
题点 幂函数的单调性
答案 A 解析 由 y＝(m2＋m－5)xm 是幂函数，知 m2＋m－5＝1，解得 m＝2 或 m＝－3.∵该函数在第一象限内是单
调递减的，∴m<0.故 m＝－3.
5.如图所示曲线是幂函数
y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±1四个值，则对应于曲线 2
1
1
D．f a <f(a)<f b <f(b)
考点 比较幂值的大小
题点 利用单调性比较大小
答案 C
1
11
解析 因为函数 f(x)＝ x2 在(0，＋∞)上是增函数，又 0<a<b<1<1<1，故 f(a)<f(b)<f b <f a ，故选 C.
ba
4．已知 y＝(m2＋m－5)xm 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则 m 的值为( )
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第 8 讲 幂函数与函数应用
[玩前必备] 1.幂函数 (1)定义：形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较
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(3)幂函数的性质比较
函数
特征
y＝x
性质
y＝x2
y＝x3
1
y＝ x 2
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
2
3
解 (1)∵y＝x0.5 在[0，＋∞)上是增函数且2＞3，∴ 3 0.5＞ 5 0.5.
35
(2)∵y＝x3 是 R 上的增函数，且 3.14＜π，∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.
源自文库
1
13 11
1
31 11
(3)∵y＝ 2 x 是减函数，∴ 2 4 ＜ 2 2 .y＝x 2 是[0，＋∞)上的增函数，∴ 4 2 ＞ 2 2 .