误差理论与数据处理复习题

1-1. 测得某三角块的三个角度之和为 180°00’02”，试求测量的绝对误差和相对误差。

【解】绝对误差＝测得值－真值＝180°00’02”－180°＝2” 相对误差＝绝对误差／真值＝2”/（180×60×60”）=3.086×10-4 %1-7. 为什么在使用微安表等各种电表时，总希望指针在全量程的 2/3 范围内使用？ 【答】我国电工仪表、压力表的准确度等级是按照引用误差进行分级的。

当一个仪表的等级 s 选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大相对误差为：式中：Δxm 为仪表某标称量程内的最大绝对误差，x 为被测量，xm 为标称量程上限。

选定仪表后， 被测量x 的值越接近于标称量程上限，测量的相对误差rx 越小，测量越准确。

1-8. 用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。

测得值各为 50.004mm ，80.006mm 。

试评定两种 方法测量精度的高低。

【解】两种测量方法进行的测量绝对误差分别为：δ1＝50.004－50＝0.004（mm ）； δ2＝80.006－80＝0.006（mm ） 两种测量方法的相对误差分别为：δ1／L1＝0.004/50=0.008 % 和 δ2／L2＝0.006/80=0.0075 % 显然，测量L2尺寸的方法测量精度高些。

2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA ）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。

试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

168.41168.54168.59168.40168.505x ++++=168.488()mA =)(082.015512mA vi i=-=∑=σ0.037()5x mA nσ=== 或然误差：0.67450.67450.0370.025()x R mA σ==⨯= 平均误差：0.79790.79790.0370.030()x T mA σ==⨯=2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm ）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。

若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。

20.001520.001620.001820.001520.00115x ++++=20.0015()mm =5210.0002551ii vσ===-∑正态分布 p=99%时，t 2.58= lim x x t δσ=± 2.585=± 0.0003()mm =±测量结果：lim (20.00150.0003)x X x mm δ=+=±2.82-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差mm 004.0=σ，若要求测量结果的置信限为mm 005.0±，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。

正态分布 p=99%时，t 2.58=lim x n δ=±2.580.0042.0640.0054.265n n n ⨯====取2－10 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm ，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm ，而置信概率P 为0.95时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有0015.0≤±=±ntt x σσ根据题目给定得已知条件，有5.1001.00015.0=≤nt查教材附录表3有若n ＝5，v ＝4，α＝0.05，有t ＝2.78，24.1236.278.2578.2===nt若n ＝4，v ＝3，α＝0.05，有t ＝3.18，59.1218.3418.3===nt即要达题意要求，必须至少测量5次。

2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。

)(34.1020288181Pa pxp x i ii ii ==∑∑==)(95.86)18(81812Pa p vp i ii xi i x ≈-=∑∑==σ第三章第四章4.64-4某校准证书说明，标称值10Ω的标准电阻器的电阻R 在20C时为Ω±Ωμ129000742.10（P=99%），求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的不确定度。

由校准证书说明给定∴属于B 类评定的不确定度R 在[10.000742Ω-129μΩ，10.000742Ω+129μΩ]范围内概率为99%，不为100%∴不属于均匀分布，属于正态分布 129a =当p=99%时， 2.58p K =∴12950()2.58R p a U K μ===Ω 第五章5-1测量方程为3 2.920.923 1.9x y x y x y +=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。

误差方程为1232.9(3)0.9(2)1.9(23)v x y v x y v x y =-+⎧⎪=--⎨⎪=--⎩列正规方程1112111121222111nn n i i i i i i i i i n n n i i i i i i i i i a a x a a y a l a a x a a y a l ======⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑∑代入数据得 14513.4514 4.6x y x y -=⎧⎨-+=-⎩解得 ⎩⎨⎧==015.0962.0y x 将x 、y 代入误差方程式1232.9(30.9620.015)0.0010.9(0.96220.015)0.0321.9(20.96230.015)0.021v v v =-⨯+=-⎧⎪=--⨯=-⎨⎪=-⨯-⨯=⎩测量数据的标准差为0.038σ===求解不定乘数 11122122d d d d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11121112212221221451514014505141d d d d d d d d -=⎧⎨-+=⎩-=⎧⎨-+=⎩ 解得 082.02211==d dx 、y 的精度分别为01.011==d x σσ 01.022==d y σσ第五章 线性参数的最小二乘法处理5-1测量方程为3 2.920.923 1.9x y x y x y +=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。

误差方程为1232.9(3)0.9(2)1.9(23)v x y v x y v x y =-+⎧⎪=--⎨⎪=--⎩列正规方程1112111121222111nn n i i i i i i i i i n n n i i i i i i i i i a a x a a y a l a a x a a y a l ======⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑∑代入数据得 14513.4514 4.6x y x y -=⎧⎨-+=-⎩解得 ⎩⎨⎧==015.0962.0y x 将x 、y 代入误差方程式1232.9(30.9620.015)0.0010.9(0.96220.015)0.0321.9(20.96230.015)0.021v v v =-⨯+=-⎧⎪=--⨯=-⎨⎪=-⨯-⨯=⎩测量数据的标准差为0.038σ===求解不定乘数 11122122d d d d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11121112212221221451514014505141d d d d d d d d -=⎧⎨-+=⎩-=⎧⎨-+=⎩ 解得 082.02211==d dx 、y 的精度分别为01.011==d x σσ 01.022==d y σσ5-7不等精度测量的方程组如下：1233 5.6,148.1,220.5,3x y p x y p x y p -=-=⎧⎪+==⎨⎪-==⎩试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。

列误差方程1122335.6(3),18.1(4),20.5(2),3v x y p v x y p v x y p =---=⎧⎪=-+=⎨⎪=--=⎩正规方程为3331112111133321222111i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i p a a x p a a y p a l p a a x p a a y p a l ======⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑∑ 代入数据得4562.21431.5x y x y -=⎧⎨-+=⎩解得 ⎩⎨⎧==352.2434.1y x 将x 、y 代入误差方程可得⎪⎩⎪⎨⎧-===016.0012.0022.0321v v v 则测量数据单位权标准差为039.023312=-=∑=i ii v p σ求解不定乘数 11122122d d d d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1112111221222122451140450141d d d d d d d d -=⎧⎨-+=⎩-=⎧⎨-+=⎩ 解得 ⎩⎨⎧==072.0022.02211d dx 、y 的精度分别为006.011==d x σσ 010.022==d y σσ6.26.8。